CC BY
89
УДК 62.001.57(063)
МАТЕМАТИЧКИ МОДЕЛИ ЗА PA3BOJ НА МАТЕМАТИЧКИТЕ КОМПЕТЕНЦИИ
© А. Рушити
Клучни зборови: математика; модели; математички модели; компетенции; математички компетенции; развод едукацща; значеше.
Општиот разво] на човекот е имплицитен еквивалент на разво]от на сите научни дисциплини кои го чинат интердисциплинарниот збир на науки. Нивните интеркорелативни односи и релации се испреплетени и се проверуваат низ научната теорща и практика.
Нити една научна дисциплина во сво]от разво] не останува само на елаборацща на сопствените теоретски основи. Таа постсуана трага по научна верификацща на своите концепти, теории и модели. Вистинското место за верификацща на сите педагошки поими и атрибута претставува воспитно-образовната практика.
Во ово] контекст е согледувана содржината и структурата на трудот Математичките модели за разво] на математичките компетенции.
Моделите, како дидактички компоненти на наставата по математика и нивната активна примена, се нераздво]но поврзани со разво]от на компетенциите на наставниците и во то] контекст и на учениците.
Од друга страна, нивото на разво] на математичките компетенции ка] наставниците имплицира и го детерминира нивото на примена на математичките модели во наставата по математика. Значи, синтезата на доминантната триада на на поимите математички модели - разво] - математички компетенции зборува за потребата од сфакаше на интегралното единство на овие поими во наставата, односно во образованието во целина.
Компетенциите на наставниците, не само што се во директна корелациска врска со сопствениот индивидуален развод туку тие се клучен фактор за разво] на компетенциското ниво на учениците за совладуваше на математичките модели, како интегрални дидактички компоненти на наставата по математика. Теоретските и емпириските сознанща преставени во ово] труд преставува обид за примена на нови дидактички поими и содржини во наставата по математика, како ефикасни педагошки решенща за нов пристап во наставата по математика.
1. МАТЕМАТИЧКИ МОДЕЛИ ЗА PA3BOJ НА МАТЕМАТИЧКИТЕ КОМПЕТЕНЦИИ
1.1. Математички модели како интегрален дел
во математичкото образование
Секо) може да совладува се, под услов да применува адекватни постапки во наставата.
J.C. Брунер
1.1.1. Поим за моделот како универзален концепт
На крарт на минатиот век и на почетокот на ово] век, под се повеке огромниот притисок на научно-технолошкиот и општо-цивилизацискиот развод во поголемиот дел на држави, се изработуваат стратегии за концепираае и развиваае на наставата, со цел воведуваае на промени во начинот на организираае и изведуваае на наставниот процес.
Критичната опсервацща на современата настава е заснована, покра] друго, и во кооперативноста и кооперативните односи помету суб]ектите кои ]а карактеризираат процесот на наставата, во образовната технологща и во дидактичко - методичката разно-врстност на наставата.
Во насока на трансформацща на традиционалната настава, заложбите се насочени кон согледуваае на потребите што ги има ученикот, преку развиваае ка] нив на чувство за поставениот проблем, способноста за
увид во самата ситуацща, развиваае на дивергентното мислеае, на саморецепцщата и на критичкото мислеае и т.н.
Една от таквите тенденции на промовираае на настава на иднината е и воведувааето на моделскиот пристап во наставата и учеаето.
Моделот (ко] е од латинско потекло: Modulus -мера, начин и слично), како поим и термин, се употребува, на пример, за означуваае на структура, на начинот на користеае на ]азик, на граматика, на теори]а, како шема, стил, аналоги]а, како предложена метода на истражуваае, репрезентанта, апстракцща, формализацща и делумно формализацща на теори]а, психолошко помошно средство за теори]а, можност за реализацща на теори]а, образец, конкретен систем, физички об]ект, вредност и т. н. [1].
Моделите ги разбираме како отворени парадигми на асоцщативно-творечките ориентации, кои на учениците им овозможуваат да се суб]ект во наставата, да ги искажат своите афинитети и креативности, да создаваат нови структурни патишта за постигнуваае на поставената цел, односно решаваае на проблем.
Моделот се изедначува со сворт оригинал, во изгледот, функцщата, описот, изведувааето, теори]ата, принципот [2].
Во научното истражуваае, моделот е средство на изворно сознанще, претставува об]ект на истражуваае со помош на ко] се доага до нови откритща (сознани]а) за то] об]ект.
1645
Професорот од Калифорнискиот универзитет, Jyен Реи Чао, во иеговото дело “Mоделuте во лuнгвuстuка u моделuте во општо” [3], истакнува дека термииот “модел” се користи во иад 30 слични и различии значена.
