CC BY
0MERSENN SONLARI HAQIDA
Jalolxon Nuritdinov Tursunboy o'g'li1, Nematov Bexruzbek Bobomurod o'g'li2, Abdurashidov Abduhalil Inomjon o'g'li3
1Qo'qon Davlat Pedagogika Instituti Matematika kafedrasi o'qituvchisi, 2Qo'qon Davlat Pedagogika Instituti Matematika va informatika yo'nalishi 2-kurs talabasi, 3Qo'qon Davlat Pedagogika Instituti Matematika va informatika
yo'nalishi 2-kurs talabasi https://doi.org/10.5281/zenodo.13894999 Buyuk fransuz matematigi Mersenn (1588-1648) juda kambag'al oiladan chiqqan bo'lishiga qaramay matematika uchun buyuk ixtro va meros qoldirgan. Mersenn Mn=2n-1(n-natural son) shakldagi sonlarni tekshirgan. n=1,2,3,4,... bo'lganda Mersenn sonlari deb atalgan M1=1, M2=3, M3=7, M4=15 ... sonlar hosil bo'ladi. Bu sonlarningayrimlari tub bo'lib, ayrimlari esa murakkabdir. Mn tub son bo'lsa, mersenn tub soni deb ataladi. n=2 bo'lganda Mz=3, n=3 bo'lganda M3=7, n=5 bo'lganda M5=31, n=7 bo'lganda M?=127
lar hosil bo'ladi. Mk bilan ^-mersenn tub sonini belgilaymiz. Shunday qilib, 3,7,31,127,. lar mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va hakazo mersenn tub sonlari deyiladi.
Agar n=m xn2 murakkab son bo'lsa, MniXn2 ning murakkab son bo'lishini isbotlash oson:
Mn = Mnixn2 = (2-^ - 1 = (2ni - 1)[(2^-1 + ••• + 1]. Demak, Mn soni (2ni — 1) bo'linadi, shuning uchun Mn sonning murakkab ekanligi kelib chiqadi.Shunday qilib, agar Mn tub son bo'ladi. Lekin har qanday tub son n uchun Mn tub son bo'lavermaydi.
Agar p tub son bo'lsa, Mp ning bo'luvchilari (2pk+1) shaklida bo'lishi isbotlangan (k>0 butun son).Yuqoridagidan, Mii=2047=23*89 ning murakkab ekanligi aniqlangan.M11 ning bo'luvchilari 22k+1=2x11xk+1; jumladan 2x11+1=23(k=1, p=11); 2x4x11+1=8x11+1=89 (k=4, p=11).
Mioi=2101-1 sonning bo'luvchisi 2xkx101+1 shaklida ekanligi ma'lum bo'lsa-da, lekin uning birorta ham bo'luvchisi aniqlangan emas. Shuning uchun ham M101 sonining ko'p vaqtlardan beri tub yoki murakkabligi aniq emas edi. Bu sonning murakkabligi boshqa yo'l bilan keyinchalik isbotlandi.
31 xonali 2101-1 ning ikkita har xil tub son ko'paytmasidan iborat ekanligi va uning eng kichik tub bo'luvchisi kamida 11 xonali son ekanligi ham isbotlangan.
Mersenn 1644-yilda isbotsiz p=13,17,19,31 bo'lganda (2p-1) shaklida son tub son bo'lishini aytgan. 231-1 ning tub son ekanligini birinchi bo'lib L.Eyler isbotlagan edi.
Agar p=8xk+7 shaklidagi son tub son bo'lsa ^^ ning p ga bo'linishi kerakligi ham
isbotlangan. Bunday p=8xk+7 shaklidagi son tub son bo'lsa, Mp ko'rinishdagi sonlarning ko'pi murakkab ekanligi aniqlangan.
M23=223-1 soni 47 ga bo'linadi, chunki p=23=8x2+7 va MP-i =Mu=2047 soni 23 ga
2
bo'linadi.
M33=233-1 soni 67 ga bo'linadi. M131=2131-1 soni 263 ga bo'linadi. M179=2179-1 soni 359 ga bo'linadi.
M191=2191-1 soni 383 ga bo'linadi.
M223=2223-1 soni 447 ga bo'linadi.
Bunday murakkab sonlar cheksiz ko'p deb hisoblangan bo'lsa-da, lekin bu fikr hozirgacha ham isbot qilinmagan. Bizga hozirgacha faqat 24 ta mersenn tub sonlari ma'lum. Ular quyidagi p larga mos keluvchi Mp lardir:
p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3271,4253, 4423,9689,9941,11213 va 19937. M127 va M521 mersenn tub sonlari orasida 66 ta mersenn murakkab sonlari mavjudligi aniqlangan.
M1279 mersenn tub sonining 386 xonali ekanligi aniqlandi. Bundan oldin 39 xonali M127 mersenn tub soni 75 yil mobaynida ma'lum bo'lgan eng katta tub son bo'lib kelayotgan edi. Shunday qilib, eng katta mersenn soni va shu bilan birga hozirgacha ma'lum bo'lgan eng katta (12003 xonali) tub son M24=219937-1 dir. M11213 ning tub ekanligini va u 3376 xonali ekanligini 1963-yilda electron hisoblash mashinasi yordamida Donald Jellis ko'rsatdi.
2257-1=2315841789476323908471419700173758457065399693311281 128078915168015826259279871 ekanligi hisoblangan.
