CC BY
24
Pastukh O.A. Generalized mathematical model of radio technical and radiocomputer systems
Mathematical description (mathematical model) of the system independent from the subject field of system use is provided. Mathematical model has a high level abstraction that allows a wide range of radio technical and radio computer systems to be covered, and also a proper level constructivism that provides a possibility to consider particular features of these systems.
Keywords: system, mathematical description, radio technical, radio computer.
УДК 004.9 Acnip. Б.Б. ДмитришиН - НУ "Лheiecbm полтехнта "
МЕТОД ГРАТОК БОЛЬЦМАНА ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ПОТОКУ Р1ДИНИ В М1КРОПОТОКОВИХ СИСТЕМАХ
Описано застосування методу граток Больцмана (Lattice Boltzmann Methods, LBM) для моделювання мжропотоюв у рщинних мшроелектромехашчних системах (МЕМС), наведено обчислювальну схему на приклад1 двохвишрно! системи D2Q9 та розроблено новий алгоритм LBM, який дае змогу реал1зувати бшьш ефективну схему обчислень та забезпечити можлишсть паралел1зацй обчислень на багатоядерних та багатопроцесор-них системах. Запропонований метод граток Больцмана i його алгоритм для створення прикладного програмного забезпечення дае змогу пришвидшити час виконання обчислень та збшьшити точнiсть отриманих результатов. Окрш цього, алгоритм можна легко штерпретувати на апаратнш частинi сучасних багатопроцесорних систем.
Ключовi слова: метод граток Больцмана, МЕМС, алгоритм, мшропотш, моделювання.
Вступ. На сьогодш 0CH0BHi тенденцц у розвитку науки та техшки спря-моваш на створення ефективних i точних алгоритмiв, якi швидко можуть розв'язувати задачi будь-яко1 складности Чисельний метод моделювання пдро-динамши Lattice Boltzmann Method, LBM, який перекладаеться, як метод грат-кових рiвнянь Больцмана демонструе кращi результати, шж iншi вiдомi методи (наприклад метод скiнченних елеменпв) у легкосп розпаралелювання, можли-востi моделювання багатофазних потоюв, моделювання потокiв у пористих се-редовищах. Окрш цього, обчислювальний алгоритм мiстить тiльки найпростiшi арифметичш операцií. Метод досить новий, першi комерцiйнi продукти на його основi стали з'являтися в останнi десятилитя.
Моделювання гiдродинамiки потрiбне у таких сферах[1]:
• лiтакобудування, ракетобудування, автомобшебудування;
• промислова хiмiя (розподiл речовин, xiMi4m реактори);
• метеорологiя, геолопя (потоки рiдини крiзь пористi середовища, пiсковики,
дамби);
• медицина (потоки кров^ лiмфи, реагентiв).
1. Рiвняння Нав'е-Стокса. Гiдро- i аеродинамiка в макромасштабi опи-суються ршнянням Нав'е-Стокса. Воно показуе, яким буде тиск, густина i швид-кiсть рiдини в кожнш точцi простору в кожен момент часу, залежно вiд почат-кових i граничних умов i параметров середовища.
1 Наук. кергвник: доц. О.М. Матвшк1в, канд. техн. наук
З шшого боку, для розрщжених газ1в справедливе р1вняння Больцмана, яке описуе, як з)шнюеться густина розподшу часток за швидкостями в кожнiй точщ простору з часом. Якщо проiнтегрувати розподш часток за швидкостями в дашй точцi, можна отримати густину i макроскопiчну швидкiсть в данiй точщ. 1ншими словами, макроскопiчне р1вняння Больцмана екв1валентно рiвнянню Нав'е-Стокса. Варiант рiвняння Нав'е-Стокса для макроскопiчноí динамiки рь дин, якi не стискаються, i газiв виглядае так:
Р[ ¥ + vVv ) = ~УР +МУ2у +1, (1)
де: V - швидкiсть потоку, р - густина рiдини, р - тиск рiдини, /- зовшшш сили (наприклад гравiтацiя).
2. Рiвняння Больцмана. Це р1вняння оперуе функщею розподшу ймо-вiрностi густини частинок по координатах i за швидкостями, /(г, V, г). Величина /(х, у, х, Ух, Уу, Ух, г) дх, ¿у, ¿2, ¿Ух, dУу, дУх, показуе, яка частка частинок в момент часу г знаходиться в кубi вiд х до х + дх, вiд у до у + ду, вiд х до х + дх зi швидкостями в дiапазонi вiд Ух до Ух + дУх, вщ Уу + дУу, вiд Ух + дУх. II також можна записати у виглядi /(г,У,г3У.