Значи, зборот модел денеска има новеке значена, во зависност од областа на кое се однесува, и може да претставува форма, модел, шаблон, копие, операцща, релацща, алгоритам,....
Моделот нодразбира ноедноставеи приказ иа една компликувана структура ко] ги пресликува фуикцио-иалиите врски иа оригиналот. Преставува об]ект ко] во ликот иа физичкиот предмет, цртеж, шема или логичко-математички исказ, иа едноставен, нристанеи и егзактеи начин ja изразува структурата, карактерис-тиките и функциите на оригиналот.
Моделот ги содржи само битиите карактеристики на оригиналот или на реалниот систем и може да и нредходи иа оригииалот (научно uстражyвапе) или да биде проктиран врз база иа постоечкиот оригинал (учепе во наставата).
Во специфичните области има носебии значена [4-1б]:
1) во недагоги|а, моделот претставува структура иа образовните содржиии и фуикции, односио процеси и резултати иа соодветиата структура иа содржините;
2) во педагошкото истражуване, моделот нретста-вува теоретски коиструкт, методолошки нристан, ностанка, процедура;
3) во (иа]често) иаставата но природни иауки, моделот претставува вештачко демоистрациоио иастав-но средство.
Моделот се користи за об]асиуване иа иеко] процес, да восностави аиалоги|а или да предвидува иеко] иастаи, да го поедноставува и об]асиува комнлексиоста иа тоа што се наблудува, да емитира иеко] узор (нримерок).
Модел^апе е научна метода, е творечко-динамично-алтернативен процес, со номош иа кое сознанщата за карактеристиките иа моделот иа природ-иите и вештачките системи (парадигма, нримерок) се нреиесуваат иа нредметот иа истражуване (препозна-ване иа друг об]ект). Методата иа моделиране се базира во аналогиіа, на затоа сличноста помету моделот и оригииалот ие смее да се поистоветува со идентичноста.
Во иаставиата работа, одредеиа постапка/начин иа работа е модел ко] ни овозможува учениците да се нромеиат во рационален и емоционален ноглед, однос-но во когнитивно-ефективната и моторичка содржина иа сопствената свест. Во то] процес, ученикот сам со себе е во интеракцща, нреку разните улоги и статуси кои ги обавува во нроцесот иа учене, зема]ки ja така, во различни временски моменти и ситуации, во менталниот план, позицщата иа иеко] друг.
При концепиране, односио проектиране иа секо] модел ие постсуат строго дефииираии чекори, само што треба да се почитуваат оптимумите кои го онределу-ваат и ие го доведуваат во прашане валидноста иа моделот. За да соодветно го анроксимира реалииот систем, апстракцщата иа изградеииот модел треба да е одмереи, со што стенеиот иа ие]зииата валидност ие се загрозува. Токму од овие причини, неминовно е ово] процес, нреку соработка, да се координира и составува
со кра]ните корисници, и тоа не само во фазата на изградба, туку и во фазата на валидизацща.
1.1.2. Дефинираае на математичките модели
Поимот на математичкиот модел настанува актуелен во времето на големите математички открити|а настанати на XVI и XVII век и незапирачкиот разво] на поедините области на математика. Поимот математички модел се воведе поради изразуваае на иде]ата на кореспонденцща на поедини области на математика.
Има]ки го во предвид фактот дека постсуат повеке различни разбирааа на поимот математички модел, дефиниции кои се однесуваат на толкуваае на математичкиот модел комодно можат да се групираат во две различни групи на дефиниции.
Според едните, под математички модел подразбираме математичка теорща, математичка шема, израз или неко] друг опис изведен на математички начин, изразен со неко] формален ]азик, тогаш кога таквата конструкцща изразува некое (знача]но) сво]ство на оригиналот.
Според другите убедувааа, математичкиот модел е интерпретацща на некое математичка теорща, математичка шема или на неко] друг математички опис.
Во рамките на другото сфакаае, В.А. Штоф, под поимот математички модел подразбира материален модел, за ко], во однос на оригиналот, не се битни заедничките карактеристики од физичка и геометриска природа, туку само тие карактеристики кои се од структурална и функсионална природа, што значи дека однесувааето на тие два об]екта можат да се изразуваат со еднаквите математички формализми.
Според тоа, по В.А. Штоф, електричните модели на механичките, топлотните, акустичните и биолошките по]ави, како и структуралните и нумеричките модели (машините) се математички модели.
Математичките модели, како наставна компонента со голема сознала вредност, се базираат на две основни карактеристики: на математичките поставени принципи и на математичката карактеризацща или опис на неко] феномен или процес.
Во текот на поучувааето на моделите на учеае, моделита на настава и моделите во настава, современата педагошка литература како неопходно ги апострофира некои клучни прашааа поврзани со математичките модели:
- Како може да се моделира процесот на учеае на математика?
