Матричная модель пластинчатых теплообменников Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 621.184

Е.В Барочкин, В.П. Жуков, И.В.Степин, А.А.Борисов

МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИНЧАТЫХ ТЕПЛООБМЕННИКОВ

(Ивановский государственный энергетический университет) e-mail: office@ispu.ru

Предложена математическая модель пластинчатого теплообменника со сложной структурой потоков, учитывающая подачу и отвод произвольного числа теплоносителей, представлены результаты численных экспериментов.

Целью работы является разработка матричной математической модели пластинчатого теплообменного аппарата для решения на ее основе задач проектирования и оптимизации теплоис-пользующих систем для энергетики, жилищно-коммунального хозяйства и химической промышленности.

Матричная формализация расчета тепло-обменных аппаратов со сложной конфигурацией потоков [1] предполагает представление каждой ступени или аппарата четырехполюсником с двумя входными и двумя выходными потоками для холодного и горячего теплоносителя соответственно. В пластинчатом теплообменнике каждый теплоноситель в ступени взаимодействует с двумя соседними теплоносителями (рис.1.а), поэтому метод матричной формализации для пластинчатых аппаратов нуждается в корректировке. Для адаптации метода принимается следующее допущение: каждая ступень вдоль направления движения теплоносителя условно разбивается на две теплоизолированные между собой части, в каждой из которых теплоноситель контактирует только с одним из соседних теплоносителей. Данный расчетный прием позволяет представить ступень в виде двух четырехполюсников. Выделенные потоки на выходе из ступени перемешиваются и направляются в следующую ступень. Изложенный подход проиллюстрирован на пластинчатом теплообменнике, приведенном на рис.1 и имеющем согласно [2] следующую кодировку Сх 2/2. Двойка в числителе показывает, что горячий теплоноситель распределяется по двум параллельным потокам, а двойка в знаменателе обозначает аналогичную структуру потоков для холодного теплоносителя. На рис.1.а представлена технологическая схема потоков горячего (сплошная линия) и холодного (штриховая линия) теплоносителя.

Крайние потоки участвуют в теплообмене только через одну стенку, а средние потоки - через две. Сделанное замечание позволяет представить весь теплообменник в виде трех четырехполюсников, схема включения которых приведена

на рис.1б. Теперь для расчета всего теплообменника могут быть использованы правила матричной формализации [1].

Рис.1. Технологическая схема потоков в четырехступенчатом

пластинчатом теплообменнике (а) и расчетная схема его представления в виде трех четырехполюсников (б). Сплошными и штриховыми линиями показаны соответственно потоки горячего и холодного теплоносителя. Fig. 1. Technological scheme of flows in the four-step plate-type heat exchanger (a) and its presentation as a quadruple (б). Solid and dashed lines correspond to flows of hot and cold heat carriers, respectively.

Для общего случая системы из n ступеней теплообмена математическая модель представляется следующим образом

K12B2

K21B1

1n n 2n n

Kn1B1 Kn2B2

Xi

X,

J\XnJ

-Xn

-Xn

V X 0 т J

или

T • X = xn

(1)

где Т-матрица процесса в аппарате, В-матрица процесса в ступени, Ку-матрица коммутации, элементы которой показывают доли потока из j ступени в >ю, Х-вектор аддитивных параметров

I

I

I

теплоносителей на входе в ступень, 1-единичная матрица, индекс <а» ^=1,...,п) указывает на номер ступени, индекс «0» соответствует внешнему потоку, подаваемому на вход ступени.

Порядок составления расчетной схемы и матричной модели, а также численный анализ теплообмена демонстрируется на примере пластинчатого теплообменника с более сложной структурой потоков, приведенного на рис.2 и состоящего из четырех секций. В крайних секциях теплообмен осуществляется только через одну стенку, что позволяет при составлении расчетной схемы ограничиться тремя четырехполюсниками. Однако для удобства выполнения расчетного анализа и наглядности представления результатов численных экспериментов вводится дополнительный четвертый элемент, входные параметры в который соответствуют выходным параметрам из рассматриваемой установки. Таким образом, при составлении расчетной схемы и модели предлагается схема из четырех элементов, приведенная на рис.2.б.

Рис.2. Технологическая (а) и расчетная (б) схема потоков в четырехступенчатом пластинчатом теплообменнике. Сплошными и штриховыми линиями показаны соответственно потоки горячего и холодного теплоносителя. Fig.2. Technological (a) and computational (б) scheme of flows in the four-step plate-type heat exchanger. Solid and dashed lines correspond to flows of hot and cold heat carriers, respectively.

Расчет пластинчатого теплообменника выполняется в два этапа: сначала определяются расходы теплоносителей через каждую ступень, затем вычисляются значения температуры теплоносителей в произвольной точке аппарата.

При выполнении первого этапа в качестве параметров потоков Х выбраны расходы горячего

и холодного теплоносителей X =

G, G

л

. Потоки в

2 у

поверхностном подогревателе разделены стенкой, поэтому их расходы не меняются, а матрица процесса соответствует единичной матрице

1 л,

. Матрица коммутации состоит из четы-

B

0 1

рех элементов Ку =

а.

