35Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
EDVORT- PARETO PRINSIPI
Husinora G'ofur qizi Absoatova
Chirchiq davlat pedagogika instituti,
E-mail: [email protected]
ANNOTATSIYA
Bu maqolada tanlov jarayonida qollaniladigan "aqilli" aksiomalar sistemasi batafsil tushuntirildi. Bu aksiomalar bajarilganda jarayon Edvort-Pareto prinsipiga asoslangan deyiladi. Bu prinsipga muvofiq eng optimal yechim Pareto to'plami ichidan olinishi lozim. Keltirilgan aksiomalar sistemasi shunday xususiyatga egaki, agarda aksiomalardan bittasi bajarilmasa, bu Edvort-Pareto prinsipiga zid bolmaydi. Dominant yechimlarni chiqarib tashlash aksiomasidan foydalanishda Edvort- Pareto prinsipining o'rni mavjud. 2-aksiomadan hech boTmaganda bittasi bajarilmaganda eng yaxshi tanlov Pareto chegaralarida mavjud bolishi mumkin.
Kalit so'zlar: "aqlli" tanlov aksiomasi, Pareto aksiomasi, Pareto to'plami,
EDWORTH- PARETO PRINCIPLE
Absoatova Husinora G'ofur qizi
Chirchiq state pedagogical institute,
E-mail: [email protected]
ABSTRACT:
This article explains in detail the smart axiom system used in the selection process. When these axioms are met, the process is said to be based on the Edworth-Pareto principle. According to this principle, the optimal solution should be obtained from the Pareto set. This system of axioms has such a property that if one of the axioms fails, it does not contradict the Edworth-Pareto principle. The Edworth-Pareto principle plays a role in the use of the axiom of exclusion of dominant decisions. If even one of Axiom 2 fails, the best choice might be within Pareto.
Keywords: Axiom of "smart" choice, Pareto axiom, Pareto set, Edworth-Pareto principle.
Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
Ikkita mumkin bo' lgan yechimlar to' plamini ko' ramiz ( x' va x''). Bu yechimlar uchun quyidagi 3 holat bo'lishi mumkin:
1) xV Xx (ya'ni l-yechim2-yechimdan afzal)
2) x" >- vx' (ya'ni 2-yechim 1-yechimdan afzal)
3) x y vxham, x" >- vx' ham bajarilmaydi.(qaror qabul qiluvchi ikki yechimdan biriga afzallik bera olmaydi)
Tortinchi holx' >- A.x" va x" >- vx'tengsizliklarning asimmetrikligi tufayli mavjud bolmaydi. x' >- A.x" bo'lgan da xyechim x yechimdan afzal (>-x) deb aytiladi. 2-holda x yechim x yechimdan afzal deb aytiladi.Agar 3-hol bajarilsa, x va x teng yechimlar deb aytiladi.
Yechimni X to'plamdan tanlash to'g'risidagi masalani qaraymiz. Aytaylik, biror bir x yechim uchun x yechim mavjud bo lsin, bunda Bu biz 1-yechimni
olishimiz lozimligini anglatadi. Bu to'plamda quyidagicha tavsiflanadi:
xVx C5>cjx,x} bunda x,x eXAgarda x yechim |x,x | to'plamdan undan ham
optimal yechim mavjudligi tufayli tanlanmasa, u holda aytish mumkinki yechimni bu to'plamda tanlanishi mumkin emas (x yechim mavjudligi tufayli). Keltirilgan fikrlar shuni ko'rsatadiki, to'plamdan 1- yechimnix tanlaganimizda, undan boshqa bir x' yechimni tanlash mumkin emas. Shu tufayli aksiomalar yechimni tanlash jarayonining qay tariqa kechishini belgilaydi.
1-aksioma. (Dominant yechimlarni chiqarib tashlash aksiomasi). Istalgan yechimlar tcTplami uchun x,x el va xV A.x" tengsizlik o'rinli bcTlsa, u holda x £ C(X) ham o'rinli bo'ladi.
Birinchi aksiomada nafaqat >-A munosabat belgisi qatnashyapti, balki C(X) yechimlar to' plami ham taqdim etilyapti. Bu yechimlar to' plami ma'lum bir yechimlar bilan chegaralanganligini bildiradi. Istalgan yechimlar to'plamidan qanday keltirilib chiqarilganidan qat'iy nazar shunday yechimni tanlash kerakki, u uchun boshqa optimalroq yechim mavjud bo'lmasin.
