Метод формирования и управления параметрами акустической волны Текст научной статьи по специальности «Физика»

Представленные в таблице результаты моделирования показывают, что уже на выборках умеренного размера (N > 20) синтезированная адаптивная оценка существенно превосходит первичные оценки по степени робастности — т.е. обеспечивает сравнительно большой максимальный выигрыш при малом отклонении минимального выигрыша от единичного значения в сторону меньших значений -0,9-0,97 относительно оценки “медиана выборки” и 0,85-0,9 относительно оценки “среднее выборки”. При дальнейшем увеличении размера выборки эффективность процедуры адаптации повышается. В то же время из таблицы видно, что для малых выборок (N<10-15) адаптивная оценка может заметно уступать в точности наилучшей для данного распределения первичной оценке.

Примечательно, что адаптивная оценка существенно превосходит по степени робастности оценку “медиана выборки”, традиционно используемую в качестве робастной оценки центра распределения. Уже при выборках размера N=20 адаптивная оценка проигрывает в точности оценке “медиана выборки” всего несколько процентов (на распределениях с тяжелым хвостом, для которых “медиана выборки” является наилучшей из используемых первичных оценок). При этом максимальный выигрыш составляет сотни процентов и увеличивается с ростом размера выборки. Максимальный выигрыш здесь достигается при арксинусном распределении, для которого “медиана выборки” является наименее точной из используемых первичных оценок, а наиболее точной - оценка “среднее минимального и максимально элемента выборки” (при а = ж ).

Выводы

Показано, что применение техники бутстреп позволяет получить новые адаптивные оценки, существенно превосходящие известные по степени ро-

УДК 535 (075.8)

МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ

МЕГЕЛЬ Ю.Е.

Рассматривается метод преобразования лазерного излучения в акустическую волну при взаимодействии его с жидкостью. Полученная таким образом звуковая волна может иметь целый ряд приложений в различных областях науки и практического использования. Показывается возможность при управлении параметрами лазера изменять характеристики звуковой волны.

При взаимодействии лазерного излучения с веществом возникает ряд физических явлений, которые широко используются в оптической локации, медицине, биологии и т.п. К таким явлениям относится оптико-акустический эффект, который позволяет получить звуковое давление в жидкости в достаточно широких пределах. С этой целью необходимо получить сфокусированный лазерный луч на поверхности или внутри жидкости. Далее происходит процесс преобразования лазерной энергии в акустическую волну, распространяющуюся в

22

бастности. Такой синтез может быть осуществлен на основе адаптивного выбора из некоторого набора первичных оценок. При этом подходе бутстреп используется для расчета точности каждой из первичных оценок на основе только той информации, которая содержится в самих данных (выборке). Такая адаптивная процедура оценивания не требует априорного знания вида распределения. Вопрос о применимости этого подхода к более сложным задачам оценивания и достижимом при этом выигрыше в робастности остается открытым и требует дальнейших исследований.

Литература: 1. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. 412 с. 2. Фалькович С.Е., Хомяков Э.Н. Статистическая теория измерительных радиосистем. М.: Радио и связь, 1981. 288 с. 3. Устойчивые статистические методы оценки данных /Под ред. Р.Л.Лонера, Г.Н.Уилкинсона. М.: Машиностроение, 1984. 232 с. 4. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984. 304 с. 5. Davison A.C., Hinkley D. V. Bootstrap methods and their application. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. 582 p. 6. Эфрон Б. Бутстреп-методы: новый взгляд на метод складного ножа// Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа: Сборник статей. М.: Финансы и статистика, 1988. 262 с. 7. Диаконис П, Эфрон Б. Статистические методы с интенсивным использованием ЭВМ // В мире науки. 1983. № 7. С.60-73, 111-112.

Поступила в редколлегию 04.06.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Костенко П.Ю.

Колядин Владимир Леонидович, канд. техн. наук, докторант кафедры “Авиационно-космических радиотехнических систем” Национального аэрокосмического университета “ХАИ”. Научные интересы: неклассические методы анализа данных, включая обработку сигналов и изображений. Увлечения и хобби: история и методология науки, теннис. Адрес: Украина, 61129, Харьков, пр. Тракторостроителей, 162-Г, кв. 128, тел. 14-81-44.

направлении излучения лазера. Рассмотрим метод формирования такой волны и возможность управления ее параметрами.

На поверхность жидкости, где располагается объект, который необходимо подвергнуть воздействию акустической волны, из верхнего полупространства падает лазерный луч. Энергия лазерного излучения поглощается в тонком поверхностном слое, преобразуется в тепловую и нагревает жидкость. В результате нагревания жидкость расширяется, что вызывает рост давления и излучения звуковой волны.

