CC BY
12
Владикавказский математический журнал Апрель июнь, 2002, Том 4, Выпуск 2
УДК 517.549.8
О СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
Э. Г. Олисаев, М. М. Лафишева
Рассматривается краевая задача для уравнения параболического типа в цилиндрических координатах с нелокальным условием на правой границе. Для решения рассматриваемой задачи построена разностная схема и доказана сходимость полученной схемы со скоростью 0(hz + т2).
1. Постановка задачи. В области Qt = {(ж, t) : 0 < х < I, 0 < t < Т} рассмотрим задачу
du 1 d f 1 . .du\ , п 7 m
— = ——— xkix, t)— I — qu + /, 0 < x < l, 0 < t ^ T, (1)
dt xdx \ dx)
du
lim xk— = 0, (2)
я-Ю dx
i
д Г
— / xudx = ß(t), (3)
о
u(x, 0) = щ(х), (4)
где k(x,t) 2 ci > 0, \q\ < c2, q(0,t) ^ c3 > 0, k(x,t) € C(3'0)(Qt), q(x,t), f(x,t) €
a (7(m>n)(QT) — класс функций, определенных и непрерывных вместе со своими производными до порядка m включительно по ж и до порядка п по t в области Qt-
Нелокальное условие типа (3) впервые возникло в теории влагопереноса [1]. Пользуясь уравнением (1), условие (3) можно переписать иначе:
du
-К7-—
ох
I
1 Г
=— — / xqu(x, t)dx + ßi(t), (3')
т=1 ' J
x 1 0
1
где ni (t) = f xf(x, t)dx — fj.(t). 0
Итак, мы будем заниматься в дальнейшем задачей (1), (2), (3'), (4).
© 2002 Олисаев Э. Г., Лафишева М. М.
2. Разностная схема. Введем в замкнутой области сетку шь х шт, где шь = {xi = ih, / 1.2.....Л;-1. N1% = 0, = -¡Л' = ^т, </ = 0,1,... , </0, </0т = Т}.
При написании дискретного аналога условия ограниченности (2) мы следуем методике [2]. Дифференциальной задаче (1), (2), (3'), (4) поставим в соответствие разностную схему
Уг = Л(% +
(ОМ) € Х Ч-)'
Уи 0 = -:-- + /о (¿^К
/г*
Уг.и
ы + 0, ЬНйму
о
N У N
0,5Л
+
1
№
0,I
г=0
0,5Лк1
0) = «0 (ж) (жеш,,),
(5)
где Л(% = ^ (хау!1)х - <1у, к* =
* к, = —
И
П=1 2"
г = Ж,
4' '"1 — г+0,57г'
' /г, г ^ Ж.
Обозначим через г = у — и погрешность метода. Тогда для г получим задачу
= + ф
_ а1гх о ^ П аого
" ~~^ + Г '
_ + 0,5/Ц^'
лг --~ ~ +
n
0,5Л
0,I
' 1 ¿=о
0,5Л'
г(®,0) =0,
где ф = {хм) + ф + ф*, г\ = 0{к2 + тт<т), ф = О () , = 0{}ь + т"'")
2 т
^ =0{К +т"), гл, = О {К + г ).
Положим с = и перепишем задачу для погрешности в виде
= О, 5Л(г + г) + Ф,
(6)
где
Мг + г) =—(ха{г + г)Л —¿{г + г), г £
х \ / х
Л {г + г)
аг{г + г)цЛ - + г)0
к*
х = 0;
Л(г + г) = <
А+{г + г) =
адт{г + + 0, + г)н
0,5/г
+
1
n
0,1
^^ ^ X ^ 1......|...... ^ ^ ^; Ж - I ^
г=1
1
2
Ф = <
' ф, же шн; к*'
0,5Л'
ж = О;
Введем скалярное произведение (и,«] = щу^Н, и норму ||и]| = и2Н.
г=1
г=1
Априорную оценку для решения задачи (6) получим методом энергетических неравенств, для чего умножим уравнение (6) скалярно на х(г + г) :
+ г)] -Ъ,ь(К{г + г),х{г + г) =(Ф,ж(1 + г)]. (7)
Преобразуем суммы, входящие в тождество (7)
0,5^Л(1 + г),х{г + г) = 0, 5+ г), х(г + г)) + О, 5Л+(1 + +
(г +
+ х ^ + = ^ (жа{г + , I + г) - ^ [хй, (г + г)2}
г=1
(г +
n
2 ¿к 1
Жгд,г{г + г)гН = —- \ ХО,, (2 + г)2 — - (ж(¿ + г)2]
г=1
n
+
+ , . 1/ , 1
2к
1
г=1
XI + г)о + у - у) + + ^жлгалг(г + +
=-~\ха,(г + - - {хй, {г + г)2}
Л
2
1 «1/
№
г=1 n
2
2«!
¿=1 Л*
^жа, (г + г)% - - (же?, (г + г)2] - —х^^г + г)1 - —хлги){г + г)й + -х^г + г)й
Ь2 , . „ Ъ2 . „ . / Н \ (г + , / „ ч ^ , „ .
+ + гОдг + + г)лг + (1 - —J——-+ - — + г)лг,
Ф, x(z + z) = (ф, x(ê + z)^ + V2Xn{z + z)JV-Подставим полученные выражения в тождество (7)
(iN2 + 0, б(®а, (z + z)% + 0,5(xd, (z + z)2] + d° (z + z)% + ^y-zt)0(z + «)o x\ , „ \ h2 . „ . p h2 . „ . / h\(z + z) jv , / - v ,
= y^il^ + + + + YZt'N^ + Z>N + v 21/—2«— + ^^
-(V»,®(z + z)) + (l- ^)v2{Z + Z)n. (8)
Оценим слагаемые, входящие в (8)
х\ ,,, ч х\ . г/1 ^ Л2 , ,2 г/?