«12

а22

, каждый из кото-

рых показывает долю потока из |-го в 1-ыи элемент: ап-горячего теплоносителя в горячий, а12 -холодного в горячий, а21 -горячего в холодный, а22-холодного в холодный. Согласно расчетной схеме (рис.2.б) матрицы коммутации записываются следующим образом

К11 - К12 - к13 - к14 - К22 - К23 -

- K24 K32 - K33 - K34 K41 - K44 "

0

0 0

K21 -

K42 -

K31 -

K43 -

0.5 0 0 1 1

0.5 0 0, 1 0^

" 1°

На первом этапе расчета матрица процесса принимает вид

T =

Kii-I K12 K13 K14

K21 K22 -I K23 K24

K31 K32 K33 - I K34

K41 K42 K43 K44-I

А

Расходы теплоносителей в аппарате находятся из решения системы (1) Х=Т-1Х0,

где вектор внешних потоков представляется в виде

Хо = - l'V

О20/2 0 G20 /2 0 0 0 0

Показатель степени «-1» соответствует обращению, а верхний индекс «'» -транспонированию матрицы. Следует отметить, что предложенный подход справедлив и при наличии внутренних ре-циркуляций, рассчитать которые посредством последовательных арифметических вычислений не всегда возможно.

На втором этапе вектор признаков составляется из температуры горячего и холодного теп-11

поносителя № ;. Матрица В для каждого четырехполюсника с учетом [3] представляется в виде

V 21

ij

B

b„ =

ibu b12 vb21 b22

£ll+e-(ai+a2)FA

b12 = (-e-(ai+a2)F ^ + 1

+ 1

b91 =

b22 =

a^e-(a1+a2)F

l + i^g-Cai+ajiF

(„ \ ^ + 1

2 +1 al

k

k

2 — *

где к-коэффициент теплопередачи, с-удельная теплоемкость, G-расход, t-температура теплоносителя, индекс «1» относится к горячему, «2»-к холодному теплоносителю. Температура не является аддитивным параметром, поэтому для составления балансовых уравнений аналогичных (1) температура умножается на расход теплоносителя и теплоемкость. Полученное произведение есть энергия (или энтальпия) потока и при смешении потоков может складываться. С учетом сделанных замечаний система (1) принимает вид

'хЛ Мсхд^

-gn k12g22b2 k13g„b3

- g,

к 23G33b3

G,

k21g11b1 g22 k31gub1 k32g22b2

k41gub1 k42g22b2 k43g33b3 0

k14g44b4

kmg44b4 k34g44b4

-G.,

x2 X3

VX4 J

-[gx0]2 "[gx0]3

l"[gx0]4y

(2)

где g.. = G" 0

диагональная матрица расходов

теплоносителей через ступень, [GX0 ] =

Gt1( Gt,

вектор-столбец из произведений температуры на расход внешних потоков. На втором этапе решения задачи вектор внешних входных потоков записывается как

Х0=-(?10/10 С?2/20/2 0 С?2(/20/2 о о о (К Решение системы (2) позволяет определить значение температуры теплоносителей в произвольной точке установки.

Результаты численного эксперимента приводятся на рис.3 в виде зависимости температуры горячего и холодного теплоносителя от относительной поверхности теплообмена. Базовая поверхность теплообмена, на которую выполняется нормировка, обозначена через Fo. Численный пример приводится для следующих исходных данных: расход горячего теплоносителя на входе

С10=10 кг/с, теплоемкость горячего теплоносителя С1=4200 Дж/кг К; расход холодного теплоносителя на входе G20=10 кг/с, теплоемкость холодного теплоносителя с2=4200 Дж/кг-К, коэффициент теплопередачи для всех ступеней к=3000 Вт/м2-К, температуры горячего и холодного теплоносителя на входе в теплообменник ^0=100°С и t20=2оС. Увеличение относительной поверхности теплообмена выполняется одновременно для всех ступеней.

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

-------

у .

2

/

/

10

F/F„

Рис.3. Зависимости температуры горячего tj и холодного теплоносителя t2 от относительной суммарной площади теплообмена.

Fig.3. Dependence of the temperature of hot (ti) and cold (t2) heat carrier on the relative total surface of heat exchange.

Расчетные зависимости для температур теплоносителей на рис.3 пересекаются при некотором значении поверхности теплообмена. При дальнейшем увеличении поверхности температура холодного теплоносителя на выходе становится выше температуры горячего теплоносителя на выходе. В энергетических котлах аналогичные результаты достигаются за счет сложных схем соединения нескольких теплообменников: экономайзера, топочных экранов, пароперегревателя.

Предложенный подход может использоваться при выполнении проектных и наладочных работ и анализе эффективности работы пластинчатых подогревателей в энергетике, жилищно-коммунальном хозяйстве и химической промышленности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Барочкин Е.В. и др.// Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2004. Т. 47. Вып. 9.

2. Своды правил по проектированию и строительству СП 41-101-95 к СНиП 2.04.07-86. Москва. 1996.

3. Барочкин Е.В. и др.// Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2004. Т. 47. Вып. 3.

Кафедра прикладной математики

а, а.

a

а. =

2

4

6

8

g21