Birinchi aksioma har doim ham bajarilmaydi. Bu aksioma bajarilmaydigan oddiy holatni ko'rib chiqamiz.
Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan
Academic Research, Uzbekistan 471 www.ares.uz
Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va vutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
1-masala. 2 ta bo'sh ish o'rniga 3 ta nomzoddan 2 tasini tanlash haqidagi masalani ko'rib chiqamiz. Bunda talablarga ko'ra 2 ta bo' sh ish o'rni ham toldirilishi shart deb hisoblaymiz. Aytaylik, tanlovda 1- nomzod 2- va 3- nomzodlardan, 2-nomzod esa 3-nomzoddan afzal bo'lsin. 2 ta nomzodni tanlash lozimligi tufayli, 1- va
2- nomzod afzalligi ma'lum. Shunday qilib, 2-nomzod 1-nomzoddan afzal emas, lekin
3-sidan afzal. Bundan tashqari u nomzod tanlashda birinchilardan biri bo'lib tanlanadi. Ya'ni, bu holda dominant yechimni chiqarib tashlash haqidagi aksioma bajarilmaydi.
Qachonki bitta optimal yechim mavjud bo'lsa, bu yechim minimal va maksimal yechimlar orasidan topiladi. Masalan, ko'plab iqtisodga oid masalalarda xarajatlarni minimallashtirish va foydani maksimallashtirishga intilinadi. Matematika kursidan ma'lumki, istalgan maksimallik haqidagi masalani minimallik haqida masalaga funksiya ishorasini o'zgartirish orqali o'tish mumkin. Shu sababli ekstremallik haqidagi masalalarni yechishda minimal yoki maksimal yechimlarga e'tibor beramiz. Bu faktni Pareto aksiomasida quyidagicha ta'riflaymiz.
Pareto aksiomasi. Istalgan x,x eXjuftliklar uchun x > x tengsizlik orinli bo'lsa, f(x) > f (x) tengsizlikda ham o'rinli bo'ladi.
Ba'zi xususiy hollarda bitta yechim skalyar ko'rinishida qaraladi. Pareto aksiomasi vektorlar bilan ishlashda quyidagicha tavsiflanadi:
Bir necha yechimlar orasidan optimal yechimni tanlashda, ya'ni Edvort-Pareto prinsipini tavsiflashda Pareto to'plami zarur bo'ladi.
Ta'rif. Agarda x E X uchun f(x) > f(x*) ni qanoatlantiruvchi yechim mavjud bo'lmasa, u holda x* EX yechim pareto-optimal yechim deb nomlanadi. Barcha pareto-optimal yechimlar Pareto to'plamini tashkil etadi Pf(X) kabi belgilanadi.
Agar keltirilgan na'munada nazariyalar sonini bitta deb qarasak m=1, u holda u f(X) to'plamda optimal yechim bo'ladi. Pareto optimalini bir necha yechimlar orasidan eng maksimalini olishga o'xshatish mumkin. Keltirilgan ta'rifga muvofiq Pf(X) = [x*EX\ uchun f (x) > f (x*) } ni qanoatlantiruvchi yechim mavjud bo'lmaydi. Aytaylik, x* pareto-optimal yechim, f(x*) esa unga mos tushuvchi vektor. ta'rifga muvofiq agarda qandaydir f(x) > f(x*) yechim uchun bajarilsa, u holda boshqa bir fj(x*) > fj(x) yechim ham mavjud bo'ladi. Bu asosida quyidagicha xulosa qilish mumkin:
Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va vutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
Pareto-optimal yechim — bu shunday xususiyatga ega yechimki, istalgan boshqa nazariya bo'yicha yaxshilanmaydi yoki yomonlashmaydi. Boshqacha aytganda, to'plamda biror bir pareto-optimaldan farqli boshqa pareto-optimal yechim mavjud bo'lmaydi. Shu sababli Pareto to'plamini "o'zaro kelishuv to'plami" deb atashadi.
