CC BY
12
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Елисеев С.В., Упырь Р.Ю.
УДК 62.52
МЕХАТРОННЫЕ ПОДХОДЫ В ЗАДАЧАХ ВИБРАЦИОННОЙ ЗАЩИТЫ МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ
Построение исходных структурных схем в задачах вибрационной защиты достаточно подробно рассмотрено в работах [1], [2]. Вместе с тем введение дополнительных связей при реализации принципов управления динамическим состоянием по относительному отклонению (что связано с кинематическим возмущением) в ряде случаев может рассматриваться как случай действия так называемых скрытых сил [3].
I. Рассмотрим в связи с этим простейшую модель виброзащитной системы (ВЗС) в виде системы с одной степенью свободы.
Запишем выражения для кинетической и
потенциальной энергии
1 2
Т = 2 ту 1; (1) 1 2 1
п = 2 к1 (у 1 - у)2 + 2 к2у 12. (2)
Структурная схема ВЗС может быть представлена эквивалентной в динамическом отношении системой автоматического управле-
ния (САУ), как показано на рис.2. Передаточ ная функция системы У
Ш ( р )= У1 =--
4 у у т1 р + к1 + к2
(3)
в физическом смысле, представляет собой коэффициент передачи амплитуды колебаний основания на объект, который может быть определен амплитудно-частотнойхарактерис-тикой.
Анализируя структурную схему на рис. 2, можно отметить, что пружина с жесткостью k2 представляет собой дополнительную динамическую связь, а оба упругих элемента (к1 и к2) реализуют в системе принцип управления по относительному отклонению (у1-у). Вместе с тем, систему связей в структурной схеме можно представить таким образом, чтобы дополнительная связь (пружина с жесткостью k2) вводилась двумя ветвями: как управление по абсолютному отклонению (-у1к2) и, как управление по внешнему возмущению. Структурная схема ВЗС в этом случае примет вид, в соответствии с рис. 3.
Найдем передаточную функцию ВЗС по смещению основания У, используя правила структурных преобразований [2]: у 1 к + к
Ш (р)- 2
у т1 р + к1 + к 2
(4)
Сравнение (3) и (4) показывает их тождество, однако, такой прием детализации пред-
Рис. 1. Расчетная схема виброзащитной системы при кинематическом возмущении у
Рис. 2. Структурная схема ВЗС при кинематическом возмущении
Рис. 3. Структурная схема ВЗС с выделенными каналами управления динамическим состоянием по абсолютному отклонению и по внешнему возмущению
ставлений о кинематическом возмущении дает возможность построить методику учета "скрытых сил" при реализации вводимых дополнительных связей, описываемых дифференциальными уравнениями. Последнее связано с существованием фрагментов системы, имеющих возможность создавать динамические усилия даже при неподвижном объекте защиты. В этом случае в структуре дополнительной связи, как правило, имеется элемент, совершающий независимое движение, возбуждаемое внешними силами.
II. Пусть виброзащитная система имеет расчетную схему в виде системы с двумя степенями свободы. Структурная схема системы, представленной на рис.4 имеет вид, как показано на рис.5.
