Синтез адаптивных робастных оценок на основе техники бутстреп Текст научной статьи по специальности «Математика»

d A B )

dt V~\B A - 2-v-I)71 ■

(7)

Система (7) может быть проанализирована методами, изложенными выше, так как она снова имеет вид системы (3).

Литература: 1 Кляцкин В.И. Марковские процессы, корреляция функционалов и стохастические уравнения // Изв. вузов. Радиофизика, 1979. Т.22, №6. С.716-727. 2. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно - неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 336c. 3. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. 488с. 4. Shapiro V.E., Loginov M.N. “Formulae of differentiation” and their use for solving stochastic equation — Physica, 1978. V.91A. P.563574. 5. ЛогиновВ.М., Шапиро В.Е. Формулы дифференцирования для расщепления корреляций в динамических системах с флуктурирующими параметрами. II. Препринт Ин-та физики им. Л.В.Киренского СО АН СССР, ИФСО -128 Ф,Красноярск, 1980. С.44. 6. Мала-

хов А.Н., Музычук О.В. О вероятностных характеристиках динамических систем, подверженных воздействию не дельта -коррелированных случайных сил / / Изв. вузов. Радиофизика, 1980. Т.23, №8. С.968-981. 7. Бендерский М.М. Определение области устойчивости линейного решения дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами специального вида. Дифференциальные уравнения, 1969. Том 5, №10. С.1085 — 1088. 8. Янцевич А.А., Ясницкая Н.Н., Бендерский М.М., Баранов В.И. К теории колебаний в нестационарной случайной среде // Радиофизика и радиоастрономия. 1999. Т.4, №2. С. 145-152. 9. Третьяков О.А. Метод модового базиса // Радиотехника и электроника, 1986. Т.31. Вып.6. С.1071-1078.

Поступила в редколлегию 12.06.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Янцевич А.А.

Железнакова Элина Юрьевна, канд. физ.-мат. наук, преподаватель Харьковского государственного экономического университета. Адрес: Украина, 61072, Харьков, пр. Ленина, 54, кв. 29, тел. 32-18-08.

УДК 621.396

СИНТЕЗ АДАПТИВНЫХ РОБАСТНЫХ ОЦЕНОК НА ОСНОВЕ ТЕХНИКИ БУТСТРЕП

КОЛЯДИН В.Л.___________________________

Предлагается и исследуется общий подход к повышению робастности оценок в условиях высокой априорной неопределенности. Базовая идея подхода - адаптивный выбор оценки из некоторого набора первичных оценок, осуществляемый на основе техники бут-стреп. Путем статистического моделирования показывается, что получаемая при этом результирующая оценка существенно превосходит по степени робастности любую из первичных оценок, включая традиционные робастные оценки.

1. Введение

Практические задачи измерения по избыточному набору данных, включая задачи оценки параметров сигналов, обычно редуцируются к формальной статистической задаче оценивания параметров распределения по конечной выборке из этого распределения. Теория оценивания, развитая как в классической статистике [1], так и в прикладных областях, например, в статистической радиотехнике [2], позволяет синтезировать оценки, оптимальные для заданного в параметрической форме семейства распределений, например, для гауссовского. Однако непосредственное применение такого подхода на практике зачастую наталкивается на следующую принципиальную проблему: вид распределения неизвестен и, более того, он может изменяться от выборки к выборке; при этом отклонение истинного закона распределения от постулированного при синтезе оценки может приводить к радикальному снижению точности оценивания. Это обстоятельство уже на протяжении нескольких десятилетий стимулирует повышенный интерес к робастным (устойчивым) методам оценивания [3].

Робастные оценки обеспечивают приемлемую точность оценивания для широкого класса распределе-

ний [4]. При этом они лишь незначительно уступают в точности оценкам, оптимальным для некоторого конкретного вида закона распределения, даже при совпадении истинного распределения с тем, для которого эти оценки оптимальны. Такое принципиальное свойство робастных оценок позволяет в известной степени обойти столь существенную для практики проблему неопределенности. Хрестоматийным примером робастной оценки является медиана выборки, часто используемая на практике в качестве оценки центра симметричного распределения вместо выборочного среднего. Для распределений с существенно более тяжелыми хвостами, чем у гауссовского, выборочная медиана обеспечивает значительный выигрыш в точности из-за нечувствительности к редким, но большим по величине значениям аддитивного шума (выбросам). В то же время даже для гауссовского распределения, для которого выборочное среднее является оптимальной оценкой центра распределения, выборочная медиана проигрывает выборочному среднему в точности всего порядка 20% - имеет на 20% большее среднеквадратичное значение ошибки оценивания.

