CC BY
31
УДК 621.867.4
А.Б. Капранова, А.И. Зайцев, А.М. Васильев ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ И УПЛОТНЕНИЯ ПОРОШКОВ В РОТАЦИОННОМ УСТРОЙСТВЕ С ГИБКИМИ ЛОПАСТЯМИ
На основе механики гетерогенных систем предложено математическое описание процесса уплотнения тонкодисперсных материалов в ротационном устройстве с гибкими лопастями. Получены численные решения для граничных задач Коши, двух смешанных и Римана в виде зависимостей порозности и радиальной скорости твердой фазы от радиальной координаты и временного параметра.
Модель, механическое уплотнение, дисперсная среда, твердая и газообразная фазы, порозность, тензор деформаций, тензор напряжений, гиперболическая система квазилинейных уравнений, инварианты Римана, граничные задачи - Коши, смешанная, Римана, метод характеристик.
А^. Kapranova, АХ Zaytsev, А^. Vasiliev DESCRIPTION OF TRAFFIC AND CONSOLIDATION OF POWDERS IN THE ROTARY DEVICE WITH FLEXIBLE BLADES
Based on the mechanics of heterogeneous systems proposed mathematical description of the compaction of fine materials in a rotary device with flexible blades. Numerical solutions for boundary value problems, Cauchy, Riemann, and two mixed in the form of plots of porosity and radial velocity of the solid phase of the radial coordinate and time parameter.
Model, mechanical seal, dispersion media, solid and gaseous phase, porosity, strain tensor, stress tensor, the hyperbolic system of quasilinear equations, Riemann invariants, boundary problems - Cauchy, mixed, and Riemann, the method of characteristics.
В настоящей работе понятие «процесс уплотнения порошковых сред» подразумевает технологическую операцию максимально возможного уменьшения объемной доли газообразной фазы в системе твердые частицы - газ без упругопластических деформаций составляющих зерен твердого скелета. Механическое уплотнение тонкодисперсных материалов, как один из способов их деаэрации, может быть успешно выполнено не только в устройствах с вращающимися жесткими пластинами [1], но и в деаэраторах с гибкими элементами [2] без дополнительных затрат на преодоление трения в радиальных пазах, предназначенных для ограничения перемещения лопаток.
Пусть уплотнение порошка происходит в сужающемся канале, разделенном гибкими радиальными лопастями на ячейки, между неподвижной и подвижной цилиндрическими поверхностями с радиусами R и Я2 соответственно (рис. 1). Обеспечение градиента давлений, необходимого для деаэрации среды, достигается при изменении профиля гибких элементов и объема ячейки за счет наличие эксцентриситета а между осями указанных цилиндров при вращении второго с угловой скоростью с. Угол между закрепленными на подвижной цилиндрической поверхности гибкими лопастями равен Д.. Для описания движения порошка в секторе между лопатками используется цилиндрическая система координат, которая вращается вместе с внутренним цилиндром. Внешняя и внутренняя цилиндрические поверхности при введении 0 = т задаются уравнениями
Г = a cos0± [R2 - а2 sin2 0]1/2, /^(0) = R2, (1)
В работе принимаются допущения о пренебрежении: давлениями, возникающими в среде под действием силы тяжести, в сравнении с напряжениями, обусловленными упругими свойствами уплотняемого материала; влиянием газа на движение твердых частиц вследствие медленного процесса деаэрации; изменениями плотности твердого скелета в окружном направлении при более значительных напряжениях в радиальном направлении за счет «набегания» стенки внешнего цилиндра в выбранной системе координат.