Передаточная функция ВЗС при силовом возмущении (у = 0,Р ф 0) определяется выражением
щ = у^ =
т1 р + к1 + к 2
,(5)
Р ( т р 2 + к! + к2 )( Ш2 р 2 + к 2 + к 3 )-к
а при Р = 0, у ф 0, то есть при кинематическом возмущении, соответственно —
Рис. 4. Расчетная схема ВЗС с дополнительной цепью, колебательного вида: т2- масса объекта защиты; к3 - жесткость основного упругого элемента виброзащитной системы;к1, к2, т 1 - элементы упругие и массоинерционные дополнительной связи
Щ-2 =-
(к • к2) + кз ( т р2 + к! + к2 )
(6)
у (тр2 + к! + к2 )(ш2р2 + к2 + кз)-к Частотное уравнение в (5), (6) можно за писать в виде
к 2 (т р2 + кх)
Л = т2 р2 + к 3 +-
т^ р'
+ к1 + к 2
(7)
что дает возможность пояснить влияние «скрытых сил» при использовании технологий структурных интерпретаций. В этом случае в системе, расчетная схема которой приведена на рис. 4, параллельно основной пружине (к3) может быть введена дополнительная связь в виде некоторого дополнительного устройства. Последнее представлено колебательной структурой, состоящей из массоинерци-онного элемента (т1) и двух пружин с жес-ткостями к1 и к2. При кинематическом возмущении т1 придет в движение и будет колебаться даже при неподвижном элементе т2 . На рис.6 ВЗС показаны с использованием представлений о введении дополнительной
Рис. 5. Структурная схема системы, приведенной на рис.4
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
связи Ждоп (р) параллельно пружине с жесткостью к3. Ждоп ( р) определяется из расчетной
и структурной схем, показанных на рис. 7,а,б. Передаточная функция дополнительнойсвязи имеет вид
р к 2 (т1 р2 + к ) (р )=р = \ , /. (8) у т1 р + к1 + к 2
В этом случае дополнительная связь формирует силу Р, которая передается на объект защиты(т2) и выполняет роль некоторой пружины, жесткость которой зависит от частоты внешнего воздействия.
Будем полагать, что у = 0 и Р ф 0, тогда из расчетной схемы на рис.6 следует, что на систему действует силовое возмущение, а дополнительная связь входит с управлением по абсолютному отклонению объекта защиты у2 , поэтому передаточная функция ВЗС будет иметь вид
p ) = ^f = -
1
P
-—. (9)
т2 р- + К з + Ждо„ ( р)
В выражении (9) Ждоп (р) вводится так, как предлагается в соответствии с методикой динамического синтеза [2]. Однако ситуация меняется, если у ф 0 и Р = 0, так как кинематическое возмущение создает движение формирующее переносные силы инерции. Такие силы в дополнительных цепях, можно отнести к "скрытым" и они дополнительно действуют на объект защиты.
Рис.6. Структурная схема ВЗС с дополнительной связью в виде колебательной структуры с одной степенью свободы.
III. При кинематическом возмущении y, учитывая способ построения передаточной функции системы при относительном управлении динамическим состоянием объекта защиты (рис.6), передаточная функция ВЗС принимает вид:
W2( p ) = ^ =
кз + W' ( P )
y m2 p + к3 + W' àon ( p)
(10)
где W' àon ( p) определяется выражением (8).
Вместе с тем, при независимости возмущения движения по координате y t от переносного движения формируется сила Fàon. Эта
сила инерции Fàon передается отдельным каналом воздействия, в соответствии с рассмотренным в разделе I этой статьи подходом, по-
Рис.7. Расчетная (а) и структурная (б) вспомогательные расчетные схемы дополнительной цепи, формирующей силовое воздействие на объект (т2).
зволяющим разделить управление по относительному смещению, вводя управление по внешнему возмущению, тогда
Рдоп = тД (11)
где а = у1 доп - ускорение, определяемое из структурной схемы дополнительной связи, как это показано на рис.8. Таким образом
Кп ( р) = 4 = т1 " • к2
допУ* ' — 2
у т1 р
к1 + к 2
(12)
Для учета особенностей введение сил переносного движения, рассмотрим структурную схему на рис.9, откуда
Ш 2 ( Р) = ^ =-У
Ш = ^ =
( р )-( Р) .
т2 р 2 + Шдоп ( р)
Упрощая (13), получим
(к, • к2) + к3 ( т1 р2 + к, + )
у (т{р2 + к{ + к2)(т2р2 + к2 + кг)-к
(13)
,(14)
Юл =
(15)
т
при кинематическом возмущении динамическое гашение возможно при условии:
Юл..,. =.
