CC BY
37
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том ЛУШ 1987 №~5
УДК 629.7.015.075.6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И УГЛОВЫХ УСКОРЕНИЙ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
В. В. Овчинникову В. И. Садчиков
Дается вывод векторно-матричных дифференциальных уравнений пространственного движения двух летательных аппаратов (ЛА) — носителя и груза — с произвольным числом идеальных связей, допускающих в общем случае поступательное и вращательное движение ЛА друг относительно друга. Для определения линейных и угловых ускорений каждого из связанных ЛА используются кинематические условия связи и ограничения на величины главного вектора и главного момента сил реакций, обусловленные конструктивными особенностями рассматриваемой системы связей. Приведены аналитические выражения для этих векторов как функции внешних сил и моментов, действующих на ЛА, и кинематических параметров движения. Показана возможность использования полученных дифференциальных уравнений для описания различных видов несвободного движения ЛА, характеризуемых поступательными и вращательными степенями свободы ЛА в относительном движении.
1. Постановка задачи. Одной из важных и актуальных для практики задач механики полета является задача исследования несвободного движения двух летательных аппаратов (ЛА) при наличии между ними механических связей. Несвободное движение ЛА реализуется, например, при разделении ступеней ЛА. Несвободное относительное движение разделяющихся ЛА (носителя и груза) зависит от многих факторов, в частности, от конструктивных особенностей узлов связи, их количества и взаимного расположения. Оно характеризуется числом вращательных и поступательных степеней свободы. При соединении ЛА шарнирными связями, допускающими одновременно их относительное вращение и поступательное движение одного ЛА (например, груза) по прямолинейным направляющим или по плоской поверхности, принадлежащих другому ЛА (носитселю), эти числа могут
принимать значения: 5Ш =1, 2, 3 и 5у=1,' 2. Если ЛА соединены узлами связи (крепления), исключающими возможность относительного углового или линейного перемещения, то соответственно =0 или 5у = 0. Перед расцепкой носитель и груз жестко связаны между собой и движутся в пространстве, как одно тело; при этом 5Ш=0 и 5у = 0.
Имеются различные формы описания несвободного движения тел [1, 2]. Практика показывает, что исследование динамики полета двух связанных ЛА при различных числах и 5Ш наиболее удобно проводить с помощью уравнений движения, представленных в форме с явным выделением сил реакций (см., например, [3]). При использовании таких уравнений возникает необходимость в определении главного вектора /? и главного момента М сил реакций, как функций внешних сил и моментов, действующих на ЛА, и кинематических параметров движения. Решение этой задачи для конкретных видов несвободного движения двух ЛА, характеризуемых числами 5у = 0 и 5„ =0, 1, 3, приведено в работах [3, 4]. Ниже дается вывод аналитических выражений для определения величин /? и М в обобщенном виде, учитывающем возможность рассмотрения любых сочетаний чисел 5у = 0, 1, 2 и 80> = 0, 1, 2, 3. При этом уравнения несвободного движения Л А приведены к форме, разрешенной относительно линейных и угловых ускорений ЛА и не зависящей явно от количества и конструктивных особенностей конкретных узлов связи.
2. Уравнения движения. Предположим, что два абсолютно твердых ЛА (носитель и груз) с центрами масс в точках Он и Ог соединены идеальными (без трения) точечными узлами крепления 1=1, 2,..., п, допускающими относительные линейные и угловые перемещения ЛА (рис. 1). Положение г-го узла крепления относительно центра масс Отбудем определять радиус-вектором '(здесь и далее индексом / = н, г отмечаются величины, относящиеся к носителю или грузу соответственно). Полагаем, что все используемые в работе системы координат являются правыми декартовыми прямоугольными. Земную (инерциаль-ную) систему координат обозначим Ог Х3 У3 Z3, связанную с ЛА — OjXjYjZj■, их взаимное положение (линейное и угловое) определяется соответственно радиус-вектором 131, соединяющим начала — точки 03 и 0;-, и матрицей й3] поворота от осей OjXjYjZj к осям 03Х3 Гзгз (см. рис. 1). Движение ЛА будем рассматривать относительно земной системы координат 03X3Y3Z3, характеризуя его вектором скорости и ускорения V] центра масс 0,(у = н, г),
Рис. 1
а также вектором угловой скорости <л} и ускорения ю, (точкой сверху обозначено дифференцирование).
