CC BY
43Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
RSA shifrlash algoritmining maxfiy kalitini aniqlash algoritmi
Boyquziyev Ilxom Mardanoqulovich,
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toskent axborot texnologiyalari univeristeti dotsenti e-mail: [email protected]
Rahmatullayev Ilhom Raxmatullayevich,
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toskent axborot texnologiyalari
univeristeti Samarqand filiali dotsenti v.b.
e-mail: [email protected]
Axadova O'g'iloy Chorshanbi qizi,
Mirzo Ulug'bek nomidagi O'zbekiston milliy universiteti
tayanch doktoranti e-mail: [email protected]
Annotatsiya Mazkur maqolada asimmetrik shifrlash algoritmlar turkumiga kiruvchi RSA shifrlash algoritmining ochiq kaliti yordamida maxfiy kalitini aniqlash algoritmi taklif qilingan. Taklif qilingan algoritmning samaradorligi (a,b) oraliqni imkoni boricha kichik oraliqlarga ajratish va izlanayotgan p va q sonlarni qaysi oraliqda ekanligini aniqlash murakkabligiga bog'liq. Mazkur algoritm shu kungacha ma'lum bo'lgan ko'pgina algoritmlardan samaradorligi bo'yicha ajralib turadi.
|| Kalit so'zlar: RSA, Eyler funksiyasi, matematik murakkablik, tub sonlar, faktorizatsiya.
Kirish
Faktorlash muammosining yuzaga kelishi antik davrlarga, Eratosfen yashagan davrlarga, taxminan, eramizgacha 284-202 yillarga to'g'ri keladi, muammoning undan keyingi tarixi Fibbanochi (taxminan 1180-1250 yy.), Ferma (1601-1665 yy.), Eyler (1707-1783 yy), Lejandr (1752-1833 yy.), Gauss (1777-1855 yy.) kabi ulug' matematiklar nomi bilan bog'langan [4].
Faktorlash muammosini hal etishda n modulni faktorlash masalasini yechishda birinchi navbatda hayolga keladigan usul, bu Vn dan oshmaydigan tub sonlarni tanlab ularga bo'lib ko'rishdir. Boshqa tanlash usuli Fermaga tegishli bo'lib, n ni kvadratlar ayirmasi ko'rinishida ifodalashga asoslangan [1,2]: n = a2 — b2 = (a + b)(a — b).
Ferma eng katta umumiy bo'luvchi -EKUB(n, a — b) ni, ya'ni n ning natural bo'luvchisini topishga harakat qilishni hamda bunga imkon beruvchi usulni ham taklif etgan. Agar n ning ko'paytuvchilari bir-biridan katta farq qilmasa, bu usul oddiy tanlash
usuliga nisbatan tez yechim beradi va uning murakkabligi O(-Jri) ko'rinishida ifodalanadi, ammo hozirgi kunda kriptografik tizimlarda amalda foydalaniladigan hollar uchun ahamiyatga ega emas. Lejandr mazkur yondashuvda
a2 = b2 (mod ri) ga ega bo'lish lozimligiga e'tibor qaratgan. Ammo, keltirilgan taqqoslama har qanday ri uchun yetarli emasligini ham ko'rsatgan va ko'zlangan maqsadga erishish uchun uzluksiz kasrlardan foydalanish yo'lini taklif etgan.
Hozirgi kunda eng samarali kriptotahlil algoritmlarining murakkabligi eksponensial emas, balki subeksponensial murakkablikka ega [1].
Algoritm eksponensial murakkablikka ega deyiladi, agarda uning murakkabligi qiymatining tartibi 0(tf(n)) bo'lsa.
Algoritm polinomial murakkablikka ega deyiladi, agarda uning murakkabligi qiymatining tartibi 0(rim) bo'lsa. Subeksponensial murakkablikka ega bo'lgan algoritm murakkabligi qiymatining tartibi 0(rim) va 0(tf(n)) orasida bo'ladi.
61
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 I Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
RSA shifrlash algoritmi va uning murakkabligi bo'yicha ko'plab tadqiqot ishlari olib borilgan [1-10].
Metodologiya
RSA shifrlash algoritmida ikkita p va q tub sonlardan foydalaniladi. n = p * q, (p(n) = (p — 1) * (q — 1) Eyler funksiyasi hisoblanadi. EKUB(d,(p(n)) = 1 (1) shartni qanoatlantiruvchi e soni va e * d = 1 mod (p(n) (2) shartni qanoatlantiruvchi d soni hisoblanadi.