Ця функщя зазвичай нормуеться на масу газу в систем^ яка досль джуеться, тому макроскошчна густина газу в кожшй точцi визначаеться як сума (штеграл) вiд густини ймовiрностi в дашй точщ по вах можливих значениях швидкостi, а саме:
Р = | ^. (2)
Аналогiчно, макроскопiчну швидкiсть можна визначити через
ри = |^. (3)
Основна вдея для виведення рiвняния схожа на виведення рiвняння Нав'е -Стокса. Для цього видалимо в даний момент часу в даному невеликому об'емi пучок молекул, ят летять у даному напрямку. Через невеликий промiжок часу дг вони опиняться в сусiднiй точщ, 1х швидкiсть сама по собi змiниться через прискорення молекул зовшшшми силами. Окргм цього, на даному вiдрiзку шляху деякi молекули зикнуться з iншими, змiиять свою швидккть. Це можна записати в такому виглядг
I^г + vdt,v + + дг^дъгд\ - /(г^,гъгд3v = дЫсоП, (4)
де: ^ - зовшшня сила, т - маса молекули, дЫсоИ - змша числа частинок у пучку внаслщок зггкнень.
Вiзьмемо стандартне наближення для величини дЫсоИ - наближення Батнагара - Гроса - Крука (БОК). У цьому наближенш дЫсоИ дорiвнюе:
-у у д 3гд 3>дг, (5)
де: /еч - р1вноважна функцiя розподiлу Максвела - Больцмана, а т - час релак-саци. Внаслiдок отримуемо:
f ( r + vdt,v + Fdt,t + dt I - f (r,v,t) = -f f e dt. (б)
^ m J T
Зaзнaчимо, що fee задежить вiд мaкpоскопiчноï густини i швидкосп в дaнiй точцi (тобто неявно вщ кооpдинaти i чaсy). Сaме це piвняння включимо до подaльшого pозглядy, гле подалимо m dt i пpиведемо до вигляду:
f + v Ñf + FÑf = (7)
dt m 1
де нaблa з шдексом V - це нaблa по змiнним швидкостi.
3. Дискретне pïbmhm Больцмана. Щоб отpимaти можливкть моделю-вaти динaмiкy непеpеpвного piвняння Больцмaнa нa комп'ютеpi, поIpiбно його дискpетизyвaти. Для цього спочaткy введемо piвномipнy сiткy пpостоpовиx ко-оpдинaтax - кpок сiтки неxaй буде одшковим по всix осяк. Повед^у piдини визнaчaтимемо сaме у вyзлax сiтки. Фaктично, дозволимо молекyлaм знaxодити-ся тшьки в певниx пpостоpовиx вyзлax. Окpiм цього, дискpетизyемо чaс - буде-мо визнaчaти стaн piдини в piвновiддaленi один ввд одного моменти чaсy. Буде-мо ввaжaти, що пpи нескiнченно мадому iнтеpвaлi чaсy i кpоцi пpостоpовоï ^a^ ки ця дискpетнa системa пеpейде в звичaйне piвняння Боль^^т, яке, своею чеpгою, пеpеxодить до piвняння Нaв'е-Стоксa у мaкpоскопiчномy вимipi.
Для пpостоти нижче пpипyскaемо, що зовшшш сили вiдсyтнi. ^онуме-pyемо дозволенi нaпpямки швидкостi вiд 1 до Q з шдексом i. Якщо тепеp мaсy чaстинок, що пpолiтaють з дaного вyзлa в нaпpямкy i зa кpок чaсy fi, то piвнян-ня (б) зaпишеться:
f - fee
f■ ( r + v,t +1)-f,( r,t ) = -f-f-. (8)
Тут вpaxовaно, що кpок зa чaсом доpiвнюе одиницi, i зaмiнено во dt з (б) нa одиницю. ff познaчaе дискpетнy piвновaжнy густину pозподiлy, що заде-жить ввд мaкpоскопiчниx мaси i швидкостi в дaномy вyзлi. Не вкaзyемо з якого сaме вyзлa буде викоpистовyвaтись fiee iз r + Vi t в момент чaсy t + 1 aбо з r в момент чaсy t. Тодi piвняння вище можнa pозклaсти m дв склaдовi, пошиpення (streaming step) i зикнення (collision step).
f. - fee
Кpок пошиpення: fi(r + vi,t +1)-fi(r,t) = - i ^ (9)
f - fee
Кpок зiткнення: fi ( r,t ) = f ( r,t )- ^ (10)
Тут f - познaчaе мaсy чaстинок, якi пpийшли у вузол по нaпpямкy i, aле ще не зiштовxнyлись з pештою чaстинок, якi теж пpийшли у цей вузол. ^ок пошиpення деколи нaзивaють кpоком aдвекцiï.
