CC BY
13
УДК 004.942.519.87(045)
е.о. додонов*
МЕРЕЖЕВА ЕЛЕКТРОННО-ТАБЛИЧНА МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНО1 ЗАДАЧ1 13 ПРОМ1ЖНИМИ ПУНКТАМИ
*1нститут проблем реестрацп шформацп НАН Украши, м. Ки!в, Украша
Анотаця. Модель транспортног задачг з промгжними пунктами (ТЗПП) у матричшй постановцг через свою утверсальтсть 7 гнучюсть е класичною. На гг основ! були розроблен методи й алгори-тми мережевог оптим1зацИ, де враховано специф1ку реальних мереж, зокрема, ТЗПП, але серйоз-ною проблемою залишаються критичн вимоги до параметр1в пам'ят1 7 швидкодп обчислювач1в. Матричн модел1 задач мережевог оптим1зацИмають принциповий недол1к, пов'язаний 7зрозм1рт-стю: зазвичай реальне мережеве завдання мжтить вузли, пов'язаШ не з уама тшими вузлами, а тыьки з суадмми, що добре видно на будь-яюй географ1чтй карт1 комуткацт, зате традищйна матрична верая мережевог модел\ ТЗПП вимагае враховувати вс п2 зв'язюв у матриц сум1жно-ст1 або пт зв'язюв у матриц7 тциденцт, де п - ктьюсть вузл1в, т - ктьюсть дуг. Якщо реально дуг немае, гх показники представляють ф1ктивними числами. Тому серйозною проблемою залиша-еться зд1йснення переходу в1д матриц7 до мереж1, яку в компактмй форм1 можна уявити, зокрема, списками вузл1в 7 дуг у реальмй мереж1, для чого необх1дю спещальш функцп для реал1зацИ певних елемент1в алгоритму. Таким важливим елементом е реал1зац1я принципу балансу потоюв у вузл1, що вперше введений у проблематиц потоковог оптим1зацИ, за яким алгебрагчна сума вх1дних
7 вих1дних потоюв не перевищуе потенщал вузла (пропозищя, попит). Електронн таблиц7 (ЕТ) та гх досконал1ш1 версп з розвиненим набором функщй, процедур 7 програм-надбудов визначили ефек-тивн ¡нформац1йн1 технологи ЕТ-моделювання та ЕТ-оптим1зацп, яю поповнили арсенал сучасног б1знес-аналтики. Саме ц кошти дозволили досл1джувати мережев1 структури, зокрема, визна-чаючи гх конф1гурацт, вимушено зм1нну як реакщя на зовтшю впливи. Запропонована мережева верыя модел1 ТЗПП може служити робочим ¡нструментом для досл1дження реальних завдань цього типу. Отриманий результат у середовищ1 електронног таблиц7 дозволяе адаптувати модель до реального стану об'екта досл1дження шляхом модиф1кацп ЕТ-модел1, визначити дИ щодо формування перспективного плану розвитку мереж1, досл1джуваного на модел1. Ключовi слова: задач1 про потоки в мережах, транспортна задача з пром1жними пунктами, еле-ктронно-табличне моделювання, мережева оптим1зац1я, транспортна задача 7з пром1жними пунктами, оптим1зац1я в електронмй таблиц¡.
Аннотация. Модель транспортной задачи с промежуточными пунктами (ТЗПП) в матричной постановке из-за своей универсальности и гибкости является классической. На ее основе были разработаны методы и алгоритмы сетевой оптимизации, где учтена специфика реальных сетей, в частности, ТЗПП, но серьезной проблемой остаются критические требования к параметрам памяти и быстродействию вычислителей. Матричные модели задач сетевой оптимизации имеют принципиальный недостаток, связанный с размерностью: обычно реальная сетевая задача содержит узлы, связанные не со всеми другими узлами, а только с соседними, что хорошо видно на любой географической карте коммуникаций, зато традиционная матричная версия сетевой модели ТЗПП требует учитывать все п2 связей в матрице смежности или пт связей в матрице ин-циденций, где п - количество узлов, т - количество дуг. Если реально дуг нет, их показатели представляют фиктивными числами. Поэтому серьезной проблемой остается осуществление перехода от матрицы к сети, которую в компактной форме можно представить, в частности, списками узлов и дуг в реальной сети, для чего необходимы специальные функции для реализации определенных элементов алгоритма. Таким важным элементом является реализация принципа баланса потоков в узле, который впервые введен в проблематике потоковой оптимизации, по которому алгебраическая сумма входных и выходных потоков не превышает потенциал узла (предложение, спрос). Электронные таблицы (ЭТ) и их совершенные версии с развитым набором функций, процедур и программ-надстроек определили эффективные информационные технологии ЭТ-моделирования и ЭТ-оптимизации, которые пополнили арсенал современной бизнес-аналитики.
