CC BY
0ЭОЖ 514.112
МЕКТЕП ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНДА КООРДИНАТАЛЬЩ ЭД1СТ1 ЦОЛДАНУ
МАДАЛИЕВА ГУЛЬНАР УРАЗАЛИЕВНА
Ага окытушы, ж.г.м., Академик ЭДуатбеков атындагы Халыктар Достыгы Университет^ Шымкент каласы, ^азакстан
ИСКАКОВА АЗИЗА ИСАЕВНА
Ага окытушы, ж.г.м., Академик ЭДуатбеков атындагы ХДУ, Шымкент
НАЗАРОВА МОЛДИР КАЛТУРАЕЕВНА
Ага окытушы, п.г.м., Академик ЭДуатбеков атындагы ХДУ, Шымкент
ЕСЕТ ЭСЕМ МЫРЗАХМЕТЦЫЗЫ
Ага окытушы, ж.г.м., Академик ЭДуатбеков атындагы ХДУ, Шымкент
Аннотация: Данная работа посвящается координатному методу решения различных задач планиметрии. На основании приведенных примеров показаны алгебраический и координатный методы решения одной и той же задачи и их преимущества на плоскости.
Annotation: This work is devoted to the coordinate method of solving various tasks of planimetry. On the basis of the given examples, algebraic andcoordinate methods of solving the same problem and their adventages on the plane are shown.
Мектеп геометрия курсы калай курылса да онда теоремаларды дэлелдеу мен есептердi шыгарудьщ эртYрлi эдiстерi бар екендш белгш. Мектепте олардьщ алатын орындары эртYрлi. Осындай эдютердщ шшде геометриялык тYрлендiрулер эдiсi, координаталык эдiс, векторлык эдю мацызды орын алады. Бул эдютер езара тыгыз байланысты. Геометриялык тYрлендiрулер эдюшщ артыкшылыгы оныц интуицияны дамыту, абстракция мен кещстшт ойлауды терецдетш тYсiндiрiлетiндiгiнде. Ал координаталык эдiсте есепт шыгару жолы алгоритмделген, сондыктан кебше салу тэсiлдерiн камтып, есептi шыгаруды жещлдетедь Мектеп математика багдарламасында координаталык эдюке салыстырмалы тYрде аз кещл белiнедi. «Геометрия курсын оку максаты» белiмiнде «Теоремаларды дэлелдеу жэне есептердi шыгаруда геометриялык тYрлендiрулер, координаталык жэне векторлык эдютер колданылады» делiнген.
Демек, багдарламада координаталык эдiстi окытудыц максаты оны есеп шыгарудыц бiр эдiсi ретiнде койылмайды. Багдарламада «Геометрия курсын оку нэтижесшде жещл стандартты есептердi шыгару Yшiн координаттарды пайдалана бiлуi керек» делiнген. Окушылар координаталык эдют теоремаларды дэлелдеу жэне есептердi шыгару Yшiн мецгеруi керек деп айтылмаган. «^иын емес стандарт есептерге» кещл белшед^ ал координаталык эдiстi колдану стандартты емес жэне айтарлыктай кYPделi есептердi шыгаруга ыцгайлы екендiгi даусыз.
Координаталык эдiс алгебрамен тыгыз байланысты. Эйткеш. координаталык эдiс геометриялык зерттеулерге алгебралык сипат бере отырып геометрияга алгебраныц мацызды ерекшелiгiн - есептердi шыгару тэсшдершщ бiркелкiлiгiн алып келедь Егер арифметика мен элементар геометрияда эдетте эрбiр есептi шыгару Yшiн есептi шыгарудыц жеке жолын iздеуге тура келсе, алгебра мен аналитикалык геометрияда есептерлiц кез келгенi Yшiн оцай келтiрiлетiн ортак бiр жоспар бойынша шыгарылады.
Мектеп геометрия курсында координаталык эдiстi окып-YЙренудiц келесi максаттарын ерекшелеп керсетуге болады:
- окушыларга есеп шыгарудыц жэне б1ркдтар теоремаларды дэлелдеудщ тиiмдi эдiсiн
беру;
- осы эдю негiзiнде алгебра мен геометрияньщ тыгыз байланысын керсету;
- окушылардыц есептер шыгару жэне графиктердi салу бшктшктершщ дамуына ыкпал
ету.