Optimallik tushunchasi iqtisodiy matematikada muhim rol o'ynaydi. Bu sohada ko'pincha pareto-optimal yechim emas, effektiv yechim yoki effektiv yechimlar to'plami tushunchalaridan foydalaniladi. Shu bilan birga bu tushunchalar sinonim ham hisoblanadi. X to'plam strukturasiga yoki f vektorga bog'liq ravishda pareto-optimal
• bo' sh (birorta yechimi yo' q);
• bitta to'plamga ega;
• bir qancha cheklangan yechimlarga ega;
• cheksiz yechimga ega;
• X yechimlar to'plami bilan mos tushishi mumkin.
f(x*) vektor pareto-optimal x* yechimlar to'plamida pareto-optimal vektor deb aytiladi. Buning uchun quyidagicha belgilanishdan foydalaniladi:
P(Y) = f(pf(X)) = {f(x*eY \ bunda x*ePf(X),Y = f(X) }
Tushunish mumkinki, pareto-optimal vektorlar to'plamini quyidagicha tavsiflash mumkin: Y = f(x)
Quyida 2 ta buyuk iqtisodchi-matematik olimlar nomi bilan bog'liq teorema beriladi:
1-teorema. Aytaylik, Pareto aksiomasi bajarilsin. U holda istalgan yechimlar to'plami uchun C(X) quyidagicha qo'shimcha biriktirishimiz mumkin:
C(X) c Pf(X) (1)
Agar C(X) to'plam bo'sh bolsa ham, (1) qo'shimcha bajariladi, chunki C(X) ^
0
Isbot uchun dominant bo'lmagan yechimlar to'plamini kiritamiz: NdomX = [x*eX, xeX , xV x* ] Aytaylik, qandaydir dominant bo'lmagan yechim uchun
NdomX c Pf(X) (2)
Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan
Academic Research, Uzbekistan 473 www.ares.uz
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | CSPI CONFERENCE 3 | 2021
Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
ifoda o'rinli bo'lsin. U holda toplamda shunday pareto-optimal yechim mavjudki, u uchun x"zPf (X) o'rinli.
Agar teskari faraz qilsak, to'plam orasida yechim mavjud va u uchun o'rinli. U holda x" izlangan yechim bo'ladi. (1) formula Edvort-Pareto prinsipining matematik ifodasidir. Ko'plab nazariyalarda bu prinsip alohida o'ringa ega. Edvort-Pareto prinsipining geometrik ko'rinishi quyidagicha:(1-rasm)
1-rasm. Mavjud yechimlar va pareto-optimal yechimlar to'plami.
(1) teorema yechim uchun berilgan. Uni vektorlar to'plamida ham ifodalash mumkin. Ya'ni, C(Y) c P(Y). Aytaylik, 1-aksioma va Pareto aksiomasi bajarilsin. Bu holda istalgan tanlangan yechimlar to'plami C(Y) uchun o'rinli.
Agar 1-aksioma yoki Pareto aksiomasidan biridan voz kechilsa, Edvort-Pareto prinsipi bajarilmaydi. Bu qoida prinsip bajarilishi uchun 2 ta aksiomaning minimallik shartini ifodalaydi. Boshqacha aytganda, bu aksiomalar sistemasi Edvort-Pareto prinsipi bajarilishining minimal shartlarini ifodalaydi.
2-misol. Aytaylik,
X = [x1>x2},f = (fltf2),Y = f(X) = [y(1\y(2^},y(1 = (0,0), y(2) = (0,1) bunda y(1) y y(2) Qolganlari esa y(1 yy(1),y(2) y y(2) Bu holda Pf(X) = {x2} chunki
y(2) > y(1).
3-misol. Aytaylik X = {xlt X2}, f = (f±, f2), Y = f(X) = [y(1\ y(2}, y(1 = (0,0),y(2) = (0,1) bunda y® y y(2) Qolganlari esa y(1) y y(1),y(2) y y(2) Bunda Pf(X) = {x2} chunki C(X) = {x1}c {x2} = Pf(X).C(X) = {x1} Bu holda yuqorida keltirilganidek, qo'shimcha bajarilmaydi.
Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
Keltirilgan misollar shuni ko'rsatadiki, Edvort-Pareto prinsipi universal hisoblanmaydi, ya'ni barcha masalarda qo'llanilmaydi. 1-aksioma va Pareto aksiomasi orqali bu prinsip qanday masalalarda "ishlamasligi"ni bilishimiz mumkin. Agarda quyidagi 2 ta holdan qaysidir biri bajarilsa, bu prinsipni qo'llash mumkin emas:
1) qandaydir juftlikdan tanlab olingan yechim butun to'plamdan tanlab olingan yechim bolsa;
2) Pareto aksiomasi bajarilmagan bo'lsa, ya'ni f(x') > f(x") uchun
Avvalo, shuni aytish lozimki, afzal ko'rish o'z o'zidan qat'iy, ya'ni o'z-ozidan ortiq bo'lishi mumkin emas, ya'ni binar munosabatlar irrefleksiv bo'lishi lozim. 1-vektor 2-sidan, 2-si boshqa bir 3-sidan afzalroq bo'lgan jarayonni ko'ramiz. Bu holatda istalgan kishi 1- vektorni tanlaydi. Masalan, agar 5>3 va 3>1, u holda 5>1. Vektorlarning xossalarida ham agar y y Yy va у у ,/ boisa, y y , /o rinli bo ladi.
Afzallik belgisi >-, oldindan Y to'plamda aniqlangan. Biz nafaqat 2 ta vektorlar juftligini, balki istalgan Rm tekislikdagi vektorni taqqoslashimiz mumkin. Boshqacha aytganda, Rm tekislikdagi binar ( >- ) munosabatlar Y to'plamlar orasida ( >-, ) ham aniqlangan:
y y y" о y y ry barcha y,y g Y uchun.
Aytish joizki, >- munosabatining berilishi alohida muhim roi o'ynamaydi.
2-aksioma. (Binar munosabatlarning irrefleksivligi va o'zgaruvchanligi) Tanlov jarayonida foydalaniladigan irrefleksiv munosabatlar o'zgaruvchan binar munosabatlar hosoblanadi.
Ko'plab tanlovlarda afzallik munosabatlari bir-biri bilan moslashadi. Quyidagicha aniqlash kiritamiz:
Ta'rif. fi nazariya afzallik munosabatlari bilan >- belgisi orqali moslashgan. y' ,y" E Rm va y' = (y[, ...,y[-x,y[,y[+x ,-,Ут) , У" = (y'i, -, y'i-i, У", y'i+i >->Ут) bunda y y y .
Afzallik munosabati va vektorlar nazariyasi aksiomalar yordamida tavsiflash mumkin.
Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va vutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
3-aksioma. Har bir /1,/2,/з nazariyalar bir biri bilan >- belgisi yordamida moslashgan. Bunda yechim shunday tanlanishi kerakki, u aniq bir qiymatda o'zining maksimal qiymatiga erishishi lozim. Afsuski, bu kabi masalalarga ko'p duch kelmaymiz. Amaliyotda maksimum nuqtalar to'plami bu xossa bilan ziddir. Shu tufayli ko'p nazariyali tanlashning asosiy muammosi paydo bo'ladi: O'zaro qarama-qarshi nazariyalarda eng yaxshi tanlovni qanday amalga oshirish mumkin?
Ko'rinadiki, Pareto aksiomasi 2- va 3-aksioma natijasi hisoblanadi. Bu quyidagi tasdiqni talab qiladi.
1-lemma. 2- va 3-aksioma Pareto aksiomasi bajarilishini ta'minlaydi.
Aytaylik fk(x') > fk(x") tengsizlik ikkita ixtiyoriy yechimda x',x'' EX qanoatlantirsin. Umumiy holda bunday qat'iy tengsizliklar bir nechta b o'lsin. Barcha k,k > I nomerlar uchun f(x') va f(x") vektorlar to'plami mavjud bo'lsin.Dastlabki l nazariyaning moslashganligi tufayli quyidagi tengsizliklarga ega bo'lamiz:
(л /2 ■ ■, ж*а ■ ■,^ ^^
ifi(x")J2(x")l..lfl_1(x')l..lfm(x')y fl(xn),f2(xn),..,fl(x''),fl + 1(x'')>..,fm(x'')
Bu yerdan esa quyidagi munosabatga kelamiz : Boshidagi isbotga asosan fk(x') = fk(x''), к = I + 1,...,m
Shuning uchun ifoda quyidagi ko'rinishga ega: f(x' ) =
Bu olingan natija asosida Edvort- Pareto prinsipini quyidagicha ta'riflash mumkin: 2- va 3- aksiomalar bajarilsin. Bu holda istalagan vektorlar to'plami uchun C(Y) qanoatlantiruvchi 1-aksioma uchun C(Y) с P(Y) o'rinli.
