CC BY
66
Науковий вкник НЛТУ УкраТни Scientific Bulletin of UNFU
http://nv.nltu.edu.ua https://doi.org/10.15421/40280231 Article received 02.03.2018 р. Article accepted 29.03.2018 р.
УДК 621.9.048.6
ISSN 1994-7836 (print) ISSN 2519-2477 (online)
p--<j Correspondence author D. P. Rebot dasha_kotlyarova@ukr.net
Д. П. Ребот, В. Г. Топльницький
НацюнальнийyHieepcumem "Львiвська полтехтка", м. Львiв, Украгна
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ВИЗНАЧЕННЯ ЗМ1НИ АМПЛ1ТУДИ ТА ЧАСТОТИ КОЛИВАННЯ СИПКОГО МАТЕР1АЛУ В ПРОЦЕС1 В1БРОСЕПАРАЦН
Розглянуто останш розробки вiбрацiйних cenapaTopiB, 'х переваги та дослщження, якi проводили у сферi вiбрацшиоi' сепарацп. Встановлено, що проведенi на сьогодш дослiдження не можуть повнiстю описати рух сипкого матерiалу пiд час його вiбрацшиоi' сепарацп. Запропоновано метод визначення та дослщження амплiтуди та частоти коливань сипкого матерь алу тд час його сепарацп за умови, що матерiал, який сепаруеться, рухаеться вздовж сита i3 певною сталою швидюстю, а нелiнiйнi пружш характеристики сипкого матерiалу описуються певною степеневою залежнiстю. Для побудови математич-но'' моделi руху матерiалу вздовж сита використано методи нелшшно'' мехашки та апарат спецiальних Ateb-функцiй. Пщ час дослiдження знайдено сгаввадношення, яю дають змогу визначити змiни ампл^уди та частоти сипкого матерiалу залеж-но вiд швидкостi його руху вздовж сита вiбрацiйного сепаратора та вщ його фiзико-механiчних характеристик. Отримано аналог рiвнянь у стандартному вигляд^ якi описують закони змiни основних параметрiв динамiчного процесу руху сипкого матерiалу вздовж сита. На основi отриманих результатiв встановлено, що для найпростшо'' моделi процесу сепарацп частота динамiчного процесу залежить вщ амплiтуди i швидкостi руху середовища вздовж сита та для бшьших значень швидкос-тi перемiщення вздовж сита частота коливань сипкого середовища е меншою.
Кл^чов^ слова: математична модель; вiбрацiйний сепаратор; сипкий матерiал; фiзико-механiчнi характеристики; дина-мiчний процес.
Вступ. Ыбрацшна сепарашя вщграе важливу роль у процесах виробництва продукцп у р1зних галузях про-мисловост! Це спонукае до створення нових установок та проведения дослщжень для тдвищення ефективнос-п процесу сепарацп. В1брац1йн1 сортувальш машини, в1бросита, грохоти та в1брацшш екрани на сьогодш роз-робляють багато виробник1в. Найв1дом1ш1 з них - SWE-CO, VIBROWEST, CUCCOLINI, Pilot Crushes, WS Tyler (Technology news, 2011). Ц сепаратори можуть розд1ля-ти частинки розм1ром ввд к1лькох сантиметр1в до деся-тих частин мжрометра, що дае змогу отримати на вихо-д1 продукцш 1з бажаною гранулометричною чистотою.
Перевагами сучасних в1бросепаратор1в е можливють швидкоТ замши та очищення сит, висока ефектившсть сепарацп, вщсутшсть передач1 в1брац1й на конструкшю завдяки иаявиостi ефективних пружних шдвюок, ком-пактшсть, поширення та регулювання вiбрацiй як у горизонтальному, так i вертикальному напрямках, яке до-сягаеться за рахунок противаг, що встановлеш на кш-цях вала двигуна. Змiщеиия верхньоТ противаги ство-рюе вiбрацiю в горизоитальиiй площиш та дае змогу перемiщувати матерiал вздовж сита, а змiщеиия нижньо1 противаги створюе вiбрацii у вертикальшй та дотичних площинах. Також конструкцп вiбрацiйиих двигуиiв дають змогу легко регулювати противаги та
змiнювати вiбрацiю таким чином, щоб знайти опти-мальний метод для сепарацiï матерiалу, зменшення часу та збшьшення ефективностi сепарацiï (рис. 1).