Мектепте координаталык эдiстi окыту мен оны эртYрлi математикалык есептердi шыгаруда колдануга Yйрету бiрнеше кезецде жYзеге асырылады: Бiрiншi кезецде орта мектепте математика пэншщ багдарламасына сэйкес координаталар 5-6 сыныптарда жан-жакты карастырылып, геометрия курсында жYЙеленетiн непзп тYсiндiрме аппараты енгiзiледi. Дэлiрек айтсак, 5 сыныпта окушылар сандардыц тузудщ бойында бейнеленуiмен жэне щктелердщ координаталарымен танысады. Бул угымдарды енгiзу окулыктарда эртYрлi берiлген. Мысалы, [5] окулыктыц екiншi тарауыныц он Yшiншi параграфында сандык (координаталык) сэуле карастырылады, оныц кемегiмен эрi карай жай белшектердi салыстыру, сонымен катар жай белшектердi косу жэне азайту такырыптарын окытып барып, «Ондык белшектi сандык сэуледе кесюндеу жэне ондык белшектердi салыстыру» такырыбын окытады. Сондай-ак, осы окулыкта ондык белшекпен берiлген сандардыц жуык мэндерiн табуда да сандык сэулеш колданады. Координаталык тYзумен [6] окулык авторы окушыларды 6 сыныпта оц жэне терiс сандарды окыту барысында таныстырады. Координаталык тYзудi рационал сандарды модулдерi бойынша салыстыру такырыбында колданады.
Бул кезец бойынша 5 сыныпта окушылар координаталык сэулемен танысады, сонан соц бул угым 6 сыныпта терю сандарды оку кезiнде координаталык тYзуге дейiн толыктырылады. Координаталык жазыктык такырыбы жазыктыктагы тYзулердiц орналасуы угымын енгiзген соц гана окытылады.
Екiншi кезец 7-9 сыныптарда етедi. Окушылар алдымен тYзу жэне шецбер тецдеулерiмен танысады. 7 сыныпта алгебра курсында непзп функциялардыц графиктерi функцияныц координаталары аналитикалык тYрде берiлгенi бойынша есептелетш нYктелердi салу аркылы енгiзiледi. Окулыктарга талдау келтiретiн болсак, баска мектеп геометрия окулыктарына караганда [7] окулыкта координаталар орталык орындардыц бiрiн алады. Олар 8 сыныпта «Тертбурыштар» жэне «Пифагор теоремасы» такырыптарынан соц енпзшедь Жазыктыкта координаталарды енгiзу, шецбер мен тYзу тецдеулерiмен байланысты негiзгi угымдарды карастырган соц окушылар тYзу мен шецбердщ киылысуы, 00 тен 1800 -ге дейiнгi кез келген бурыштыц синусын, косинусын жэне тангенсiн аныктау сиякты сурактарды карастырады. Окушылар танысатын координаталык эдiстiц алгашкы колданулары да осылар. Сондай-ак, атап ететiн жайт осы окулыкта автор сызыктык функцияныц графип такырыбын келтiру аркылы алгебра мен геометрияныц арасындагы байланысты нактылап керсетiп берген[2]. Алгебра курсында y = f(х) тецдеуiмен аныкталатын кисыкты салады, ягни y = f(х) функциясыныц графигiн салады, мундагы f (х) берiлген функция. Осылайша «алгебрадан геометрияга» келедi. Геометрияда координаталык эдют окыганда бiз керi жолды тацдаймыз: белгiлi бiр кисыктардыц геометриялык касиеттерiнен олардыц тецдеулерiн корытамыз, «геометриядан алгебрага» жYремiз. [7] окулык бойынша 8 сыныпта жэне [6 окулык бойынша 9 сыныпта тYзу мен шецбердщ тецдеуi карастырылады. Жэне мунда «фигура тецдеуЬ» жалпы угымына назар аударылады: [7] окулыкта «декарттык координаталар жYЙесiндегi жазыктык фигурасыныц тецдеуi деп фигуранын кез келген нYкте координаталары канагаттандыратын екi х жэне y белгiсiзi бар тецдеуiн айтады. Жэне керiсiнше, берiлген тецдеудi
канагаттандыратын кез келген ею сан фигураныц белгiлi нYктесiнiц координаталары болып табылады» деп аныктама берiлсе, [6] окулыкта «Ею х жэне y айнымалысы бар тецдеудi L сызыгыныц кез келген нYктесiнiц координаттары канагаттандырып, сол сызыкта жатпайтын кез келген нYктенiц координаттары канагаттандырмайтын болса, онда оны L сызыгыныц тецдеуi дейдi» деп аныктама бершген. Осыган уксас [8] окулыкта «Егер х жэне y
айнымалысы бар тецдеудi L фигурасыныц кез келген нYктесiнiц координаталары
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
канагаттандырса жэне осы фигурада жатпайтын эрбiр нYктешц координаталары канагаттандырмайтын болса, онда бул тецдеудi Ь фигурасыньщ тецдеуi дейдЬ» делiнген. Жазыктыктагы фигура тецдеуш жалпы тYPде былай жазуга болады: Г(х,у) = 0 мундагы Г(х, у) - х жэне у ею айнымалысы бар функция.