- Како може да се моделира процесот на настава по математика, во кои моделите на настава се на]ефикасни?
- Како може да се моделираат математичките содржини на учеае?
Во понатамошниот процес на разгледуваае на математичките модели, како добро средство (]азик) за истражуваае на принципите, потребно е да се дефинираат некои општи цели:
- да се откриваат начините за моделираае во областа на учеаето и наставата;
- да се утврди кое од структурите и функциите треба да ги поседува математичкиот модел за да биде ефикасен во процесот на учеае;
- да се мери каков придонес може да има современиот начин на математичкото моделираае, кога во прашаае е образовниот процес.
Математичкото моделираае претставува мисловно-теоретска активност на изградба на логички и математички системи; изградба на реални модели од различни видови, како практично-реални аналогии кои и одговараат; процес на математичко репрезентираае на одреден феномен, односно систем, со цел на негово добро разбираае.
Математичкото моделирааето е апстрактна постап-ка на имитираае на поими, предмети, процеси и системи, е научен метод со кое, со помош на природни или вештачки конструкции, се изучуваат об]екти, системи, по]ави или процеси кои се аналогни со другиот об]ект, систем, по]ава или процес, ко] од одредени причини не е можно директно да се пресмета.
Методичките модели, па и математичкиот модел, ги поседува следниве карактеристики:
- валидност - ко] преставува ниво на репрезен-тативност на моделот во претставуваае на битните карактеристики на реалниот систем, на правите, на процесот или оригиналот;
- апстракци/а - преставува ментален процес, односно постапка на издво]уваае на одделни битни карактеристики на реалниот систем кои се наблудуваат и анализираат независно; мисловен процес со ко] се доага до суштинските обележ]а на неко] систем, односно мисловно расчленуваае на битните, заеднички и знача]ни обележ]а на неко]а целина или об]ект од се што небитно, поединечно и случало;
- асоци/ацщ'а, реализаци'а, имтементаци]а -преставува пресликуваае на карактеристиките од повисоко во пониско ниво на сложеност или апстракт-ност;
- реализаци'а или имплементацщ'а - преставува инверзно пресликуваае, односно пренесуваае на карактеристиките од пониските нивоа на хщерархща на сложеност кон повисоките нивоа на апстрактност.
Во зависност од нивото на апстракцща, односно степенот на валидноста, разликуваме едноставни математички модели и перфектни математички модели.
Едноставните математички модели се применли-ви во наставата по математика, на]лесно можат математички да се опишуваат и се обликувани со висок степен на апстракцща. Таквите модели тежнеат кон идеалните математички модели и имаат на]мала валидност.
Перфектан математички модел се нарекува моделот со на]високо ниво на сложеност, но и на мал степен на апстракцща, што покажува дека помету нивото на апстракцща и на валидноста постои обратна пропорционалност.
1.1.3. Поделба на математичките модели во наставата по математика
Во дидактиката, како општа теорща на наставата, моделите и моделирааето претставуваат и играт важна улога.
Математичките модели кои, иако не во задоволи-телна мера, се применуваат при реализацща на поставе-ните цели на наставниот план и програма по предмет математика се:
- логичко-комбинаторички модели;
- модели на основните операции за пресмету-ваае;
- модели на едначините;
- аритметичко-логички модели;
- симболички математички модели;
- геометриски модели за решаваае на проблеми;
- модели на геометриски проблеми.
Освен на ведените модели, во додатната настава по математика во одделенската настава (особено во завршното одделение во одделенската настава), посте-пено се воведуваат и следните математички модели:
- моделите на проблемот на мереае;
- модели на проблемите на квадратната мрежа;
- модели на стохастичките жуави.
Математичките модели се проектираат и решаваат
на различни начини, со помош на различни методи и пристали. На пример, Метода на модел како наставна метода, не]често го користи симболичкиот математички модел. Секое математичка задача се преведува од ]азична во математичка форма, се изразува со математичка симболика и се решава со примена на математички операции. Истиот модел може да се користи и за решаваае на различни проблеми, односно за ист проблем можат да постсуат различни модели.
Воведувааето на дидактичките и функционалните модели за решаваае на типичните проблеми, наставата по математика станува оперативна, едноставна, практична и по интересна.
Во случа] на решаваае на неко] проблем со методот на моделираае, се развива алгоритамско и креативно мислеае на ученикот кое ке биде употребено во моделирааето на проблемските ситуации. Во то] процес, ученикот во меморщата пронаога математичко знаеае кое и одговара, ги поврзува со реалноста и на таков начин создава погодни модели и алгоритми.