1
к 3 ( к1 + к 2) + к1 к 2
(16)
т
IV. Полученные результаты можно истолковать и с позиции введения пружины с приведенной жесткостью, которая зависит от час тоты. В этом случае жесткость пружины определяется выражение
,Ю2)
Кпр =
к 2 (к1
к1 + к 2 - т1ю
(17)
что совпадает с выражением (6).
Таким образом, при использовании структурных подходов в оценке динамических свойств систем, имеющих дополнительные связи в виде колебательных структур, необходимо обращать внимание на характер внешних воздействий. В частности, кинематическое возмущение может создавать эффекты действия «скрытых сил» [3]. Учет инерционных воздействий, вызванных переносным движением, возможен путем учета передачи инерционных сил по схемам управления от внешних возмущении. Интересно отметить, что из (5) следует возможность динамического гашения в ВЗС при силовом возмущении, а частота динамического гашения определяется выражением
Зависимость жесткости такой пружины от частоты ю показана на рис. 10.
При малых частотах жесткость уменьшается и при ю= —- становится равной нулю;
затем жесткость начинает возрастать и при Ю = 1к1 +к2 достигает больших значений
V т1
(Кпр ^ 0). В системе в этом случае наблюдается динамическое гашение на массе т2 при силовом характере возмущения. С последующим ростом частоты ю приведенная жесткость стремится к значению к2 (Кпр ^ к2 прию^ да).
В соответствии с [2] можно отметить также, что пружина с приведенной жесткостью Кп р,
работающая в параллельном соединении, имеет передаточную функцию, образованную из типовых звеньев путем последовательного соединения двух структур: пружины жесткостью к2 (типового элемента) и блока (т1 р2 + к),
Рис.8. Структурная схема для определения ускорения массы , вызванной переносным движением
Рис.9. Схема учета влияния скрытой силы (действие переносного движения у на массу )
состоящего из параллельного соединения типового звена двойного дифференцирования (т1 р2) и пружины жесткостью к1 [2]:
Кп Р =—:
У
К2 •(т1 р2 + К1)
(18)
(т1 р2 + К1) + К 2
Последнее позволяет ввести в рассмотрение при проектировании виброзащитных систем понятие обобщенной пружины, приведенная жесткость которой зависит от частоты.
V. Рассмотрим виброзащитную систему, в которой дополнительная связь в виде колебательной структуры имеет (рис. 11) два инерционно-массовых элемента( т1, т2 )и три пружины с жесткостями к1, к2, к3. Система дифференциальных уравнений движения примет вид
т1 У\ + к1 у 1 + к 2 у 1 - к 2 у 2 = к1 у,
т2 у 2 + к2 у 2 + к3 у 2 - к2 у 1 - к3 у 3 = 0 (20) т3 у 3 + к3 у 3 + к4 у 3 - к3 у 2 = к4 у .