Алгебралык жэне геометриялык есептердi координаталык эдiспен шыгару Yшiн Yш кезецдi орындау керек:
1) есепт координталык (аналитикалык) тiлге аудару;
2) аналитикалык ернект тYрлендiру;
3) керi аудару, ягни координаталык тшден есеп курастырылган терминдегi тiлге аудару.
Мысал Yшiн алгебралык жэне геометриялык есептердi карастырып, координаталык
эдiспен шыгаруда Yш кезецнщ орындалуын керсетейiк.
[х2 + у2 = 1
1-мысал <
[ У = х2
тецдеулер жYЙесiшц канша шешiмi бар?
Шешуi: 1-кезец: геометриялык тiлде бул есепте келтсршген тецдеулермен берiлген фигуралардыц канша киылысу нYктесi бар екенiн табу керек. Ол тецдеулердщ бiрiншiсi -центрi координаталар басында орналаскан жэне радиусы 1-ге тец шецбер тецдеуi болса, екiншiсi парабола тецдеуь
2-кезец: шецбер мен параболаны салып, олардыц киылысу нYктелерiн табу.
3-кезец: шецбер мен параболаныц киылысу нYктелерiнiц саны койылган сурактыц жауабы болады.
2-мысал Берiлген екi нYктеден ара кашыктыгы бiрдей болатын нYктелер жиынын табыцыздар.
Шешуи Берiлген екi нYктенi А жэне В аркылы белгшеп алайык. Координаталар жYЙесiн Ох ос АВ тYзуiмен беттесетiн, ал координаталар басы А нYктесi болатындай етш тацдап аламыз.
Эрi карай АВ = а деп белгiлеймiз, сонда тацдалган координаталар жYЙесiнде А(0;0)
жэне В(а;0) болады. М(х; у) нYктесi iзделiндi жиынга тиiстi болады тек кана сол кезде, егер
АМ = МВ немесе АМ2 = МВ2 болса. Координаталык жазыктыктыц бiр нYктесiнен екiншi нYктесiне дейiнгi кашыктыктыц формуласын пайдалана отырып
АМ2 = х2 + у2, МВ2 = (х - а)2 + у2 тецдшн аламыз. Сонда х2 + у2 = (х - а)2 + у2 болады. х2 + у2 = (х - а)2 + у2 тецдш есепте бершген ситуацияныц алгебралык моделi болып табылады. Оны шыгарудыц бiрiншi кезецi осымен аякталады (есептi координаталык тшге аудару).
Екiншi кезецде осы ернекп тYрлендiремiз: x2 = (x - a)2
х2 = х2 - 2ax + a2 ^ 2xa = a2 ^ 2x = a ^ x = — . Нэтижесшде x = — кдтынасын аламыз.
2
2
О(А) Сурет
a
x = — 2
a
x = - TY3yi . 2
У
В
x
Yшiншi кезевде тевдеу тшнен геометриялык тiлге аудару жYргiзiледi. Алынган тевдеу Oy осше параллель жэне A HYKTeciHeH, ягни AB кесшдюшщ орта перпендикулярынан d = a
кдшьщтьщта жаткан тYзу тевдеуi (1-сурет).
