Метод исключения статических неопределенностей в задачах механики несвободного твердого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ДА Г И Том XVIII 1987

№ 6

УДК 629.7.015.075.6

МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ НЕСВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

|В. В. Овчинников[, В. И. Садчиков

Предложен метод расчета реакций связей статически неопределимой системы, состоящей из двух подвижных абсолютно твердых тел. Метод основан на использовании наряду с уравнениями движения критерия минимума суммы квадратов сил реакций, вытекающего из условия минимума потенциальной энергии упругой системы. Получены аналитические выражения для сил реакций в узлах связи. Показана возможность учета конструктивных особенностей отдельных узлов связи.

1. Постановка задачи. Практически важной задачей механики системы, состоящей из двух подвижных друг относительно друга твердых тел, является задача определения сил реакций в узлах крепления (связи). Для системы тел, состоящей, например, из двух совершающих совместный полет летательных аппаратов (ЛА), такая задача возникает при расчете на прочность узлов крепления ЛА, при исследовании пространственного движения ЛА с использованием информации о силах реакций в узлах связи, при определении сил трения в узлах крепления [1—5]. Ее решение определяется многими факторами, в частности, количеством и конструктивными особенностями узлов связи.

На практике используются, главным образом, связи, конструктивно эквивалентные сферическим и цилиндрическим шарнирам, которые могут допускать относительные линейные и угловые перемещения тел, характеризуемые соответственно числами степеней свободы 5у = 0; 1; 2 и 5Ш =0; 1; 2; 3. При этом количество узлов крепления п может быть произвольным. Заметим, что если тела соединены одним или двумя узлами крепления п=1,2, то решение рассматриваемой задачи можно получить непосредственно из уравнений движения. В общем случае, когда и>3, задача определения реакций связей является статически неопределенной, поскольку число неизвестных превышает число исходных уравнений. В теории прочности решение статически неопределенных задач производится путем учета упругих свойств конструкции и узлов крепления [6]. Это позволяет исключить избыточные неизвестные и получить точное решение задачи. Один из возможных подходов для определения сил реакций трехшарнирной системы узлов связи двух ЛА рассмотрен в работе [4]. Сущность этого подхода состоит в замене действующих в шарнирах сил реакций эквивалентной системой, составляющие сил которой определяются однозначно из кинематических условий связи ЛА. В настоящей статье излагается метод решения статически неопределенных задач для системы, состоящей из двух подвижных абсолютно твердых тел с произвольным количеством идеальных связей 3. Метод основан на использовании уравнений движения одного из тел и дополнительного соотношения для сил реакций, вытекающего из условия минимума потенциальной упругой энергии системы.

2. Расчет сил реакций статически неопределимой системы. Предположим, что два абсолютно твердых тела соединены идеальными (без трения) недеформируемыми точечными узлами связи, допускающими относительные угловые и линейные переме-

щения тел. Количество связей таково, что в общем случае система является статически неопределимой. Применяя принцип освобождаемости [7], заменим действие связей п их реакциями #г- При этом действие силы реакции Яг на одно из рассматриваемых тел условно принимаем положительным. Обозначим через Ь — радиус-вектор 1-й связи относительно центра масс этого тела. Уравнения движения рассматриваемого тела запишем в виде [7]

П

£*г + /г=о, (1)

1=1

П

£ 1Г/?г + М =0, (2)

/ = 1

где Р и М — соответственно главный вектор и главный момент внешних сил и сил инерции, действующих на тело, величины которых для различных видов несвободного движения тел = 0; 1; 2 и 5Ш =0; 1; 2; 3) могут быть определены с помощью соотношений, приведенных в работе [8]. Отметим, что уравнения (1) и (2) записаны в векторно-матричной форме: Лг, Р, М и и рассматриваются как матрицы-столб-

цы, а /; — как кососимметричная матрица, образованные из проекций этих векторов на оси некоторой правой декартовой прямоугольной системы координат ОХУ1 с началом в центре приведения (см. [8]).

