CC BY
16УДК 532.5
А.С. Суханов, А.Б. Капранова, А.П. Лупанов, А.Е. Лебедев
МЕХАНИКА ДВИЖЕНИЯ СЫПУЧИХ СРЕД ПО КРИВОЛИНЕЙНЫМ ЛОПАТКАМ
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ИЗМЕЛЬЧИТЕЛЕЙ
(Ярославский государственный технический университет) e-mail: dorexpert@yandex.ru, kap@yars.free.net, abz4@abz4.ru, xe666@mail.ru
На основе механики гетерогенных систем предложено математическое описание движения сыпучей среды вдоль криволинейной лопасти центробежного измельчителя при условии равномерного истечения материала с ее поверхности. С его помощью разработан способ оценки ударной скорости движения сыпучей среды, который позволяет рассчитать угловую характеристику лопасти аппарата в зависимости от его конструктивных и режимных параметров.
Ключевые слова: сыпучая смесь, дисперсная фаза, порозность, коэффициент восстановления, центробежный измельчитель, криволинейная лопасть, закон сухого трения, механика гетерогенных сред
Применение центробежно-ударных измельчителей крупнозернистых материалов связано с проблемой довольно быстрого изнашивания его дорогостоящих элементов - лопастей и отбойной поверхности. Обычно горизонтальные ячейки в центробежном измельчительном устройстве разделены лопастями, закрепленными между дисковидными основанием и крышкой. После вертикальной загрузки перерабатываемого сырья массивные частицы сыпучей среды в современных известных мельницах движутся в зоне нижнего диска и после срыва с него вследствие приобретения значительных скоростей участвуют в ударной «атаке» отбойника. При этом наблюдается существенное разрушение подвижных рабочих элементов аппарата и отбойника.
Конструкция рассматриваемого в настоящем исследовании измельчителя представляет собой вращающиеся вокруг вертикальной оси коаксиальные диски - верхний и нижний - с криволинейными лопастями, которые размещены между ними в радиальном направлении и прикреплены к указанным дискам с образованием рабочих зон - ячеек.
Реализация условий для равномерного распределения материала при его движении по рабочим органам центробежных мельниц, а также за рабочими органами в зоне ударного взаимодействия частиц с отбойником может существенно продлить срок службы измельчительных устройств. Одним из способов достижения желаемого эффекта является использование лопастей криволинейного профиля, которые смогут обеспечить равномерное распределение частиц как на подвижных поверхностях, так и за ними.
В связи с этим в работе предлагается методика определения у - угла наклона лопасти цен-
тробежного измельчителя к нижнему диску ячейки вблизи загрузочного окна. Оценка указанного угла для профиля криволинейной лопасти проводится в зависимости от конструктивных и режимных параметров устройства, к которым относятся: г0, Ко - радиусы соответственно загрузочного отверстия и дисков для основания и крышки; И - высота лопасти (кратчайшее расстояние между дисками); N - число лопастей; ю - угловая скорость их вращения. Поиск соответствующей связи между данными характеристиками основан на получении условия равномерного срыва зернистого материала по высоте лопасти с расчетом его ударной скорости движения.
Для описания движения сыпучего зернистого материала в рабочей ячейке центробежного измельчителя между криволинейными лопастями воспользуемся методами механики гетерогенных сред [1]. Принимая во внимание, что насыпная плотность р2 крупнозернистого материала значительно превышает плотность газообразной фазы Р1 (индекс «1»), р2>>рь в отличие от [2], ограничимся рассмотрением механики поведения только его дисперсной составляющей (индекс «2») с учетом среднего размера ее сферических частиц
п _
(а = ^ а - их радиус, усредненный по п фракци-
1=1
ям сыпучей среды).
Применим «классическое» понятие пороз-ности материала а2=р2/р4 [1], как отношение плотностей дисперсной фазы смеси - «приведенной» (или «насыпной») р2 к значению «истинной» р4 для вещества. Аналогичное выражение справедливо для пористости сыпучей среды а1=р1/рЁ, где р1 и рЁ - соответственно приведенная и истинная
плотности газа в порах материала. Следовательно, справедливо выражение а! + а2= 1.
