Об устойчивости решения одной модельной задачи, описываемой системой стохастических дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Расположение неподвижного элемента связи в центре резонатора (рис. 8) приводит к изменению знака отклика, а амплитуда его сохраняется.

Дальнейшее увеличение длины резонатора усиливает действие всех представленных выше механизмов.

Практический интерес могут представлять фазочастотные характеристики для резонаторов с большим числом полуволн с двумя элементами связи, расположенными в пучностях поля.

Вследствие перераспределения вкладов резонирующей и бегущих волн вблизи резонансной частоты получены почти линейные зависимости сдвига фаз, наклон которых определяется величиной потерь. Увеличение длины резонатора и величины потерь

приводит к пропорциональному росту коэффициента ослабления. Для о = 0.5 ослабление составляет 40 дБ для синфазной волны и около 0 дБ для

резонирующей. Однако при увеличении о > 20 рост коэффициента ослабления составляет примерно 30 дБ на октаву.

Приведенные результаты позволяют сделать вывод, что заполненные резонаторы могут представлять интерес для измерения параметров сред с большими потерями. Но для принятия решения о б эффективности применения конкретной конструкции резонатора необходима экспериментальная проверка.

Литература: 1. Данилов Г.Н., Детинко М.В., Медведев Ю.В., Свирякина АД. СВЧ резонаторный метод измерения удельного сопротивления и толщины эпитаксиальных пленок // Электрон. техника. Сер. Электрон. СВЧ. 1982. Вып. 6(342). С.16-19. 2. Панченко Б.А. Тензорные функции Грина для уравнений Максвелла в цилиндрических областях // Радиотехника. 1970, №15. С. 82-91. 3. Chen-To Tai. Dyadic Green’s functions for a coaxial line // IEEE Transactions on antennas and propagation / 1983. Vol. AP-31, N2. P. 355-358.

Поступила в редколлегию 30.10.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Довбня А.Н.

Панченко Александр Юрьевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры микроэлектроники, электронных приборов и устройств ХНУРЭ. Научные интересы: радиофизика, микроэлектроника, неразрушающий контроль материалов и изделий. Адрес: Украина, 61736, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (0572) 409-362.

УДК 517.522

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЕМОЙ СИСТЕМОЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЖЕЛЕЗНЯКОВА Э.Ю.___________________

Исследуется устойчивость в среднем и среднеквадратическом модовых колебаниях в резонаторе, заполненном статистически нестационарной средой с учетом конечной проводимости. Получены точные эволюционные уравнения для моментов первого и второго порядка m-й моды, которые проанализированы с помощью критерия Льенара — Шипара.

Наиболее общий подход вероятностного анализа стохастических дифференциальных уравнений состоит в нахождении плотностей распределения вероятности (ПРВ) решения. Этот подход реализуется при помощи уравнения Фоккера — Планка -Колмогорова для ПРВ, если решение соответствующего дифференциального уравнения является марковским процессом или компонентой марков-

ского вектора. Однако для дифференциальных уравнений порядка не ниже 3 этот подход наталкивается на существенные аналитические и технические трудности [1-3].

Один из подходов связан с получением уравнений для моментов различного порядка решений с учетом стохастического дифференциального уравнения. Здесь существуют как точные, так и приближенные методы, так как соответствующая система для моментов чаще всего оказывается незамкнутой. Однако если сузить класс случайных коэффициентов, то возможно получить замкнутую систему для моментов различных порядков [4-7].

В данной работе рассматриваются конечнозначные марковские процессы, и если они выбраны в качестве соответствующих коэффициентов, то для моментов различных порядков можно получить замкнутые уравнения. Мы ограничились нахождением уравнений для моментов первого и второго порядков для одной модельной задачи, что позволяет, в частности, исследовать на устойчивость системы в среднем или в среднеквадратичном. Статью можно рассматривать как продолжение исследований, начатых в работе [8].

В теории распространения электромагнитных волн в нестационарных средах, в том случае, когда диэлектрическая проницаемость е зависит от вре-

РИ, 2001, № 4

15

мени, а магнитная проницаемость ц = const = 1, проводимость среды конечна и равна и, для амплитуды m -й моды в резонаторе, заполненном такой средой, получаются уравнения [9]:

d_

dt

(є-е,„) + 4^-CT-em + ickmhm

= 0;

dh

_ dt

m

+ ickmem

= 0,

(1)

где em и hm — соответствующие амплитуды электрического и магнитного полей m -й моды (в дальнейшем индекс m опускается).