Соответствующая (20) структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ представлена на рис. 12. Полагая, что структурной схеме на рис. 12 можно придать
вид, как показано на рис. 13, можно определить ряд передаточных функций, в частности
(21)
щ ( р) = У± = к2 к4 + АБ • к4 + к1 к2 к3
Щ 2 (р) = 43-
АБС -Ск22 -Ак3 АБ - к 2
Р АБС - Ск2 - Ак2
Щ3(р) - ^
АБ - к 2
(22) (23)
Рис. 11. Расчетная схема ВЗС с дополнительной связью в виде колебательной структуры
(т ^ т 2 , kl, к2 , к 3 )
у
Рис. 12. Структурная схема для системы, показанной на рис. 11
Ш 4 ( р ) = У1 =
ВС -к 2
Р АВС - Ск22 - Ак32
(24)
пример, в виде:
Ш (р) =
где
к4 +
к1к2 к3
я
т3 р2 + к4 +
(25)
где
т3р 2 + к4 + кпр = 0,
Кпр ( р ) =
л
(26) (27)
Кпр =
(т1 р2 + к1 )• к 2
т1 р
+к1 + к 2
(28)
Рассмотрим более подробно передаточную функцию Ш1(р)и ее преобразования, на-
Я = (т1р2 + к1)(т2 р2 + Ад) + к2(т, р2 + к3) + к2(т1р2 + к1). = ¿5 т р 2(т1р2 + к1 + к2) + к2 к3(т1р2 + к1). В выражении (25) частотное уравнение имеет вид
что соответствует параллельному соединению в блок элементов т1 р2 и к1 с последующим последовательным соединением блока (т1 р2 + к1) и пружины к2. Для более сложного случая необходимо блок, определяемый выражением (28), ввести в параллельное соединение с элементом т2 р2 и после этого ввести пружину к3 в последовательное соединение, тогда можно найти приведенную жесткость К'пр (р) для обобщенной пружины в системе, приведенной на рис. 11:
(т1 р2 + к1)к 2 I
К'
( Р ) =
+ т2 р >х к3
т1 Р
( т1 Р2
2
(29)
т2 Р
В свою очередь Кпр (р)представляет собой обобщенный упругий элемент, расчетная схема которого приведена на рис. 14. Найдем
+ к1)к2
т1 р~ + к1 + к 2 J
Развернув (29), можно найти, что (29) совпадает с (27).
В приведенном выше разделе V статьи рассмотрено прямое получение передаточных
Рис. 13. Упрощенная структурная схема системы, приведенной на рис. 11:
А = шр2 + к1 + к2,В = ш2 р2 + к2 + к3,С = ш3р2 + к3 + к4
Я
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ЙЩ®
Рис. 14. Структура дополнительной связи, позволяющая определять приведенную жесткость обобщенной пружины для расчетных схем на рис. 6 и 11
функций, следующее из системы дифференциальных уравнений (20) или (что тоже самое) из структурных схем, приведенных на рис. 12, 13. Однако, возможен и другой подход, развитый в работе [2]. В этом случае расчетная схема системы с тремя степенями свободы приводится к виду, как это показано на рис. 6. Для определения Щдоп (р) может быть использовано выражение (29). Расчетная схема системы, приведенной на рис. 11, таким образом, может быть представлена так, как это показано на рис. 15.
Реализуя упомянутый подход, найдем передаточную функцию ВЗС при кинематическом возмущении у:
W ( p ) = ^3- =
Wgon ( p )
(30)
y Ш 3 p ' + k, + Wgon ( p )
Принимая во внимание то обстоятельство, что дополнительная связь в виде колебательной структуры (она описывается системой из двух дифференциальных уравнений движения), приводит к появлению двух «скрытых» сил [3], внесем соответствующие коррективы. Последние заключаются в том, что, аналогично схеме на рис. 9 и выражению (13), найдем W' доп (p), которое имеет вид
w ' ( p )=w ' àon ( p x + W ' àon ( p )2, (31)
где
R k3 mi p2
W ' gon ( p )i =
D
22
(32)
W ' à. ( p )2 = ^ ^2 p ( m P + k1 + k2) . ,33,
Здесь
D = (mi p2 + ki)(m2 p2 + k3)+ (34)
+k2(m2 p2 + k3 )+k2 (mi p2 + ki).
Для определения W' àon (p)1 и W' àon (p) 2 используется расчетная (рис. i6 а) и структурная схема (рис. i6 б) цепи дополнительной связи.
Учитывая переносное движение (кинематическое возмущение - y ), найдем переносные силы инерции, действующую на элементы массой m2 и mi , для чего воспользуемся структурной схемой на рис. i6 б, откуда могут быть найдены, через соответствующие передаточные функции, выражения, аналогичные (3i), (33). При этом переносная сила инерции, вызванная движением основания, определяется как произведение масс (mi и m2) на соответствующие ускорения. Действительно, ис-
Рис. 15. Приведенная расчетная схема системы, соответствующей рис. 11
Рис. 16. Расчетная (а) и структурная (б) схемы для колебательного контура дополнительной связи
пользуя структурную схему на рис. 16 б, полу- откуда могут быть определены соответствую-чим, что при действии у на вход в т.А переда- щие переносные ускорения, а через них и най-
точные функции имеют вид
Ш ( р)1 = ^ = к 3( т! р 2 + к! + к 2), (35)
у О
Ш( р )2 = У^ = к 3к 2( т! р 2 + к! + к 2), (36)
у
О
дены «скрытые» силы.
