CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-359-364
Мера трансцендентности числа Лиувилля в р-адической
области
Е. С. Крупицын
Крупицын Евгений Станиславович — кандидат физико-математических наук, Институтт математики и информатики МИГУ (г. Москва). e-mail: [email protected]
Аннотация
В статье установлены оценки многочлена от полиадического Лиувиллева числа в р-адической области.
Ключевые слова: полиадическое число Лиувилля, трансцендентность.
Библиография: 14 названий.
Для цитирования:
Крупицын, Е. С. Мера трансцендентности числа Лиувилля в р-адической области // Чебы-шевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 359-364.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.
UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-359-364
A measure of the transcendence of the Liouville number in the
p-adic domain
E. S. Krupitsvn
Krupitsyn Evgeny Stanislavovich — candidate of physical and mathematical sciences, Institute of Mathematics and Computer Science of MSPU (Moscow). e-mail: [email protected]
Abstract
The paper presents a lover estimate for the p-adic value of a polynomial evaluated at polyadic Liouville number.
Keywords: polyadic Liouville numbers, transcendence
Bibliography: 14 titles.
For citation:
Krupitsvn, E. S. 2024, "A measure of the transcendence of the Liouville number in the p-adic domain" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 359-364.
1. Введение
В ряде работ [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14] существенно используется понятие полиадического Лиувиллева числа.
В работах [2], [3], [4], [5] устанавливается бесконечная линейная независимость значений гипергеометрических рядв с праметрами — полиадическими числами Лиувилля. В работе [1] установлено, что при определенных условиях на параметры рядов вида
р /X V* («1 ))гс... («Г )» „»
Ь (А)К..Ш»* '
р ( ) = ^ («1 + 1))П... (аг + 1)»
1() »=0 (?1 + 1))П... (А + 1)»
хотя бы одно из чисел Р0(£), р\(£), где £ — натуральное число или полиадическое число Ли-Перейдем к точным формулировкам. Полиадическим числом называется элемент прямого нический вид
те
а = ^а» -п!, а» е N и {0}, а» ^ п. »=0
Этот ряд сходится во всех полях р-адических чисел и его сумму в поле р-адических чисел обозначим а(р).
а
Р и п существует такое целое число А, что для всех простых чисел р ^ Р выполняется неравенство
|а(р) -А1 < |А|-».
Разумеется, полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого р
В работах [12], [13] устанавлены оценки многочленов и линейных форм от полиадических чисел Лиувилля. В этих оценках содержатся величины, точные значения которых не указаны.
полиадических чисел указанного ниже вида.
2. Основной результат
Пусть Ао = 1 и для любого простого числа р такого, что р ^ [ел°] + 1 выполнено о г о = [еЛ° ] + 1
Пусть дал ее А1 = Ао+Цо и для любого простого числа р такого, что р ^ [еЛ1] +1 выполнено о г (1р/л1 = [ еЛ1] + 1.
Ак = Ак-1 + Цк-1 (1)
р
р ^
еХк
+1
выполнено
ог(1рцк = 1еЧ + 1. (3)
Обозначим
те
А = Ао + ^ . (4)
к=0
Из (1) - (4) следует, что А является полиадическим числом Лиувилля.
Теорема 1. Для любого натурального числа, (I существует постоянная Н0 такая, что для любого ненулевого многочлена Р(х) с целыми коэффициентами степени не выше (I и высоты Н ^ Но и любого простого числа, р, удовлетворяющего неравенству
р < [ехр (Сге2Н)] + 1 (5)
выполнено неравенство
| Р(А)|р ^ е-(1С3е2Н , (6)
где Сз > Сх > Со = 21п2.
Доказательство. Для любого натурального числа к имеет место равенство
Р(А) = Р(Ак) + Р'(Ак)(А - Ак) + ^Т^(Л - Лк)2 + ... + Р^) (А - Ак)а. (7) Так как Р (ж) имеет целые коэффициенты, а числа А к — натуральные, все числа
Р'П ) Р''(Дк) Р{Л)(Хк)
Р (Ак), ..., —
являются целыми. Кроме того, согдасно (1) - (4)
А - А к = ^ щ
= к
|А - А к |р| = ^к |р, (8)
р (а)(\,_)
< |^к|р (9)
Р''(^к),, , Л2 , , Р(Й)(Ак)м , ^
р
Р'(Ак)(А - Ак) + —(А - Ак)2 + ... + ^ к (А - Ак)
для всех простых чисел р, удовлетворяющих неравенству (2). По лемме о модуле старшего члена [14], если
Ак >Н + 1, (10)
то Р(Ак) = 0 и, следовательно,
|р(Ак-)|р> йЬ > ^=е- ,ПН-,п" (11)
Если выполнено неравенство
|^к|р < е-,пН-ХпЛ-Л1пЛ*, (12)
то из (7), (9), (11) и (12) следует оценка
|Р(А)|р = |Р(Ак)|р ^ е-,пН-,п<^. (13)
и
Так как
^-1 = п р[ 1 ]+1 = П е1пр([ ]+1)
р^е^-1 ] + 1 рф^-1 ]+1
2
/ А 1 -. и \ Xх т - I I А 1 -. и '
ехр
( ел*-1 + 1^ ^ 1пр < ехр(Со( еЛй-1 + ) . (14)
рф ] + 1
Здесь использована известная оценка ^ ^ Сох, причем при х > 2 можно положить
р^х
Со = 21п2.