Сделаем замену: є-em = u, hm = v.

Тогда из (1) получаем:

du 4 па ,

---1----u + ickv = 0;

dt є

dv ick — +----u = 0.

„ dt є

Отделим вещественную и мнимую части:

(2)

Выражение 1 є можно записать в виде а + /3- r(t), где r(t) — также двузначный марковский процесс, принимающий значения +1.

Пару x, у запишем в виде вектора £. Получаем систему вида:

f=U+вгИУ.

где A =

- 4лсга - c ■ k \ f- 4щур

v-c■ k 0 J ^-c■ k-ft

Напишем систему для средних:

(3)

0 0

Ш = A^> + Br«'4 (4)

(скобки (...) означают математическое ожидание). Нетрудно вывести следующую формулу [8]:

M=-Hr{)+! rdl

dt ' ' \ dt

(5)

u = u1 + lu

Чу

v = v1 + iv 2.

Перепишем систему (2) в виде:

du1 idu 2 4 жг 4mj

------I------I------u1 + i-----u 2 + ickv1 - ckv 2 = 0;

dt dt є s

dv1 dv2 ck ck

„ dt dt є є

Отделим действительную и мнимую часть:

du1 4жг

dt є

u1 - ckv 2 = 0 ;

dv1

dt

du

ck

є

u 2 — 0;

2 4 ли

H-----u 2 + ckv1 = 0;

dt

dv2 ck

------1---u. — 0.

dt є

Система распадается на две подсистемы:

du 4ла ,

-----I----u1 - ckv2 = 0;

dt є

dv2 ck

-----1--ui = 0;

„ dt є

dv1 ck

---------u 2 = 0;

dt 2

є 4rnr

du2 ^ dt s

u2 + ckv1 = 0.

Исследуем одну из систем линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами специального вида на устойчивость (устойчивость понимается в среднем или в среднеквадратичном):

dx 4 пах ,

- + cky;

dt

dy

„ dt

є

ckx

воспользовавшись которой можно получить для (£) и (r£) замкнутую систему дифференциальных уравнений.

Подставим в „ее вместо f выражение, нолучае-

dt

мое из системы (3):

= г%) + [r(A + Вг№).

Заметим, что r2 = 1. Приходим к другому уравнению, содержащему только (^) и (r^):

Л1ф = (А - 2^} + В<4 (6)

Таким образом, (4) и (6) представляют собой замкнутую систему относительно 1^) и (r^). Сделаем замену: (%) = u , (rg) = v .

Получим систему:

du

— = Au + Bv; dt

dv

dt

= Bu +(A - 2vI )y

или, если пару (u, v) записать как четырехмерный вектор т], получим систему:

r A В

d

— d =

dt

В 2 • v • I

■d.

Для исследования этой системы на устойчивость воспользуемся результатом работы [7]: если у корня характеристического уравнения с наибольшей действительной частью эта действительная часть меньше нуля, то уравнение устойчиво.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

где є — двузначный марковский процесс; c, k константы; а — параметр.

16

РИ, 2001, № 4

4лаа - Я ck - 4лаР 0

- ck - 2 - ckp 0

- 4лаР 0 - 4лаа - Л- 2v ck

ч- ckp 0 - cka - A-2v

= 0

или же, после раскрытия определителя, получаем

п,

^ Bn _ k 'kk = А,4 + (8лста + 4v)A,3 + k=0

+ (2c2k2а + 4v2 -16%2а2р2 + 16л2а2а2 +

2 2 2 2 2 + 24лстат)^ + (16rorav + 32л ста v +

+ 4c 2 k 2 av - 32л 2ст 2р 2 v - 8лстр2с 2 k 2 +

+ 8c2k2a2лст)^ + c4k4a2 - c4k4p2 -

- 8лстр2 c 2 k 2 v + 4c 2 k 2 av 2 + 8c 2 k 2 a 2 rorv = 0.

Подставим некоторые значения параметров и исследуем область устойчивости с помощью критерия Льенара — Шипара.

Будем полагать а = 0,5, Р = 0,1, c • k = {1,100,10000} .