На ефектившсть сепарацiï впливають не тшьки конструктивнi характеристики вiбросепаратора, але i яшсть продукцiï, яка сепаруеться, зокрема ïï грануло-метричний склад та цшсшсть. Тому важливо проводи-ти дослвдження не тiльки конструкцiï вiбросепаратора, але й взаемозв'язку та взаемовпливу сепаруючо1' установки та сипкого матерiалу в процесi сепарацiï. Зокрема, враховуючи, що сипкий матерiал здшснюе на ситi складний просторовий рух, вiд якого теж залежить ефектившсть сепарацп, доцшьно провести детальнiшi дослвдження у цiй сферi. На жаль, такий рух неможливо описати одшею чи к1лькома залежностями, тому на сьогодш розглядають окремi випадки руху матерiалу на ситi (Zheng Wang, 2016; Lapshyn, 2015; Xiaodong Yu, 2017), де рух матерiалу моделюеться переважно як рух окремо1' частинки. 1нший випадок руху сипкого матерь алу - це рух, де матерiал моделюеться як нашарування плоских, пружно пластичних балок, що контактують мiж собою та зi стiнками контейнера сепаратора. Окре-мi випадки руху за вказано1' вище гiпотези розглядали (Topilnytskyy, 2014, 2017; Stotsko, 2013, 2016) за умови повздовжшх та поперечних коливань контейнера сепа-
1нформащя про aBTopiB:
Ребот Дaрiя neTpiBHa, канд. техн. наук, асистент кафедри проектування та експлуатацп машин. Email: dasha_kotlyarova@ukr.net Топiльницький Володимир Григорович, канд. техн. наук, доцент кафедри проектування та експлуатацп машин. Email: topilnvol@gmail.com
Цитування за ДСТУ: Ребот Д. П., Тотльницький В. Г. Математична модель визначення змши амплЬуди та частоти коливання
сипкого матерiалу в процес вiбросепaрaцп\ Науковий вкник НЛТУ УкраТни. 2018, т. 28, № 2. С. 164-167. Citation APA: Rebot, D. P., & Topilnytskyy, V. G. (2018). Mathematical Model for Determination of Amplitude and Frequency Changing of Granular Material in the Vibratory Separation Process. Scientific Bulletin of UNFU, 28(2), 164-167. https://doi.org/10.15421/40280231
ратора. Проведет дослщження описують тшьки загаль-ну поведiнку шару матерiалу у вiбруючому контейнерi та потребують детальшшого розгляду та вдосконален-ня. Тому важливою задачею е продовжити попередш дослвдження та побудувати математичну модель визна-чення амплiтуди та частоти сипкого матерiалу залежно вiд його фiзико-механiчних характеристик, швидкостi руху вздовж сита, що в подальшому дасть змогу опти-м1зувати ефектившсть сепарування.
сипкого матерiалу; а - амплиуда коливань сипкого ма-терiалу; а>к - власна частота коливань сипкого матерь
, . dmk (а) у + 2 , _ , алу, юк (а) + а—= 2 тк (а); в - фаза коливань
сипкого матерiалу.
За умови збурення рiвняння вiдносного руху матерь алу вздовж сита в довшьний момент часу матиме вигляд
дикдХ*) =--+2,Щ(а)Хк(х).а(1,у +1,а>к(а)* + в) . (2)
З використанням методу Ван-дер-Поля для диферен-цiальних рiвнянь iз малим параметром рiвняння, яке описуе процес вiбращйноl сепарацп сипкого матерiалу, матиме вигляд
д2ик(х,*) 2 д2ик(х,*)(дик(х,* д*2 дх2 [ дх )
= еу (х 8ик (х,*) дик (х,*)1 2^ д2ик (х,*) - V2 дЦ (х,г) ^ ' дх д* ) дхд* дх2
У випадку неконсервативних коливань амплiтуда коливань шару сипкого матерiалу а та фаза коливань в е функщями часу. Швидшсть руху матерiалу вздовж сита приймаеться сталою величиною, яка визначаеться способом подачi матерiалу на сито, кутом нахилу сита, його структурою та ш. З урахуванням цього, продифе-ренцшвавши рiвняння (3) по ^ отримаемо:
дик .. * \ (да , ч 2а ( двЛ , . А
д = Хк (х){д7са (к Г +"д71ча (1'"+)}'
(3)
д2м dt2
2Xk да ( dak Л ,л , , I ok + ^"d" Isa+1,Щ) +
v + 2 dt
2Xk
v + 2
Рис. 1. Ыбросепаратори 1талшських ф1рм V[BROWEST та CUCCOLINI
Матерiал та методи дослщження. Найпоширеш-шими сепараторами у промисловосп е решiтчастi вiб-рацiйнi сепаратори. Такий тип конструкцп дае змогу провести оптимальну сепарацш сипкого матерiалу за його гранулометричним складом та фiзико-механiчни-ми показниками. Вважатимемо, що в процеа сепарацп шар матерiалу рухаеться вздовж сита та контактуе зi стiнками контейнера пружно або як шарнiрно закршле-на балка (Topilnytskyy, 2014). При цьому коливання вважаються консервативними та нелшшш пружнi характеристики матерiалiв приймаються певною степене-вою залежшстю. У взятiй за основу консервативно сис-темi амплiтуда коливань не залежить вiд часу, тому що перюдичне збурення у нерезонансному випадку не зу-мовлюе у першому наближеннi змiни амплiтуди коли-вань. Такий тип коливань дае змогу визначити вплив швидкосп руху сипкого матерiалу вздовж сита та нель нiйних сил тертя на процес вiбросепарацil.