Если число Н достаточно велико для того, чтобы выполняется неравенство
А*_1 ^Н + 1, (15)
т.е. Н > Н1, тогда из (14) и (15) получим
Ак = Ай_1 +^_1 ^Н + 1 + ехр ((Со [ея+1 + 1])2) < ехр (С^2Н) (16)
при Н > Н2 для любо го С1 > Со-Тогда
1Р = р_([еЛ"]+1) = е_([еХк]+1) 1пр < е_([еЛй]+1) 1п2 <
_^еехр(с1е2Н )]+1) 1п 2
(17)
<
и условие (12), согласно (16), следует из неравенства
([еехр( С1е2Н)] + 1) 1п 2 > 1пН + 1п( + (С1е2Я. (18)
Это неравенство выполнено для всех Н > Н3, где Н3 зависит от числа При этом, согласно (13), (16)
|Р( А)| > е_ 1пЯ_1п^_й 1пЛ^ > е_ 1пН_1пй_йС1е2Н > е_<1С3е2Н
при Н > Н4.
Выбирая Но = тах (Н1, Н2, Н3, Н4) получим утверждение теоремы. □
3. Заключение
оказывается несколько более простой задачей, чем оценка многочлена от комплексных чисел Лиувилля.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
р
ских рядов с трансцендентными полиадическими параметрами // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. — 2023. — Т. 510. — С. 29-32.
2. Чирский В. Г. Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром // Чебышевский сборник. - 2021. - Т. 22, № 2. - С. 304-312.
3. Чирский В. Г. Арифметические свойства значений обобщённых гипергеометрических рядов с полиадическими трансцендентными параметрами // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. — 2022. — Т. 506. — С. 95-107.
4. Чирский В. Г. Бесконечная линейная независимость с ограничениями на подмножество простых чисел значений рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым парамером // Чебышевский сборник. — 2022. — Т. 23, № 1. — С. 153-166
5. Чирский В. Г. Новые задачи теории трансцендентных полиадических чисел // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. — 2022. — Т. 505. - С. 63-65.
6. Chirskii V. G. On polyadic liouville numbers // Dokladv Mathematics. — 2022. — Vol. 106, no. S2. - P. S161-S164.
7. Чирский В. Г. Полиадические числа Лиувилля // Чебышевский сборник. — 2021. — Т. 22, № 3. - С. 245-255.
8. Chirskii V. G. Arithmetic properties of an euler-tvpe series with polyadic liouville parameter // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2021. — Vol. 28, no. 3. — P. 293-302.
9. Чирский В. Г. Арифметические свойства рядов эйлерова типа с параметром - лиувиллевым полиадическим числом // Доклады Академии наук. — 2020. — Т. 494. — С. 65-67.
10. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hvpergeometric series // Russian Journal of Mathematical Physics. - 2020. - Vol. 27, no. 2. - P. 175-184.
11. Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journal of Mathematical Physics. - 2019. - Vol. 26, no. 3. - P. 286-305.
12. Крупицын E. С. Оценка многочлена от глобально трансцендентного числа // Чебышевский сборник. — 2017. — Т. 18, № 4. — С. 245-254.
13. Крупицын Е. С. Арифметические свойства рядов некоторых классов // Чебышевский сборник. - 2019. - Т. 20, № 2. - С. 374-382.
14. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука. — 1968. REFERENCES
1. Chirskii, V. G. 2023, "Transcendence of p-adic measurements of generally accepted hvpergeometric series with transcendental polyadic parameters", Reports of the Russian Academy of Sciences. Mathematics, computer science, management processes., vol. 510, pp. 29-32.
2. Chirskii, V. G. 2022, "Arithmetic properties of values at polyadic liouville points of euler-tvpe series with polyadic liouville parameter", Doklady Mathematics, Vol. 106, № . 2, pp. 150-153.
3. Chirskii, V. G. 2022, "Arithmetic properties of the values of generalized hvpergeometric series with polyadic transcendental parameters", Doklady Mathematics., Vol. 106, № . 2, pp. 3K0 397.
4. Chirskii, V. G. 2022, "Infinite linear independence with constraints on a subset of prime numbers for values of euler-tvpe series with polvadic liouville parameter", Doklady Mathematics., Vol. 106,№ . 2, pp. 154-160.
5. Chirskii, V. G. 2022, "New problems in the theory of transcendental polvadic numbers", Doklady Mathematics., Vol. 106, № . 1, pp. 265-267.
6. Chirskii, V. G. 2022, "On polvadic liouville numbers", Doklady Mathematics. — 2022. — Vol. 106, no. S2. - pp. 161—164.
7. Chirskii, V. G. 2022, "Polvadic liouville numbers", Doklady Mathematics. - 2022. - Vol. 106, no. S2. - pp. 137-141.
8. Chirskii, V. G. 2021, "Arithmetic properties of an euler-tvpe series with polvadic liouville parameter", Russian Journal of Mathematical Physics., Vol. 28, № . 3, pp. 293^302.
9. Chirskii, V. G. 2020, "Arithmetic properties of euler-tvpe series with a liouvillean polvadic parameter", Doklady Mathematics., Vol. 102, № . 2, pp. 68—70.
10. Chirskii, V. G. 2020, "Arithmetic properties of generalized hvpergeometric series", Russian Journal of Mathematical Physics., Vol. 27, № . 2, pp. 175 IK I.
11. Chirskii, V. G. 2019, "Product formula, global relations and polvadic integers", Russian Journal of Mathematical Physics., Vol. 26, № . 3, pp. 286^305.
12. Krupitsvn, E. S. 2017, "Estimation of a polynomial in a globally transcendental number", Chebyshevskii sbornik, vol. 18, № . 4, pp. 245—254.
13. Krupitsvn, E. S. 2019, "Arithmetic properties of series of some classes", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, № 2, pp. 374-382.
14. Kurosh, A.G. 1968, "Course of higher algebra", Moscow.: Science.
Получено: 31.03.2024 Принято в печать: 04.09.2024
