CC BY
36
5. ШФОРМАЦШЙИШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК517.9:577.4:303.101 Доц. В.М. Онишкевич, канд. фiз.-мат. наук;
доц. В.З. Холявка, канд. екон. наук; студ. Х. О. Гапаляк - НЛТУ Украти, м. Львiв
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОЛОГ1ЧНИХ ПРОЦЕС1В ЗА ДОПОМОГОЮ СИСТЕМ Л1Н1ЙНИХ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ
Зроблено спробу математичного опису взаемоди кiлькох бiологiчних змiнних в екосистемi. Для цього запропоновано використати систему лшшних диференщаль-них рiвнянь першого порядку. Як приклад, змодельовано кшька можливих типiв взаемодп двох бюлопчних видiв в екосистемi.
Ключов1 слова: математична модель, бюлопчний вид, еколопчна система, система лiнiйних диференщальних рiвнянь.
Подальший сощально-економ1чний розвиток суспшьства е неможли-вим без виршення наявних еколопчних проблем. Стан навколишнього природного середовища потребуе негайного прийняття ршень на р1зних р1внях суспшьних, державних, регюнальних, м1жнародних структур. Наявш природ-т системи е досить гнучкими й стшкими, проте таю iх властивост не е без-межними. Якщо на раншх стад1ях розвитку суспшьства його вплив на природу був незначним 1 не зумовлював пом1тних змш у навколишньому середови-шд, то зараз тиск фактор1в антропогенного походження стае таким потужним, що людина вже не може соб1 дозволити, як це було рашше, нехтувати його негативними наслщками. Масштаби впливу людини на р1зш компоненти бь осфери з року в рж розширюються, \ це призводить до змши життево важли-вих параметр1в довкшля, як значною м1рою позначаються на розвитку рос-линного { тваринного св1ту. Одним 1з прояв1в цього е зменшення кшькосл ви-д1в та чисельност популяцш. Наприклад, заступник начальника Льв1вського обласного управлшня люового та мисливського господарства В. Бурмас наводить [2] факт значного спаду чисельност зайця-русака - вщ 59 тис. особин 2006 р. до 43870 особин 2010 р. при тому, що щ тварини мають по три прип-лоди на рж. Серед вид1в, занесених до Червоноi книги Украши, у Льв1вськш обл. зараз нараховуеться лише 68 особин рис1, 44 люових коти, 65 ведмед1в, 53 глухар^ 338 тетеруюв, 845 видр. Тому актуальним е розроблення науково обгрунтованих рекомендацш для створення таких стратегш { тактики взаемин м1ж людиною { природою, як змогли б забезпечити нормальне функцюну-вання вЫх елемент1в бюсфери.
Очевидно, що вести спостереження за вЫма параметрами бюсфери навряд чи доцшьно та й практично неможливо, хоча й юнуе система глобального мониторингу, яка дае змогу визначити змши и найважливших парамет-р1в. Особливо важко дати необхщну оперативну оцшку тим еколопчним змь нам, що вщбуваються у бюлопчних компонентах бюсфери шд впливом ан-
Науковий вкиик НЛТУ Укра'1'ни. - 2011. - Вип. 21.6
тропогенних факторiв. Для прийняття оперативних рiшень, спрямованих на полшшення стану природних систем i навколишнього середовища, глобаль-ний мошторинг не завжди е ефективним: вш може бути корисним тшьки для визначення деяких стратегiчних напрямiв в екологiчнiй полiтицi. Тому од-нiею з найважливiших проблем вше! еколопчно! дiяльностi, зокрема й оргаш-заци системи екологiчного монiторингу, е проблема отримання еколопчно1 оцiнки i прогнозу стану рiзних екосистем та основних компонентiв бiосфери з метою подальшого управлiння !х станом i зупинення !х деградаци. Для ма-тематичного моделювання i вивчення еколопчних систем i процесiв можна усшшно використовувати апарат лiнiйних диференцiальних рiвнянь [4].
1) Розглянемо модель мiжвидовоl конкуренци. Означимо популяцiю як будь-яку групу з органiзмiв одного виду, яка обшмае певний проспр i е частиною бюлопчно1 спшьноти - сукупностi популяцiй, що функщонуе як цiлiсна одиниця у вщведеному 1й просторi природного середовища [5]. Одно-рiдна лiнiйна система диференщальних рiвнянь першого порядку [1]:
с'(г) = 2х (г) —у (г) (1)
[ у' (/) = -х (г) + 2у (г) (2)
описуе взаемний вплив популяцш двох конкуруючих видiв на швидкост !х росту. Припустимо, що початковi популяцп нараховують х(0) = 100 та
у (0) = 200 особин. Необхщно встановити чисельност обох видiв у довшьний
наступний часовий перiод.