Скорость расширения нагреваемой области мала по сравнению со скоростью распространения звука в среде. Вязкость жидкости внутриклеточной плазмы также будем считать пренебрежимо малой. Тогда исходным будет уравнение движения частицы жидкости через тензор напряжений для идеальной жидкости [1]:

р( x, t)

д 2ui(x, t)

~ИГ~

£ dNikfo О

k=1 &k

Fj{x, t), i = 1,2,3,

здесь p(x,t) — плотность жидкости; u(x,t) — смещение частицы жидкости; N(x,t)=—p(x,t)I — тензор напряжений; F(x,t)=p(x,t)V U(x,t) — плотность объемных сил, действующих на тело, причем U(x,t)

РИ, 2001, № 4

— потенциал поля силы тяжести. Используя уравнение Ван-дер-Ваальса для жидкости [2]:

RT (х, t) a

Р( х, t) =-

Vp~ b

V,

P

где b — собственный объем молекулы, имеющей суммарную массу в 1 моль; объем V^, занимаемый жидкостью с той же массой, мало меняется при существенных изменениях T(x,t) или p(x,t); (а связана с поверхностными силами и не будет играть существенной роли в процессе распространения звуковых волн), и уравнение неразрывности

+ (V,p(x,t)-^х,0) = 0,

получаем

s!pM + У v(x, t) !_

dt2 I St J

V.-HS*- ,VT(х, t) I RT(xt> И-bP0 bp0)2

\

vp( X, t)

)

(1)

= 0

Здесь p о — константа, представляющая собой плотность жидкости в условиях равновесия; поскольку лазерное излучение интенсивно поглощается в малой окрестности точки входа луча в жидкость, процесс можно описать как наличие тепловых источников в малой окрестности этой точки. При этом плотность мощности этих источников равна q(x,t), т.е. количество тепла, выделенное источником в бесконечно малом объеме d х, за время dt, будет равно: pq(х, t)d3xdt. Перепадами температур, связанными с перепадами давлений, будем пренебрегать. Тогда распределение температуры T(x,t) в однородной покоящейся жидкости подчиняется уравнению теплопроводности:

дТ^f) - a2 AT(х, t) = q(х, t), (2)

dt

где а — коэффициент теплопроводности. Пренебрегая в (1) слагаемыми, которые в силу сделанных предположений являются малыми величинами, и учитывая (2), окончательно получаем:

2

д РІх Ґ) - vAP(х, t) = Aq(х, t), dt2

где v — скорость распределения звука в жидкости

-Р 0 R 1 ' 2 .

A = ■

Р“ вР 0 a Для q(x,t) можно записать выражение:

q( х, t) = I ое

здесь 10в~$хз

^ 3 X (0, є) ^х]_ + х2 ^Х (0,5)(t),

— распределение интенсивности

света в лазерном луче, т.е. e

характеризует область, в которой лазерная энергия преобразуется в тепловую; х(0 , 8) (О характеризует длительность импульса.

Решение этой задачи дает формула Кирхгофа [3]: t 1

р(х, t) =f (t -х)------- f f (у, x)dSydx,

0 4tv 2(t-т)2 х,(Д(х) (3)

где Sv(t_т)(х) — сфера радиуса v(t -т) c центром в точке х.

Функция f(x,t) продолжена по оси х3 четным образом на все пространство относительно плоскости х3 = 0 . При таком продолжении функции f Ф( х, t) 0

граничное условие —------ о автоматически вы-

dn

полняется для любого четного по х3 решения задачи по всему R3.

После перехода к сферическим координатам интеграл (3) приводится к виду

І(t -Т)-

0 4%v2(t -т)2 s

j f (хі + kp (t -t),

v(t-"0

х2 + k2v(t - т), х3 + k3v(t - x))dSkdx =

= I j (t-x) 0

xs (0, x)

4n

j x(0,e2)(( x1

hi

t

22 + vc (t-x)ki) + (x2 + vc (t - x)k 2) -X

x. e (-P( x3 +vc (t-x)k3)) dSkdx.

Поглощение лазерного излучения и преобразование его в тепловую энергию происходит в тонком приповерхностном слое (фокальной области), который описывается функцией

e~^къ Х(Я^ .

Эту функцию можно заменить ее средним значением и считать фокальную область цилиндром высоты h, в основании которого лежит круг радиуса є, причем є—радиус светового пятна на поверхно -сти жидкости, а h — толщина слоя поглощения.

Возмущение от источника, локализованного в пространстве, распространяется в виде сферической волны с передним и задним фронтом, причем после прохождения волны опять наступает покой. Оценить максимальное значение амплитуды этой волны и построить диаграмму направленности можно исходя из следующих соображений.

Рассмотрим такую сферу Sv(t_г) (х) с центром в точке наблюдения х, что площадь ее пересечения с фокальной областью является максимальной. Найдем отношение этой площади к площади сферы Sv(t-т)(х), умножим полученное отношение на

коэффициент а = А •

с

v

5

где А — мощность

источника, —— время, которое необходимо v

заднему фронту волны, чтобы пройти расстояние с от точки наблюдения до пересечения рассматриваемой сферы с фокальной областью.