Тогда выражения для соответствующих коэффициентов имеют вид:

B0 = c4k4a2 - c4k4p2 - 8лстР2c2k2v +

2 2 2 2 2 2 + 4c k av + 8c k a лот;

B1 = 16лстаг2 + 32л 2ст 2a 2v + 4c 2 k 2 av -- 32л2 ст 2p 2 v - 8лстР 2 c 2 k 2 + 8c 2 k 2a 2 лст;

B2 = 2c2k2a + 4v2 - 16л2ст2р2 + 16л2ст2а2 + 24rcoav ; B3 = 8лста + 4v .

Численный анализ коэффициентов B{ показывает, что они принимают положительные значения в рассматриваемых областях параметров.

Выражение для D3 = B1 B2 B3 - B0 B32 - B4 Bj2 (явное выражение опущено ввиду громоздкости) принимает значения меньше нуля при а = 0,01, а при а = 0,11 больше нуля. Рассмотрим подробнее промежуток [0,01,...,0,11]: а = 0,01,0,02,.„,0,11. (см. вид Mat).

Таким образом, решение системы (1) можно заста-билизировать с помощью случайного возмущения при условии, что о->аКр « 0,10).

Получим уравнения для моментов второго порядка

(x 2),( у 2),( ху) .

Домножим первое уравнение системы (1) на у :

dx

yd=

4naxy , 2 dy ckx

-------ь cky , а второе на x : x— =----

s dt є

Сложим полученные выражения:

d{xy^ 4лоху ( k 2 ckx2

v cky ----

dt є є

Домножим теперь первое уравнение на x, а второе на у и умножим обе части уравнения на 2:

dx

dt

dyP_

dt

8 лох 2

є

2ckxy

+ 2ckxy,

Обозначим u = x2, v = у2, w = xy .

Имеем линейную систему уравнений для u, v, w :

du 8лст

dt s dv 2ckw

dt

■ + 2ckw,

dw

dt

s

4лст

+ ckv -

cku

Запишем s как a + p- r(t}, где двузначный однородный марковский процесс r{t} принимает значения +1. Обозначим тройку переменных u, v, w как

вектор £. Получим систему — = (л + Br(№ , где

' - 8лсга 0 2ck л 8лоД 0 0 N

A = 0 0 -2cka B = 0 0 -2ckp

- cka ck -4лa^aJ 4- ckP 0 - 4лоД^

Имеем систему, аналогичную (3).

Система для моментов второго порядка выглядит следующим образом:

Mat=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 -0,209 -0,245 -0,273 -0,288 -0,287 -0,264 -0,213 -0,126 3,715*10-3 0,187 0,434

1 -0,328 -0,343 -0,336 -0,3 -0,224 -0,098 0,09 0,355 0,711 1,178 1,773

2 -0,44 -0,401 -0,31 -0,153 0,087 0,429 0,896 1,512 2,303 3,299 4,534

3 -0,563 -0,397 -0,126 -0,274 0,834 1,585 2,562 3,806 5,359 7,268 9,586

4 -0,699 -0,28 0,332 1,179 2,306 3,763 5,605 7,892 10,691 14,072 18,113

5 -0,834 0,04 1,246 2,847 4,91 7,511 10,73 14,656 19,384 25,016 31,664

6 -0,929 0,704 2,876 5,676 9,203 13,564 18,872 25,253 32,84 41,776 52,213

7 -0,919 1,912 5,574 10,195 15,91 22,867 31,223 41,148 52,822 66,439 82,205

8 -0,704 3,931 9,803 17,081 25,952 36,61 49,269 64,152 81,498 101,562 124,611

РИ, 2001, № 4

17

d A B )

dt V~\B A - 2-v-I)71 ■

(7)

Система (7) может быть проанализирована методами, изложенными выше, так как она снова имеет вид системы (3).

Литература: 1 Кляцкин В.И. Марковские процессы, корреляция функционалов и стохастические уравнения // Изв. вузов. Радиофизика, 1979. Т.22, №6. С.716-727. 2. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно - неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 336c. 3. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. 488с. 4. Shapiro V.E., Loginov M.N. “Formulae of differentiation” and their use for solving stochastic equation — Physica, 1978. V.91A. P.563574. 5. ЛогиновВ.М., Шапиро В.Е. Формулы дифференцирования для расщепления корреляций в динамических системах с флуктурирующими параметрами. II. Препринт Ин-та физики им. Л.В.Киренского СО АН СССР, ИФСО -128 Ф,Красноярск, 1980. С.44. 6. Мала-