Продиференщювавши рiвняння (1), отримуемо х (г) = 2х (г)- у (г).
Але у(г) = —х(г) + 2у(г) = —х(г) + 2(2х(г) — х(г)). Отже, х(г) задовольняе рiв-
няння другого порядку х (г) — 4х (г) + 3х (г ) = 0. Коренями характеристичного
рiвняння X2 — 4Х + 3 = 0 е числа Л1 = 3 та Л2 = 1.
Загальний розв'язок мае вигляд х = С1ехр (3г) + С2ехр (г), де С1 та С2 -
довiльнi постiйнi. З (1) отримуемо у(г) = 2х(г) — х(г) = —С1ехр(3/) + С2ехр(г).
[С+С2 = 100
Задовольняючи початковi умови популяцш, отримуемо < , звщ-
[—С + С2 = 200
ки С1 =—50; С2 = 150. Тому шуканими розв'язками вихщно1 системи е
гх (г) = 150 ехр (г) — 50 ехр (3/) (3)
у (г) = 150ехр (г) + 50 ехр (3г)' (4)
Отже, вимирання першого виду вщбуваеться при 150ехр(г) — 50ехр(3г) = 0, тобто при ехр(2г) = 3, звщки г = 0.51п3 « 0.55 часових
одиниць. Шсля досягнення 0.55 од. часу другий вид продовжуе рости зпдно з рiвнянням у( г ) = 2у (г). Його загальним розв'язком е
у (г) = у (г0)ехр(2(г — г0)). При г0 = 0.51п3 i у (г0) = 150ехр(г0) + 50ехр(3г0) воно
вщображае рiст популяцп другого виду шсля вимирання першого (рис. 1).
а
400
350 300 250
_>>(/) = 150ех
200 150 100 50
д:(/) = 150ехр(/)-50ехр(3/)
■О-1-1-1-1-V
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Рис. 1. Модель мьжвидовоХ копкурепци
2) Розглянемо модель коопераци вид1в [1]. Припустимо, що два види знаходяться у вщношеннях симбюзу, тобто популящя кожного виду зростае пропорцшно чисельност шшого, а зменшення популяцii кожного виду мож-на вважати пропорцiйним до власноi чисельностi. Моделлю такоi поведшки популяцiй може слугувати, наприклад, система
Необхщно встановити чисельностi видiв у наступш часовi перiоди, як-що початковi популяцii нараховують х (0 ) = 100 i у (0) = 300 особин.
Шляхом диференщювання i виключення у (/) отримаемо х (/) + 4х(/ ) = 0. Коренями характеристичного рiвняння Л2 + 4Л = 0 е числа Л1 = 0 та Л2 =-4, а загальний розв'язок х (/) = С1 ехр (0/) + С2 ехр (-4/).
Крiм того, у(/) = 0.25(х (/) + 2х(/)) = С1/2 + 2ехр(-4/)/2. Використову-ючи початковi умови, отримуемо х (0 ) = С1 + С2 = 100 та У (0) = С1 / 2 - С2 / 2 = 300, звщки С1 = 350, С2 = -250. Шуканим розв'язком е
Популящя першого виду зростае вщ початкового розмiру в 100 особи до граничного розмiру в 350. Другий вид спадае вщ початкового розмiру в 300 осiб до граничного розмiру 175. Цi граничш значення вiдповiдають рiв-новажним популящям двох видiв, якi можуть шдтримуватися в даному природному середовишд (рис. 2).
Таким чином, для опису взаемоди кiлькох бiологiчних змшних можна успiшно використовувати математичне моделювання таких процеЫв за допо-могою систем лшшних диференцiальних рiвнянь першого порядку типу
(5)
(6)
г
х(/) = 350 - 250 ехр (-4/) у (/) = 175 +125 ехр (-4/)'
(7)
(8)
х (/ ) = апх (/) + й?12у (/) +;[ (/) У (/) = а21х(/) + а22у (/) + g().
(9)
Науковий вкник НЛТУ Укра'1'ни. - 2011. - Вип. 21.6
Рис. 2. Модель коопераци eudie
У багатьох випадках доцшьшсть ix використання для вивчення еколо-гiчниx систем i процесiв е безсумнiвною, тим бшьше, що методи ix розв'язу-вання е досить добре розвинутими [3].
Поряд i3 тим, лшшш диференщальш рiвняння не завжди можуть детально й адекватно описати складш еколопчш процеси, що потребують гли-бокого дослiдження та аналiзу. Зокрема, можна було б враховувати вплив еколопчного ефекту в майбутньому: йдеться про змши у просторi та час якостi умов природного життевого довкшля [6]. Такi змiни можуть мати як позитивний, так i негативний характер - полшшення або попршення природ-них життевих умов, збшьшення або зменшення кiлькостi та якост природних ресурсiв. Це вимагало б введення в математичну модель додаткових (ix можна було б назвати екологiчниx) обмежень.