(2,(p(n)) oraliqda (1) shartni qanoatlantiruvchi bir qancha e sonlar va aniqlangan e sonlar bilan birgalikda (2) shartni qanoatlantiruvchi shuncha d sonlar mavjud.
C = Me mod n ifoda bilan M ochiq ma'lumotni shifrlash jarayoni amalga oshirilsa, M = Cd mod n ifoda bilan esa shifrmatndan ochiq ma'lumotni hosil qilish jarayoni amalga oshiriladi.
Teorema. Har qanday (a, b) intervalda tanlab olingan p va q tub sonlar va ularning ko'paytmasi n soni uchun uchun quyidagi tenglik o'rinli:
<p(n) = 2 • ( bu
Уп\ - r) yerda
(3)
r E
2'(
[
-[VnrT])-ç"(n'') 2-([— -[Jri])-<p'(n')
П , ''
22 Pmin • Чтах, Ф
'(n') = (p
min - D • (4max - 1), n" = Pmin • 4min, Ф "(n") = (p min - ^ • (4min - 1)
Pmin, Ртах, 4min, Чтах sonlar (a, b) intervaldagi eng kichik va eng katta qiymatlar.
r sonining (a, b) intervaldagi N bitli tub sonlar uchun eng katta qiymatlari quyidagi 1-jadvalda keltirilgan.
1-jadval. r sonining ayrim (a, b) intervaldagi N bitli tub sonlar uchun eng katta qiymatlari
N а b ^max
8 0 256 104
9 256 512 21
10 512 1024 41
11 1024 2048 85
12 2048 4096 174
13 4096 8192 350
14 8192 16384 698
Bizga 11 bitli ikkita p va q tub sonlarning ko'paytmasi bo'lgan e = 1l va n = 3 202 l51 sonlari berilgan bo'lsa (1) ifodaga r E [0,85] intervaldagi sonlarni ketma-ket qo'yib chiqish va me mod n = те+ф(п) mod n tenglikni qanoatlantirishini tekshirish orqali ф(п) sonini aniqlash mumkin. Bu esa sonni faktorlashda keng tarqalgan usul Jñ = 1l89 gacha bo'lish amalidan ancha samarali hisoblanadi.
Albatta mazkur usulni yanada optimallashtirish ham mumkin. Buning uchun quyidagi amallar bajarish
zarur. t =
Pmin+Qmax 2
sonni aniqlab olinadi va t
2
(Pmin+Qmax)2 ifoda hisoblanadi. Bizning holatimizda
Pmin = 1031, qmax = 2039 sonlari uchun t2 = (Pmin+Qmax)2 = (1031+2°39)2 = ь^ = 2 220 100
soni bilan n soni solishtiriladi agar mazkur aniqlangan natija n sonidan katta bo'lsa n bo'luvchilari bo'luvchilari bo'lgan p va q tub sonlarning hech bo'lmaganda bittasi aniqlangan 1490 sondan kichik ekanligini, agar kichik bo'lsa p va q sonlar bu sondan katta ekanligini bildiradi. Bizning holatimizda n > t2 (3 202 l51 > 2 220 100) ekanligidan izlanayotgan p va q sonlarimiz uchun p > 1490 va q > 1490 shartlar o'rinli ekan. (3) ifodadan r ning maksimal qiymatini hisoblash amalga oshirilsa bu qiymat 21 ga teng ekanligini aniqlash mumkin. Demak, Bizga 11 bitli ikkita p va q tub sonlarning ko'paytmasi bo'lgan n = 3 202 l51 soni berilgan bo'lsa (3) ifodaga r E [0,21] intervaldagi sonlarni ketma-ket qo'yib chiqish va aniqlangan ф(п) sonining me mod n = те+ф(п) mod n tenglikni qanoatlantirishini tekshirish yetarli ekan.