В статье предлагается и исследуется общий подход к синтезу робастных оценок, основанный на адаптивном выборе оценки из некоторого набора первичных оценок. В основу положена сравнительно новая статистическая техника, получившая название бутстреп (bootstrap) [5]. При таком методе оценивания используется только информация, содержащаяся в самой выборке — т.е. не предполагается наличие какой-либо априорной информации о виде закона распределения. Полученные таким образом адаптивные оценки обладают более высокой робастностью по сравнению с любой из первичных оценок. Например, такой подход позволяет получить оценки, значительно превосходящие выборочную медиану по степени робастности.

2. Описание техники бутстреп

Бутстреп по праву считается одним из крупнейших достижений статистической науки ХХ века [5]. Его создание обычно связывают с публикацией [6]

18

РИ, 2001, № 4

1979г. американского математика Брэдли Эфрона, хотя сходные идеи высказывались ранее и другими авторами. Бутстреп ориентирован на решение следующей общей задачи статистики. Пусть X = {xi,...,xn} — выборка из N элементов, извлеченных независимо из генеральной совокупности, характеризуемой неизвестным законом распределения P(x) . Пусть E(X) — произвольная функция от выборки, играющая, например, роль процедуры формирования оценки (далее просто “оценки”) представляющих интерес свойств распределения P(x) . Требуется оценить некоторые статистические характеристики E(-) на гипотетическом бесконечном ансамбле выборок из этой генеральной совокупности, например, в простейшем случае дисперсию оценки. При этом о виде закона распределения P(x) практически ничего не известно, а в распоряжении исследователя имеется только одна выборка X. (Заметим, что именно отсутствие полной информации о виде распределения P(x) порождает необходимость в статистическом подходе. Если вид распределения P(x) известен, то задача сводится к теоретико-вероятностной задаче расчета статистических характеристик оценки Е(-) при известном виде распределения P(x) , не относящейся собственно к статистике).

Ключевой идеей бутстрепа является замена неизвестного распределения P(x) генеральной совокупности “эмпирическим распределением” Pe(x|X), характеризующим гипотетическую генеральную совокупность, которая состоит из бесконечного числа копий исходной выборки X [5-7]. Затем представляющие интерес статистические характеристики оценки Е(-) рассчитываются на ансамбле псевдовыборок X* размера N из эмпирического распределения Pe(x|X). При достаточно общих предположениях доказано, что полученные таким путем расчеты статистических характеристик исходной оценки Е(-) являются состоятельными, т.е. сходятся к истинным значениям с ростом объема N выборки [5].

Указанная задача решается бутстрепом в предельно общем виде. Элементы выборки X могут быть произвольной (но одной и той же) природы. Например, они могут быть значениями скалярных, векторных или матричных величин. Оценка E(X) не обязательно является скалярно-значной функцией выборки; её значения могут быть произвольной природы, например, векторными или матричными величинами. Единственное предположение об оценке E(X) — это инвариантность ее значений относительно произвольной перестановки элементов выборки X:

E(X) = E(Perm(X)), VX ,

где Perm(X) — оператор произвольной перестановки элементов выборки. Этим свойством обладает практически любая оценка, поскольку оно всего лишь отражает симметрию выборки—равноправие всех ее элементов.

В большинстве случаев эта промежуточная задача расчета статистических характеристик оценки E(-) на ансамбле выборок из эмпирического распределения Pe(x|X) не поддается аналитическим методам и решается методами Монте-Карло. При этом

РИ, 2001, № 4

псевдовыборки X* формируются путем N-кратного независимого и равновероятного случайного выбора одного элемента исходной выборки X:

X*(X) = (x*,...,xN),x* = xr,

где r—независимые значения случайной целочисленной величины:

r e{1,...,N}; P(r = i) = 1/N; i = 1,...,N .