Применяя принцип освобождаемости [1], условно приняв действие сил реакций /?і (і=1, 2. п) на груз положительным и выбрав в качестве полюса моментов центр масс О3- (/ = н, г), уравнения несвободного движения груза и носителя запишем в следующем виде [1, 3, 5]:
П П
тг Уг — Рг + £ Я,; /г й)г+ аГг /г юг=Мг + Тп Дг; (1)
І=1 І—1
п п ~
-- 2 /?г; /„ <•>„ + М„ /„ <*>„ = Ж„— 2 /н/ /?,; (2)
і=і і=і
Здесь т} — масса ЛА; /; — матрица моментов инерции ЛА, выраженная в земных осях OjX3Y3Z3 (с началом в точке 0})\ и М}
— соответственно главный вектор и главный момент внешних сил, действующих на ЛА. Отметим, что уравнения (1) и (2) записаны в векторно-матричной форме, в соответствии с которой произвольный вектор »= V1^,рассматривается как матрица-столбец, а и — кососимметричная матрица, образованные из проекций вектора » на оси земной системы координат 03X3Y3Z3, т. е.
и — и х 3 Чу з > (3)
'0 - з -«г з 11у 3
«2з 0 - X 3 (4)
- Муз 3 0 .
Заметим также, что матрица /у в (1) и (2) зависит от углового положения ЛА относительно земных осей и определяется через матрицу моментов инерции, выраженную в связанных осях OjXjY}Zi, следующим соотношением:
/] (0} х3 у3 г3) = д3/ /, (О,. X, У] г№п
где знаком «т» обозначена операция транспонирования.
Преобразуем систему уравнений (1) и (2) к виду, более удобному для использования. Для этого в качестве полюса моментов сил реакций примем некоторую точку О, совпадающую с любым произвольно выбранным точечным узлом связи 1=1, 2,... , п (см. рис. 1). Характеризуя положение точки О относительно центра масс О] (/ = н, г) радиус-вектором 1}0, а положение г-го узла связи относительно точки О — вектором 101, имеем
I ]1 —1}- о 101. (5)
Учитывая (5), а также соотношение для главного вектора сил реакций
П
(6>
г = 1
и главного момента сил реакций относительно полюса О
П
М — ^ 10і /?г,
уравнения (1) и (2) представим в следующем виде:
тт V, = /V + /?, /г юг 4-юг /г о)г = Мт + М +7Г 0/?, пгн= Рн /?, /н о>„ /н о)н = Ми М /н о/?)
(8)
(9)
где 70 ,, /г0 и Г„о —кососимметричные матрицы вида (4), соответствующие векторам /0 г, /г0 и /н о (см. рис. 1). Использование уравнений несвободного движения в форме (8) и (9) требует фактического знания векторов Р /? и М. В задачах динамики полета внешние
силы Р] и моменты М;- обычно заданы. Следовательно, задача заключается в определении главного вектора Я и главного момента М сил реакций и приведении уравнений (8) и (9) к виду, разрешенному относительно ускорений V] И 0)у (/ = н, г).
3. Определение главного вектора и главного момента сил реакций. Решение задачи рассмотрим на примере несвободного движения ЛА, с числами 5У = 2 и 5Ш = 2, полагая, что другие виды движения (5^ = = 0, 1, 2, 5Ш=0, 1, 2, 3) являются по отношению к нему частными (см. ниже). Примем для определенности, что относительное движение ЛА характеризуется вращением груза относительно узла крепления О и его скольжением по плоскости, жестко связанной с носителем. Ориентация этой плоскости в системе отсчета ОпХнУ„Ки [задана матрицей Дя, поворота от осей OнXнУнZн к осям жестко связанной с носителем системы координат плоскость Х$ — У$ кото-
рой условно совмещена с плоскостью перемещения узла связи О, а начало (точка 03) — с точкой О в ее исходном положении {рис. 2). Обозначив через ех$, еуа и егз соответственно орты осей Ха, У 5 и а через хя0, у50, — координаты точки О в системе
где — радиус-вектор точки 03 относительно точки Он.