РИ, 2001, № 4

23

Максимальная площадь пересечения сферы Sv(t _т) (х) и фокальной области приблизительно равна площади прямоугольника, причем длина одной стороны прямоугольника является постоянной и равна є, а длина другой стороны меняется в зависимости от угла ф, который описывает положение точки наблюдения х в пространстве. Радиус сферы, дающей максимальное пересечение с фокальной областью, также зависит от угла ф. Поэтому целесообразно ввести два коэффициента ш\ (ф) и m2 (ф), характеризующие длину стороны прямоугольника и радиус сферы. Значения этих параметров, найденные графически, приведены в таблице.

С 0 15 30 45 60 75 90

mi (с) 2 2 1 0,1 0,1 0,1 0,1

m2 (с) 1 16/15 14/15 5/6 11/15 64/15 17/30

Таким образом, полученное соотношение имеет вид А. 2s 2 ті(ф) _ (m2 (g>)R +g)

4%(m2(q>) R)2 V

Это соотношение позволяет построить диаграмму направленности звуковой волны на заданном расстоянии от источника.

Меняя радиус светового луча е, мощность лазера А и длительность импульса 5, можно изменить максимальное значение амплитуды в заданной точке пространства, тем самым усиливая или ослабляя воздействие звуковой волны на объект.

Вне фокальной области приращение давления и приращение плотности пропорциональны друг другу в силу сделанного предположения о постоянстве температуры. При этом коэффициент пропорциональности между ними характеризует жесткость среды. Объект под воздействием падающей на него звуковой волны совершает колебания, качественно подобные тем, которые совершает упругий стержень под воздействием сил, приложенных к его концам.

Этот процесс описывается уравнением продольных колебаний стержня:

2

d u(x,t) 2* / ч / ч

'-a Au(x,t) = g(x,t),u(0,t) = 0, u(l,t) = 0,(4)

dt

2

здесь a =

, где к—модуль Юнга;

стержня; l — длина стержня.

р — плотность

Решение этого уравнения u\( х, t) представляет собой сумму решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения u 2(х, t):

u\(х, t)

Е (ak cos

к=1

ak%

~Т

t + bn

. ak% . . кк

sin----1) • sin — x

l l ,

ak

где —

— собственные частоты стоячих волн,

соответствующие собственным колебаниям объекта, т.е. таким колебаниям, которые происходят только вследствие начального возмущения. Вы-

24

нужденные колебания, происходящие под действием внешней возмущающей силы, когда начальные возмущения отсутствуют, описываются функцией, которая является решением неоднородного уравнения. Определим эту функцию в виде ряда:

u2(х, t) = 2 Tk (t)sin —х .

k=1 l

Подставляя в уравнение (4), получаем ^ м 2 k%

Е (Tk(t) + (akTk (t))sin—х = g(х,t) k=1 l

(5)

(6)

где га k

k%a

~T

Разложим g(x,t) в интервале (0,l) в ряд Фурье по синусам:

“ k%

g(х,t) = Е gk(t)sin — х , (7)

k=1 1

здесь gk(t + T) = gk(t). Тогда gk (t) можно представить в виде ряда:

gk (t) = E

e

c

m

m=-oo

2%m

где Om =—----частота внешней силы; T—период

колебаний; cm — коэффициент Фурье.

Сравнивая (6) и (7) и учитывая принцип суперпозиции, получаем дифференциальные уравнения, определяющие функции Tk(t) :

Tkm(t) + ®k Tkm(t) = gkm,k = R2•••, m = 0Л---

Подставляя полученные выражения в (5), находим

u2(х, t) = S ^m

k=1 ®k

®k

„2 _n 2

km

sin

^ m + ®k 2

t x

^ m ra k

X sin —m---------t + i

®k

n2 _„2

mk

sin

^ m + ®k 2

2

+

^2 m rak 1 • • kn

+ cos---------1 + І---------sin&kt sin — х .

2 ® k + ^ m _ l

Одна из собственных частот объекта является разрушающей, что можно использовать для оценки характеристик объекта.

Управление такими параметрами как длительность импульса и диаметр светового пятна на поверхности жидкости позволяет менять спектр частот внешнего воздействия.

Литература: 1. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 315с.2. Зоммер-фельд А. Термодинамика и статистическая физика. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. 420с. З.ВладимировВ. С. Уравнения математической физики. М.: Наука , 1976. 182с.

Поступила в редколлегию 22.05.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Лучанинов А.И.

Метель Юрий Евгеньевич, канд. техн. наук, доцент кафедры кибернетики Харьковского государственного технического университета сельского хозяйства. Адрес: Украина, 61002,Харьков, ул. Артема, 44, тел. 4043-76, 23-44-21.

РИ, 2001, № 4