© Додонов е.О., 2018
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2018, № 3
Именно эти средства позволили исследовать сетевые структуры, в частности, определяя их конфигурацию, вынужденно изменяемую как реакция на внешние воздействия. Предложенная сетевая версия модели ТЗПП может служить рабочим инструментом для исследования реальных задач этого типа. Полученный результат в среде электронной таблицы позволяет адаптировать модель к реальному состоянию объекта исследования путем модификации ЭТ-модели, определить действия по формированию перспективного плана развития сети, исследуемого на модели. Ключевые слова: задачи о потоках в сетях, транспортная задача с промежуточными пунктами, электронно-табличное моделирование, сетевая оптимизация, транспортная задача с промежуточными пунктами, оптимизация в электронной таблице.
Abstract. The model of the transport problem with intermediate points (TPIP) in the matrix formulation because of its versatility and flexibility is classical, based on its methods and algorithms of network optimization were developed, which takes into account the specificity of real networks, in particular, TPIP, although the critical problem remains critical requirements to the memory parameters and the speed of the calculators. Matrix models of network optimization tasks have a fundamental drawback associated with the dimension: usually the actual network task contains nodes that are not connected with all other nodes, but only with neighboring nodes, as can be clearly seen on any geographic communication map,
but the traditional matrix version of the TPIP network model requires taking into account all n2 links in the adjacency matrix or nm bonds in the incidence matrix, where: n is the number of nodes, m is the number of arcs, if there are not really arcs, their exponents represent fictitious numbers. Therefore, a serious problem remains the implementation of the transition from the matrix to the network, which in compact form can be represented, in particular, by lists of nodes and arcs in the real network, which requires special functions to implement certain elements of the algorithm. An important such element is the implementation of the flow balance principle in the node, first introduced in the problems of streamline optimization, according to which the algebraic sum of the input and output streams does not exceed the node potential (supply, demand). Spreadsheets (SS) and their perfect versions with a developed set of functions, procedures and add-on programs have identified effective information technologies SS-modeling and SS-optimization, which have replenished the arsenal of modern business analytics. It is these tools that made it possible to examine network structures, in particular, determining their configuration, which is forced to change as a response to external influences. The proposed network version of the TPIP model can serve as a working tool for investigating real problems of this type, the result obtained in a spreadsheets environment allows to adapt the model to the real state of the research object by modifying the SS model, to determine the actions for the formation of the long-term plan for the development of the network studied on the model.
Keywords: flows in networks problems, transportation problem with intermediate points, spreadsheets modeling, network optimization, transshipment problem, optimization with spreadsheets.
1. Вступ
Розв'язання реально! транспортно! задачi на ламповш ЕОМ щойно винайденим симплекс-методом1 - юторична подiя в област прикладно! математики, оргашзацшно! i планово-управлшсько! практики, яка визначила появу нового класу математичних моделей - лшш-ного програмування (ЛП, [1]), що дало потужний поштовх щодо розробки досконалих за-собiв комп'ютерного моделювання та !х активного використання. За свою ушверсальшсть i гнучкють модель транспортно! задачi ЛП (ТЗ ЛП) у матричнш постановщ стала класич-ною. На Г! основi були поставлен новi задач^ розроблеш методи i алгоритми мережево! оптимiзащi, де якнайкраще врахована специфша реальних мереж, зокрема, ТЗПП, хоча серйозною проблемою залишаються критичш вимоги до параметрiв пам'ят й швидкодп обчислювачiв.
