CC BY
65INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND TECHNICAL CONFERENCE "DIGITAL TECHNOLOGIES: PROBLEMS AND SOLUTIONS OF PRACTICAL IMPLEMENTATION IN THE SPHERES" APRIL 27-28, 2023
KATTA TUB SONLARNI GENERATSIYALASH VA ULARNI TUBLIKKA TEKSHIRISH ALGORITMLARI TADQIQI Salayev Alisher Kuralbayevich
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalar universiteti Urgnch filiali,
salayevalisher@gmail.com https://doi.org/10.5281/zenodo.7857082
Annatatsiya. Ushbu maqola assimmetrik kalitli kriptografik algoritmlarida keng qo'llaniladigan katta tub sonlarni generatsiya qilish va tublikka tekshirish algoritmlarining samaradorligi, afzalliklari va kamchiliklari tadqiqiga bag'ishlangan.
Kalit so'zlar: Katta tub son, tub son generatori, tublikka tekshirish testi, tub sonlar konsentratsiyasi.
Zamonaviy kriptografiya, shu jumladan kalitlarni taqsimlash kriptografik protokollari barchasi matematik muammolarning maxsus sinflari atrofida ishlab chiqilgan bo'lib, ularni yechish amaliy jihatdan "qiyin" hisoblanadi. Hisoblash murakkabligi gipotezasi shuni ko'rsatadiki, ma'lum bir muammoni bugungi texnologiyalari va hisoblash resurslari yordamida samarali hal qilib bo'lmaydi. Bu yerda "samarali" iborasi "oqilona vaqt ichida" manosida ishlatilmoqda. Muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan vaqt miqdori (ya'ni, ba'zi bir kirish parametrlari berilganda chiqish natijasini topishga sarflangan vaqt) - bu kirish parametrining o'lchamidan osongina baholanadigan miqdor. Odatda, kirish hajmi qanchalik katta bo'lsa, muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan vaqt miqdori shunchalik katta bo'ladi. Ammo, agar natija olish vaqti kirish hajmining eksponensial funksiyasi bo'lsa, unda nisbatan kichik o'zgarish ham muammoni hal qilish uchun bir necha milliard yillarni talab qiladi. Binobarin, amaldagi texnologiyalar va algoritmlardan foydalangan holda eksponensial vaqtni saralashni talab qiladigan muammolar hisoblash uchun "qiyin" hisoblanadi[2].
Misol tariqasida, eng taniqli ochiq kalitli kriptotizim RSA ni qaraydigan bo'lsak, berilgan butun sonning asosiy faktorizatsiyasini hisoblash murakkabligiga asoslangan. Ushbu muammoni hal qilish uchun ma'lum algoritm eksponensial vaqt hisoblanishini talab etadi, shu sababli tavsiya etilgan ochiq kalit hajmi 1024, 2048 va 3072 bit bo'lsa RSA kriptotizimi xavfsiz hisoblanadi. Chunki bugungi kunda dushman potensiali odatdagi hisoblash kuchi va resurslar bilan hisoblanadi. Biroq, bu hozirgi tajribaga asoslangan taxmin, chunki muammoni printsipial ravishda buzish mumkin emasligi to'g'risida matematik dalillar mavjud emas, masalan, hali kashf etilmagan boshqa algoritm bilan[2].
Yuqorida keltirilgan darajada xavfsizlikni ta'minlash uchun o'z-o'zidan talab qilingan darajada katta tub sonlarni generatsiya qilish yoki katta sonlarni tublikka tekshirish muammosi yuzaga chiqadi.
Hozirgi kunda katta ehtimol bilan tub sonlarni generatsiya qilishning nir necha usullari mavjud, quyida ular bilan atroflicha tanishib o'tamiz.
1-usul. Tub sonlarning dastlabki ikkitasi 2 va 3 lardan tashqari barchasi 6n — 1 yoki 6n + 1 bunda (n e N) ketma-ketliklarning hadi hisoblanadi. Bu ketma-ketliklarning ustun tarafi tub sonlar qatoridagi barcha tub sonlarni o'z ichiga olishi bo'lsa, kamchilik taraflaridan biri n soni kattalashib borgani sari ketma-ketlik hadlari orasida tub sonlar konsentratsiyasi kamayib boradi.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND TECHNICAL CONFERENCE "DIGITAL TECHNOLOGIES: PROBLEMS AND SOLUTIONS OF PRACTICAL IMPLEMENTATION IN THE SPHERES" APRIL 27-28, 2023
Buni quyida keltirilgan 1-jadvalda yaqqol ko'rishimiz mumkin. Bu va bundan keyin keltirilgan jadvallardagi ma'lumotlar va natijalar quyida keltirilgan algoritm bo'yicha hisoblangan.