После формирования некоторого количества м псевдовыборок {Xm, m = і,..., M} рассчитываются соответствующие им значения оценки — Em = E(Xm). Затем по значениям {Em,m = 1,...,M} вычисляется представляющая интерес статистическая характеристика исходной оценки E(-), например, в простейшем случае, второй момент уклонения значений E(X*) от E(X).

Основными достоинствами бутстрепа являются его универсальность, непараметрический характер и отсутствие необходимости в каких-либо аналитических теоретико-вероятностных выкладках. Последнее свойство радикально расширяет область применения бутстрепа по сравнению с традиционными методами непараметрической статистики, требующими аналитической разрешимости. Основным недостатком является вычислительная сложность, обусловленная необходимостью формирования М псевдовыборок X* и M-кратного вычисления соответствующих им значений E(X*). Однако с ростом вычислительных мощностей, имеющихся в распоряжении аналитика, круг тех задач, где бутстреп может эффективно применяться, постоянно расширяется.

3. Адаптивный выбор оценок на основе бутстрепа

Одним из общих подходов к повышению робастности оценок является адаптивный выбор оценки из некоторого набора первичных оценок [3,4]. Пусть имеются L различных оценок {Ei(X),1 = 1,...,L} . При этом известно, что для любого возможного в данной ситуации распределения P(x) по крайней мере одна из этих оценок обеспечивает приемлемую точность. Требуется на основании одной только выборки X принять решение о выборе такой наилучшей оценки Eo() из L первичных оценок. Допустим, что получена процедура, осуществляющая такой выбор достаточно эффективно. Это фактически эквивалентно синтезу новой (адаптивной) оценки Ea , превосходящей исходные l оценок по степени робастности. Достаточно для любой выборки X использовать значение Eo(X) выбранной оценки в качестве результирующей (адаптивной) оценки Ea. Ключевой проблемой здесь является построение самой процедуры адаптивного выбора первичной оценки по имеющейся выборке.

Бутстреп идеально подходит на роль такой процедуры адаптивного выбора оценки по данным наблюдения (выборке) X, поскольку он позволяет оценить точность оценки по самой выборке. Применительно к такой задаче адаптивного выбора оценки описанная выше общая идея техники бутстреп может быть реализована в виде следующего конструктивного алгоритма:

19

1. Вычисляем значения {El = Ei(X),l = каждой из l первичных оценок для имеющейся выборки X.

2. Формируем псевдовыборку X* = {x*,...,xN} путем N-кратного случайного и равновероятного выбора одного элемента исходной выборки х с его возвращением в выборку.

3. Вычисляем значения {E* = Ei(X*),l = 1,...,L} первичных оценок для псевдовыборки X* , полученной на шаге 2.

4. Повторяем шаги 2 и 3 М раз. В результате для каждой из l первичных оценок имеем М ее значений {E*m = Ei(X*n}} для М псевдовыборок.

5. Для каждой из L оценок определяем значение Di некоторой статистической меры уклонения значений этой оценки на псевдовыборках (полученных на шаге 4) от ее значения для исходной выборки (полученного на шаге 1). Например, если в качестве меры величины ошибки выбран ее второй момент, то

M

Dl(X) = M Е(Em -El)2. (1)

m=1

6. В качестве значения Ea результирующей адаптивной оценки выбираем ту из L первичных оценок, для которой Di минимально, т.е. Ea(X) = E0(X), где

o = arg min D,(X), l = 1,...,L ll

Заметим, что бутстреп практически не накладывает ограничений ни на выбор первичных оценок, ни на критерий их точности (выбор среднеквадратичного критерия здесь не более чем пример, продиктованный традицией).

4. Обработка данных прямых избыточных измерений

Как пример использования описанного выше подхода рассмотрим классическую задачу оценивания центра 0 симметричного распределения P(x) = Q(x - 9), где вид плотности Q(x) неизвестен, а известно только то, что функция Q(x) симметрична относительно нулевого значения аргумента: Q(x) = Q(-x), Vx . Именно к этой статистической задаче сводится задача прямых измерений по избыточному набору данных при аддитивной ошибке первичных измерений, которая возникает в самых различных прикладных областях. Требуется по результатам (данным) первичных измерений {xi, i = 1,...,N} оценить величину X , связанную с данными следующими уравнениями наблюдения:

xi = X + di, i = 1,...N, (2)

где di — независимые значения случайной величины d (ошибки первичных измерений), о законе распределения Q(d) которой известно только то, что он симметричен относительно нулевого значения аргумента.