К' доп ( р)1 =
/ ( ч к 2 к 3 • т1 р
В
22
К / доп ( р)2 =
к3т2д (т1 р + к1 + к2)
В
(37)
(38)
а их действие учитывается в соответствии с представлениями о возможности по иному
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
выстраивать управление по относительному
отклонению.
Таким образом, формирование передаточных функций ВЗС, имеющих в своей структуре дополнительные связи, относительно которых ожидается появление «скрытых» сил, может производиться на той же основе, что и при использовании различных видов обычных связей, не требующих описания через дифференциальные уравнения. Однако при этом необходимо учитывать характер внешнего воздействия, где ожидается действие. При кинематическом возмущении действие
II м г"
скрытых сил , как было показано, возникает необходимость перехода при использовании структурных методов динамического синтеза к комбинации управления по внешнему возде-
йствию и по абсолютному отклонению объекта защиты.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Eliseev, S.V. Dynamics of mechanical Systems with Additional ties / S.V. Eliseev, A.V. Lukyanov, Yu.N. Reznik, A.P. Khomenko // Irkutsk: Irkutsk State University. 2006. - 315 p.
2. Елисеев, С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты технических объектов / С.В. Елисеев, А.А. Засяд-ко, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко — Иркутск. Изд-во Иркутского государственного университета. - 2008.- 527 с.
3. Блехман, И.И. Вибрационная механика / И.И. Блехман - М.: Физматлит, 1994. — 400 с.
Мартьянов В.И., СимоновА.С. УДК 625.71.8
АНАЛИЗ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТРАССЫ АВТОМОБИЛЬНОЙ ДОРОГИ_
Трасса автомобильной дороги представляет собой сложную пространственную линию, составленную в плане и продольном профиле из трех типов элементов: отрезки прямой, переходные кривые (клотоиды), отрезки круговых кривых, удовлетворяющие ограничениям нормативных документов на геометрические параметры [7].
В настоящей работе рассматривается подход к автоматизации проектирования трассы автомобильной дороги на цифровой топоос-нове, как комбинаторной задачи [6] высокой сложности дискретной математики, если считать, что имеются минимальный шаг (отрезок прямой) и минимальные уголы поворота следующего шага в горизонтальной и вертикальной плоскостях относительно предыдущего (параметра перебора при проектировании трассы из точки А в точку В). Предполагаем, также, что рельеф задан измерениями высот на нерегулярной сетке и для определения высоты используется аппроксимирующая функция г = f (х, у) (определяет высоту точки с географическими координатами (х, у)), которая задается, например, триангуляцией Делоне,
аппроксимируя поверхность линейными треугольниками. Отметим, что такой способ аппроксимации поверхности затрудняет возможность применения стандартных методов непрерывной математики (нет формул или уравнений, задающих поверхность и трассу на ней), а также, не применимы традиционные градиентные методы.
По алгоритмической природе данная задача относится к комбинаторным проблемам большой сложности (подкласс NP — полных проблем) [6]. Наиболее близким из классических методов решения подобного рода задач (по постановке и методике решения) является динамическое программирование, хотя главное внимание здесь будет уделяться не оптимизации значения целевой функции, а поиску рациональных решений (или допустимых управлений в терминах динамического программирования).
В работе уточняется формализация схемы решения задач сетевого планирования логико-эвристическими методами [1-4] с позиции итерационного подхода к построению алгебраических систем, удовлетворяющих огра-