Используем цилиндрическую систему координат с началом в центре диска основания аппарата. В процессе движения сыпучей среды в ячейке центробежного устройства частицы крупнозернистого материала в силу инерционных эффектов испытывают значительное прижатие к одной из криволинейных лопастей. При этом доля объема, приходящаяся на каждую фазу материала (дисперсную и несущую), меняется незначительно. Поэтому порозность а2 указанной крупнозернистой рабочей смеси можно считать постоянной величиной, а относительную скорость движения фаз ц2 равной начальной скорости движения материала Ц
Кроме того, применяются следующие допущения для дисперсной фазы. Практически отсутствуют изменения окружной скорости твердого скелета ц в угловом направлении, а также фазовые переходы, что приводит к однородности уравнения непрерывности фазы «2»
ди2г да
2 z
= т~ - pSk
имеет соответственно
пряжении
касательную т,к = Мр(дик,/дх' +ди'2/дхк) и нормальную pSkl составляющие, где 5й - символ Кроне-кеРа; Р2 = 2-1 [ 1 -(а2/а2)1/3 J1 а2р,К2 •
Значение Ki = (^2)[1 -(aja, )1/3 ]2 а?а?\и2
при пР = (1 - задается уравнением сохранения пульсационного движения дисперсной фазы, в котором учитываются работы - внутренних столкновений между ее элементами (п2 - коэффициент восстановления при соударениях двух частиц с усредненными размерами а), а также сил Магнуса, возникающих за счет эффекта вращения частиц. При этом для оценки угловой скорости хаотического вращения элементов твердой фазы
использована аналогия с принципом равнораспределения энергии хаотического движения молекул по степеням свободы из теории газов. Кроме того, при вычислении работы магнусовских сил корреляционный коэффициент [1], характеризующий согласованность ориентации движения частиц согласно относительной скорости движения дисперсной фазы ц12, считается равным единице, т.к. наблюдается практическое отсутствие ориентированного направления вращения частиц и бокового направления вектора скорости ц12.
Составим уравнения движения сыпучей среды в рабочей ячейке центробежного устройства в проекции на радиальное и окружное направления с учетом инерционных эффектов в виде
ада
'2r= -Ва„r -®2r - 2rnv,
дг
2r
О = - Bv2g r
28 '
-2® а
(1) (2)
Здесь коэффициент В, который учитывает вид составляющих эффективного тензора напряжений, равен
дг & ' где и2г. и2у - радиальная и вертикальная составляющие скорости дисперсной фазы 0-,.
Осреднение напряжений твердого скелета выполняется с учетом хаотического поступательного движения частиц и наличия псевдовязкости
(Мр= 2-1 [1 -(аМ)1'3]-1а13а223АаКГ [1], где по-
розность а2 = С, 63 соответствует усредненному
значению при двух видах (кубического и тетраэд-рического) возможного расположения решетки дисперсной фазы для центров твердых частиц; К2
B = 8л/5а2 4/3а21/2аЦ -
(1 "'i )
12
а
(3)
когда модули начальных скоростей - полной
sin2 ans +
энергия хаотического движения частиц в дисперсной фазе). Поэтому тензор эффективных на-
к! —к1т*ск1
а=[(®г0)2+(а)2]V2 и радиальнои а0 = u[si
+ '2cos2 а^ ]V2 sin Д^ для частиц фазы «2» рассчитываются с учетом соударений сферических частиц дисперсной фазы с дисковидным основанием ячейки с соответствующими значениями коэффициента восстановления усредненных углов падения ans и отражения ^ns=arctg[ns2tg(ans)]. Величина скорости падения зернистого материала u0=Q(npt)-1r0-2 через загрузочное окно радиусом r0 на нижний диск центробежного устройства определяется весовой производительностью Q (расходом) подаваемого вещества. Условиями равномерного истечения материала с поверхности лопасти могут служить следующие:
или выражение
из которого можно рассчитать v^ (Д0,0) - радиальную скорость «срыва» дисперсной фазы для зернистой среды с криволинейной лопатки центробежного устройства. При этом полная скорость «срыва» вычисляется с помощью значе-
ния ее окружной составляющей v2e О^а.О). вычисляемой согласно уравнению (2)
Тогда, выполнив дифференцирование выражения (4) по радиальной координате, получим
: ■. :j : ' . (6)
После введения коэффициента Т = ~х х(1 — 4ш2В~2Иц " а также подстановки в выражение (4) приближения уравнения (1) в форме Эт?гг/Эг = — £0-г/т?:,. — Т и производной (6) имеем
+ 16Дс5£04(Гг + 8£0:)}1 " )• (7)
В соответствии с опытными данными (рис. 1, а, б) при движении крупнозернистого материала в рабочей ячейке на криволинейной лопасти М^МА^ц наблюдается некоторый поверхностный участок для точек которого радиальные скорости дисперсной фазы можно считать равномерными (рис. 1, б). В точке О - подъем частиц дисперсной фазы достигает дисковидной крышки, точка О с. - находится на нижнем диске, а ;Уо и ;У - точки лопасти на ободах нижнего и верхнего дисков.