хов А.Н., Музычук О.В. О вероятностных характеристиках динамических систем, подверженных воздействию не дельта -коррелированных случайных сил / / Изв. вузов. Радиофизика, 1980. Т.23, №8. С.968-981. 7. Бендерский М.М. Определение области устойчивости линейного решения дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами специального вида. Дифференциальные уравнения, 1969. Том 5, №10. С.1085 — 1088. 8. Янцевич А.А., Ясницкая Н.Н., Бендерский М.М., Баранов В.И. К теории колебаний в нестационарной случайной среде // Радиофизика и радиоастрономия. 1999. Т.4, №2. С. 145-152. 9. Третьяков О.А. Метод модового базиса // Радиотехника и электроника, 1986. Т.31. Вып.6. С.1071-1078.

Поступила в редколлегию 12.06.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Янцевич А.А.

Железнакова Элина Юрьевна, канд. физ.-мат. наук, преподаватель Харьковского государственного экономического университета. Адрес: Украина, 61072, Харьков, пр. Ленина, 54, кв. 29, тел. 32-18-08.

УДК 621.396

СИНТЕЗ АДАПТИВНЫХ РОБАСТНЫХ ОЦЕНОК НА ОСНОВЕ ТЕХНИКИ БУТСТРЕП

КОЛЯДИН В.Л.___________________________

Предлагается и исследуется общий подход к повышению робастности оценок в условиях высокой априорной неопределенности. Базовая идея подхода - адаптивный выбор оценки из некоторого набора первичных оценок, осуществляемый на основе техники бут-стреп. Путем статистического моделирования показывается, что получаемая при этом результирующая оценка существенно превосходит по степени робастности любую из первичных оценок, включая традиционные робастные оценки.

1. Введение

Практические задачи измерения по избыточному набору данных, включая задачи оценки параметров сигналов, обычно редуцируются к формальной статистической задаче оценивания параметров распределения по конечной выборке из этого распределения. Теория оценивания, развитая как в классической статистике [1], так и в прикладных областях, например, в статистической радиотехнике [2], позволяет синтезировать оценки, оптимальные для заданного в параметрической форме семейства распределений, например, для гауссовского. Однако непосредственное применение такого подхода на практике зачастую наталкивается на следующую принципиальную проблему: вид распределения неизвестен и, более того, он может изменяться от выборки к выборке; при этом отклонение истинного закона распределения от постулированного при синтезе оценки может приводить к радикальному снижению точности оценивания. Это обстоятельство уже на протяжении нескольких десятилетий стимулирует повышенный интерес к робастным (устойчивым) методам оценивания [3].

Робастные оценки обеспечивают приемлемую точность оценивания для широкого класса распределе-

ний [4]. При этом они лишь незначительно уступают в точности оценкам, оптимальным для некоторого конкретного вида закона распределения, даже при совпадении истинного распределения с тем, для которого эти оценки оптимальны. Такое принципиальное свойство робастных оценок позволяет в известной степени обойти столь существенную для практики проблему неопределенности. Хрестоматийным примером робастной оценки является медиана выборки, часто используемая на практике в качестве оценки центра симметричного распределения вместо выборочного среднего. Для распределений с существенно более тяжелыми хвостами, чем у гауссовского, выборочная медиана обеспечивает значительный выигрыш в точности из-за нечувствительности к редким, но большим по величине значениям аддитивного шума (выбросам). В то же время даже для гауссовского распределения, для которого выборочное среднее является оптимальной оценкой центра распределения, выборочная медиана проигрывает выборочному среднему в точности всего порядка 20% - имеет на 20% большее среднеквадратичное значение ошибки оценивания.

В статье предлагается и исследуется общий подход к синтезу робастных оценок, основанный на адаптивном выборе оценки из некоторого набора первичных оценок. В основу положена сравнительно новая статистическая техника, получившая название бутстреп (bootstrap) [5]. При таком методе оценивания используется только информация, содержащаяся в самой выборке — т.е. не предполагается наличие какой-либо априорной информации о виде закона распределения. Полученные таким образом адаптивные оценки обладают более высокой робастностью по сравнению с любой из первичных оценок. Например, такой подход позволяет получить оценки, значительно превосходящие выборочную медиану по степени робастности.

2. Описание техники бутстреп

Бутстреп по праву считается одним из крупнейших достижений статистической науки ХХ века [5]. Его создание обычно связывают с публикацией [6]

18

РИ, 2001, № 4