CC BY
21
УДК 519-6
ЗАДАЧА СИНТЕЗА ТЕРМИНАЛЬНОЙ СЕТИ НА ГРАФЕ
TERMINAL NETWORK SYNTHESIS PROBLEM ON A GRAPH
М.М. Бухурова M.M. Bukhurova
Институт прикладной математики и автоматизации, Россия, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, д. 89А Institute of Applied Mathematics and Automation, 89 A, Shortanov St, Nalchik, 360000, Russia
E-mail:mareta.bukhurova@mail.ru
Аннотация
В работе рассматривается задача синтеза терминальной сети на графе, которая является многоэкстремальной и решается методом динамической декомпозиции, сводящий процесс оптимизации сети к оптимизации ее частей. Сформулирован системный принцип опимальности для терминальной сети с одним источником, дано определение p -оптимальной сети и проведены вычислительные эксперименты на графах, имеющих регулярную структуру и одни и те же нормативные данные в узлах и на ветвях.
Abstract
We consider the problem of synthesis of terminal network on the graph, which is multiextremal and is solved by a dynamic of decomposition, which reduces the network optimization process to optimize its parts. Formulated system optimality principle for terminal network with a single source, a definition of the p -optimal network and performed
computational experiments on columns having a regular structure and the same normative data in nodes and branch-
Ключевые слова: задача синтеза, терминальная сеть, граф, метод динамической декомпозиции, принцип оптимальности.
Keywords: synthesis problem, terminal network, graph, dynamic method of decomposition, the principle of optimality.
Введение
Реально функционирующие системы содержат наряду с непрерывной средой, локализованными в пространстве элементами, еще и каналы, по которым транспортируется вещество, энергия, информация и выносятся из системы продукты распада. Вследствие этого задачи оптимального определения конфигурации сети каналов и их параметров являются актуальными с математической и прикладной точек зрения.
Математическая теория сетей начинается с работ Л. Эйлера, Я. Штейнера, Г. Кирхгофа [1]. В работах Р. Прима и И. Краскала построены эффективные алгоритмы определения кратчайшей связывающей сети [2]. Е. Дейкстра разработал алгоритм построения кратчайшего маршрута на взвешенном графе между заданными вершинами. Сетевая задача с вогнутой целевой функцией практически эффективно решена В.П. Булатовым, Л.И. Касинской [3] и В.А. Трубиным [4]. Решения В.П. Булатова и Л.И. Касинской основаны на методе Хоанг Туя [5], решения В.А. Трубина - на методе ветвей и границ.
Следует отметить, что направление решения задач синтеза сетей связано со стремлением свести задачи синтеза сети к обобщенной задаче Штейнера. Для этого решается вначале задача оптимизации параметров ветвей сети на заданной конфигурации (задача оптимизации параметров - «хорошая» задача минимизации выпуклой функции при линейных (сетевых) ограничениях), а затем путем вариации положения точек ветвления сети (точек Штейнера) эта конфигурация оптимизируется.
Постановка задачи
При решении сетевой задачи Штейнера на первом этапе решается не содержащая точек Штейнера задача синтеза терминальной сети с одним источником [6].
Данная задача состоит в следующем:
{v }
v ¡1 Л ,
z = Z c ij(v j)lij ^ min. (1)
ijeD
Z v j - Z Vjk = gj, j e B; Z v.. = Zgt = Qx, (2)
ierj ker- ,еГ- ieB
v. > 0, Vij e D, (3)
где: Г(В, D) - заданный конечный, связный, вообще говоря, двузвенный орграф, моделирующий возможные соединения узлов (вершин) сети друг с другом; В и D - множества его вершин и дуг; v , су, lij, - соответственно искомое значение потока по ij - ой дуге (ветви) сети, его удельная (на единицу длины) стоимость и заданная длина ветви; Q, g - заданный поток в сеть, заданный расход потока в j - ом узле (вершине) сети соответственно.
Целевая функция (l) отражает стоимость сети. Ограничения (2), (3) учитывают законы теории сетей и требования по обеспечению потребителей сети потоками.
Задача является существенно многоэкстремальной и относится к классу полиноминально неразрешимых задач. Сложность состоит в том, что задача, во-первых, комбинаторная - экстремумы могут достигаться только в угловых точках транспортного многогранника (2), (3), вершинам многогранника, как известно, соответствуют базисные решения системы (2), (3). Эта система содержит (n -1) линейно-независимых уравнений (n - количество вершин сети) и, следовательно, количество положительных переменных равно (n -1). Во-вторых, в каждой угловой точке в процессе направленного перебора приходится решать не расчетную, а оптимизационную задачу (выпуклого программирования при линейных ограничениях).
Для задачи (l) - (3) имеет место следующий принцип.