1 Dantzig G.B. Application of the Simplex Method to a Transportation Problem. Перша публшащя про
симплекс-метод та його устшне використання у Працях конференци «Activity Analysis of Production and Allocation», 1949 р.
За усталеною методолопею, ТЗПП мае аналопчну матричну постановку, де до дже-рел i стокiв доданi промiжнi пункти, якi можуть бути джерелами, стоками чи транзитними пунктами, тож розмiри матриць питомих вартостей й шуканих невiдомих солiдно зроста-ють i фахiвцями здiйснюються вимушенi спроби дещо штучно !х зменшувати. Зокрема, за методом декомпозицп Данцига-Вульфа, загальну задачу роздшяють на окремi пiдзадачi допустимих розмiрiв, результати розв'язання яких згодом об'еднують за спецiальною методикою. Чи не единим виходом залишаеться бурхливий прогрес розвитку комп'ютерно! техшки та методiв оргашзацп обчислень типу розподшу обчислювального процесу, за якими вдаеться оргашзувати роботу з матрицями великого розмiру.
Матричнi моделi задач мережево! оптимiзацii мають ще один принциповий недолiк, пов'язаний iз розмiрнiстю: зазвичай реальна мережева задача мютить вузли, зв'язанi не з уама iншими вузлами, а лише з сусщшми, це добре видно на будь-якш географiчнiй картi комушкацш i зрозумiло будь-якому перевiзнику, зате традицшна матрична версiя мережево! моделi ТЗПП вимагае враховувати ус n2 зв'язкiв у матрицi сумiжностi чи nm зв'язкiв у матриц iнциденцiй, де n - кшьюсть вузлiв, m - кiлькiсть дуг, якщо реально дуг немае, !хш показники представляють фiктивними числами.
Тож серйозною проблемою залишаеться здiйснення переходу вщ матрицi до мережу яку в компактнiй формi можна представити, зокрема, списками вузлiв i дуг, що е у реа-льнiй мереж1, для чого необхщш специфiчнi функцп для реалiзацii певних елеменпв алгоритму. Важливим таким елементом е реалiзацiя принципу балансу потоюв у вузлi, вперше уведений у проблематищ потоково! оптимiзацii [2], за яким алгебра!чна сума вхщних i ви-хiдних потокiв не перевищуе потенцiал вузла (пропозицiя, попит).
Винахщ електронних таблиць (ЕТ, spreadsheets) та випуск !х досконалих версш iз розвиненим набором функцiй, процедур i програм-надбудов визначили ефективнi шфор-мацiйнi технологи ЕТ-моделювання [4] та ЕТ-оптимiзацii [5, 6], якi поповнили арсенал сучасно! бiзнес-аналiтики [7]. Саме щ засоби дозволили дослiджувати мережевi структури, зокрема, визначаючи !х конф^уращю, вимушено змiнювану як реакцiя на зовшшш впливи [8].
2. Матрична верс1я ЕТ-модел1 ТЗПП
Матрична верая задачi ТЗПП е чи не единою й доа2, що стримуе процес !! розв'язання для практики. Щоб зрозумiти складностi реалiзацi! тако! версi! для розв'язання серйозно! практично! задач^ розглянемо класичний приклад iз реалiзацiею в Excel.
Приклад 1 [3, с. 219]. Змшана мережа складаеться з 8 вузлiв i 10 направлених дуг (рис. 1). Тут явним джерелом е вузол 1 iз запасом/пропозищею 10 од., явним стоком - ву-зол 8 з попитом 8 од., уа iншi вузли - промiжнi пункти, вузол 4 мае запас 4 од., вузли 3 i 6 - попит (-3 i -1), задача закрита (збалансована). Сума пропозицш дорiвнюе сумi попиту (В=12), дуги мають питомi витрати передачi потокiв ними, заданi запаси i попити названi «чистими» (ЧЗ, ЧП).
Мета - перерозподiлити потенщали вузлiв за загальними мiнiмальними витратами.
Початкова матрична модель - це матриця С питомих витрат у форма^ матриць:
• сумiжностi розмiром 8^8 (64 значень, iз них 54 фштивних числа);
• шциденцш розмiром 8^10 (80 значень, iз них 60 нулiв).
Такою е i шукана матриця потокiв Х.