Лггература
1. Гроссман С. Математика для биологов / С. Гроссман, Дж. Тернер. - М. : Изд-во "Высш. шк.", 1983. - 383 с.
2. Експрес, № 20, 24.02-3.03.2011.
3. Лавренюк С.П. Курс диференщальних рiвнянь / С.П. Лавренюк. - Львiв : Вид-во на-ук.-техн. л-ри, 1997. - 216 с.
4. Лаврик В.1. Методи математичного моделювання в екологи / В.1. Лаврик. - К. : Вид. дiм "КМ Академiя", 2002. - 203 с.
5. Ляшенко 1.М. Основи математичного моделювання економiчниx, еколопчних та со-цiальниx процеав / 1.М. Ляшенко, М.В. Коробова, А.М. Столяр. - Тернопшь : Навчальна книга - Богдан, 2006. - 304 с.
6. Туниця Ю.Ю. Екоекономша i ринок: подолання суперечностей / Ю.Ю. Туниця. - К. : Вид-во "Знання", 2006. - 314 с.
Онышкевич В.М., Холявка В.З., Гапаляк Х.О. Математическое моделирование экологических процессов с помощью систем линейных дифференциальных уравнений
Сделана попытка математического описания взаимодействия нескольких биологических переменных в экосистеме. Для этого предложено использовать систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Как пример, смоделировано несколько возможных типов взаимодействия двух биологических видов в экосистеме.
Ключевые слова: математическая модель, биологический вид, экологическая система, система линейных дифференциальных уравнений.
Onyshkevych V.M., Holiavka V.Z., GapaliakH.O. Mathematical modeling of ecological processes by means of systems of linear differential equations
The attempt of mathematical description of interaction of some biological variables in ecosystem is considered. Using of system of linear differential equations of first order for it is proposed. As example, the mathematical models of some possible types of interaction of two biological species in ecosystem are offered.
Keywords: mathematical model, biological species, ecological system, system of linear differential equations.
УДК 681.3+519.6 Доц. О.А. Пастух, канд. техн. наук -
Свропейський ушверситет
ОБГРУНТУВАННЯ ЕФЕКТИВНОСТ1 ОПРАЦЮВАННЯ НЕЧ1ТКИХ ДАНИХ ДРУГОГО РОДУ У КВАНТОВИХ НЕЧ1ТКИХ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ КОМПОНЕНТАХ ДРУГОГО РОДУ
Обгрунтовано ефектившсть квантових методiв: алгебршчного перетину неярких даних другого роду та алгебра'1чного об'еднання неперетинних неч^ких даних другого роду, яю призначеш для опрацювання неч^ких даних другого роду у квантових неч^ких обчислювальних компонентах.
Вступ. В останш роки швидкими темпами розвиваються напрями квантово!" шформатики: квантовi обчислення, квантова теорiя шформаци, квантова криптографiя. Актуальшсть квантово1' шформатики зумовлена висо-кою обчислювальною ефектившстю квантових комп,ютерiв, якi формують техтчш основи квантових iнформацiйних технологiй.
Серед наведених напрямiв квантово1' iнформатики важливе мiсце займають квантовi обчислення. У роботах автора [1, 2], яю присвячеш кван-товим обчисленням, запропоновано новi квантовi методи для квантових нечетких обчислювальних компонент другого роду (цц/ -компонент) - алгебра-1'чний перетин нечiтких даних другого роду та алгебра1'чне об'еднання неперетинних нечетких даних другого роду. Однак у цих роботах не обгрунтовано ефектившсть наведених методiв. Тому в цш робот розглядаеться розв'язок наступно1' задачi.
Постановка завдання. Обгрунтувати ефективнiсть квантових мето-дiв: алгебра1'чного перетину нечiтких даних другого роду та алгебра1'чного об'еднання неперетинних неч^ких даних другого роду, яю призначенi для опрацювання нечiтких даних другого роду у цц/ -компонентах.
Огляд кнуючих ведомостей. Суть зазначених квантових методiв наведена у роботах [1, 2], яю дають змогу на основi нового типу даних - квантових неч^ких даних другого роду [3] - здшснювати опрацювання неч^ких даних другого роду у цц/ -компонентах [4].
Основна частина. У робот розглянуто цц/ -компоненти, у яких 224162 64-кубгтних квантових процесорних ядер.
Порiвнюються оцшки витрат часу для виконання даних квантових ме-тодiв цц/ -компонентах, квантовi бiти яких можуть бути виконаш на елемен-тних базах у виглядi НВЧ-резонаторiв, квантових точок, юнних пасток, оп-тичних резонаторiв, електронiв-Au, твердотiльноi напiвпровiдниковоi еле-