Function tub(n){ Flag = false
If n-tub then flag = true
Returnflag)
}
For i in range(1,m)
If tubf(i)) then k++; //f(i) - berilgan usullardagi ketma-ketlik qoidasi; Print(k) //k - dastlabki m ta hadlari ichidagu tub sonlar soni;
1-jadval
Hadlar soni 10 100 1000 10000 100000
Konsentratsiyasi 90% 62% 42,9% 32,43% 25,995%
1-usul yordamida hosil qilngan hosil qilingan sonlarning tub sonlari konsentratsiyasi
jadvali
2-usul. 40 da katta ba'zi tub sonlar n2 + n + 41 (n = 0,1,2,...) ketma-ketlikning hadlari bo'lishi mumkin. Albatta bu ketma-ketlikning barcha hadi tub son emas, bunga yaqqol dalil agar n soni 41 ga karrali bo'lsa uning natijasi 41 ga karrali bo'ladi. Bundan boshqa hollarda ham murakkab son chiqishi mumkin. Bu usulda tub sonlar konsentratsiyasini quyidagi 2-jadvalda ko'rishimiz mumkin.
2-jadval
Hadlar soni 10 100 1000 10000 100000
Konsentratsiyasi 100% 86% 58,1% 41,48% 31,984%
2-usul yordamida hosil qilngan hosil qilingan sonlarning tub sonlari konsentratsiyasi
jadvali
3-usul. Mersenning tub sonlari. Mp = 2V — 1 (p = 2,3,4,...) Oldingi usullardagi kabi bu ketma-ketlikning ham barcha hadi tub son emas. 3-jadvalda Mersenning tub sonlari konsentratsiyasini keltirib o'tamiz.
3-jadval
Hadlar soni 10 50 60
Konsentratsiyasi 40% 16% 15%
3-usul yordamida hosil qilngan hosil qilingan sonlarning tub sonlari konsentratsiyasi
jadvali
4-usul. Fermaning tub sonlari. Fp = 2?v + 1 (p E N) Oldingi usullardagi kabi bu ketma-ketlikning ham barcha hadi tub son emas. 4-jadvalda Mersenning tub sonlari konsentratsiyasini keltirib o'tamiz.
4-jadval
Hadlar soni 5 6 7
INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND TECHNICAL CONFERENCE "DIGITAL TECHNOLOGIES: PROBLEMS AND SOLUTIONS OF PRACTICAL IMPLEMENTATION IN THE SPHERES" APRIL 27-28, 2023
Konsentratsiyasi 80% 66,67% 57,14%
4-usul yordamida hosil qilngan hosil qilingan sonlarning tub sonlari konsentratsiyasi
jadvali
Yuqorida ko'rib o'tgan usullarimizga e'tibor qaratadigan bo'lsak ketma-ketliklarni hadlari kattalashgani sari hosil qilingan sonning tub bo'lish ehtimoli kamayib boradi. Bunda kelib chiqadiki, ko'rib chiqilgan yoki boshqa usullar yordamida hosil qilingan sonlardan foydalanish va amaliyotga tadbiq qilish uchun ularni tublikka tekshirish kerak bo'ladi.
Birzga ma'lumki oliy matematika kursida sonning tubligini aniqlovchi o'z isbotini topgan teotema mavjud, yani:
Teorema: Ixtiyoriy n, (n E N) son tub bo'lishi uchun o'zining kvadrat ildizi butun qismigacha bo'lgan tub sonlarga karrali bo'lmasligi zarur va yetarli.
Bu teorema berilgan sonni tub yoki murakkabligini aniqlaydigan eng optimal usullaridan bo'lishiga qaramasdan juda katta sonlarni testlashda ko'p vaqt va resurs talab qilishi mumkin, bundan tashqari berilgan son testlanish jarayonida bir qancha resurslar sarflanganidan keyin muvaffaqiyatsizlikka uchrasa sarflangan resurslar bekorga isrof bo'ladi. Misol uchun biror katta
sonni testlashda uning ildizigacha bo'lgan tub sonlar 2000 ta bo'lsa vas hu sonlarga bo'lib ko'rish jarayoni boshlangandan keyin 987-o'rindagi tub songa bo'linish bajarilsa, undan oldingi 986 ta tub songa bo'lib tekchirish uchun sarflangan vaqt va boshqa resurslar isrof bo'ladi.
Shu va shunga o'xshash isrofgarchiliklarning oldini olish uchun sonni to'liq tublikka tekshirishdan oldin tub bo'lish ehtimoli yuqori bo'lgan sonlarni tanlashimiz kerak bo'ladi. Buni amalga oshirishda biz yuqoridagi yoki shunga o'xshash tub bo'lish ehtimoli bo'lgan sonli ketma -ketliklarda va sonlarni tublikka tekshirish testlarida foydalanishimiz mumkin.
Sonlarni tublikka tekshirish testlarini ko'rib chiqamiz.
Albatta sonlarni murakkab tublik testlaridan o'tkazishdan oldin kichik tub sonlarga bo'linish belgilari yordamida ularga bo'linish yoki bo'linmasligini tekshirib ko'rishimiz maqsadga muvofiq. Masalan: 2 ga, 3ga, 5 ga, 7 ga, 11 ga va h.k.
