CC BY
11УДК 621.867.4
А.Б. Капранова, А.И. Зайцев, А.В. Ганин, А.М. Васильев
ДЕФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ВЕРТИКАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПОРОШКОВ
В ЦЕНТРОБЕЖНОМ ДЕАЭРАТОРЕ
(Ярославский государственный технический университет) e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
На основе закономерностей механики гетерогенных систем предложено описание вертикального движения дисперсной фазы в процессе деаэрации порошка в центробежном устройстве с эвольвентными лопастями. Получена трехмерная функциональная зависимость для порозности уплотняемого материала в цилиндрической системе координат. Результаты могут быть использованы при инженерном проектировании центробежного аппарата.
Ключевые слова: тонкодисперсный материал, деаэрация, несущая и дисперсная фазы, пороз-ность, механика гетерогенных сред, центробежный аппарат, криводинейная лопасть, эвольвента, цилиндрическая система координат
Интенсификация производства в области переработки сыпучих материалов может быть достигнута при создании последовательных или совмещенных режимов осуществления различных технологических процессов в пределах одного устройства. Описание механизма механического уплотнения тонкодисперсных материалов в ячейке центробежного аппарата с криволинейными лопастями вызывает особый интерес в связи с тем, что с его помощью может быть осуществлено совмещение следующих операций: предварительного смешения твердофазных сыпучих компонентов и последующей деаэрации полученной смеси.
Рис. 1. Упрощенная схема рабочей зоны центробежного устройства с криволинейными лопатками: 1-криволинейные лопасти, 2-цилиндрическая поверхность Fig. 1. The simplified scheme of working zone of centrifugal setup with the curvilineart blades: 1 - curvilinear blades, 2 - cylindrical surface
Упрощенная схема рабочей зоны центробежного устройства в продольной плоскости показана на рис. 1. Криволинейные лопасти 1 эволь-вентной формы [1] установлены радиально, жестко закреплены на поверхности внутреннего цилиндра 2 радиуса r0 и ограничены окружностью радиуса R0. Тонкодисперсный материал из вертикального загрузочного окна попадает в ячейки
аппарата между указанными лопастями и при их вращении движется вдоль границ ячеек, прижимаясь к поверхностям криволинейных лопастей. В настоящей работе предлагается плоско-деформационная модель механического уплотнения тонкодисперсных сред в ее поперечной плоскости движения в ячейке центробежного устройства с эвольвентными лопастями. В том числе, проводится исследование влияния высоты слоя порошка на степень его уплотнения в указанной ячейке, которое может быть использовано для определения такого важного конструктивного параметра уплотнителя, как высота его лопаток Н.
Используется цилиндрическая система координат, в которой ось г совпадает с осью вращения ячейки. Сохранены основные обозначения из механики гетерогенных сред [2] (нижние индексы для фаз: «1» - несущая и «2» - дисперсная). Система уравнений, описывающая движение порошка вдоль радиальной направляющей, включает в себя следующие:
ст = а\.Кев + ег) + 2е ], (1)
ае=аг[Х{8е + 8г) + 2^£е], (2)
СТ = (Л + Ц)(а2 "а20) , (3)
да / &+V да / дг - аV /г+д(аV)/& = о, (4)
а2 =а20/(1 -£в-£г ) , (5)
дстг / дг = рТа (Vд^г / дг + ), (6) ег = ди / дг . (7)
Здесь (1), (2) - линейная связь между компонентами тензоров деформаций (ег и ев) и напряжений (ст. и ств) соответственно; (3) - соотношение для усредненных вертикальных давле-
ний < в дисперсной фазе; (4) - уравнение неразрывности твердой фазы без учета изменений по-розности порошка и его окружной скорости вдоль угловой координаты при обозначении V. = у2г и
V = ; (5) - уравнение изменения порозности;
(6) - уравнение движения материала с учетом внешнего трения в пренебрежении окружными и касательными напряжениями при & = / (шЯ0).