В качестве первичных будем использовать M-оценки [4], т.е. те, которые являются решением уравнения

N

Ет(xi -X) = 0, i=1

(3)

здесь у( ) — некоторая монотонная функция, однозначно определяющая M-оценку. Сузим класс M-оценок до однопараметрического семейства, соответствующего функциям у () вида

Та (x) = <

|x|a, x > 0, 0, x = 0,

—| x|a , x < 0

(4)

В отличие от остальных известных M-оценок, оценки (3), (4) обладают уникальным свойством масштабной инвариантности:

X (bX) = bX(X), (5)

где b — произвольный множитель.

Если некоторая оценка не удовлетворяет условию (5), то это влечет за собой зависимость результирующего значения оценки от выбора системы единиц, что крайне нежелательно. Например, пусть измеряемая величина X и исходные данные имеют физический смысл длины, и данные X’ выражены в метрах. Требуется получить оценку величины X'', выраженной в сантиметрах. Здесь возможны два пути перехода к новой системе единиц длины (сантиметрам). С одной стороны, можно сначала получить из уравнений (3), (4) оценку X(X'), выраженную в метрах, и затем перейти к новым единицам:

Х''= bX(X'), (6)

где b — масштабный множитель (в данном примере b = 100). С другой стороны, можно сразу перевести исходные данные X' в новую систему единиц и затем получить оценку из уравнений (3), (4):

X''=X(bX'). (7)

Естественно потребовать, чтобы получаемые методами (6) и (7) оценки совпадали. Именно это их свойство и обеспечивается выполнением условия (5).

Однопараметрическое семейство M-оценок, определяемое уравнениями (3), (4), достаточно представительно. Оно включает в себя наиболее часто используемые оценки центра распределения: выборочную медиану (при a = 0), выборочное среднее (при а = 1), а также среднее максимального и минимального элементов выборки (при a = да ).

5. Исследование робастности адаптивных оценок

Путем статистического моделирования исследовалась точность адаптивных оценок, синтезированных согласно описанному в разделе 3 алгоритму применительно к частной задаче (2) обработки результатов прямых измерений. В качестве первичных оценок El (X) использовались L = 11 оценок, определяемых из уравнений (2), (3) при следующих значениях параметра а: { 0, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, да}. Результирующая адаптивная оценка формировалась согласно описанному в разделе 3 общему алгоритму. При этом для каждой выборки X точность первичных оценок оценивалась на основе бутстрепа по M = 100 случайным псевдовы-

20

РИ, 2001, № 4

боркам X*(X) и определялась из выражения (1), т.е. по второму моменту уклонения значений оценки Ei(-) на ансамбле псевдовыборок X*(X) от значения Ei(X) этой оценки для исходной выборки X. (Напомним, что здесь выбор второго момента в качестве меры точности продиктован традицией, а не необходимостью. Бутстреп позволяет равно легко использовать и любую другую статистическую меру уклонения, например, среднее абсолютных значений отдельных уклонений).

При моделировании оценивались значения {Gi, l = выигрыша в точности синтезирован-

ной адаптивной оценки Ea() относительно 1-й первичной оценки Ei (). Выигрыш в точности определялся как обратное отношение соответствующих среднеквадратичных значений ошибки:

Gi

< (El (X) - X)2 > <(Ea(X)-X )2]>

где х — истинное значение оцениваемой величины; < .> — оператор усреднения по ансамблю выборок.

Значения выигрыша Gi определялись отдельно для каждого из тестовых распределений. В качестве последних были выбраны следующие 5 распределений: арксинусное, равномерное, гауссовское, а также два распределения, представляющие собой смесь двух гауссовских распределений N(0,1) и N(0,20) с вероятностным весом более широкого распределения 5%, 20% соответственно. (Далее два последних распределения будем именовать для краткости “засоренное 5%” и “засоренное 20%”).

