232MATRITSALI O'YINLAR
Husinora G'ofur qizi Absoatova
Chirchiq davlat pedagogika instituti
Annotatsiya: Maqolada matritsali o'yinlarni yechishda yutuq matritsasining o'lchamlarini ixchamlashtirib olib hisoblash bayon etilgan va misollar keltirilgan. Yutuq matritsalarining o'lchamlarini ixchamlashtirishda o'yinchilarning optimal bo'lmagan strategiyalaridan voz kechish asosiy usuli ekanligi asoslandi.
Kalit so'zlar: tavakkal, matritsali oyinlar, egar nuqta, yutuq, analitik.
МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
Аннотация: В статье описано вычисление матриц выигрышей после упрощений их размеров при решении матричных игр, приведены примеры. А также утверждено, что основной способ уменьшения размеров выигрышных матриц - избежание неоптимальных стратегий игроков.
Ключевые слова: риск, матричные игры, седловой точка, победа, аналитеческий.
MATRIX GAMES
Abstract: The article describes the calculation of win matrices after simplifying their sizes when solving matrix games, examples are given. It is also argued that the main way to reduce the size of winning matrices is to avoid suboptimal player strategies.
Keywords: risk, matrix games, saddle point, winning, analytical.
Matritsali o'yinlar iqtisodiy muammolarning tahlilida keng qo'llaniladi. Har bir iqtisodiy vaziyat yoki holat iqtisodiy tizimdagi ishtirokchilarning o'zaro munosabati natijasida kelib сhiqadi. Iqtisodiy tizimdagi ishtirokchilarning xatti-harakatlarini oldindan to'liq holda bashorat qilib bo'lmaydi. (Misol uchun: talab miqdori, ob-havo, bozordagi raqobat va boshqalar). Shu tufayli iqtisodiy vaziyatlar noaniqlik yoki qarama-qarshilik holatlarida ro'y beradi va bu qabul qilinayotgan qarorlarga o'z ta'sirini o'tkazadi. Bu hollarda samarador yoki mukammal qarorlar qabul qilish uchun o'yin modellarini qurish va ular asosida qarorlar qabul qilish maqsadga muvofiqdir.
Matrisali o'yinlarni yechishning asosiy bosqichlari quyidagilardan iborat:
Birinchi bosqish: matritsali o'yinda egar nuqta mavjudligini tekshirish, agar u mavjud bo'lsa, optimal strategiyalar va o'yin qiymati egar nuqtada aniqlanadi.
Ikkinchi bosqish: yutuq matritsasining o'lchamlarini ustunlik strategiyalarini qo'llash qoidasi asosida ixchamlashtirish.
Uchinchi bosqish: optimal aralash strategiyalar va o'yin qiymatini grafik, analitik yoki chiziqli programmalashtirish usullari yordamida topish.
2 : 2 o'lchamli matritsali o'yin. Ushbu o'yinda har bir o'yinchi 2 strategiyaga ega bo'lib, yutuqlar matritsasi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin:
Agar A matritsali o'yinda "egar" nuqta mavjud bo'lsa, minimaks qoidasiga asosan o'yin yechimi yengil aniqlanadi. Faraz qilaylik, o'yinda "egar" nuqta mavjud bo'lmasin, bu holda o'yinda aralash optimal strategiyalar va o'yin qiymatini aniqlaymiz. Optimal aralash strategiyalarni quyidagicha belgilaylik:
bu yerda v - o'yin qiymati.
Agar P1 o'yinchi optimal x* = С*!- хг) aralash strategiyasini qo'llasa,P2 o'yinchi 1-sof strategiyasini qo'llasa, ya'ni 1-ustunni tanlasa, P1 o'yinchining
yutug'i a11x1 + a2 гх± teng bo'lib, o'yin qiymati v ga teng, ya'ni
.
Agar P2 o'yinchi 2-sof strategiyasini ya'ni 2-ustun qo'llasa, al2Xl + a22Xl = v
hosil bo'ladi. Berilishi bo'yicha хг + х2 = 1 tenglikdan Xjva xzlarni aniqlash uchun quydagi munosabatlarni hosil qilamiz:
а11Х1 + a21X2 = V, а12Х1 + a22X2 = V, X1+X2=l. (1)
Ushbu tenglamalar sistemasini yechib хъ x2 va v miqdorlarni aniqlaymiz:
va P2 o'yinchi uchun aralash strategiyalar у* = (уГ, y2*), quyidagi tenglamalar sistemasidan aniqlanadi:
Yuqorida keltirilgan yechish usuli analitik usul bo'lib, 2x2 o'yin o'lchamlari kichik bo'lganligi uchun ushbu masala yechimini grafik usulida hosil qilish mumkin. P1 o'yinchining sof strategiyalarini A1 va A2 (1- va 2- satrlar) va P2 o'yinchining sof strategiyalarini B1 va B2 (1- va 2-ustunlar) belgilaylik.