Для дискpетизовaниx нaпpямкiв швидкостi мaсa i мaкpоскопiчнa швид-кiсть в кожному вyзлi будуть pозpaxовyвaтися як:
Р = ЪЯГ = ZifVi. (11)
Тут i далi ми всюди записуемо густину замiсть маси, оскiльки при оди-ничному просторовому кроцi решiтки на кожен вузол припадае одиничний об'ем, i тому маса i щшьшсть спiвпадуть за значенням.
Таким чином, на кожному крощ обчислювально'' схеми необхщно "по-ширювати" частинки, тобто перемютити частинки, що летти з вузла г в нап-рямку i у вузол г + V. Це потрiбно проробити для вах частинок i напрямiв. Шс-ля цього необхiдно перерахувати маси, швидкосп, рiвноважнi функцií розподь лу. Нарешп, необхiдно "зштовхнути" частинки, як прилетти в даний вузол -тобто перерозподтити частинки за напрямками.
4. Глюстращя схеми обчислень. Протюструемо обчислювальну схему на прикладi двовимiрноí системи. Дискретизац1я на просторовi вузли i зв'язки мiж ними (тобто дозволен напрямки швидкостi) зображена на рисунку нижче (рис. 1). Просторовi вузли позначенi кружечками, зв'язки мiж ними - тонкими лiнiями.
Рис. 1. Просторовi вузли iзв'язки мiж ними
На рис. 2 зображена одна ггеращя пари "течiя /зггкнення". Кольоровi стрiлки вiдображають потоки молекул. 1нтенсившсть кольору вiдображае масу молекул, що летять в даному потощ, довжина стршок приблизно вщповщае шляху, пройденому потоком за крок по часу.
Рис. 2.1терацш "течiя - зшкнення "
5. Просторовi решггки. У LBM-методi тд решiткою розумiють набiр дозволених векторiв швидкостi (однаковий для кожного просторового вузла). Це узгоджуеться зi стандартним математичним визначенням про решiтку як про сутшсть, за допомогою яко'' шляхом паралельних переносiв можна отримати всю просторову сггку.
У методi LBM будь-яка решiтка повинна мютити нульовий вектор з вуз-ла в себе самого. Саме вш описуе частинки, якi нiкуди не летять з даного вузла. У LBM решггка зазвичай позначаються абревiатурою DnQm, де: п - розмiрнiсть простору, т - число векторiв в решiтцi. Наприклад, D2Q9, D3Q19 i т.д.
У двовимiрному просторi ЛБМ решiтка може складатися, наприклад, з 5 векторiв (2 вертикальних, 2 горизонтальних i нульовий вектор з вузла в себе самого), а може з 9 векторiв, як на рисунку вище (2 вертикальних, 2 горизонтальних, 4 дiагональних, один нульовий). Це решггки D2Q5 i D2Q9, вiдповiдно. Очевидними факторами для вибору решiток е:
1. Точнють моделювання. 1нту1тивно зрозумшо, що чим бiльше векторiв у ре-шiтцi, тим точнiше моделювання.
2. Обчислювальш затрати. Розрахунок на решггщ D2Q5 буде швидшим вщ розрахунку на D2Q9.
Зазвичай використовуються решiтки D2Q9, D3Q15, D3Q19. Гратки D2Q9 i D3Q19 зображенi нижче (рис. 3). Базиснi вектори решггки зазвичай позначаються як вг або сг (вони спiвпадають зi швидкостями Уг, введеними ранiше при одиничному кроцi за часом). Нижче будемо використовувати позначення вг.
Рис. 3. Гратки D2Q9 i О3д19
Випишемо базиснi вектори для D2Q9:
(0,0) г = 0
(1.0),(0,1),(-1,0),(0,-1), г = 1,2,3,4. (11)
(1.1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1), г = 5,6,7,8 i для D3Q19:
(0,0,0) г = 0
(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1), г = 1,2, ...5, 6 (12)
(±1,±1,0),(±1,0±1),(0,±1,±1) г = 7,8, ...17, 18
Ще раз зауважимо, що всюди припускаемо, що крок за часом дорiвнюе одинищ, тому Уг=ег.