За умови одночастотного перюдичного збурення ма-терiалу, який сепаруеться, побудовано математичну модель iз застосуванням перiодичних Ateb-функцiй. У нерезонансному випадку коливань динамiчний процес ма-тиме вигляд
ик (х,*) = аХк (х)са(у +1,1,тк (а)* + в), (1) де: ик (х, *) - перемщення довшьного перерiзу шару
аюк\юк +— \cav+1(v + 1,1,Щк), (4)
Щк =Юк (a) t + 6 Залежнiсть (4) описуе динамiчний процес у збурено-му випадку, тодi в шнцевому результатi амплггуда i фаза коливань визначаються Í3 системи звичайних дифе-ренщальних рiвнянь: да = esa (l,v + 1,щ) /Г (а,Щк) ,
dt ~ "
Р
gk +
2
dmk
. (Ok + а v + 21 da
sa2 (1,V+ 1,Щ)
д>в_ dt '
(v + 2) ca (v +1,1, y/k) f*t \ v + 2 (knxЛ2 2 a,^k)-3V + 41 1 J Va
2Ра gk + „ f®k + a | sa2 (1,v+ 1,^k) v + 21 da J
(5)
де gk = Юксау+2 (у +1,1, ^к)
Тобто в шнцевому варiантi отримуемо у параметри-зованiй формi два звичайш диференцiальнi рiвняння, як1 описують закон змши амплiтудо-частотних показ-ник1в вщ зовнiшнiх i внутрiшнiх характеристик взаемовпливу робочого контейнера та сипкого матерь алу. Отриманий результат показуе, що для найпрость шо! моделi процесу сепарацil частота динамiчного про-цесу залежить вщ амплiтуди та швидкосп руху середо-вища вздовж сита. До того ж для бшьших значень швидкосп перемiщення вздовж сита частота коливань сипкого середовища е меншою.
На рис. 2 показано змшу частоти коливань шару сипкого матерiалу залежно вщ швидкостi його руху вздовж сита та параметра, що враховуе фiзико-механiч-ш параметри матерiалу.
2 5
Рис. 2. Вплив параметра ута швидкосп руху шару матерiалу на його частоту коливання за умови, що а = 0,01 м, I = 1 м
За побудованою граф1чною залежшстю можна виз-начити, що 1з зростанням швидкосп руху сипкого мате-р1алу вздовж сита його частота коливань зменшуеться.
Результата дослiдження. Отримана математична модель дае змогу визначити змшу амплиуди та частоти сипкого матер1алу. Зважаючи на те, що сепаращя мате-р1алу вщбуваеться за складним законом, то щ досль дження можуть бути базою для подальших дослвджень та визначення оптимальних амплиудо-частотних показ-ник1в матер1ал1в, як1 сепаруються, для тдвищення ефективносп сепарацп. Також математичну модель можна використати тд час дослвджень процеав в1брот-ранспортування та в1брооброблення матер1ал1в.
nepe^iK BHKopHeraHHx g»epe.n
Lapshyn, V. L., Rydyh, A. V., & Glyhov, A. V., (2015). Matematic-heskoe modelirovanie procesa vibracionnogo dvigeniia chastici ma-teriala po rabochemy organy separatora. [Mathematical modeling of the vibrational movement process of the particle material on the work unit of the separator]. Scientific Bulletin of Irkutsk State Technical University, 3(98), 49-55. [in Russian]. Stotsko, Z., Rebot, D., & Topilnytskiy, V. (2016). Modeling and optimization of the parameters of loose environment vibratory separation. Scientific Journal Technological Complexes, 1(13), 86-90. Stotsko, Z., Topilnytskyj, V., & Rebot, D. (2013). The influence of the loose medium parameters on the process of vibratory separation. Journal of Manufacturing and Industrial Engineering, 1—2(13), 1719. https://doi.org/10.12776/mie.v12i1-2.179 Technology news. (2011). Sweco introduces high rate separator. Filtration + Separation, 48(5), 10-13.