Для решения задачи воспользуемся геометрическим условием связи груза с носителем — условием принадлежности точки О обоим те-
отсчета 03Х3У^3, имеем
(10)
Рис. 2
лам одновременно. Учитывая возможность перемещения точки О по плоскости Х3—У8, запишем его в следующем виде (рис. 2):
^зн + о ехз + _У5 о вуз — 4г + 1т 0- (1 ^
Кинематическое условие связи груза с носителем можно получить, продифференцировав (11) по времени. Учитывая при этом, что векторы /Н1, ехз, еуз жестко связаны с носителем, а вектор 1г0 — с грузом, имеем
V* Юн (/н Х3 о С х$ Т ^у^) ~1" ^ О &Х5 Уз 0 == ^г Ч- 0‘
Таким образом, движение точки О по плоскости Х8—определяется соотношениями
Я8 0== &ХЗ ( 1т О 5 Уз 0
У'$ 0 ^ (Уг 0)г 1Т о ■ й)н /н 4 (|)н о вхз)-
Отсутствие перемещения точки О вдоль оси Zs выражается соотношением Zso = 0, которое представим в следующем виде:
уг -ь Юг 1т о — У„ - юк /Н5 — <он (*, 0 ехз 4- у, 0 еуз)] = 0. (12)
Продифференцировав (12) по времени, получаем
I 0 “I- (^н.5 ~Ь ^ 0 &х.1 "ТЛо С] = 0, (13)
где щ-
С == 0)„(КГ — К„) + хв о юн ех$ + У, о ®„ еуз + к — юг) юг /г0) (14)
ехз и еуз — кососимметричные матрицы вида (4), соответствующие векторам 1НЗ, ехз и еу$.
Заменяя в уравнении (13) ускорения Vи ю;(/ = н, г) их выражениями (8) и (9), получаем
— Ам М — С—Д^) = 0, (15)
где приняты следующие обозначения:
А« = Е ~ Ъ О 7г_1 Т* 0 - О I»17н 0, ^ =% о /Г1 +7н 0 /-1,
ЛГ= 5г ~ Гг О (Жг “ /г “г) ~ 0 7- 1 М. - ®н /н Юн),
Е — единичная матрица.
Поскольку реакция /? идеальной системы связей нормальна к ллоскости перемещения Хв—У8, то
еи$ Я=0, /г = х,у. (16)
Решая уравнения (15) и (16) относительно /?, получаем
Я = Ог5А~к'2(АиМ + С + 1\Г), (17)
Г116 т
А^ = (е23А«ег5)~\ Ог$ = £ — йха — йу$у (18)
Т
^ьз==екзе 1г — х,у,г — матрица проектирования на направление, заданное вектором екз.
Второе уравнение, устанавливающее зависимость между /? и М, можно получить, используя условия связи носителя и груза во вращательном движении и ограничения на величину вектора М. Отметим,
что для системы связей, эквивалентной цилиндрическому шарниру с заданным направлением оси вращения (5Ш = 1), проекция момента М на ось вращения равна нулю. Если соединение ЛА эквивалентно сферическому шарниру (5Ю =3), то момент М =0. Если ЛА соединены узлами связи, исключающими возможность относительного вращения („ =0), то величина и направление момента М
не лимитированы. В рассматриваемом случае (5Ш=2) система связей допускает вращение относительно двух осей, проходящих через точку О, и следовательно, проекции момента М на оси вращения равны нулю. Для определенности в качестве осей вращения условно примем оси Х0 и системы координат О0Х0 У0£0, жестко связанной с грузом. Ее начало (точку О0) совместим с точкой О, а угловое положение будем задавать матрицей Д. 0 перехода от осей OoX0Y0Z0 к осям ОгХтУ^т. Орты осей Х0, У0 и 2Г0 обозначим соответственно через ех0, еу0п е20. При сделанных предпосылках проекции вектора М на направления ^ и Z0 равны нулю, т. е.
е^0М=- 0, /1 = х,г, (19)
а проекции угловой скорости вращения ЛА на направление У0 совпа-
дают, т. е.
«уо(“г — »н) = 0. (20)
Дифференцируя (20) по времени с учетом того, что орт еу0 жестко связан с грузом, получаем
в’о (»г — ®н + «г »н) = 0. (21)
Подставляя в (21) соотношения для и>г и юн из (8) и (9), имеем еу о {Вл Я + Вм М + <*>г о)„ — О) = 0. (22)
Здесь
Вн = I-1 Г, о + I-1 Гн о, Вм = I-1 + /-1,
й = /~] (Мн — юн /н шн) - /-1 (МГ — Юг /г <рг).