Dominant yechimlarni chiqarib tashlash aksiomasidan foydalanishda Edvort-Pareto prinsipining o'rni mavjud. 2-aksiomadan hech bo'lmaganda bittasi bajarilmaganda eng yaxshi tanlov Pareto chegaralarida mavjud bo'lishi mumkin. "Aqlli" tanlovni 3 ta aksioma yordamida tavsiflash mumkin:
afzallik munosabatlarining o'zgaruvchanligi aksiomasi, muvofiqlik aksiomasi va dominant yechimni chiqarib tashlash aksiomasi.
Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
Bir necha yechimlar orasidan optimal yechimni tanlashda, ya'ni Edvort -Pareto prinsipini tavsiflashda Pareto to'plami zarur bo'ladi. Matritsali o'yinlar yechimini topishda matritsada boshqalaridan afzal satr yoki ustun mavjudligi hisobiga yengillashadi:
4-misol. Quyidagi matritsali o'yinni qarab chiqaylik.
r6 -3 5 2 61 3 -1 -2 -3 0 v3 2 4 2 1 j
(3)
Matritsaning ikkinchi va uchinchi satrlarini taqqoslab, ikkinchi satr barcha elementlari uchinchi satr mos elementlaridan ortib ketmasligi seziladi. Shunga ko'ra, uchinchi satri ikkinchi satrga nisbatan afzal ko'rib ikkinchi satr tashlab yuboriladi. Haqiqatda birinchi o'yinchi ikkinchi va uchinchi satrni taqqoslab, barcha hollarda uchinchi satrni tanlaydi va birinchi o'yinchi optimal strategiyasida ikkinchi satrni tanlash ehtimoli 0 ga teng bo'ladi. Shuning uchun (9) matritsadan ikkinchi satri tushirib quyidagi yangi matritsali o'yin qarab chiqiladi:
6 -3 5 2 61
v3 2 4 2 1 j
(4)
U endi 2x5 o'lchovga ega, ya'ni, ikkita satr va beshta ustuni bor. Matritsadagi ustunlar taqqoslanadi. Birinchi va beshinchi ustunlarni taqqoslab, beshinchi ustun barcha elementlari birinchi ustun mos elementlaridan ortib ketmasligi seziladi. Ikkinchi o'yinchi eng kichik yutqazishni istagani uchun beshinchi ustunni tanlaydi va uning optimal strategiyasi birinchi komponenti 0 ga teng bo'ladi. Birinchi ustunni o'chirilsa, 2x4 o'lchovli yangi matritsa hosil bo'ladi.
'-3 5 2 6^
V 2 4 2 1 j
(5)
Shunga o'xshash (5) matritsada uchinchi ustun birinchi ustunga nisbatan qarab tashlab yuboriladi va yana yangi 2x3 o'lchovli matritsaga ega bo'lamiz:
-3 2
5 4
61 1 ,
(6)
Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va vutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
(6) matritsada ikkinchi ustun birinchi ustunga nisbatan qarab tashlab yuboriladi va yana yangi 2x2 o'lchovli matrisaga ega bo'lamiz va bu matrisaning optimal yechimi
Г-3
va o'yin bahosi topiladi. (7)
v 2 1 )
Hosil bo'lgan matrisani turli xil usulda ishlash mumkin. P = (x,1 — x)-birinchi o'yinchining ixtiyoriy strategiyasi, Q = (y,1 — y )-ikkinchi o'yinchiniki bo'lsin. Birinchi o'yinchi P strategiyani, uning raqibi esa Q strategiyani qabul qilgandagi birinchi o'yinchi yutug'ining matematik kutilishi quyidagiga teng bo'ladi:
E(P, Q) = —3xy + 6x(1 — y) + 2y(1 — x) + (1 — y)(1 — x) = —3xy — 6x — 6xy + 2y — 2xy + 1—x — y + xy = —10xy + 5x + у + 1 =
—10 (xy — -X — —V — — )
V J 2 io^ 10)
1 ( 1 9 \
Agar birinchi o'yinchi x = — ni tanlab, P* = strategiyani qo'llasa, ixtiyoriy
y uchun, ya'ni, ikkinchi o'yinchining qanday strategiya qo'llashidan qat'iy nazar
E(P*, Q) =- bo'ladi. Agar birinchi o'yinchi boshqa strategiyani, masalan,
11
P' = (x', 1 — x') ni qo'llasa, bunda x' < — u holda ikkinchi o'yinchi y' > - bo'lgan
3
Q' = (y', 1 — y') boshqa strategiyani qo'llaydi va E(P*, Q*) < - bo'ladi.