Тестовые распределения перечислены выше в порядке возрастания тяжести их хвоста. При этом арксинусное и равномерное распределения имеют более легкие хвосты, чем гауссовское, а последние два распределения—более тяжелые. Арксинусное распределение возникает на практике при формировании отсчетов гармонических и модулированных по фазе или частоте сигналов; равномерное - при аналогоцифровом преобразовании. Распределения с более тяжелым хвостом, чем у гауссовского, встречаются во многих прикладных областях [3, 4]. При этом их модель в виде смеси двух гауссовских распределений, существенно различающихся по параметру масштаба, является своего рода стандартом для аттестации робастных алгоритмов оценивания [3].

Конечным результатом одного статистического эксперимента являются значения Gik выигрыша в точности, обеспечиваемого синтезированной адаптивной оценкой Ea в сравнении с 1-й первичной оценкой при k-м тестовом распределении ошибок. Результаты одного из таких экспериментов приведены на рисунке. В этом эксперименте использовались выборки X размера N=20.

Результаты свидетельствуют о значительном увеличении робастности синтезированной адаптивной оценки Ea() по сравнению с любой из первичных оценок Ei(-). Наибольший интерес представляет сравнение с классической робастной оценкой “медиана выборки”, которой соответствует первичная оценка при а = 0 . Максимальный выигрыш для

адаптивной оценки относительно оценки “медиана выборки” составил 6 (при арксинусном распределении), минимальный - 0,97 (при распределении с тяжелым хвостом “засоренное 20%”). Таким образом, проигрывая в точности не более 3 % классической робастной оценке в наиболее неблагоприятном случае, синтезированная адаптивная оценка обеспечила значительный выигрыш в точности для распределений с легким хвостом - равномерного и в особенности арксинусного. Иными словами, синтезированная адаптивная оценка является существенно более робастной, чем традиционная робастная оценка “выборочная медиана”. Сравнение адаптивной оценки с другими первичными оценками (которым соответствуют значения параметра а, отличные от 0) можно провести по рисунку аналогично.

Выигрыш в точности, обеспечиваемый адаптивной оценкой относительно первичных оценок, для 5 распределений шума

6. Зависимость выигрыша в робастности адаптивной оценки от размера выборки

Поскольку рассмотренный алгоритм адаптивного оценивания использует только ту информацию о неизвестном распределении P(x), которая содержится в самой выборке X, то естественно ожидать, что робастность адаптивной оценки будет возрастать с увеличением размера N выборки. Результаты статистических экспериментов при различном размере выборки представлены в таблице в виде значений максимального и минимального выигрыша в точности относительно оценок “медиана выборки” и “среднее выборки”. Минимум и максимум выигрыша определяются на множестве используемых 5 тестовых распределений.

Выигрыш в точности

Размер выборки Выигрыш относительно оценки:

Медиана выборки Среднее выборки

Мин. Макс. Мин. Макс.

10 0,27 2,53 0,92 1,47

15 0,33 3,82 0,88 1,96

20 0,97 6,2 0,87 5,5

30 0,98 9,9 0,85 5,9

40 0,98 17,2 0,85 8,2

50 0,98 23,6 0,83 11,1

РИ, 2001, № 4

21

Представленные в таблице результаты моделирования показывают, что уже на выборках умеренного размера (N > 20) синтезированная адаптивная оценка существенно превосходит первичные оценки по степени робастности — т.е. обеспечивает сравнительно большой максимальный выигрыш при малом отклонении минимального выигрыша от единичного значения в сторону меньших значений -0,9-0,97 относительно оценки “медиана выборки” и 0,85-0,9 относительно оценки “среднее выборки”. При дальнейшем увеличении размера выборки эффективность процедуры адаптации повышается. В то же время из таблицы видно, что для малых выборок (N<10-15) адаптивная оценка может заметно уступать в точности наилучшей для данного распределения первичной оценке.

Примечательно, что адаптивная оценка существенно превосходит по степени робастности оценку “медиана выборки”, традиционно используемую в качестве робастной оценки центра распределения. Уже при выборках размера N=20 адаптивная оценка проигрывает в точности оценке “медиана выборки” всего несколько процентов (на распределениях с тяжелым хвостом, для которых “медиана выборки” является наилучшей из используемых первичных оценок). При этом максимальный выигрыш составляет сотни процентов и увеличивается с ростом размера выборки. Максимальный выигрыш здесь достигается при арксинусном распределении, для которого “медиана выборки” является наименее точной из используемых первичных оценок, а наиболее точной - оценка “среднее минимального и максимально элемента выборки” (при а = ж ).