Tekislikning absissa o'qida [AVA2] 1 birlik uzunlikdagi kesma olaylik. Ushbu kesmaning A1 uchi koordinata boshi bo'lsin. [AVA2] kesmaning uchlaridan o'tkazilgan perpendikulyar to'g ri chiziqlarda o'yinchining yutuqlarini
X* = (x{, хЦуау* = (yi, yD,
(2)
belgilaylik (1-rasm). A1 uchidan o'tuvchi perpendikulyar ordinata Oy o'qi bilan mos tushib, x1 = 1 va x2 = 0 strategiya mosdir, A2 uchidan o'tkazilgan A2P perpendikulyar A2 sof strategiyaga mos kelib x1 = 0 va x2 = 1 Agar l\ o'yinchi B1 sof strategiyasini qo'llasa J\ o'yinchining yutug i an ga teng, agar P1 o'yinchi A1 sof strategiyani qo'llasa, a21 teng, agarda u A2strategiyasini qo'llasa, ct^va 0-21 miqdorlarni Oy va A2P kesmalarida mos ravishda aniqlab, ushbu nuqtalarni B1B1 kesma bilan tutashtiriladi. (1-rasm). BXB2 kesmaning ixtiyoriy ordinatasi o'yinchining o'rtacha yutug'iga teng bo'ladi, agar u A1 va A2 strategiyalarini Xjva x2 ehtimolliklar bilan mos ravishda qo'llasa, (1) tenglamalar hosil bo'ladi.
О x2 M Xi
A, A;
1-rasm
Agar P2 o'yinch B2 sof strategiyasini qo'llasa B2B2 kesmani hosil qilamiz, agar P1 o'yinchi A1 va A2 sof strategiyalarni Xjva x2 ehtimolliklar bilan mos ravishda tanlasa, B2B2 kesmaning ordinatalari P1 o'yinchining o'rtacha yutug'iga teng bo'ladi.
B2NB1 siniq chiziqning ordinatalari P1 o'yinchining aralash strategiyalarini qo'llagandagi minimal yutugini belgilaydi. o'yinchi minimal yutuqlar ichidan eng kattasini tanlash maqsadidadir va bu optimal yechim N nuqta bo'ladi. N nuqtaning ordinatasi o'yin qiymati v ga teng bo'lib, uning absissa o'qiga proeksiyasi, ya'ni M nuqta P2 o'yinchi uchun optimal aralash strategiya x* = (xlfx2) ni aniqlaydi. Buyerda^ = MA2 va x2 = MA1.
N nuqta koordinatalarini aniqlash uchun (1) tenglamalar sistemasini yechish kerak.
Ikkinchi o'yinchining optimal aralash strategiyasi y* = (Vu y2) ni topish uchun P1 va P2 o'yinchining o'rinlarini almashtirish kerak bo'ladi, ya'ni A matritsani transponirlaymiz. U holda P2 o'yinchining strategiyasi sifatida satrlarni tanlash, P1 o'yinchi uchun ustunlarni tanlashga to'g ri keladi. N nuqta koordinatalari y* = (Vi, >2) optimal aralash strategiyalarni va o'yin qiymati v ni (2) sistemadan aniqlanadi.
(2 X 2) turdagi o'yinlarni yechish. (2 X 2) turdagi o'yinlarni yechish quyidagicha amalga oshiriladi.
1) 1-dagi o'yinning tasviri quriladi, faqatgina ikkita B1B1 va B2B2 to'gri chiziqlar bilan birgalikda B3B3.....B4B4 to'g'ri chiziqlar ham quriladi;
2) P1 o'yinchining quyi yutuqlar siniq chizig'i aniqlanib, ushbu siniq chiziqda eng katta ordinatali N nuqta tanlanadi. Ushbu nuqta ordinatasi o'yin qiymatiga teng bo'ladi;
3) N nuqtada kesishuvshi B^B^ va fi^B^to'gri chiziqlar aniqlanib, ushbu aktiv strategiyalar P2 o'yinchining optimal strategiyasini aniqlashda ishtirok etadilar. Bigva Bjo aktiv strategiyalar aniqlangandan keyin (2 X n) matritsali o'yin (2 X 2) o'yinga aylanadi. Ushbu o'yinda Pi o'yinchi A1 va A2 strategiyalarini P2 o'yinchi bo'lsa, faqatgina Biova BJgstrategiyalarini musbat ehtimollik bilan qo'llaydi. Hosil qilingan (2 X 2) o'yinni yechish yuqorida ko'rsatilgani kabi amalga oshiriladi. N nuqta ikkitadan ko'p to'gri chiziqlar kesishmasidan ham hosil bo'lishi mumkin.