Bizga berilgan e = 1l va n = 3 202 151 sonlari uchun mazkur jarayonning qadamlari ketma-ketligi quyidagicha bo'ladi. Dastlab ixtiyoriy M = 3 uchun С = Memod n = 1 030 123 shifrmatn hisoblab olinadi. r E [0,21] intervaldagi qiymatlarni (3) ifodaga ketma-ket qo'yish orqali hisoblashlar bajariladi. Quyidagi 2-jadvalda ushbu hisoblash qadamlari keltirilgan.
n
n
2
62
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
2-jadval. г sonining qiymatlari uchun <p(n) va С' sonlarini hisoblangan qiymatlari
r (p(n) C' = me+v(n) mod n
0 3 199 172 1 030 123
1 3 199 170 2 557 411
2 3 199 168 640 018
3 3 199 166 1 494 558
4 3 199 164 166 062
5 3 199 162 1 086 035
6 3 199 160 832 393
7 3 199 158 1 515 933
8 3 199 156 168 437
9 3 199 154 2 865 605
10 3 199 152 1 030 123
Hisoblashlar С = С' tenglik o'rinli bo'lguncha davom etadi.
Demak, berilgan e = 17 va n = 3 202 751 sonlari yordamida 10 ta qadamda ф(п) = 3 199 152 soni aniqlandi.
e = 17 va n = 2 006 737 sonlari berilgan berilgan bo'lsa n<t2 (2 006 737 > 2 220 100) demak izlanayotgan sonlarning hech bo'lmaganda bittasi 1490 dan kichik. Bunday holatda izlanayotgan p va q sonlari uchun quyidagi ikkita shartlardan biri
< v iP< 1490 (p<1490
o rinli bo lishi mumkin: {q < 1490 yoki {q > 1490.
Bu shartlarning qaysi biri o'rinli ekanligini aniqlash uchun (1024,1490) intervaldagi pmtn va qmax sonlari uchun t1 = Pmin++lmax sonni aniqlab olinadi va
2
ifoda
t12 = e™^maX)2 ifoda hisoblanadi. Bizning holatimizda pmin = 1031, Чтах = 1439 sonlari
■)2 = 12602 =
uchun f2 = (P^in+Qmax)2 = (1031+1439л2 _ uchun 2 2
1 587 600 sonini n = 2 006 737 bilan solishtiriladi. (p < 1490
Agar n<t2 bo'lsa < ^^^ shart, n > t2 bo'lsa
(p < 1490
nn shart o'rinli hisoblanadi. (q > 1490
Bizning holatimizda n > t2 (2 006 737 > 1 587 600) bo'lganligi sababli (1) ifodani hisoblashda r E [19,85] qiymatlaridan foydalaniladi.
Bizga berilgan e = 17 va n = 2 006 737 sonlari uchun mazkur jarayonning qadamlari ketma-ketligi quyidagicha bo'ladi. Dastlab ixtiyoriy M = 3
uchun С = Memod n = 708995 shifrmatn hisoblab olinadi. r E [19,85] intervaldagi qiymatlarni (3) ifodaga ketma-ket qo'yish orqali hisoblashlar bajariladi. Quyidagi 3-jadvalda ushbu hisoblash qadamlari keltirilgan.
3-jadval. r sonining qiymatlari uchun <p(n) va C' sonlarini hisoblangan qiymatlari
r (p(n) C' = me+v(n^ mod n
19 2003866 1468409
20 2003864 1723952
21 2003862 414521
22 2003860 937941
23 2003858 773128
24 2003856 1200757
25 2003854 579359
26 2003852 287344
27 2003850 1146781
28 2003848 1242274
29 2003846 583972
30 2003844 1848652
31 2003842 1989172
32 2003840 1335873
33 2003838 1486255
34 2003836 611081
35 2003834 959781
36 2003832 1444467
37 2003830 1498321
38 2003828 1281334
39 2003826 588312
40 2003824 65368
41 2003822 1122117
42 2003820 793592
43 2003818 980060
44 2003816 1669691
45 2003814 408492
46 2003812 45388
47 2003810 1119897
48 2003808 124433
49 2003806 905709
50 2003804 1438459
51 2003802 1943595
63
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
52 2003800 215955
53 2003798 23995
54 2003796 1117520
55 2003794 1016052
56 2003792 781807
57 2003790 532809
58 2003788 59201
59 2003786 898461
60 2003784 99829
61 2003782 1125946
62 2003780 1239959
63 2003778 360744
64 2003776 708995
Hisoblashlar С = С' tenglik o'rinli bo'lguncha davom ettirildi va berilgan e = 17 va n = 2 006 737 sonlari yordamida 46 qadamda
<(n) = 2003776 aniqlandi.
Pastgi oraliqning o'rtasidagi 1260 soni uchun, 1260 • 1490 = 1 877 400 ni n bilan solishtirish orqali p sonining 1260 dan kichik yoki katta ekanligi aniqlanadi, ya'ni, 1 877 400 < 2 006 737 bo'lgani uchun p soni 1260 dan kichik ekanligini va q soni esa
n
= 1592 dan katta ekanligini aniqlash mumkin. Bu
oraliqlar uchun r qiymatning qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlari r E [28,85] ekanligini aniqlash mumkin.