Поделбата на математичките модели, како творечко - дидактички модели, се прави врз неколку основи:
1) Во зависност од засновасноста (темелноста):
a. детерминистички модели - кои се засниваат на физички закони;
b. стохастички модели - врз основа на емпириските податоци.
2) Врз основа на математичките структури:
a. линеарни модели - сите едначини и функции во моделот се линеарни;
b. нелинеарни модели.
3) Врз основа на одвиваае во времето:
a. модели кои се одвиваат во континуирано време;
b. модели кои коперираат со примената во дискретно време - погодни за компіутерска примена.
4) Врз основа на насоченоста:
a. модели насочени кон наставникот - познати во наставата како традиционални модели, затоа што се засниваат на традиционално - предавачка настава, каде сите образовни ресурси им се ставени на располагаае на наставникот во процесот на пренесуваае на информациите кон ученикот (ко] во ово] случа] е об]ект во наставата). Во ова група на модели ги набро]уваме вербалните модели и визуелно - практичните модели, кои ги сочинуваат моделите на поучуваае и на доминантната активност на наставникот во процесот на поучуваае;
b. модели ориентирани кои ученикот - познати во иаставата како совремеии модели, кои се засииваат иа совремеиите иаставии модели. Нивиата суштииа се базира иа вклучуване иа учеииците во сите фази иа наставниот процес, од плаииране, преку организацща, изведуване, вредиуване и практична примеиа. Ваквиот вид иа модели каде ученикот станува активен суб]ект во иаставата, го редуцира поучуването во на]мала мотна мера, а тежиштето иа стекнуване иа зиаена го базира врз ученето како самостсуна интелектуална активиост иа реципиеитот.
Како современи математички иаставии модели можат да се издво]уваат:
- креативио-творечки модели;
- проблемско-истражувачки модели;
- рецептивио-естетички модели;
- есеистички-синтетички модели;
- педагошки модел: проектиа метода;
- алгоритамско-математички модели;
- циклус иа учене како иаставеи модел;
- егземпларно-парадигматски модели и др.
Oвие иеколку сложени иитегрираии модели кои наотат примеиа во иаставата по математика и се во функцща иа стекнуване иа математички компетенции, кои во себе вклучуваат поголем бро] иа подмодели и алтернативни постапки, по нию^а цеиа ие се поставу-ваат како уииверзалии, во смисла дека можат да ги замеиат останатите и дека во нивната примеиа во иаставата се без алтернатива.
Сите математички модели се отворени, дииамичии и се изложени иа пермаиеитни промеии, дополнувана, збогатувана, кои влиіаат иа афирмирането иа креатив-иоста иа наставникот и автономноста, самостсуноста и истражувачкиот дyx иа учеиикот.
1.1.4. Компоненти иа математичките модели
Математичкиот модел кои иа систематски начин го упатува реципиеитот (учеиикот) во содржините, методите и текниките иа творечка работа, со кра]на цел развиване иа способиостите за творечко мислене, го сочииуваат едеи ииз иа компоненти, од кои на]битни се:
1) процесот (во реалниот свет);
2) математичката структура;
3) кореспонденцща.
Воведуване иа секо] инструмент, метода, стратегий во иаставата има одредеиа цел. Тоа истото се однесува и за моделите во општо, па и иа тие математичките.
Целuте на математткыот модел се:
- презентиране иа достапните и добиените информаци во лесеи прифатеи форма (аутокарта);
- овозможуване иа “лесно” пресметуване, односио достапност со на]можна леснотща и по на^раток пат до посакуваното решение иа проблемот;
- истражуване иа процеси и предвидуване иа излезните резултати.
Oсиовиa улога иа моделот е да го замени предметот иа истражуване, врз база иа кое е проектиран и да даде иова информацща за иего.
Ако иеко] процес се изразува со помош иа математички модел, трансформираноста иа математич-ката природа во моделот и одговара иа промените во
оригииалот, што овозможува управуване со процесот со помош иа математичките методи.
Чекорu на математтко модел^апе можеме да ги групираме во овие постапки:
1) поедноставуване (апстракцща);
2) прикажуване (репрезентацща) - постапка ко]а се реализира со помош иа математички симболи, едначиии;
3) трансформацща - интерпретацща;
4) верификацща - споредба со резултатите од испитуването (наблудуването).
Или, по разработеио, осиовиите фази иа математич-кото моделиране се:
- одредуване иа оригииалот;
- анализа иа оригииалот;
- одлука иа воведуване иа моделот;
- изградба иа информациона база за моделиране (утврдуване иа сво]ствата иа об]ектот-оригиналот кои се релевантни за истражуването);
- дефиниране иа моделот (избор или конструк-цща иа об]ектот-модел ко] ги содржува сите важии сво]ства за истражуване);
- испитуване иа моделот (поучуване иа об]ектот-модел во однос иа дадеиите барана);
- преиесуване иа информацщата од моделот во оригииалот (преиесуване иа резултатите иа истражуване, од об]ектот-модел, иа об]ектот-оригииал);
- модификацща иа моделот.