Кроме того, система дополняется выражениями, связывающими компоненты тензора деформаций с цилиндрическими смещениями из статики сыпучей среды [2], в частности, уравнением (7). Таким образом, после подстановки (3) в (6), а также учета в (4) результата дифференцирования по временному параметру выражения (5) согласно
(7) можно при обозначениях Д = рткх (Я + ц)- и
Д = Я/л- + 2 перейти от исходной системы уравнений (1) - (7) - к упрощенной:
да2 /дг-Да2V = 0, (8)
даг / дг - )-1 [угда2 / дт - а2V. / т -
-(а2 + Д )6у2 / дг] = 0 . (9)
или при введении функций ф (г, а2, V.) = = утда2 / дг - а2уг / г ; Ф2(г,а2,V) = Да2 и Ф3(г,а2,V ) = = а+ Д- к системе из двух уравнений - (8) и следующего в виде
ф,(г,а2, V)+ф2 (г,а2, V) [ V, (г, 2)]2 +
+Ф3(г,а2,Ут)ду,(г,2)/дz = 0 . (10)
Итак, уравнения (8) и (10) могут быть использованы для получения приближенных аналитических решений а2 (т, г) и V = V (т,г) описанной системы нелинейных уравнений в частных производных.
Как и в случае моделирования уплотнения порошка в продольной плоскости его движения [3], предлагается комбинировать известные методы приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений. В частности, первоначально оценить одномерные зависимости У2(0) (г) ,
а2(0)(т0, г), а2(0)(Ц, г) с применением сочетания
методов модельных уравнений и подстановок констант вместо переменных параметров. Затем можно построить двумерную зависимость а2(1)(т, г) с помощью метода Галеркина в виде нелинейной комбинации аппроксимирующих одномерных функций а2(0)(т0, г), а2(0)(Ц, г) и а2(0)(т) из [3] согласно граничным условиям с последующим поиском соответствующих коэффициентов.
Кроме того, возможно моделирование ме-
тодом Галеркина трехмерных приближенных аналитических функций а2(2) (г, в, г), аг(2) (г, в, г),
V.<2)(т,в, г) , когда зависимость для порозности а2(2) (т, в, г) строится как нелинейная комбинация двумерных - а2(1) (т, в) и а2(1) (т, г), а остальные -вычисляются согласно функциональным соотношениям между <{Х\т,в) и а2(1)(т,в) при соответствии вводимых коэффициентов граничным условиям задачи из [3]. Введенный угол в представляет собой угловую координату цилиндрической системы (г, в, г), когда Ог совпадает с осью вращения рабочего объема устройства, а положительное направление отсчета в соответствует угловой скорости вращения ячеек аппарата. Согласно предложенному способу моделирования методом Галеркина трехмерной приближенной аналитической функции а22) (т, в, г), как нелинейной комбинации двумерных - а21> (т, в) из [3] и а2(0)(т0, г) и а2(0)(Ц, г) из описанной системы (8), (10) имеем
а^2 (т,в, г) = (т,в) + ^[аа (тв, г) -
-аа Ц гШМгк-1), (11)
когда вводимые коэффициенты удовлетворяют условиям согласования нулевого порядка при выполнении равенств:
а2т(т0,вМ1,0) = а2т(т0,0) = а;
<4Ъв,0) = а2т(, ^,0) = а2п;
а2^(т0,в01 ,к) = а2т(т0, к) = а2т(т0, к);
а™(Ц0,в02,к) = а1т(Я0,к) = а2*\т0,к). В выражении (11) введены обозначения
= [а2аГ(т„ к)(т0)а2т(Я0, к)] х
х[а2паГ(т0, к)-аа^Ц к)}1 х
х[аГ(Е0, к) -а™(т0, Щ1, (12)
= [а2п-а2(0)(т0)][а2(0)(К0, к)-а2(0\т0, к)]1. (13)
Проиллюстрируем результаты на примере деаэрации каолина ГОСТ 21235 - 75 (рис. 2, а, б) при значениях физико-механических характеристик: истинной плотности вещества р = 2,6-103 кг/м3; коэффициентов Ламэ Я = 5,1-105 Па; / = = 3,1-105 Па; угле внутреннего трения <#=27°. В расчетах используется начальное значение пороз-ности а20=2,71-10-2, соответствующее опытным данным, когда содержание твердой фазы в засыпаемом объеме порошка составляет всего 2,71 %. Конструктивные параметры центробежного деаэратора с эвольвентным профилем лопастей согласно [3] равны: ,К0=2,70-10-1 м; г0=7,00-10-2 м,
^1=1,45-10"1 м; ^2=1,95-10"1 м, гш=9,00-10"2 м; г^1=1,00-10-1 м; й=1,20-10-1 м. Заметим, что окружные координаты 6М1 и 6М2 характерных точек М1 и М2 (рис. 2, а) на эвольвентных лопастях зависят от всего набора конструктивных параметров лопатки (г0, До, Г01, Гт, £1, N с общим их числом N = 6.