Xuddi shunday davom etib, yuqori oraliqning o'rtasidagi 1769 soni orqali, 1260 • 1769 = 2 228 940 ni n bilan solishtirish orqali q sonining 1769 dan kichik yoki katta ekanligi aniqlanadi, ya'ni, 2 228 940 > 2 006 737 bo'lgani uchun p soni 1769 dan katta ekanligini aniqlash mumkin. Bu oraliqlar uchun r qiymatning qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlari r E [47,85] ekanligini aniqlash orqali hisoblashlarni yanada kamaytirish mumkin.
Mazkur jarayonni davom ettirilib r sonining intervali hisoblashlar uchun murakkab bo'lmaydigan darajagacha qisqartirib boriladi. Yuqoridagi misolda p ning n/1769 = 1134 dan kichik ekanligini ham aniqlash mumkin. Oraliqlarni aniqlashda esa ikkita
1082 < p < 1134 holat bolishi mumkin: ^ yoki
(1769 < q < 1908 J
1031 < p < 1082 {1908 <q < 2048.
1082 < p < 1134
{1769 < q < 1908 holat uchun Г E [42,56]
1031 < p < 1082 va { uchun esa E [62,85] ekanligi
kelib chiqadi.
Natija
RSA shifrlash algoritmida berilgan ochiq kalit e va n = p * q sonlari yordamida p,q E (a, b) <p(n) = (p — 1) * (q — 1) (p, q E (a, b)) maxfiy kalitni aniqlash algoritmining umumiy tavsifi quyida keltirilgan.
1. (a,b) intervalni kichik qismlarga ajratiladi;
2. p, q sonlari ajratilgan qismlarning qaysi biriga tegishli bo'lishi mumkinligi aniqlanadi;
3. 2-qadamda aniqlangan qismlar uchun r E
2-(^-\-[УПтт])-<Р"(П") 2-{[±\-W])-<p'(n')
n
pmin • qmax, <
'( n') = ( p
mi n - 1) • (qmax — 1),n'' =
pmin • qmin, <
'( n'') = ( p
mi n -1) •( qmin —1) pmin, qmax oraliqlar hisoblanadi;
4. r ning 3 - qadamda aniqlangan oraliqdagi
qiymatlari yordamida hisoblangan <(n) = 2 • (n —
[Vn] — r) uchun me mod n = me+(p(n) mod n tenglik o'rinli bo'lsa hisoblashlar to'xtatiladi;
5. 4-qadamdagi tenglikni qanaoatlantiruvchi <(n) izlanayotgan maxfiy kalit sifatida e'lon qilinadi.
Natijalar muhokamasi
Algoritmning samaradorligi (a,b) oraliqni imkoni boricha kichik oraliqlarga ajratish va izlanayotgan p va q sonlarni qaysi oraliqda ekanligini aniqlashga bog'liq.
Quyidagi 1-9 rasmlarda r sonining p — q, n, <(n) sonlariga bog'liqligi bo'yicha tadqiqot natijalari keltirilgan ((256, 512) oraliqdagi tub sonlar misolida).
Ushbu rasmlardagi bog'liqliklardan r sonining qiymati n va <(n) sonlariga nisbatan p — q ayirmaning qiymatiga bevosita bo'g'ligini ko'rish mumkin.
64
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
(a,b) oraliqni kichik oraliqlarga bo'lish va izlanayotgan p va q sonlarni qaysi oraliqda ekanligini aniqlashning optimal usuli aniqlansa, yuqorida keltirilgan algoritmning samaradorligi anchagina ortadi.