2 Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 436 с., [5].
Пщготовчий етап. За дещо штучною i неформальною методикою, для яко'1 необхiдна спецiальна про-грама, для зменшення розмiру задачi попередньо аналiзуються потенцiали вузлiв та зв'язки мiж ними. Певними обчислен-нями «чисп» показники перет-ворюються в деформоваш поча-тковi данi: 6 пропозицш i 7 по-питу у результат сформовано! зменшено! матрицi розмiром 6^7 зведенням ТЗПП до класи-чно! ТЗ ЛП.
Розмiр задачi оптимiза-цп: 42 невiдомих, 13 обмежень.
Недолш ще! методики: за кожною змiною початково! структури мереж^ що е основною метою мережевого моде-лювання, п щоразу треба повто-рювати, щоб утворити нову пе-вного розмiру. Тут питомi ви-трати 32 вщсутшх дуг предста-вляють великими числами (99), щоб заповнити матрицю С, д1а-гональш значения сн = 0 .
Результат (рис. 2, 3). Попит вузла:
3 (-3) забезпечуеться потоком: 1 - 2 - 3;
6 (-1) - потоком: 1 — 2 — 5 —
6;
8 (-8) - потоками: 1 — 2 — 5— 6 — 7 — 8 (вузол 6 е одночасно транзитним) та 4 — 7 — 8.
3. Мережева верс1я ЕТ-модел1 ТЗПП
Приклад 2. За цими ж початко-вими даними для змшано! ме-режi розмiром (8, 10) формуеть-ся спискова верая моделi ТЗПП, де почата^ даш пред-ставлеш списком 8 вузлiв (8 клiтинок) та списком дуг у фо-рматi: «Початок, Кшець, Вартiсть», це 3 стовпцi i 10 рядкiв. Шуканi 10 невщомих - стовпець iз 10 кл^инок.
Рисунок 1 - Мережа ([3], с. 221)
План перевемнь в « |
С 3 4 5 б 7 8 43 Проп.
1 3 99 99 99 99 99 99 10 10
2 0 у 99 3 99 99 99 0 12
4 99 6 0 4 99 5 99 2 14
5 99 99 99 0 3 99 99 0 12
б 99 99 99 99 0 5 99 0 11
7 99 99 99 99 99 а 2 0 12
ЧП 0 3 4 0 1 0 8
Попит 12 3 12 12 12 12 8
Транспортна задача X 2 3 4 5 6 7 $
1 10 0 0 0 0 0 0 ' 10
2 ^ 3 0 7 0 0 0 ' 12
4 0 0 12 0 0 ^ 0 ' 14
5 0 0 0 5 7 а 0 ' 12
б 0 0 0 0 5 б 0 ' 11
7 0 0 0 0 0 4 8 ' 12
* 12 * ■> 3 ^ 12 ^ 12 * 12 * 12 У 5 149
ЦФ
Рисунок 2 - Матрична модель ТЗПП — ТЗ ЛП
Рисунок 3 - Результат 1
Розмiр задачi оптимiзащi: 10 невiдомих i 8 обмежень. Використовуються заданi по-чатковi данi.
Результат (рис. 3, 4).
Вузол Пот. 06м.
10
-3
О
„уга Почагок Кшець
Варт.
ЦФ=
План [X)
1 1 2 3 10
2 2 3 7 3
2 5 3 7
4 4 3 6 0
5 4 5 4 0
б 4 7 5 т Л
7 5 4 5 0
3 6 3 7
9 б 1 5 6
10 7 3 2 8
14 9
Рисунок 4 - Результат 2
Приклад 3. Задана змшана мережа розмiром (27, 101), де за заданими потенщалами вузлiв: 16 джерел (1, 2, 3, ..., 23, 24, 25), 10 стоюв (4, 5, 7, ..., 27, 28, 29) i один транзитний вузол (17), сума пропозицш - 197 од., попиту - 165 од., задача вщкрита (рис. 5).
Застосовано мережеву вераю моделi iз списковою органiзацieю даних i шуканих невiдомих.
Результат (рис. 6, 7).