Анализ семейств поверхностей (рис. 2, а, б) для порозности а2(2)(г, 6, ¿) согласно (11) показал, что с уменьшением вертикальной координаты порошкового материала и возрастанием радиальной и окружной координат наблюдается увеличение данной характеристики сыпучей среды. Причем сохраняется характер изменения указанных функций по полярным координатам в зависимости от изменения угловой скорости вращения ячейки при сравнении с двумерными показателями из работы
[3].
3.15
2.15
V(1).
выражения (11) для порозности порошков при их уплотнении в центробежном лопастном деаэраторе предпочтительнее, чем данные, которые получены согласно двумерным показателям для а2(1)(г, 66) из [3]. Однако расчетные значения для представления данного показателя по обеим формулам удовлетворительно согласуются с опытными результатами [3] с относительной ошибкой порядка 11 %, например, вследствие пренебрежения в уравнениях движения порошка касательны-мн напряжениями. 1.%
б
Рис. 2. Зависимость порозности a2(2)(r,0,z) для процесса механического уплотнения каолина ГОСТ 21235 - 75 в центробежном устройстве с эвольвентными лопастями с учетом проскальзывания: а20=2,7110"2; 1-ю1=20,9рад/с; 2-ю2=26,2рад/с; 3-ю3=31,4 рад/c; а) a2(2)(r,z); 0=0m=(0M1+0M2)/2;
б) a2(2)(0,z); r=rv=3(Ro+ro)/4 Fig. 2. The dependence of porosity a2(2)(r,0,z) for the compaction mechanical process of kaolin State Standard 21235 - 75 in the centrifugal set-up with curvilinear blades taking into account the slippage: a20=2.7110-2; 1-ro1=20.9rad/c; 2-ro2=26.2rad/c; 3-ю3=31.4 rad/c; а) a2(2)(r,z); 0=0m=(0M1+0M2)/2; б) a2(2)(0,z); r=rv=3(R0+r0)/4
Сопоставление теоретических и опытных [3] данных, проведенное по индексу трения I(%) тонкодисперсных материалов (по отношению плотности среды после механического уплотнения в аппарате к насыпной плотности материала до процесса деаэрации) в зависимости от частоты вращения n ячейки, показало, что применение
50 100 150 200 Рис. 3. Сопоставление теоретических и опытных данных при механическом уплотнении каолина ГОСТ 21235-75 в центробежном аппарате с эвольвентными лопатками для зависимости I=I(n):n=3,00 103 об/мин: 1-результаты при a2(1)(r,0) из [3]; 2-результаты расчета согласно (11); ^-экспериментальные данные [3]
Fig. 3. The comparison of theoretical and experimental data at the mechanical compacting kaolin State Standard 21235 - 75 in the centrifugal set-up with the evolvent blades for the dependence I=I(n):n=3.00103 min-1: 1 - model results for a2(1)(r,0) [3]; 2 -model calculation results in according to (11); 3 - experimental data [3]
ЛИТЕРАТУРА
1. Капранова А.Б., Лебедев А.Е., Дубровин А.В. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2008. Т. 51. Вып. 4. С. 70-71;
Kapranova A.B., Lebedev А.А., Dubrovin A.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2008. V. 51. N 4. P. 70-71 (in Russian).
2. Нигматулин Ф.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука. 1978. 336 с.;
Nigmatulin F.I. Fundamentals of heterogeneous mediums mechanic. М.: Nauka. 1978. 336 p. (in Russian).
3. Капранова А.Б. // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 4. С. 44-58;
Kapranova A.B. // Mathematical Simulation. 2009. V. 21. N 4. P. 44-58 (in Russian).
а
Кафедра теоретической механики