а) б) в)
Рис.1. Схемы для движения тонкодисперсного материала в ротационном устройстве с гибкими лопатками - в сужающихся каналах (а) и в ячейке аппарата (б) и для областей определения граничных задач (в): 1 - Коши; 2, 3 - смешанные; 4 - Римана
Используя основные положения модели механической деаэрации порошков [3], предлагается к решению следующая система уравнений, которая включает в себя: линейную связь деформаций и напряжений; соотношение для усредненных горизонтальных давлений в дисперсной фазе; уравнение неразрывности твердого скелета с учетом изменения порозности порошка вдоль окружной координаты при наличии изгиба профиля лопастей; следствие из уравнения изменения порозности; уравнение движения смеси в целом в пренебрежении касательными напряжениями соответственно
°г — а2 (Со^г + ^^в ) , Ов — а2 (^0^в + ) , (2)
ог — 2+Я)(а2 -о,), (3)
да2 /dt + д(а2v2r)/dr + v20r lda2/ д0 = 0, (4)
а2 =«2о(1 + £ +£0)-1, (5)
даг / dr + r_1(ar - а0) = p2(dv2r / dt + v2rdv2r /dr . (6)
Здесь ar, o0 (£r, £0) - компоненты тензора напряжений (деформаций) твердой фазы; а2 -порозность системы твердые частицы - газ с начальным значением а20; v2r, v20 - составляющие скорости дисперсной фазы; коэффициент Z0 = ^ + 2 ц представляет собой комбинацию коэффициентов Ламэ. В (4) угловая составляющая скорости v20 может быть усреднена по радиальной координате. При выполнении приближений £0 = ur / r, £r — £0 = rd£0 / dr для связей между смещениями и деформациями из статики сыпучей среды, и после подстановки (2), (3) в (4) с учетом (5), уравнения - неразрывности (4) и движения (6), образуют гиперболическую систему квазилинейных уравнений первого порядка относительно функций а2 (t, r) и v2r (t, r). Полученная система уравнений записывается в каноническом виде относительно инвариантов Римана Rt (t, r) = а2[1 + bv2r (v2r / + £i)] с характеристиками
£(t,r) = — (2bZ2)_1[v2r(1 + b)±Hо] при £ <£ в приближении v2r =Z = (Zo/Pt)1/2
Щ (t, r, £ (t, r)) / dt + £ (t, r)dRi (t, r, £ (t, r)) / dr = G. (t, r, £ (t, r))m (t, r, £ (t, r)), (7)
где pT - истинная плотность вещества; G; (t, r,£ (t, r))- вспомогательные функции;
mt (t, r ,£ (t, r))- интегрирующие множители; b(t, r), H 0(t, r)- дополнительные зависимости,
которые определяются значениями физико-механических характеристик уплотняемой среды и уравнениями (1). Соотношения для смешанной граничной задачи
R~2 (t, r (t)) = ^1(t); R1(t, R2) = ^(t), (8)
ВД r) = ^(r); R~2(0, r) = ^(r). (9)
формулируются согласно граничным условиям согласования нулевого и первого порядков в точках сшивания:
0-го порядка ^ (R2) = у2 (0), (10)
1-го порядка ^2 (0) — £1(0, R2)q[ (R2) = 0, tf(0) — £2(0, ^(0))^ (r1(0)) = 0, (11)
G1(0, R2)m1(0, R2) = 0, G2(0, r1(0))m2 (0, r1 (0)) = 0. (12)
Область определения решений разбивается на граничные задачи Коши, Римана и две смешанные (рис. 1 в), причем tk = 0k /с = п/с. Смоделируем начальные и граничные условия для порозности порошка и радиальной составляющей скорости твердого скелета, с помощью которых рассчитываются значения в выражениях (8) и (9). Скорость зернистого скелета v2r (t, r) в пренебрежении скольжением материала на границах r1 (t) , r2 (t) = R2 задается нулевой на поверхности внутреннего цилиндра v2r (t, R2) = 0 и равной скорости «набегания» стенки на поверхности внешнего v2r (t, r1(t)) = dr1(t)/ dt. Считается, что в начальный момент времени согласно экспериментальным данным [5] значения для v2r (0, r) имеют линейный характер, а начальная порозность есть а20, тогда а2(0, r) = а20; v2r (0, r) = dr / dt. Для построения граничного условия a2(t,r1(t)) используются уравнение предельного равновесия [4] и закон сухого трения в Tr0 (t, r1 (t)) = faaz (t, r1 (t)), где коэффициента бокового давления
fa = (1 — Sin P)(1 + Sin P).
Получены численные решения (7) с граничными условиями (8), (9) для a2(t, r) и v2r (t, r) методом характеристик (рис. 2). На примере уплотнения каолина ГОСТ 21235-75 в устройстве с вращающимися гибкими лопатками показано, что происходит достаточно рав-
119
номерное уплотнение порошка в сужающемся канале описанного аппарата. Для расчетов были использованы данные о физико-механических характеристиках [5] каолина ГОСТ 21235-75 (рт = 2,6 • 103 кг/м3, Л = 5,1 • 105 Па, ц = 3,1 -105 Па, р = 270). Считается, что пределы изменения конструктивных и режимных параметров задаются габаритами модельной установки уплотнителя и особенностями условий ее работы, в частности, N = 6; Я1 = (6,0 - 7,0) -10-2 м; Я2 = (3,5 - 4,0) -10-2 м; а = (2,0 - 4,0) -10-3 м; п = (10 - 38) об/мин. Предложенная математическая модель с учетом качественных особенностей тонкодисперсных сред достоверно описывает данный процесс, что подтверждается графиками, изображенными на рис. 2 а, б для функции порозности а2 (г, г) в зависимости от временного параметра и радиальной координаты соответственно.