нормальная составляющие тензора напряжений твердого скелета на указанной границе при г = гв; 6 — вг,: /з - коэффициент скольжения ма-
.1/31
териала о лопасть;
Рис. 1. Фото следа на криволинейной лопасти с углом наклона у от элементов гравийного щебня ГОСТ 31015-2002 при их движении в ячейке центробежного измельчителя: N=4; h=4.0-10-2 м; г0=4.0-10-2 м; R0=0.5 м; npl.2-103 об/мин; а) у=70°; б) у=80° Fig. 1. The photo of track on the curvilinear blade with the angle у from the elements of gravel crushed stone of GOST 31015-2002 at its movement in the cell of the centrifugal breaking: N=4; h=4.0-10-2 m; r0=4.0-10-2 m; R0=0.5 m; n1=1.2-103 rpm; а) у=70°; б) у=80°
Связывая с радиальной координатой точки D угол у для наклона лопасти к основанию ячейки, который является искомым в рассматриваемой задаче, получим выражение
Воспользуемся законом сухого трения, справедливым при движении сыпучего материала по поверхности лопасти MqMNNq, в виде
^ = ГЛ- (9)
где Ts = fip(dvze/dr + vze/r)\r=rD. д=во и
= 1 - \ - .:: .:: - \ "■'::■': -- касательная и
х'г]1}ц/ао*, если г)п = (1 — Т)1 - коэффициент
восстановления для удара частиц среды о лопатку;
= 2~1[гс. + Га-Одв,^,,)] Здесь при Гдщ = 2х х|: До — г0)/3 предполагается, что аналогично выражению (7) можно рассчитать скорость движения среды в точке
+16гмяй>4 (Г 2 + вй*2) } 1>й). (10)
Тогда из выражения (9) при введении параметра = получим следующее алгебраическое уравнение 10-го порядка относительно Гг, - радиальной координаты точки О
Оценочные расчеты слагаемых уравнения (11) позволяют заключить, что только второе и четвертое слагаемые имеют один порядок, остальные - много меньше их. Следовательно, радиальная координата точки О в указанном приближении равна
Таким образом, приравнивая соотношения (8) и (12), получим искомый угол наклона лопасти = .. _г: в зависимости от конструктивных и режимных параметров центробежного устройства
у = аг^и-ЧЭВО^2 + ш-Х^оГ)"1 -
Предложенные способы оценки скорости «срыва» зернистого материала и2(йо>0) из (5) и конструктивного параметра у из (13) могут быть проиллюстрированы на примере движения гравийного щебня ГОСТ 31015-2002 при производстве асфальтобетонных смесей в рабочей ячейке устройства (рис. 1). Графики соответствующих зависимостей г7 (Д„, 0) = Д (ш, г„, Д0,Л); г = /з (ш, представлены на рис. 2, а, б и получены согласно следующим входным данным. Режимные параметры установки: п = {1,2 ■ 10- - 1,3 ■ 103) об/мин; <3 — 3,3 ■ 10кг/с; апв = 1,484 рад; конструктив-
ко-механические характеристики для рабочего вещества: р? = 2,0 ■ 103 кг/мэ; а2 = 0,95;
б
Рис. 2. Результаты моделирования характерных функций при движении элементов гравийного щебня ГОСТ 31015-2002 в ячейке центробежного устройства с криволинейными лопатками в зависимости от его параметров: а - v2(R0, 0) = /¡(w, r0, R0, h); б - y=/2(w, r0, R0, h); h = 4,0 • 10-2 м; 1 - n1 = 1,20 • 103 об/мин; 2 - n2 = 1,25 • 103 об/мин; 3 - n3 = 1,30 • 103 об/мин Fig. 2. The results of the modeling the characteristic functions at
movement of the elements of gravel crushed stone of GOST 31015-200 in the cell of the centrifugal breaking as a function of its parameter: a - v2(R0, 0) = /¡(w, r0, R0, h); б - y= /2(w, r0, R0, h); h = 4,0 • 10-2 m; 1 - n1 = 1,20 • 103 rpm; 2 - n2 = 1,25 • 103 rpm; 3 - n3 = 1,30 • 103 rpm
fs = 4,5 ■ 1Q-1. Семейства поверхностей (рис. 2, а) для vz Q) показывают, что с увеличением угловой скорости вращения аппарата, как и с ростом выбираемых значений параметров r0, i?c., наблюдается возрастание скорости вылета материала. Представленные данные для расчетных значений угла наклона лопасти (рис. 2, б)
об/мин удовлетворительно согласуются с результатами экспериментов (рис. 1, б), соответствующими параметрам устройства }' = 80е'; щ = 1,20 ■ 103 об/мин при следующих общих характеристиках: N = 4; h = 4,0 ■ IQ-- м; rQ = = 4,0 ■ Ю-- л:; Rc = 0,5 м. Таким образом, уменьшение значений угла у приводит к тому, что подъем материала по лопасти происходит слишком быстро, и не достигает конца лопасти (рис. 1, а).
Выражения (5) и (13) могут быть использованы для разработки инженерной методики расчета центробежного измельчителя с криволинейными лопастями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нигматулин, Ф.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука. 1978. 336 с.;
Nigmatulin, F.I. Fundamentals of heterogeneous mediums mechanics. М.: Nauka. 1978. 336 p. (in Russian).
2. Капранова А.Б., Зайцев А.И., Кузьмин И.О. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2007. Т. 50. Вып. 4. С. 107-108;
Kapranova A.B., Zaitsev A.1, Kuzmin I.O. // Izv. Vyzzh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2007. V. 50. N 4. P. 107-108 (in Russian).
Кафедра теоретической механики