(m X 2) matritsali o'yinlarni yechish. Ushbu holda (m X 2) o'yinni yechish quyidagicha amalga oshiriladi.
1) Transponirlangan A = = 1 ,m matritsa uchun o'yinning shakli chiziladi. Bu holda AiAi chiziq bir nechta bo'lishi mumkin;
2) P2 o'yinchining yutuqlarining yuqori chegarasi quriladi va ushbu siniq chiziqda eng kichik ordinatali M uqta tanlanadi. Ushbu nuqtaning ordinatasi o'yin qiymatiga teng bo'ladi;
3) M nuqta kesishuvchi Л,- Д- v a A^^to'g'ri chiziqlar aniqlanadi va ushbu to'g'ri chiziq indekslariga mos o'yinchining i0 va ¿i aktiv strategiyalari aniqlanadi. Buning natijasida (2 X 2) matritsali o'yin hosil qilinadi va yuqoridagi usullarning ixtiyoriy biri bilan yechiladi.
Matritsali o'yinlarni yechishda yutuq matritsasming o'lchamlarini ixchamlashtirib olish hisoblashlarni kamaytiradi. Yutuq matritsalarini o'lchamlarini ixchamlashtirishda o'ynovchilarning optimal bo'lmagan strategiyalaridan voz kechish asosiy usuldir. Ushbu usul strategiyalar o'rtasidagi ustunlik xususiyatiga asoslangandi.
1-misol. Yutuq matritsasi quyidagi ko'rinishda berilgan bo'lsin:
Yechish. Ushbu matritsali o'yinda egar nuqta (muvozanat vaziyati) mavjud.
шах {10,9,11} = 11; max (11,7 Д 2 } = 12;
max {9,8,13} = 13;
ff = тах{9,7Д1}=11, ß = тт{11Д2ДЗ} =11, а = ß = 11;
Bu o'yinda matritsaning yutuq ya'ni to'lov qiymati v = a12 = a31 = llga teng. Matritsali o'yinda P± o'yinchi tomonidan 1-sof strategiyani va P2 o'yinchi tomonidan 2-sof strategiyani hamda Pi o'yinchi tomonidan 3-sof strategiyani va P2 o'yinchi tomonidan 1-sof strategiyani tanlash egar nuqtaga olib keladi.
2-misol. Yutuq matritsasi quyidagicha berilgan A = (' ^ ^ )
Yechish. Ushbu matritsali o'yinda egar nuqta mavjud emas, shu tufayli o'yinchilarning optimal strategiyalardan iborat bo'ladi va ikkala strategiyalari ham faol bo'ladi.
2x1 — x2 = 3x± + x2f bundan —x1 = 2x3 tenglamalarni hosil qilamiz. x1 + x2 = 1 ekanligini hisobga olsak x2 — 1 = 2x2 bundan x1 = 2, x2 = —1 aralash strategiyani topamiz. O'yin qiymati: v = 2 - 2 — (—1) = 5
Demak, P1 o'yinchining optimal aralash strategiyasi л = (2, —1), v = 5
Ushbu natijani faol strategiyalar haqidagi 2-teorema asosida qurilgan
tenglamalar sistemasini yechishdan ham hosil qilinishi mumkin. P2 o'yinchining optimal strategiyasini topamiz. Buning uchun quyidagi tenglamalar sistemasini yechamiz:
Natijada quyidagi optimal strategiya va yutuq summasiga ega bo'lamiz:
REFERENCES
1. Куимова Е.И. Теория игр: Методические указания к практическим занятиям (направление подготовки 38.03.01 - Экономика) / Е.И. Куимова. -Пенза: ПГУАС, 2017.
2. Umarov T. I., Shukurov Z. Q. "Iqtisodiy-matematik usullar va modellar" fanidan o'quv-uslubiy majmua. SamISI, 2013y.
3. Beknazarova N., Jumayev X. N. Matematik programmalashtirish va optimallashtirish usullari: O'quv qo'llanma. - T.: Iqtisodiyot, 2011. - 200 b.