Одредyвапето иа оригииалот и иеговата аналта се
фази во кои се користат непосредните методи иа сознание. После откриване иа осиовиите информации во врска со оригииалот, доколку понатамошното директно испитуване иа оригииалот е невозможно или неефикасно, се доиесува одлyка за воведyвапе иа моделот. Не]зе ja следи систематското прибиране иа нео^одите информации за оригииалот, односио тградба иа информациска база за моделиране помету множеството иа математичките и логичките релации.
На]знача]на етапа во процесот на создаване на моделот е оборот, односно дефuнuрапе на моделот (поимот, формулите, релациите) и одредуването на условите под кои се применува. Во понатамошниот тек на процесот, се изучува и ucпuтyва моделот, т.е. се пристапува кон негово решаване. Oвa значи дека на моделот се применуваат законитостите во областа на моделот, што значи дека таквото испитуване на оригиналот се сведува на математичко-логичките об]екти, релации и операции. Добиените информации за моделот се трансформираат на оригиналот, и, на кра]от, се верuфuкyваат на оригиналот.
Значенето на математичкото моделиране е неспорен во наставниот процес и неразделива компонента на современата настава. Ученици кои имат совладувано одредени модели, многу лесно и брзо ги усво]уваат новите зиаена, активно се вкчлучуваат во следенето на сопственото разбиране, плаииране на процесот на решаване проблеми, поедноставно се снаотат во проблемска ситуацща, по лесно се упатуваат за самостсуна работа и истражуване и т. и.
Штетно вли|ае предимензиониране во наставната практика на одреден методички модел на “штета” на друг модел. Тоа доведува до “кочене” на мисловните активности на ученикот и демотивирачки вли|ае во потикнуване ка] учениците на развиване на xоризон-
тот на очекувааата, промовираае ка] нив на флует-носта на идеите, поттикнуваае на нивната фантазиіа и провокацща на интересот за конечен расплет на ситуацщата. Моделот треба да се разгледува како отворен и никогаш совршен и со завршна претпоставка за делотворна творечка работа во наставата.
Се препорачува на учениците да не им се задаваат готови методички модели, биде]ки на таков начин го кочиме нивниот мисловен разво] и им попречуваме да се занимаваат со дополнителна креативна самосто]на активност. Во дидактична смисла, творечко мислеае има полна смисла само доколку учениците ги обучуваме на самосто]ен начин да ги откриваат моделите.
Ниту еден модел не треба да се сфати како модел ко] преставува доволен услов да секо]а индивидуа да доага до истите резултати. Еден ист модел, во различни временски периоди (во зависност, не само од искуството на наставниците, туку и од возраста на учениците) дава и различни едукативни и образовни резултати.
Од учениците од на]рана училишна возраст не можемо да очекуваме да бидат, во права смисла на зборот, креатори на модели, но од нив можеме да побараме пронаогаае и откриваае на необичното или на изглед неможното решение. Ова преставува една своевидна форма на креативност, биде]ки се влегува во технологиіата на творечкиот процес и на то] начин се постигнува психолошкиот идентитет на ученикот.
При избор на соодветни математички модели за решаваае на проблеми, практичната поставена ситуацща треба да го детерминира актуелизирааето на сознанщата, мисловните операции и насоката на мислеаето на ученикот. Ако ученикот се оспособува да анализира проблем, да ги открива релевантните фактори, да асоцира, споредува и актуелизира, тогаш неговите теоретски знаеаа ке бидат доволно диференцирани, флексибилни, функционални и активни.
Ако на ученикот му е познат алгоритмот за решаваае на проблемска ситуацща, тогаш во то] случа] не можеме да кажеме дека се соочуваме со проблем, односно проблемска ситуацща, без разлика дали се работи од задача од техничка природа или за задача кое бара да се на]напред метематички моделира, за да се реши покасно добиениот модел. Мегутоа, ако ситуацщата е непозната, ученикот ке се залага да на]де пат до математичкиот модел - значи оригиналот да го замени со сво]ата ментална слика, со некое егземпларна задача.
Значи, математичките модели, поими, операции, релации и алгоритми, ни служат како средство на индиректното изучуваае на об]ективната реалност.
2. КОНСТАТАЦИИ, СОЗНАНША, ЗАКЛУЧОЦИ И ПРЕДЛОЗИ ЗА НАТАМОШНИ АКЦИИ
2.1. Општи констатации
И со теоретските проучувааа, а сособено со поголемиот дел од емириските резултати, се потврди дека математичките модели во наставата имаат голема сознала вредност и претставуваат добро средство (]азик) за истражуваае на принципите кои се базират
на две основни карактеристики: Модели базирани на математички поставени принципи и Математичка карактеризацща или опис на неко] феномен или процес.