Решая уравнения (19) и (22) относительно М, получаем
М = Оу0 В„\ (& —Вк я-ыг юн), (23)
гДе ' Вй\ = (е*0 Вмеу0)-\
& у о Е Ч х 0 Вх о, о 0 0’ ^ == У ’ (24)
Равенства (17) и (23) образуют систему уравнений относительно Я и М, решение которой имеет вид
Д = (£ + О„А£АыОу0 В~\ ВЯ)~' Ог, А~1 X
X [АмОу о В-м\ (Я - юг »«) + С + #], (25>
М = (Е + Пу0В£В,гП„А£Ал')П,0В£Х Х№-щин-ВяОгзА-ЦС + Щ. (26)
4. Определение линейных и угловых ускорений ЛА. Разрешим уравнения (8) и (9) относительно линейных и угловых ускорений каждого из ЛА, используя для этого выражения (25) и (26). В результате
получим окончательное решение рассматриваемой задачи, которое представим в следующем виде:
- (£. ± \{Е 4- А£ Ам />у 0 Вн\ В*)-' X
х [ам иу о яж\, (а - (»г ш„) -ь с + лп | ~т-, (:
й); = /-1 (Лу - ю, 1} со, + {(Е + Д 0 В7ч\ Вк Л^ Ам)-1 Оу 0 Д-»у х
х [О-»г шн - Я* Ог,А^ (С -г- ДО] + /, о (£4- о Вй\ ВхУ'Х
X И ж йу о (О -Я О),,) + Ст Л^]}), / = н, г, (28)
где индексу у' = г соответствует знак « + » (перед фигурными скобками), а индексу / = н — знак «'—»; Уравнения движения (27) и (28), в которых условия связи Л А соответствуют числам Эу=2 и5,„ =2, могут быть использованы для описания различных видов несвободного движения, характеризуемых степенями свободы 5у = 0, 1, 2 и5'ш=0, 1, 2, 3. Для этого необходимо учесть особенности, обусловленные рассматриваемыми связями. Например, если поступательная степень свободы 5^ = 0, то в уравнениях движения (27) и (28) необходимо принять
С = ю2„ 7Н о - ю? X о, 7н0=7н„ йг, А-> = л-1. (29)
Соотношения (29) соответствуют тому, что при неподвижной (относительно ЛА) точке О, полученное выше условие связи (13) вырождает-
ся в условие равенства ускорений этой точки в ее движении с каждым из ЛА. Если реализуется случай 5^=1, т. е. точка О перемещается вдоль оси, заданной, например, ортом е,х, то в выражениях (11), (14), (17), (25) — (28) необходимо положить соответственно
Ло = У,о-0, ( Е~ -±^-)а-К (30)
^х$ ^ Я ех? /
При отсутствии относительного вращения ЛА (случай 5,„ = 0) в выражениях (23), (25)-4-(28) необходимо положить
0>о В7ч\ = В-м\ (31)
При вращении груза относительно оси, направление которой задано ортом ехП или ег 0 (случай 6Ш = 1), в (23), (25)(28) необходимо положить
°У 0 вм\ ( Е--------------------— ) В„\ к — х или 2. (32)
ек о Вм ек о
Если 5,„ =3, то связь О эквивалентна сферическому шарниру и, следовательно, в уравнениях (27) и (28) необходимо положить
О,о = 0. (33)
Таким образом, учитывая в уравнениях (27) и (28) соотношения (29) — (33), в соответствии с реализуемыми значениями чисел 5^ = 0, 1,2,
5Ш = 0, 1, 2, 3, получаем решение задачи для всех рассматриваемых
видов несвободного движения ЛА.
Автор выражает свою признательность В. А. Ильину и А. П. Леу-тину за обсуждение результатов работы.
6 — «Ученые записки» ,\ь 5 81
1. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. I и II. — М.: ГИИТЛ, 1955.
2. Лурье А. И. Аналитическая механика.—М.: Физматгиз, 1961.
3. Д е м е ш к и и а В. В., Ильин В. А., Л е у т и и А. П. Некоторые особенности процесса разделения летательных аппаратов вблизи момента разрыва связей. Ч. I и II. — Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. 11, № 4, 5.
4. Л е у т и и А. П. Об определении системы сил реакций в шарнирных узлах крепления летательных аппаратов при их разделении. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 4.
5. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложение к дифференциальным уравнениям и динамике.—М.: Изд. иностр. лит., 1950.
Рукопись поступила 5/1Х 1986