25002331-1 ning 1,5milliondan ortiq raqamli ekanligi va 10004663 uning bo'luvchisi ekanligi aniqlangan. p=521dan boshlab mersenn sonlarning tubligi electron hisoblash mashinalari yordamida isbotlandi.
Lyuk va Lemerlar ismi bilan bog'liq bo'lgan quyidagi teorema mavjuddir:
tub son bo'lganda Mp mersenn sonining tub son bo'lishi uchun Mp soni quyidagi yo'l bilan hosil qilinadigan ketam-ketlikning (p-1)-hadining bo'luvchisi bo'lishi zarur va yetarlidir:
u=4; un+1=u2n-2; n=1,2,3,...
Bu ketma-ketlikning birinchi hadlari 4,14,194,1416,37634,317954,... lardir. (Lyuk ketma-ketligi.)
M4423 ning tub ekanligi quydagicha ko'rsatilgan. Yuqoridagi ketma-ketlik-ning p-1=4423-1=4422 hadini topib, u sonni M4423=24423-1 ga qoldiqsiz bo'linishi ko'rsatilgan. Shu teoremaga asosan 2149-1 ning murakkab ekanligini aniqlash uchun D.Lemer 70 soat vaqt sarflagan. 21280991 ning 256199 ga bo'linishini aniqlash uchun yosh sovet matematigi Slobodskiy 12 soat vaqt sarf qilgan.
Albatta, bu og'ir ish bo'lib, faqat electron hisoblash mashinasi yordamidagina tekshirib ko'rish mumkin bo'lgan misoldir. Xuddi shu yo'l bilan 31 xonali M101 ning murakkab ekanligi ham ko'rsatilgan, chunki hisoblash bilan ko'rtsatilgan ketma-ketlikning 100-hadi M101 ga bo'linmagan.
Lyuk yuqoridagi teoremaga asoslanib, 2127-1 ning tub ekanligini ko'rsatgan edi. Buning uchun 2127-1=170141183460169231730371588441 ifoda Lyuk ketma-ketlikning 05727 126-hadining bo'luvchisi ekanligini ko'rsatdi.
Quydagi gipoteza ham mavjuddir:
p1 = 3; pn+1 = 2Pn — 1 shaklidagi sonlarning hammasi tub sonlardir. Murakkab mersenn sonlarining kanonik yoyilmasida ham tub sonlar 1- darajada yoki kvadratli son yoq degan gipoteza mavjud.
Lyuk quyidagi jadvalni tuzdi:
p tub son 2p-1 mersenn soni d>1 bo'luvchi 2p-1 ning holati
11 211-1 23 Murakkab
13 213-1 o'zi Tub son
17 217-1 o'zi Tub son
19 219-1 o'zi Tub son
23 223-1 47 Murakkab
29 229-1 233 Murakkab
31 231-1 o'zi Tub son
37 237-1 233 Murakkab
41 241-1 13367 Murakkab
43 243-1 431 Murakkab
47 247-1 2351 Murakkab
53 253-1 6361 Murakkab
59 259-1 179951 Murakkab
61 261-1 o'zi Tub son
67 267-1 ? Murakkab
71 271-1 228479 Murakkab
73 273-1 439 Murakkab
79 279-1 2687 Murakkab
83 283-1 167 Murakkab
89 289-1 o'zi Tub son
97 297-1 11447 Murakkab
101 2101-1 ? Murakkab
103 2103-1 ? Murakkab
107 2107-1 o'zi Tub son
109 2109-1 745188807 Murakkab
113 2113-1 3391 Murakkab
127 2127-1 o'zi Tub son
131 2131-1 263 Murakkab
137 2137-1 ? Ma'lum emas
139 2139-1 ? Ma'lum emas
149 2149-1 ? Ma'lum emas
151 2151-1 18121 Murakkab
157 2157-1 852133201 Murakkab
163 2163-1 150283 Murakkab
173 2173-1 730753 Murakkab
179 2179-1 359 Murakkab
181 2181-1 43441 Murakkab
191 2191-1 383 Murakkab
193 2193-1 ? Murakkab
197 2197-1 7487 Murakkab
199 2199-1 ? Ma'lum emas
211 2211-1 15193 Murakkab
223 2223-1 18287 Murakkab
227 2227-1 ? Ma'lum emas
229 2229-1 ? Ma'lum emas
233 2233-1 1399 Murakkab
239 2239-1 479 Murakkab
241 2241-1 ? Ma'lum emas
251 2251-1 503 Murakkab
257 2257-1 ? Ma'lum emas
Bu jadvalning ayrim tub sonlar uchun (2p-1)ning tub ekanligi, ayrimlari uchun (2p-1) ning murakkab ekanligi ko'rinadi.
Ayrim p lar uchun (2p-1) ning murakkab ekanligi ma'lum bo'lsa-da, ularning d>1 bo'luvchisi hozirgacha aniqlanmaganligi ifodalanmagan. Ayrim p lar uchun d>1 bo'luvchisi ko'rsatilgan. Bu jadval faqat p=11 dan p=257 gacha tuzilgan. 2"-1 shakldagi mersenn sonlarining ko'pi murakkab ekanligi isbotlangan.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Yagudayev B.Y. Ajoyib sonlar olamida. "O'qituvchi", - T.: -1973, -232 bet.
2. Nuritdinov J.T. Yetarli katta natural sonning tub yoki tub emasligini aniqlashning yangi usullari // "Aniq va tabiiy fanlarni o'qitish metodfikasi: muammo va yechimlar" mavzusidagi respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari, Qo'qon - 2023 yil, 22-may, 305-310 b.