Принцип оптимальности
а) Найдется остов Т графа Г(В, D) и соответствующее ему базисное решение задачи (v* = 0 ij zT), такое, что
min Z cij (vj )lj =Z cij(v*)l, ■
ijeD ijeT
б) Пусть T - любая связная часть Т, Г (Т') - граф , порожденный на графе Г (В, D) графом Т' • Тогда:
min Z cij(v, У, =Z cij(v* )l,,
jeD ijeD
где v = v* Vij z Г(T').
ij ij
Условие а) сводит процесс оптимизации сети к перебору решений, соответствующих остов-ным деревьям графа Г (В, D). Однако даже направленный перебор таких решений неосуществим в силу их большого количества, растущего экспоненциально от числа вершин и дуг графа Г (В, D), и необходимости решать на каждом из них задачу выпуклого программирования с линейными ограничениями. Для преодоления этого препятствия можно использовать утверждение б), сводящее оптимизацию сети к оптимизации ее частей.
Поскольку оптимумы соответствуют вершинам транспортного многогранника, а им, в свою очередь, остовы графа Г (В, D), то будем использовать метод направленного перебора угловых точек
- симплекс метод, но в сетевой интерпретации. Пусть Т - некоторое текущее дерево сети. Продвижению из текущей угловой точки в смежную соответствуют внесение в текущее остовное дерево некоторой хорды e из Г (В, D) и удаление инцидентной ей дуги. При этом изменяются потоки только по дугам контура K , замыкаемого хордой e на дереве Т. Фиксируем лучшее решение, переходим к следующему контуру. Модификация структуры сети продолжается до тех пор, пока уже ни на одном контуре текущего дерева невозможно будет получить лучшего решения. Полученное при этом решение будет 1 -оптимальное решение первого ранга.
Назовем p -оптимальным такое решение задачи (l) - (3), которое нельзя улучшить внеся в остов-ное дерево, соответствующее решению, любые p хорд и удалив из него соответствующие им p дуг.
P -оптимальное решение обеспечивает глобально-оптимальное решение на множестве симплексов транспортного многогранника (2), (3), которые имеют смежность в промежутке [1, p] к симплексу, вершиной которого является p -оптимальное решение.
В настоящее время разработаны алгоритмы генерации и оптимизации подграфов графа возможных соединений вершин сети, которые соответствуют второму рангу оптимальности. Ниже представлены структуры терминальных сетей первого и второго ранга оптимальности.
Чтобы исключить влияние иных факторов - структуру графа и параметров узлов сети (нормативный расход и напор воды, длины ветвей сети), вычислительные эксперименты проводились на графах, имеющих регулярную структуру и одни и те же нормативные данные в узлах и на ветвях. В качестве таких графов были выбраны геометрические графы, каждый элементарный контур которых является квадратом (см. рисунок).
Сети первого ранга оптимальности, как видно из рисунка, не имеют регулярной структуры: их вид существенно меняется в зависимости от размерности графа сети. Это говорит о необходимости построения решений более высокого ранга оптимальности. Сети второго ранга оптимальности уже обладают регулярной структурой.
Дальнейшее увеличение рангов оптимизируемых структур не приводит к существенному уменьшению значения целевой функции.
Заключение
Сформулирован системный принцип опимальности для терминальной сети с одним источником, дано определение р -оптимальной сети и проведены вычислительные эксперименты на графах, имеющих регулярную структуру и одни и те же нормативные данные в узлах и на ветвях.
Список литературы References
1. Кристофидес Н. 1978. Теория графов. М., Мир.
Kristofides N. 1978. Teoriya grafov [Graph theory]. Moscow, Mir.
2. Прим Р.К. 1961. Кратчайшие связывающие сети и некоторые обобщения, Кибернетический сборник, (2). 95-107.
Prim R.K. 1961. Cratchaishie svyazyvayushie seti I nekotorie obobsheniya [Shortest connecting networks and some generalizations]. Cybernetic collection.
3. Булатов В.П., Кассинская Л.И. 1987. Некоторые методы минимизации вогнутой функции на выпуклом многограннике, Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, СЭИ СО АН СССР, 151-172.
Bulatov V.P., Kassinskaya L.I. 1987. Nekotorie metody minimizatsii vognutoy functsii na vypuklom mnogogrannike [Some methods for minimizing a concave function on a convex polyhedron]. Optimization methods and their applications. Irkutsk: SEI SB AS USSR.
4. Трубин В.А. 1982. Свойства и методы решения оптимального синтеза сетей. Киев: Общество «Знание» УССР. 23с.
Trubin V.A. 1982. Svoistva I metody resheniya optimalnogo sinteza setey [Properties and methods for solving optimal network synthesis]. Kiev, Society "Knowledge" of the Ukrainian SSR.
5. Туй Х. 1964. Вогнутое программирование при линейных ограничениях, Доклады АН СССР, 159(1): 32-35. Tui Kh. 1964. Vognutoe programmirovanie pri lineinyh ogranicheniyah [Concave Programming with Linear
Constraints]. Reports of the Academy of Sciences of the USSR.
6. Кудаев В.Ч., Багов М.А. 2015. Преобразование терминальной сети в сеть Штейнера. Нальчик, Известия КБНЦ РАН, 6 (68): 31-37.
Kudaev V.Ch., Bagov M.A. 2015. Preobrazovanie terminalnoi seti v set Steynera [Transformation of a terminal network into a Steiner network]. Nalchik. The News of KBSC of RAS.