Рисунок 5 - Мережа (27, 101)
Рисунок 6 - Потоки «джерела ^ стоки»
PncynoR 7 - Mepeжa i потоки
Дoдaткoвo oтpимaнi двоют oцiнки пoчaткoвих дaних:
• тiньoвi цiни пoтeнцiaлiв вyзлiв - вiд'eмнi чиcлa, яю вкaзyють нa пoтeнцiйнe зни-жeння (для джepeл) чи збiльшeння (для стоюв) зaгaльних витpaт (знaчeння цшьово'1 функ-ц^' (ЦФ)) при змЫ пoтeнцiaлy вyзлa нa 1. Haпpиклaд, змiнa пропозицп вyзлa-джepeлa 2 та 1 дозволить змeншити знaчeння ЦФ нa 1З гр. од., a збiльшeння попиту вyзлa-стоку 29 та 1 пpивeдe до збiльшeння ЦФ нa бЗ од. Зa допомогою цих oцiнoк можта змiнити poзпoдiл зaпaciв нa cклaдaх для змeншeння витpaт нa пepeвeзeння продукту до cтoкiв;
• пpивeдeнi вapтocтi питомих витpaт для дугових пoтoкiв - дoдaтнi чиcлa, яю вга-зують нa змiнy (збiльшeння) знaчeння цшьово"1 функцп при вимyшeнoмy вiдхилeннi вiд oптимaльнoгo плaнy. Скaжiмo, вимyшeнe пepeвeзeння нeвигiднoю дугою (1, 4) одинищ продукту збiльшить знaчeння ЦФ нa З0 гр. од.
Ц oб'eктивнi i oбгpyнтoвaнi пoкaзники зaзвичaй зacтocoвyють для змiни структури мepeжeвoï opгaнiзaцiï шляхом мoдифiкaцiï нaвeдeнoï мoдeлi, щоб вpaхyвaти cпeцифiчнi умови peaльнoгo пpoцecy yтвopeння i poзмiщeння зaпaciв, poзтaшyвaння мicць зaмoвлeнь i шляхiв пepeвeзeнь.
Ha eтaпi мoдифiкaцiï мoдeлi зa нeoбхiднocтi вводять oбмeжeння знизy/звepхy нa вe-личину шумного потоку, щоб вpaхyвaти тeхнoлoгiчнi умови прот^ння потоку чи пропу-жну здaтнicть кaнaлy зв'язку.
4. Висновки
Пoкaзaнo нa пpиклaдaх, що зaпpoпoнoвaнa мepeжeвa вepciя мoдeлi тpaнcпopтнoï зaдaчi з пpoмiжними пyнктaми e цшком робочим iнcтpyмeнтoм для дocлiджeння peaльних зaдaч цього типу. Oтpимaний peзyльтaт y cepeдoвищi eлeктpoннoï тaблицi дозволяе aдaптyвaти мoдeль до peaльнoгo егану oб'eктa дocлiджeння шляхом мoдифiкaцiï ЕT-мoдeлi, визнaчaти ди щодо фopмyвaння пepcпeктивнoгo плaнy розвитку мepeжi, що дocлiджyeтьcя нa мoдeлi.
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
1. Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения / пер. с англ. М.: Прогресс, 19бб. б02 с.
2. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях / пер. с англ. М.: Мир, 19бб. 27б с.
3. Вагнер Г. Основы исследования операций / пер. с англ. М.: Мир, 1972. Т. 1. ЗЗб с.
4. Ragsdale C. Spreadsheet Modeling and Decision Analysis. A Practical Introduction to Management Science. 6-ed. Cengage Learn., 2010. 794 p.
5. Baker K. Optimization Modeling with Spreadsheets. 3-ed. Thomson, 2015. 353 p.
6. Кузьмичов A.I. Ошгашзацшне моделювання в Excel. Кшв: 1ПР1 НАНУ, 2017. 4З8 с.
7. Evans J. Business Analytics. 2-ed. Pearson, 2017. 653 p.
8. Кузьмичов A.I., Додонов G.О. Ошташзацшш моделi реконф^ураци мережевих структур. Реест-ращя, збeрiгання i обробка даних. 2017. Т. 19, № 2. С. 24-35.
Стаття надтшла до редакцИ' 20.08.2018