у + г)0 = + *)0 • < + *)0 +
/ Л \ (Z + ¿JiV Y^ л- , \ ft / 1 /" - , \2 , с2« il if, М|2
V21,)—2к-2^Xidi(z + z>iH^ 2^ 'N ^ +
* i=1
(l ~ + z)n l~vl + 1~{z + z)lr,
(V»,®(z + z)) < + ^\\xHz + z)fQ.
Учитывая полученные оценки, из (8) получаем
(ils* + о, 5ci Их* (z + z)t]\l + g (,2)i)0 < + |) (z + sft
fcll2 + C2 + 1\„ Ч1|2 ln 1 , ll2 г/? 1, 2h2 / 2\
+ {--g-)1|ж2(г + + 2||ж2</,||° + 44 + 2V*~8 (9)
Займемся оценкой величины (I + z)^. Возьмем на отрезке [0,1] произвольную
точку х €Е (0,/). Пусть х совпадает с одним из узлов сетки и^, причем потребуем,
*
чтобы точка х = х была общей для всей последовательности сеток. Имеет место следующая
Лемма. Для любой функции v(x), заданной на сетке = {xi = ih, % = 1,2,..., N}, справедливо неравенство
О / \ ^ 11 "2 1 Z' ! \ 11 "2 11*?
max w (ж) < Т||ж + -* +-)\\х wlo-
X X I — X
< Доказательство леммы будем проводить по аналогии с [4]. Запишем представление
xi
Отсюда имеем
J2 v2(Ci)h + -e jr v2(Ci)h
1 N V
sí Tv2(C¿)C¿ + т + — ^2xiV2(xi)h. (10)
ЖГУ» fV>
-¿zzrX ¿ — 2.
Просуммируем (10) по от ж до ждг = I ■
ЖГУ» /-у>
* -¿zzrX ¿ 1
ii=x
X \ Ь / X
Откуда следует
max v2(s) Т||ж2 г;г]|0 + Т ( :-- + 7 ) ||ж2
„2 1/1 1 ..........-V ~*\ *
x^x^l X X \1, — X
На основании леммы имеем
£ 1 2 1/1 1\ 1 (г + z)n < т1|ж2 (г + г)х]|0 + Т -* + - II®2 + *)]1о- (И)
ж ж VI — ж е/
i i
Учитывая неравенство (11) и оценку ||ж2 (z+z)s]|q ^ 2||ж2 (á+z)x]|o) из (9) получим (ll®^£) + ^ill(§ + гЫ2 + ^{z2)t
lt III v • дли 16v 7t,0
i 1 и2 1 h2
< М2||ж2 (I + *)]|2 + -||ж^]|2 + + + ¥HÍ)JV. (12)
c^2+C2 + 1 2
= 0, 5ci — ^f >0 при достаточно малом е, М2 = (+ ^f ) (—Ч + -) т X V / \1—х е / X
Просуммируем (12) по 3' от 0 до 3 :
з
— 2 ±. , , |Ж2 + Мх Е ||ж2 + 1 + ^ Ь]|2г
¿'=о
5 , 5
< м2 £ Их* + + м3 Ё (||хЦ]|§ + + + ^ (4)5+1, (13)
з'=0 ¿'=о
где М3 = тах Рассмотрим
- у (4Г+1 = + - у (4Г1
¿=1
ЛГ-1 ^ ^ ^^
¿=1
№-1 1 , 1
2 2 2'
¿=1
Принимая во внимание (14), из (13) получаем
1 о ■! I
\х2^+\ + 2Мх Е ||ж2 +1 + ^ Ь]|2т ¿'=о
< 2М2 £ + + 2М3 £ (||хЦ||§ + + (15)
j'=Q ^=0
Отсюда следует
з
\\х*г'+1]\20 < 2М2 Е ||ж4 + у/)Цт + 2М3^', ¿'=о
где = £ (||х^Но + И® +
¿'=о Так как
Е и-'-77 +1 + <2 Е и-'-77 +2 Е
3'=О з'=О ¿'=0
3'= 0
:
:
то
(1 ^ Ш2т)\\х2 ¿+1}\20 < 8М2 Е 11®5^']1ог + 2М3^'.
¿'=о
Отсюда, при достаточно малом г ^ г0 = имеем
где М = тах(2М3,16М2) и не зависит от сетки.
Применяя лемму из [3], получаем при малом г ^ т0 требуемую априорную оценку
з 1 / / 1 ч \
I*+ ЕII"< ^ Е (н* + + ^ . (16)
¿'=0 \5'=0 /
Из оценки (16) следует сходимость разностной схемы (5) со скоростью О {к* +т в норме, стоящей в левой части (16). >
Литература
1. Чудновский А. Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве // Сб. трудов АФИ.—1969.—вып. 23.—С.41-54.
2. Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1977.—656 с.
3. Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа // ЖВМ и МФ.—1963.—Т. 3, № 2,—С. 266-298.
4. Андреев В. В. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ.—1968.—Т. 8, № 6.—С. 1218-1231.
:
Владикавказ, Нальчик
Статья поступила 19 апреля 2002 г.