Ferma testi: Agar a < n (a E N) va n tub son bo'lsa
an-1 = lmodn
tenglik o'rinli bo'ladi.
Mazkur usul yozdamida berilgan berilgan n sonni tubligini testdan o'kazishimiz mumkin, lekin yuqoridagi tenglik n faqat tub bo'lgandagina bajarilmaydi. n murakkab bo'lgan ayrim hollarda ham bajarilishi mumkin. Misol uchun 2561-1 = 2561 = 1mod561 (561 = 3 • 11 • 17). Bundan ko'rinadiki Ferma testi berilgan sonning tub bo'lish ehtimolinitekshiradi xalos.
Rabin-Miller testi: Bu testlash usulini Ferma testining umulashgan shakli sifatida tushinsak bo'ladi. Mazkur usul uchun testlash formulasi quyidagi ko'rinishga ega.
am = ±1modn, n — 1 = 2k • m bu yerda k,m E N
bu usulda berilgan sonni tublikka tekshirish uchun berilgan n sonidan 1 kamaytiriladi va natijadan bo'lishi mumkin bo'lgan 2 ning eng katta darajasi (2k) ajratib olinadi va qolgan qismi (m) orqali testdan o'tkaziladi. Yani, agar am = ±1modn tenglik bajarilsa berilgan sonning tub bo'lish ehtimolligi yuqori bo'ladi.
Afsuski, yuqorida ko'rib chiqilgan testlash usullari, sinovdan muvaffaqiyatli o'tgan sonlarning barchasi tub bo'lishi haqida to'liq kafolat bera olmaydi.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND TECHNICAL CONFERENCE "DIGITAL TECHNOLOGIES: PROBLEMS AND SOLUTIONS OF PRACTICAL IMPLEMENTATION IN THE SPHERES" APRIL 27-28, 2023
Misol uchun n = 2047 sonini tekshiradigan bo'lsak:
Ferma testi: 22047-1 = 22046 = 1mod2047 bu tenglik bajarildi, ya'ni son Ferma testidan
o'tdi.
Rabin-Miller testi: 2047 - 1 = 2046 = 21 • 1023 ya'ni m = 1023 ga teng, 21023 = 1mod2047 bu shart ham bajarildi lekin (2047 = 23 • 89) berilgan son murakkabligini ko'rishimiz mumkin.
Shu o'rinda bir savol tug'ilishu mumkin, aslida natural sonlar qatorida tub sonlar ulushi qanday? Sonlar kattalashgani sari konsentratsiyasi qanday o'zgaradi? Teng taqsimlanganmi? Bu kabi savollarga quyida keltirilga 5-jadvaldan javob olishimiz mumkin.
5-jadval
Hadlar soni 10 100 1000 10 ming 100 ming 1 mln 10mln
Konsentratsiyasi 40% 25% 16,7% 12,29% 9,592% 7,8498% 6,64579%
XULOSA
Yuqoridagi 5-jadvaldan ko'rinib turibdiki, natural sonlar qatori kattalashib borgani sari undagi tub sonlar konsentratsiyasi kamayib bormoqda, bu esa o'z navbatida bizga katta tub sonlarni topishda ancha murakkabliklarni keltirib chiqarishi mumkin.
Albatta tub sonlarni topishda va amaliy masalalarda qo'llashda sonning tubligini to'la kafolatlaydigan algoritmlarda foydalaniladi. Bu degani, yuqorida biz k o'rib chiqqan tun sonlarni generatsiyalash algoritmlari va tanlangan sonlarni tublikka tekshirish testlaridan foydalanilmasligi kerak degani emas. Kafolatlangan tublikka tekshirish algoritmlari ko'p resurs talab qilganligi uchun, resurslarni tejash maqsadida taklif qilingan tun sonlarni generatsiyalash algoritmlari va tanlangan sonlarni tublikka tekshirish testlaridan foydalanib tub bo'lish ehtimoli yuqori bo'lgan sonlarni saralashda ishlatilishi mumkin.
REFERENCES
1. R. Sh Karimov, A.K Salayev, Implementation of blockchain technologies in the nonfinancial area, Science and Education 2021-yil 2 (5), 310-313bet
2. A.K Salayev, Kvant kompyuterlari va ularning zamonaviy kriptografiyaga tahdidi Ilmiy tadqiqot va innovatsiya, 27-29
3. M.M.Aripov, B.F.Abdurahimov, A.S.Matyakubov, Kriptografik usullar, Toshkent 2020
4. D.Y.Akbarov, P.F.Xasanov, X.P.Xasanov, O.P.Axmedova, I.U.Xolimtayeva, Kriptografiyaning matematik asoslari, Toshkent - 2018
5. https://www.programiz.com/python-programming/online-compiler/
6. https://en.wikipedia.org/wiki/Generation_of_primes
7. https://en.wikipedia.org/wiki/Primality_test