1-rasm. r sonining p — q ayirmaga bog'liqligi
2-rasm. r sonining p — q ayirmaga bog'liqligi (p — q bo'yicha tartiblangan holat uchun)
3-rasm. r sonining p — q ayirmaga bog'liqligi (r bo'yicha tartiblangan holat uchun)
r ning n ga bog'liqligi
4-rasm. r sonining n soniga bog'liqligi
5-rasm. r sonining n soniga bog'liqligi (n bo'yicha tartiblangan holat uchun)
6-rasm. r sonining n soniga bog'liqligi (r bo'yicha tartiblangan holat uchun)
7-rasm. r sonining <p(n) soniga bog'liqligi
65
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
г ning phi(n) ga bog'liqligi
8-rasm. r sonining ф(п) soniga bog'liqligi (<p (n) bo'yicha tartiblangan holat uchun)
r ning phi(n) ga bog'liqligi
■ p-q -г
9-rasm. r sonining ф(п) soniga bog'liqligi (r bo'yicha tartiblangan holat uchun)
10-jadval. Faktorizatsiyalash algoritmlarining qiyosiy tahlili
ШВДЦ сЬбяэт asi SSL
USU& N gqq jjy, 5QT313 Ю& ^¿"3 ■&ШЦЗЗА ¿Mlä <32 hü 0(N43)
Pûll^dîUIlg p ШяУяэд few. щгаДо^дцзщ Ьд'гд c^ibsttarißi topish <4SM 0[WL'4 )
L1 P J t^i Strassen tffiäsü каюйяа&кай < 32 Ьй 0{Ni « 1одлМ)
Sbsnksnitis WCWjwvо sliakl издДх N chridi mavdooda Isadrailsxi il'J'J'J'f* J'J 'J'J'J ïi 'J'J'j 'J'J'J* <23Ш Ol. Ml'1)
Pnlfardnitig; p-1 ^"pfmn-^t 1я\тг1 fin twWiitoTOÄ "¿is. toti tub < 72Ы1 C(№ « log'N)
Leman даД^ natural ¿(^deterministic tub fca'MœtwnMaiEa airansti <32 И
ЬЩЧ 5011 ФРФЯЩ tj.^ JTli t> Wßßs t^^iwoi tQpM <К!И 2V2)
toiKJw ai rati sh hshI y g flj^lf^hi ^-jpg gjQilgjgpft L(|,2V2)
ijgl3lj < 100 И I^.D
Lenstra natural " * <53 И L(j,2V2)
Raciamli dala fiJak VfTm^XU Ii i^.a^v'^v^ ç^nJ^J^ç^-tub Шкчт- Ш ГДЙДДЩ! flffl' 1 jftshtjj:isftj* a < llOhk 1 з|б4 fr
N щх. ^ mm kwto. ij^i. ham.da. <p(n) тттпя bn^Mifilipitii taxmin qilishpa asoslançan <20Qbü cC .г&ащШ щщокщ) ?i bitli seil uckuii (ï . 0(F- ")
Xulosa
Mazkur maqolada RSA shifrlash algoritmida ochiq kalitlar yordamida maxfiy kalitni aniqlashning yangi algoritmi taklif qilingan. Taklif qilingan algoritmning samaradorligi (a, b) oraliqni imkoni boricha kichik oraliqlarga ajratish va izlanayotgan p va q sonlarni qaysi oraliqda ekanligini aniqlash murakkabligiga bog'liq. (a,b) oraliqni kichik oraliqlarga bo'lishning va izlanayotgan p va q sonlarni qaysi oraliqda ekanligini aniqlashning optimal usuli aniqlansa, yoki r sonining n soniga bog'liqligi aniqlansa mazkur algoritmning samaradorligi anchagina ortadi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Talbot, John and Dominic Welsh. Complexity and Cryptography. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.
2. Rothe, Jörg. Complexity Theory and Cryptology. Berlin: Springer, 2005.
3. Diffie, W., Hellman, M.E. New directions in cryptography // IEEE Transactionson
66
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
Information Theory, vol. IT-22, 1976. - Рр. 644-654.
4. Шнайер Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си. -М.: издательство ТРИУМФ, 2003
- 816 с.
5. Венбо Мао. Современная криптография. Теория и практика. - Москва - Санкт-Петербург - Киев: Лори Вильямс, 2005.
6. Нильс Фергюсон, Брюс Шнайер. Практическая криптография -Москва: "Диалектика", 2004.
7. ElGamal T. On computing logarithm over finite fields // Advances in cryptology— CRYPTO'85 (Santa Barbara, Calif., 1985). (Lect. Notes in Comput. Sci.; V. 218). - Рр. 396-402.
8. ElGamal T., A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms // IEEE Transactions on Information Theory, 1985, vol. IT-31. - Pp. 469-472.
9. Столлингс В. Криптография и защита сетей. Принципы и практика. Изд.:Лори Вильямс, 2001.
10. Молдовян А.А., Молдовян Н.А. Введение в криптосистемы с открытым ключом. Санкт
- Петербург «БХВ-Петербург» 2005.
67