При п»3 в общем случае, уравнения (1) и (2) не имеют однозначного решения относительно ЯI , поскольку число неизвестных превышает число имеющихся уравнений. Чтобы исключить статическую неопределенность задачи, поступим следующим

образом. Будем считать, что рассматриваемая система связей является упругой и

изотропной. В этом случае реакция связи (упругая сила) /?г может быть представлена в следующем виде [6, 7]

/?, = -<: А *г, (3)

где с — коэффициент жесткости (предполагается, что связи имеют одинаково большую, но конечную жесткость), А — упругая деформация 1-й связи при ее перемещении из начального (недеформированного) состояния в деформированное. Определяя потенциальную энергию П как работу, производимую упругими силами Л,, будем иметь [6, 7]

1=1 1=\

где символом «т» обозначена операция транспонирования. В соответствии с принципом возможных перемещений потенциальная упругая энергия несвободной системы, подчиненной идеальным связям, в положении равновесия имеет минимальное значение [6, 7]. Следовательно,

1 "

-2 £ Я? #1 = ш1п. (5)

г=1

Таким образом, если недеформируемые связи интерпретировать приближенно как упругие с большой, но конечной жесткостью, то условие (5) можно рассматривать как дополнительное соотношение к уравнениям движения (1) и (2). Тогда задачу определения сил реакций /?г, удовлетворяющих одновременно (1), (2) и (5), можно рассматривать как задачу на условный экстремум, что всегда позволяет получить решение для сил реакций. Покажем это.

Чтобы получить решение, воспользуемся методом множителей Лагранжа, на основании которого функционал, подлежащий минимизации, можно записать в следующем виде:

(Е**+р) + ЕГ(*1+’ (6)

г=1 ¡=1 «=1

где Хд и л и— векторные множители Лагранжа.

Из необходимых условий экстремума функционала (6)

дФ дФ дФ д/?г = °- д Хд “ ’ дХм = 0>

8— «Ученые записки» № 6

113

получим следующую систему уравнении:

Я і — + ІІ ^М> * =

-Г;

пХи ~ (Х*0 3 (2 7‘)- (2 т-?)= м

і=і /=1 Определяя и из уравнений (8), имеем

П П

(7)

(8)

V- И ■- і (1‘‘) (2 ‘Г (£ - Г [£ - Ш *) (2 'Г1 Я=

/=1 ¿=1 ¿-1 * = 1 1-І

\и

■ (2Т?)

(^■!)+——

г_і '

і=і

(9)

)

где Е — единичная матрица. Подстановкой (9) в (7) находим искомое решение задачи. Заметим, что для статически определимой системы, когда количество связей га= 1 или 2, решение (7) приводится к виду, вытекающему непосредственно из уравнений движения (1) и (2).

Теперь получим то же решение другим путем. Заменяя, как и прежде, твердую систему связей упругой и изотропной, представим деформацию в виде суммы поступательного перемещения Л принятого центра приведения (центра масс тела) и поворота относительно оси, проходящей через центр приведения, на некоторый угол ЧР (см. [7])

А 11 = 4-1-^.

С учетом (10) выражение (3) для упругой силы Я/ примет вид

/?г = — сЛ + // с чр Подставляя (П) в уравнения движения (1) и (2), получаем

П

Я(сЛ)-(£ 5)(с?) = ^;

1=1

п п

(££•)(<:/*)-(£7?) (с 9)= М.

(10)

(11)

/=1

¡=1

(12)

Сравнивая уравнения (7), (8) соответственно с (11) и (12), видим, что они являются адекватными, если принять

— сА, — с ф.

(13)

Соотношения (13) поясняют физический смысл множителей Лагранжа. Таким образом, в результате получаем решение для /?;, полностью совпадающее с найденным ранее решением (7).

Используя полученное решение в конкретных задачах, следует принимать во внимание, что для однозначного определения множителей Лагранжа Я.^ и ¡.^с помощью (9) система векторов її должна быть линейно независимой, т. е. содержать хотя бы два неколлинеарных вектора її. Если, например, все связи і—1,...,я (я>2) и центр приведения расположены на одной прямой (оси вращения), то (8) не имеет решения,

поскольку матрица

вырожденная. Исключить эту особенность можно соот-

г=1

ветствующим выбором центра приведения.