https://doi.org/10.1016/S0015-1882dD70191-4 Topilnytskyy, V. G., Stotsko, Z. A., Kysyj, J. M., & Rebot, D. P. (2014). Investigation of the dynamics of vibratory separator with unbalanced drive. Scientific Bulletin of NULP, 786, 53-65. Topilnytskyy, V., Rebot, D. et al. (2017). Modeling the dynamics of vibratory separator of the drum type with concentric arrangement of sieves. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 2/7(86), 26-34. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2017.95615 Wang, Z., Miles, N. J., Wu, Tao, Gu, Fu, & Hall, Ph. (2016). Recycling oriented vertical vibratory separation of copper and polypropylene particles. Powder Technology, 301, 694-700. https://doi.org/10.1016/j.powtec.2016.06.003 Yu, Xiaodong, Luo, Zhenfu, Li, Haibin, & Gan, Deqing. (2017). Effect of vibration on the separation efficiency of oil shale in a compound dry separator. Fuel, 214, 242-253. https://doi.org/10.1016/j.fuel.2017.10.129
Д. П. Ребот, В. Г. Топильницкий
Национальный университет "Львовская политехника", г. Львов, Украина
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ АМПЛИТУДЫ И ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ В ПРОЦЕССЕ ВИБРОСЕПАРАЦИИ
Рассмотрены последние разработки вибрационных сепараторов, их преимущества и исследования, проводимые в сфере вибрационной сепарации. Установлено, что проведенные исследования не могут полностью описать движение сыпучего материала во время его вибрационной сепарации. Предложен метод определения и исследования амплитуды и частоты колебаний сыпучего материала во время его сепарации при условии, что материал, который сепарируется, движется вдоль сита с определенной постоянной скоростью, а нелинейные упругие характеристики сыпучего материала описываются определенной степенной зависимостью. Для построения математической модели движения материала вдоль сита использованы методы нелинейной механики и аппарат специальных Ateb-функций. В ходе исследования найдены соотношения, которые позволяют определить изменения амплитуды и частоты сыпучего материала в зависимости от скорости его движения вдоль сита вибрационного сепаратора и от его физико-механических характеристик. Получен аналог уравнений в стандартном виде, которые описывают законы изменения основных параметров динамического процесса движения сыпучего материала вдоль сита. На основе полученных результатов установлено, что для простейшей модели процесса сепарации частота динамического процесса зависит от амплитуды и скорости движения среды вдоль сита и для больших значений скорости перемещения вдоль сита частота колебаний сыпучей среды меньше.
Ключевые слова: математическая модель; вибрационный сепаратор; сыпучий материал; физико-механические характеристики; динамический процесс.
D. P. Rebot, V. G. Topilnytskyy
Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine
MATHEMATICAL MODEL FOR DETERMINATION OF AMPLITUDE AND FREQUENCY CHANGING OF GRANULAR MATERIAL IN THE VIBRATORY SEPARATION PROCESS
The effectiveness of the vibration separation process is known to be influenced by both the design of the vibration separator, and also by the characteristics of the material being separated. The amplitude and frequency of oscillations of the material along the screen separator also influence. However, considering that the loose material carries out a complex spatial movement, it can't be described by one equation or a system of equations. Therefore, different cases of movement of the material on the screen are considered, where the loose material is modelled as a particle, plate, or plate layers. The authors propose a method for determining and investigating the amplitude and frequency of oscillations of bulk material during its separation, providing that the material that is separated moves along the screen with a certain steady speed, its oscillations are conservative, and the nonlinear elastic characteristics of the bulk material are described by certain degree dependence. Methods of nonlinear mechanics and the apparatus of special Ateb-functi-ons are used to construct a mathematical model of motion of a material along a screen. During the investigations we have found correlations that allow determining changes in the amplitude and frequency of the bulk material depending on its velocity along the screen of the vibration separator and its physical and mechanical characteristics. We have also determined that such equations are rather complex in comparison with, for example, the quasi-linear model of the dynamics of material motion because in this case the frequency of oscillation of a material depends on its amplitude.
Keywords: mathematical model; vibration separator; loose material; physical-mechanical characteristics; dynamical process.