Семейства кривых I и II, показанные на рис. 2 а, характеризуют изменение с течением времени порозности каолина ГОСТ 21235-75 в процессе его уплотнения в данном устройстве и соответствуют различным значениям величины эксцентриситета а. Анализ полученных результатов показывает, что с течением времени наблюдается рост степени уплотнения продукта в сужающемся канале устройства с вращающимися гибкими лопастями, который имеет близкий к экспоненциальному характер.
от,
0,42
0,3.8
0,34
0,30
0,26
0,22
0,18
/ У
■> 2'
X*
3
II 2 х
I
0 0,2 0,4 0,6 О,
а
г/с
3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
5.5
г. ю'
о -1 -2 -3
УДЛ--10-4
м/с
I
—^А. 3
\
III
2/>
яш
Рис. 2. Зависимости а2(г,г) и у2г(г,г) при уплотнении каолина ГОСТ 21235-75: Режим I:
а = 2,0 • 10- м (1-3); режим II: а = 4,0-10- м (1 - 3 ); = 6,0-10- м; Л2 = 3,5• 10- м; п = 35 об/мин;
а - а2(г); в - у2г (г) - г = 5,5 м (1, 1/ ); г = 4,5 м (2, 2/); г = 4,0 м (3, 3/); б - а2 (г) (точки - опытные данные); г - у2г(г) - г1/гк = 0,114 (1, 1/ ); г2 /гк = 0,514 (2, 2/); г3/гк = 0,573 (3, 3/)
б
г
в
Одновременно происходит плавное возрастание порозности порошка с уменьшением радиальной координаты (рис. 2 б). Некоторое расхождение данных теории для функции а2(г, г) и опытных испытаний - порядка 10 % - объясняется тем, что вычисления произведены в пренебрежении изменением порозности порошка в радиальном направлении. Причем падение значения величины эксцентриситета уплотнителя существенно снижает показатель
порозности тонкодисперсного материала. Г рафики функции у2г (г, г) - компоненты скорости дисперсной фазы в зависимости от радиальной координаты и временного параметра содержатся на рис. 2 в, г. При этом видно, что существенное влияние на характер движения твердого скелета оказывает наличие эксцентриситета уплотнителя, различным значениям которого соответствуют построенные семейства кривых I и II. Прилипание порошкового материала к ротору обеспечивает отсутствие относительного движения частиц материала на его поверхности (рис. 2 г при г = Л2).
Заметим, что порозность порошка при вариациях частоты скорости вращения ротора в диапазоне (10-35) оборотов в минуту менялась незначительно, а из двух параметров установки - радиусов ротора (Я2) и статора (Я1) - более существенное влияние на величину степени уплотнения оказывало изменение Я1 для статора. Результаты моделирования деаэрации порошков в устройстве с эксцентриситетом могут быть использованы для создания инженерной методики расчета нового класса лопастных уплотнителей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пат. 2103205 РФ, МПК6 В 65 В 1/36, 1/20. Дозатор-уплотнитель сыпучих материалов / А. И. Зайцев, А. В. Оборин, А. Б. Капранова, Д. О. Бытев. Опубл. 27.01.98. Бюл. № 3.
2. Пат. 2306973 РФ, МПК Е 01С19/10. Устройство для уплотнения сыпучих материалов / А. И. Зайцев, А. Е. Лебедев, А. Б. Капранова. Опубл. 20.09.2007. Бюл. № 27.
3. Капранова А.Б. Математическое описание процесса механического уплотнения тонкодисперсных материалов / А. Б. Капранова, А.А. Мурашов, А.И. Зайцев, А.Е. Лебедев. Ярославль : Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2006. 100 с.
4. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды / В.В. Соколовский. М. : Гл. изд-во техн.-теор. литературы, 1954. 276 с.
5. Капранова А.Б. Экспериментальные исследования процесса механического уплотнения тонкодисперсных материалов / А. Б. Капранова, А.И. Зайцев, А.В. Оборин. Ярославль : Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2008. 104 с.
Капранова Анна Борисовна -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Теоретическая механика» Ярославского государственного технического университета
Зайцев Анатолий Иванович -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика» Ярославского государственного технического университета
Васильев Антон Михайлович -
аспирант кафедры «Теоретическая механика» Ярославского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 26.07.11, принята к опубликованию 16.11.11