Возможность применения полученных результатов рассмотрим на следующем простом примере. Допустим, что абсолютно твердое тело — квадратная пластина постоянной толщины лежит горизонтально на четырех жестких опорах, установленных в ее вершинах. Требуется определить реакции опор Яг (¿=1,...,4). Из соображений симметрии рассматриваемой статически неопределимой системы можно утверждать, что реакция Яг каждой опоры равна четверти веса пластины. Однако доказать эго утверждение на основе законов статики невозможно, так как в данном случае одна-из связей (опор) является избыточной. Для определения сил реакций Яг воспользуемся соотношениями (7) и (9), рассматривая /?/, Хд и Хм в проекциях на оси системы координат OXУZ' начало которой совместим с центром масс тела и примем в качестве центре приведения, а ось У направим противоположно силе веса О . По-

п

скольку в данном случае Р=0, а М = 0 и ^^=0, то получаем из (9)

1=1

А*

ХМ = Ъ, ХКх—ХКг=0, ХДу = — и следовательно, ЯХ1 = Яг1 = °> Яу1 = —(1 = !>

..., 4), что совпадает с указанным выше очевидным решением.

3. Учет конструктивных особенностей узлов связи. В реальных системах отдельные узлы связи к=\,... ,т могут иметь конструктивные особенности, которые математически выражаются в равенстве нулю проекций сил реакций Я* на направление, заданное ортами е* т. е.

ек Як = 0, 6 = 1..т., т < п. (14)

Например, для цилиндрического шарнира вектор е* направлен по оси вращения. Для определения реакций Яг, удовлетворяющих одновременно условиям (1), (2), (-5) и (14), воспользуемся как и выше методом Лагранжа. Минимизируемый функционал в данном случае имеет вид

п п п т

ф=| Ц/?;/?'+^(2/?г+/г)+^ (2^+ж)+Ч2 «***)• (15>

/=1 /=1 ¡=1 к = \

Из необходимых условий экстремума функционала (15), аналогично тому, как это сделано ранее, получаем

(17)

я, = — (£ — /)*) хК + Си - я* тк) хм, (16)

Хд — (— А и Л 22 Л 21 + Ли)-1 — Л« Л22' М,

Хм = (Д21 Л ц1 Л] 2 — Лаг)-1 (М — А21 Лц1 Р).

Здесь = —матрица проектирования на направление е^,

т пт

Лц = пЕ Ок, Л]2 = и /)к ¡к,

к=1 г=1 а=1

пт пт

л 21 =

¿ = 1 к=1 ¡ = 1 к = \

Отметим, что отсутствию конструктивных особенностей узлов связи соответствует равенство =0. При этом соотношения (16), (17) совпадают с (8), (9).

Авторы выражают благодарность В. А. Ильину и А. П. Леутину за ценные рекомендации, данные ими при обсуждении работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демешки на В. В., Ильин В. А., Леутин А. П. Некоторые особенности процесса разделения летательных аппаратов вблизи момента разрыва связей. Ч. I и II.— Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. 11,

№ 4, 5.

2. И л ь и н В. А. Учет реального силового взаимодействия в шарнирных узлах крепления при расчете связанного относительного разворота1 двух летательных аппаратов. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 3.

3. И л ь и н В. А. Сила трения и момент сил трения в шарнирных узлах крепления при развороте двух летательных аппаратов относительно этих узлов. Ч. I и II. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, № 3 и 1986, т. 17, № 1.

4. Л е у т и н А. П. Об определении системы сил реакций в шарнирных узлах крепления летательных аппаратов при их разделении. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 4.

5. И л ь и н В. А., И с т о м и н Н. А., Л е у т и н А. П. Численное и аналитическое исследование силы трения и момента сил трения в сферическом шарнире. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, № 1.

6. Филоненко — Бородич М. М., Изюмов С. М., О лисов Б. А., К у Д р я в ц е в И. Н., М а л ь г и н о в Л. И. Курс сопротивления материалов. Т. 1, — М. ГИИТЛ, 1955.

6. Л о й ц я н с к и й Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. I и II, —М.: ГИИТЛ, 1955.

8. ¡Овчинников В. В.|, Садчиков В. И. Определение линейных и угловых ускорений несвободной системы двух летательных аппаратов. — Ученые записки ЦАГИ, 1987, т. 18, № 5.

Рукопись поступила 22ДХ 1986