11 Boshqa tomondan qaralganda x > — u holda ikkinchi o'yinchi y < — da yana
33
E(P', Q') < - bo'ladi. Shunday qilib, - birinchi o'yinchining kafolatlangan eng katta
yutug'i bo'ladi. Chunki agar birinchi o'yinchi P* strategiyani tanlamasa, raqib o'yinida bu yutuq, ko'rib turganimizdek, faqat kamayadi.
1 1 1 Xuddi shuningdek, agar ikkinchi o'yinchi P* = strategiya У = ~ ni
qo'llasa, u holda birinchi o'yinchining ixtiyoriy P strategiyasida E(P, Q*) =- bo'ladi.
Ikkinchi o'yinchi y' > - bo'lgan boshqa strategiyani tanlagandagi holat Q' = (y', 1 —
y') bo'ladi. Birinchi o'yinchi x' < — bo'lgan P' = (x', 1 — x') strategiyani tanlashi
Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan
Academic Research, Uzbekistan 478 www.ares.uz
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | CSPI CONFERENCE 3 | 2021
Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
3 11
kerak bo'lganda E(P', Q') > - bo'ladi. Xuddi shunday y' > - va x' > — da yana
33
E(P', Q') > - bo'ladi. Ikkinchi o'yinchining eng kichik kafolatlangan yutqazishi - ga teng. Bundan kelib chiqadiki, P* = (1,1) va
1 9 3
Q* = o'yinchilarning optimal strategiyasi, - soni esa o'yin bahosidir.
Bu holda (4) tengsizlik E(P, Q*) = - = E(P*, Q) tenglama ko'rinishini oladi. Berilgan
(3) matrisa uchun P* = (оо,!,!^) va = (о,~0,о) o'yinchilarning
3
optimal strategiyasi, o'yin bahosi esa - ga teng.
5-misol. Yuqorida ko'rilgan 4-misolni analitik usul yordamida yechamiz:
r6 -3 5 2 6^
3 -1 -2 -3 0 v3 2 4 2 1 j
-3 6^ v2 1J
Agar P1 o'yinchi optimal x' = (x',x2) aralash strategiyasini qo'llasa, P2 o'yinchi 1-sof strategiyasini qo'llasa, ya'ni 1-ustunni tanlasa, P1 o'yinchining yutug'i a11x'l + a21x1 = v teng bo'lib, o'yin qiymati v ga teng. Agar P2 o'yinchi 2-sof strategiyasini ya'ni 2-ustun qo'llasa, a12x1 + a22x'2 = v hosil bo'ladi.
^ a-:22 — ^21 _ 1 — 2 _ 1
1 a11 + a22 — a12 — a21 —3 + 1 — 6 — 2 10
a11 — a12 —3 — 6 9
a11 + a22 — a12 — a21 —3 + 1 — 6 — 2 10
a22 — ^12 _ 1 — 6 _ 1
a11 + a22 — a12 — a21 —3 + 1 — 6 — 2 2
a11 — a21 —3 — 2 1
a11 + a22 — a12 — a21 —3 + 1 — 6 — 2 2
^22^11 — <^21a12 —3*1 — 6*2 3
Xn =
У1 =
У2 =
V =
a11 + a22 — a12 — a21 —3 + 1 — 6 — 2 2
Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va vutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
natijalarga ega bolamiz bu 5-misolda qayd etilgan javoblar ekanligini
1.В.Д. Ногин. Принятие решений при многих критериях. Учебно-методическое пособие.- СПб. Издательство «ЮТАС», 2007. - 104 с.
2.Ногин В.Д. Принцип Эджворта-Парето в терминах нечеткой функции выбора// Журнал вычислительной математики и математической физики, 2006, т. 46, №2 4, с. 582-591.
З.Зенкевич Н.А., Марченко И.В. Экономико-математические методы. Рабочая тетрадь №2. СПб.: изд-во МБИ, 2005.
4. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. М.: Изд-во БЕК, 1998. 5. Малыхин В. И. Финансовая математика. - М.: «Юнити», 2003. - 237 с.
5. Вэриан Х. Р. Микроэкономика. - М.; ЮНИТИ, 1998.
6. Капитаненко В. В. Финансовая математика и ее приложения. - М.: «Приор»,
7. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. - М.: «Дело», 1998.
\2' 2J '
3
strategiyasi, - soni esa o'yin bahosidir.
3
2
REFERENCES
1998.