6. Алгоритму для методу граток Больцмана. На рис. 4 зображено схему обчислень для багатопроцесорних систем за методом граток Больцмана. Алгоритм забезпечуе можлившть роздшення схеми обчислень на блоки, яю легко штерпретувати на апаратнш частинi багатьох багатопроцесорних систем.
Рис. 4. Схема алгоритму для методу граток Больцмана
Висновки. У робоп описано застосування методу граток Больцмана (Lattice Boltzmann Methods, LBM) для моделювання мiкpопотокiв у рщинних мiкpоелектpомеханiчних системах (МЕМС) та наведено обчислювальну схему на пpикладi двохвимipноí системи D2Q9 та розроблено новий алгоритм LBM, який дае змогу pеалiзувати бiльш ефективну схему обчислень та забезпечити можливють паpалелiзацií обчислень на багатоядерних та багатопроцесорних системах. 1з метою забезпечення максимально! вщповщносп розробленого ал-
горитму апаратнш складовiй багатоядерних та багатопроцесорних систем об-числення було роздшено на блоки, ят легко iнтеpпpетувати на апаратнш части-нi сучасних багатопроцесорних систем.
Лггература
1. He X. Lattice Boltzmann model for the incompressible Navier-Stokes equations / X. He, L.S. Luo, J. Stat. Phys. 2005. - Pp. 927-944.
2. Owens J.D. GPU computing / J.D. Owens, M. Houston, D. Luebke, S. Green // Proceedings of the IEEE, 96(5), 2008. - Pp. 879-899.
3. Bastien Chopard. How to improve the accuracy of Lattice Boltzmann calculations / Chopard Bastien. Technical report, LBMethod.org, 2008. - Pp.
4. Fredrickson C.K. Macro-to-micro interfaces for micro fluidic. devices / C.K. Fredrickson and Z.H. Fan, Lab Chip, 4, 2004. - 526 p.
5. Minhang B. Analysis and Design Principles of MEMS Devices / B. Minhang. - 1st edition: Elsevier Science, 2005. - 328 p.
Дмитришин Б.Б. Метод решеток Больцмана для моделирования потока жидкости в микропотоковых системах
Сделано описание применения метода решеток Больцмана (Lattice Boltzmann Methods, LBM) для моделирования микропотоков в жидкостных микроэлектромеханических системах (МЭМС), приведена вычислительная схема на примере двухмерной системы D2Q9 и разработан новый алгоритм LBM, который позволяет реализовать более эффективную схему вычислений и обеспечить возможность параллелизации вычислений на многоядерных и многопроцессорных системах. Предложенный метод решеток Больцмана и его алгоритм для создания прикладного программного обеспечения позволяет ускорить время выполнения вычислений и увеличить точность полученных результатов. Кроме этого, алгоритм можно легко интерпретировать в аппаратной части современных многопроцессорных систем.
Ключевые слова: метод решеток Больцмана, МЭМС, алгоритм, микро поток, моделирование.
Dmytryshyn B.B. Lattice boltzmann method for simulation of fluid flow in microfluidic systems
This paper describes the Lattice Boltzmann Methods (LBM) for simulation of liquid microflows in microelectromechanical systems (MEMS) and the computational scheme for D2Q9. New algorithm for LBM, which allows to get more efficient computation scheme and enable parallelization computations on multicore and multiprocessor systems, was developed. Proposed Lattice Boltzmann method and its algorithm for creating software application allows to reduce runtime process and increase the accuracy of the results. In addition, the algorithm can be easily interpreted on the hardware of modern multiprocessor systems.
Keywords: Lattice Boltzmann Method, MEMS, algorithm, microflow, simulation.
УДК65.050.12 Доц. В.€. Лучик, д-р екон. наук; acnip. М.В. Лучик1 -
Подтьський державний аграрно-техтчний ушверситет
ПОБУДОВА МОДЕЛ1 ДЛЯ ОЦ1НЮВАННЯ Р1ВНЯ ЕКОНОМ1ЧНО1 БЕЗПЕКИ АГРАРНО1 ГАЛУЗ1
Для оцшювання ршня економ1чно! безпеки аграрно! галуз1 запропоновано вико-ристовувати таю функцюнальш компоненти: фшансову, швестицшну, шновацшну, ви-робничо-технолопчну, еколопчну, маркетингову, пол1тико-иравову, сощальну, штелек-
1 Наук. кергвник: проф. К.Б. Волощук, д-р екон. наук