Ендi координаталык эдiстi Yйрететiн есептерге токталайык.
Окушыларга координаталык эдiстi колдана бiлудi калыптастыру Yшiн есеп шыгарудыц логикалык курылымынан есеп шыгарушыга коятын талаптарын аныктап алу аса мацызды. Координаталык эдю окушыларда осы эдiстi тэж1рибе жYзiнде пайдалануга ыкпал ететiн бшмдер, бiлiктiлiктер мен дагдылардыц болуын талап етедь Бiрнеше есепке талдау жасайык. Осы талдау барысында есеп шыгару кезiнде координаталык эдiстi колданудыц копоненттерi болып табылатын бiлiмдердi аныктаймыз. Бул бiлiм компоненттерiн бiлу оны элементтерi бойынша жинактап, бiлiктiлiктi калыптастыруга мYмкiндiк бередi.
1-есеп ABC Yшб¥рышында: AC = b, AB = c, BC = a, BD - медиана.
2 . 2 BD2 = fl + C
2
- —2 болатынын дэлелдещздер.
Шешу1 Координаталар жYЙесiн A HYKTeci координаталар басы, ал Ox oci AC TY3yi болатындай етш тацдап аламыз (2-сурет).
Сурет 2 - Ушбурыш гы координаталар жуйеа нде салу Тацдалган координаталар жYЙесiнде A , C жэне D нYктелерiнщ координаталары A(0;0)
ib ^
, D — ;0 жэне C(b;0) (бершген нYктелердiц координаталарын есептей алу). B нYктесiнiц
V2 у
координаталарын x пен y аркылы белгшейм1з. Сонда координаталары бершген ею нYктенiц аракашьщтыгын табу формуласын пайдалана отырып:
X2 + y2 = с2, (x - — )2 + y2 = a2 (5)
аламыз (координаталары бершген ею нYктенiц ара кашьщтыгын таба бшу). Дэл осы формула бойынша
(6)
BD 2 = (X - — )2 + y 2
(5) формуланы пайдаланып x пен y -т табамыз. Олар:
2 2 . ¡.2 с - a + —
x =-; y =
2—
2\2
2 - a2 + —2)
4—2
Эр1 карай x пен y -т (6) формулага койып
BD2 = (С - a + — - ^ 2 2 Ь 2
— л2 2 (с2 - a2 + b2)2 -_)2 + с2 '
4b2
BD2 =
22 a + с
—^ 4
табамыз (алгебралык ернектерд1 турленд1ре бшу).
У
B
2
ПАЙДАЛАНЫЛГАН ЭДЕБИЕТТЕР
1. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике: Общие положения, структура портфолио, программы курсов, сценарии занятий / Данкова И.Н., Бондаренко Т.Е., Емелина Л.Л., Плетнева О.К. - М.: «5 за знания», 2006.-128с.-(«Электив»)
2. Кунакова К.У., Токбергенова У.К.Вопросы предпрофильной подготовки в контексте самоопределения учащихся. //Бшм-Образование. -2008. № 4. С. 109-113
3. Рахымбек Д. Математиканы окыту эдютемеа, Шымкент:ЮКГУ, 2001.
4. Рахымбек Д. Окушылардьщ оку Yдерiсiндегi к¥зiреттiлiriн калыптастырудагы мрашмнщ эдiстемелiк дайындыгы. //Окушы к^реттшгш дамыту негiзiнде бшм сапасын арттыру мэселелерi. РЕЭК материалдары. Шымкент, 2010, 47-51б.
5. Абылкасымова А.Е Кебесов А.,Рахымбек Д., Кенеш Э. Математиканы окытудыц теориясы мен эдютемеа. Алматы: Бiлiм, 1998 -208б.
6. Абылкасымова А.Е. жэне т.б. Алгебра 9-сыныпка арналган окулык, Алматы: Мектеп, 2005.
7. Погорелов А. В. Геометрия орта мектептщ 7-9 сыныптарына арналган окулык - Алматы: Просвещение-^азакстан, 2003ж. - 248б.
8. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М., 1968. -104 б.