Выводы

Показано, что применение техники бутстреп позволяет получить новые адаптивные оценки, существенно превосходящие известные по степени ро-

УДК 535 (075.8)

МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ

МЕГЕЛЬ Ю.Е.

Рассматривается метод преобразования лазерного излучения в акустическую волну при взаимодействии его с жидкостью. Полученная таким образом звуковая волна может иметь целый ряд приложений в различных областях науки и практического использования. Показывается возможность при управлении параметрами лазера изменять характеристики звуковой волны.

При взаимодействии лазерного излучения с веществом возникает ряд физических явлений, которые широко используются в оптической локации, медицине, биологии и т.п. К таким явлениям относится оптико-акустический эффект, который позволяет получить звуковое давление в жидкости в достаточно широких пределах. С этой целью необходимо получить сфокусированный лазерный луч на поверхности или внутри жидкости. Далее происходит процесс преобразования лазерной энергии в акустическую волну, распространяющуюся в

22

бастности. Такой синтез может быть осуществлен на основе адаптивного выбора из некоторого набора первичных оценок. При этом подходе бутстреп используется для расчета точности каждой из первичных оценок на основе только той информации, которая содержится в самих данных (выборке). Такая адаптивная процедура оценивания не требует априорного знания вида распределения. Вопрос о применимости этого подхода к более сложным задачам оценивания и достижимом при этом выигрыше в робастности остается открытым и требует дальнейших исследований.

Литература: 1. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. 412 с. 2. Фалькович С.Е., Хомяков

Э.Н. Статистическая теория измерительных радиосистем. М.: Радио и связь, 1981. 288 с. 3. Устойчивые статистические методы оценки данных /Под ред. Р.Л.Лонера, Г.Н.Уилкинсона. М.: Машиностроение, 1984. 232 с. 4. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984. 304 с. 5. Davison A.C., Hinkley D. V. Bootstrap methods and their application. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. 582 p. 6. Эфрон Б. Бутстреп-методы: новый взгляд на метод складного ножа// Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа: Сборник статей. М.: Финансы и статистика, 1988. 262 с. 7. Диаконис П, Эфрон Б. Статистические методы с интенсивным использованием ЭВМ // В мире науки. 1983. № 7. С.60-73, 111-112.

Поступила в редколлегию 04.06.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Костенко П.Ю.

Колядин Владимир Леонидович, канд. техн. наук, докторант кафедры “Авиационно-космических радиотехнических систем” Национального аэрокосмического университета “ХАИ”. Научные интересы: неклассические методы анализа данных, включая обработку сигналов и изображений. Увлечения и хобби: история и методология науки, теннис. Адрес: Украина, 61129, Харьков, пр. Тракторостроителей, 162-Г, кв. 128, тел. 14-81-44.

направлении излучения лазера. Рассмотрим метод формирования такой волны и возможность управления ее параметрами.

На поверхность жидкости, где располагается объект, который необходимо подвергнуть воздействию акустической волны, из верхнего полупространства падает лазерный луч. Энергия лазерного излучения поглощается в тонком поверхностном слое, преобразуется в тепловую и нагревает жидкость. В результате нагревания жидкость расширяется, что вызывает рост давления и излучения звуковой волны.

Скорость расширения нагреваемой области мала по сравнению со скоростью распространения звука в среде. Вязкость жидкости внутриклеточной плазмы также будем считать пренебрежимо малой. Тогда исходным будет уравнение движения частицы жидкости через тензор напряжений для идеальной жидкости [1]:

р( x, t)

д 2ui(x, t)

~ИГ~

£ dNikfo О

k=1 &k

Fj{x, t), i = 1,2,3,

здесь p(x,t) — плотность жидкости; u(x,t) — смещение частицы жидкости; N(x,t)=—p(x,t)I — тензор напряжений; F(x,t)=p(x,t)V U(x,t) — плотность объемных сил, действующих на тело, причем U(x,t)

РИ, 2001, № 4