Денешиото теоретското поучуване на математичките модели неминовно го наметнува потребата за одговор на прашането: Како може да се моделира процесот на учене на математика, процесот на настава по математика, кои модели на настава се на]ефикасни и како може да се моделираат математичките содржини на учене?
Пред да се одговара на ваквото и на сличните дилеми, потребно е да се дефинираат некои општи цели, да се откриваат начините за моделиране во областа на ученето и наставата, да се утврди кои од структурите и функциите треба да ги поседува математичкиот модел за да биде ефикасен во процесот на учене и да се мери каков придонес може да има современиот начин на математичкото моделиране, кога во прашане e образовниот процес.
Со цел да се испитаат и идентификуваат математичките компетенции, се препорачува теоретски да се елаборираат и емпириски проверуваат осум карактеристични способности на учениците и тоа: 1) Mатематuчко мucлепе u заклyчyвапе^; 2)
Mатематuчко аргyментuрапе; 3) Комyнuкацujа; 4) Mоделuрапе; 5) Поcтавyвапе u решавапе на проблемu; б) Презент^апе; 7) Коржтепе на cuмболu на формалнтт u технттот jазuк, како u на операцтте; 8) Корuтеnе на алатu u технолоща.
Поединечното користене и тестиране на погоре наведените осум компетенции, не е секогаш погодна за разво] на математичките компетенции. Oд тие причини, во трудот, поради ефикасно и успешно мерене на математичката писменост, наведените способности беа сместени во трu поголемu грyпu на компетенции:
1) репродyкцujа (дефиницща, пресметуване со едноставни алгебарски операции) - Способностите за репродукцща, во прв ред, се однесуваат на репродукцща на научените зиаена.
2) поврзyвапе (и интеграций за решаване на проблемот)- Способностите за поврзуване се однесуваат на решаване на проблемите кои не се потполно рутински, но се уште содржат познати постапки и барат релативно мала математизацща.
3) рефлексна (математичко размислуване, генерализацща, анализа и целосен увид) - Множество-то на рефлекции ги обединува способностите кои содржат елементи на длабоко премислуване (рефлекцща), со кои успешно би се решил проблемот.
Наставничките компетенции, според мисленето на наставниците и учениците се забележуваат низ трu дuмензuu:
1) профеcыоналнu компетенцuu - каде влегуваат: Нивото на општите знаене, Способноста за плаииране, Способноста за изведуване на задачи, Учество во проекти, Самовреднуване и вреднуване, Стручно усовршуване;
2) падегашко - д^акттко - методтт компе-тенцт - во кои се опфакаат: Познаването и примената на педагошката теори|а и практика, Снаотане во подрач]ето, Способност за поучуване и следене, Усво]уване на училишните процедури, Креиране на наставни содржини (плаииране, програмиране,
припрема за настава), Препознаваае и решаваае на образовните проблеми, Развиваае на вештините на управуваае со одделението, Пронаогаае на одговори на проблеми во одредена дисциплина, Поучуваае во ограничени можности на училиштето, Мотивацща на ученикот и нивно вклучуваае во разредни активности, Вештина на евалуацща/оцениваае, Разбираае на соцщалните и другите околности кои можат да влщаат на изразуваае и однесуваае на ученикот, Учеае на комуникацща со родителите и вклучуваае на родителите, Поврзуваае на теорщата и на наставните методи стекнати во образованието во наставната практика, Снаогаае во мегународните прашааа;
3) работни компетенции - каде се опфатени: Вештините за соработка, Преданоста за работа, Тимска работа, чувство за одговорност, квалитет во работата, познаваае на ]азикот (ІСТ технологии), Совесност -превземаае на одговорности, Постро]уваае на целите (без обзир на резултатите), Инициатива, Оптимизам -внатрешна мотивацща и желба за работа, Изградба и негуваае на правилниот говорен и пишуван израз, Општа комуникацщаска и ]азична писменост, Познаваае на англискиот и неко] друг светски ]азик.
2.2. Општи сознаниjа
Несомнено, образованието е двигател на разворт на секое општество и вложувааето во образованието е вложуваае во иднината.
Во то] поглед, во контунитет се изведени истражувааа во доменот на примената на наставните методи, наставните техники, стратегии на учеае, употреба на методички модели и слично во наставата.
Клучна мисща на образованието е знаеаата и искуствата, низ различни форми, да ги доближи до лугето, кои тие знаеаа ке ги користат за сопствен разво] и разво] на општеството.
Општата перцепц^а во самото општество е дека наставниците, како на]важен образовен фактор, во голема мера, не ги исполнща очекувааата, во делот на посветеноста и пристапот во реализацщата на наставата. Ка] нив се воочува недостаток на инвентив-ност, креативност, посветеност, методско-дидактичката некомпетентност и отсуството на систематска педагош-ка обука.
Во моментот, се уште во голема мера е присутен е традиционалниот начин на реализацща на наставата, чща цел е трансфер и меморираае на факти, наместо стекнуваае на знаеае и компетенции и нивна примена.
Учениците поседуваат теоретска подготовка и широка наобразба, но без способност за примена на стекнатите знаеаа, навика за критичко размислуваае и индивидуална работа.
Пристапот во изготвувааето на програмите во образованието е заснован на нивната содржина, а не и на очекуваните кра]ни резултатите на наставниот процес. Не постои ]асна диференцщацща помегу содржините, активностите за учеае и резултатите од учеаето. Потенцирааето на тоа што се предава, а не на тоа што се учи, ]а класифицира наставната програма по математика во групата на таканаречен експлицитен или декларативен курикулум.
Во таков стандардизиран курикулум, акцентот е ставен на наставникот и на неговото предаваае, на
штета на стекнуваае на знаеаа, вештини и градеае на ставови од страна на учениците. Наставните програми по предмет математика се состсуат од содржините кои се предаваат во текот на наставните часови во училиштата (таканаречен експлицитна или декларативна програма), при што се запоставува важноста на излезните резултатите на процесот на учеаето.
Содржините се детално изработени и преку нив се наложува да се реализираат целите, со што се негира современиот пристап во ова насока ко] го налага обратното, т. е. во наставните програми да не се обработуваат содржините туку само темите, односно наставните подрач]а, додека, преку уредените цели во програмата, да произлегува дефинирааето и обработ-ката на содржините.
Во концептот на предметната програма по математика доминира содржинската насоченост. Ако се погледнат поставените цели на програмата, ке констатираме дека доминираат оние цели со кои се бара усво]уваае, на определен фонд на знаеае, а недостасуваат цели со кои се сугерира стекнуваае на комплексни компетенции.
2.3. Поглед нанапред (корисни идни акции)
2.3.1. Системски промени
Воспитно-образовниот систем претставува суштинска алка во секое општество. Воспитанието и образованието се израз на на]висок степен на цивилизацщата. Токму од ова причина, секое општество им посветува многу внимание на воспитно-образовните процеси, биде]ки низ нивните системи се изградуваат идните грагани на општеството.
Училиштето, како главен носител на воспитно-образовниот процес, е секогаш во процес на развиваае, од причина што мора да ги следи современите светски трендови, за да во секое време да е блиску до преобразуваае во современо училиште.
Таквиот процес бара вклучуваае на многу суб]екти кои се клучни фактори во организацщата и реализацщата на наставата, суб]екти кои вистински се подготвени да ги прифатат иновациите и кои ке вложат максимален напор тие иновации да станат дел од воспитно-образовната работа.
Знача]но место во соодветно функционираае на воспитно-образовниот процес во современите училишта зазема наставникот, како еден од на]битните фактори.
Теоретската обработка на трудот и сегашните тенденции во образованието упатуваат на неколку можни насоки на де]ствуваае:
- учениците, наставниците, креаторите на настав-ните програми, учебникарите и креаторите на образов-ната политика да им дадат предност на активностите, прашааата и задачите за чие успешно решаваае се потребни посложени мисловни операции, преку корис-теае на методички модели;
- да им се даде поголема важност и време на наставниот процес, на активностите поврзани со примената на методички модели во решавааето на проблемски задачи, на практичната примена на знаеаата кои се сигурно орудие за стекнуваае на математички компетенции;
- постигааата на учениците да не се мерат, односно оценката да не се дава според бро]от на точно презентираните факти и податоци, усвоените дефиниции, решените задачи и слично, туку според применливоста (со примена на методички модели) на знаеаата, способноста за решаваае проблеми, капаци-тетот за истражуваае и практичните активности, концептуалните знаеаа и друго, кои претставуваат релевантен доказ колку учениците имаат стекнато математички компетенции;
- примената на методичките модели во наставата треба да почне уште од првото одделение во основното образование, односно вклучувааето на децата во стекнуваае на математички компетенции преку примена на математичките модели во формалното образоваае да биде во помала возраст;
- да се донесат државни стандарди за постигааа по математика, засновани врз очекувааата од државата и од емпириските податоци;
- да се преиспитат наставните програми по предмет математика во одделенска настава, од аспект на застапеноста на содржините чи]а реализаций ке подлегне на примена на методички модели за стекнуваае на математички компетенции, соодветни на возраста и можностите на учениците, уште од пониските одделение;
- при реализаци]а на програмата, наставниците треба да поагаат од разво]ните можности и интереси на децата, особено има]ки ги во предвид законитостите на разво]от на мислеаата во ово] развоен период;
- тргнува]ки од разво]ните карактеристике на учениците, нивните знаеаа и стекнатото искуство, а во функцеда на развиваае на математичките компетенции на учениците, наставниците треба да организираат повеке видови активности на учениците: манипулацеда со предмети, истражуваае, разложуваае, составуваае, конструираае, нижеае, прнаогаае на решени]а со комбинираае на идеи и слично, преку кои модели ке се потикнат мисловните активности на учениците, со што би се изградил систем на математички престави и поими;
- во однос на дидактичко-методичкото форму-ваае на наставниот час, а во функцеда на развиваае на математичките компетенции на учениците, потребно е максимална примена на дидактичката игра, практичните, манипулативните и истражувачките активности на учениците;
- во прилог на развиваае на математичките компетенции на учениците, почитува]ки го холистич-киот приод во работата со учениците од на]малата возраст, неопходно е поврзуваае со другите предмети, односно максимална интегрираност при планирааето на наставата и реализацедата на часовите;
- да се инсистира на понагласен конструктивис-тички приод во учеаето и наставата, нагласуваае на истажувааата, проверка на хипотези и поврзуваае на знаеаата со учениковото секо]дневие, преку примена на математичките модели;
- да се инсистира на неопходноста од доживотно учеае и споведуваае континуирани активности за поддршка и професионален разво] на наставинците во насока на примена на нови форми, методи, стратегии, техники на работа, преку развиваае на методички модели за стекнуваае на математички компетенции;
- неошюдно е да се редефинира улогата на наставникот во општеството засновано на знаене и да се детерминира нови компетенции на наставникот;
- високообразовните институции би требало да интензивираат развиване на студиски програми за профилирале кадри за примена на современи пристапи во наставата, со посебен акцент на примена на методички модели за разво] на математичките компетенции;
- во рамките на државните високообразовни установи треба да се акредитира посебна студиска програма за обука на наставен кадар за примена на современи стандарди во работата со учениците (приме-на на современи модели, методи, стратегии и теxники на работа);
- методско-дидактичката некомпетентност на наставниците и отсуството на систематска педагошка обука за академскиот кадар на високообразовните институции да се третираат како приоритети од државата при креиране на образовните стратегии;
- развиване на стратегиіа за примена на методички модели во наставата, преку кои би вли]але да создадеме профил на ученик на XXI в.
2.3.2. Истражувачки, програмски и методички предизвици
Трудот, всушност, треба да претставува основна поповна точка за понатамошни теоретски и истражувачки активности кои би резултирале со следното:
- стандардизиране на таксономи]ата на матаматичките компетенции на учениците преку примена на методичките модели во наставата;
- теоретско доразработуване и дефиниране на методичките модели во наставата по математика и нивна таксономи]а;
- експериментална проеверка на ефективноста на секо] од методичките модели за оставруване на определна класа на математички комптенции;
- промени на наставните планови и програми, особено на наставничките факултети, со ставене на посебен акцент на примена на методичките модели за разво] на математичките компетенции ка] учениците;
- збогатуване на професионалните компетенции на наставникот со нови содржински елементи во согласност со промените во современата настава;
- ефективни промени во квалитетот на настава, преку воведуване на современи теxники, методи и стратегии во наставата.
ЛИТЕРАТУРА
1. Штоф Б.А. Моделирование и философия. М., 2000. С. 6.
2. Stevanovic M. Modeli stvaralastva. Varazdinske Toplice: Tonimir, 1998.
3. Chao Y.R. Logic, metodology and philosophy of science. Standford, 19б2.
4. Лешкосш И. Педагошки речиик. Скоще: Друштво за
киигоиздателство и услуги Вековишиииа, 2002. С. 188.
5. ^;yf6Qxu Н. Aрxитектyрa математики // Математическое просвещение. М., 1960. Вын. 5. С. 99-112.
6. Bush R.R., Mosteller F. Stochastic Models for Learning. N. Y., 1955.
7. Van Hile P. Structure and Jusight: A Theory of Mathematics Education. Academic Press, Ins., 199б.
8. Kadum V. Ucenje risavanjem broblemskih zadataka u nastavi (matematike). Pula: IGSA, 2005.
9. Kurepa Gj. Matematicki modeli u prirodnim i drustvenim naukama. Beograd: Dijalektika, 1966.
10. KurnikZ. Problemska nastava. Zagreb: Matematika i skola, 2002.
11. Pecjak V. Putevi do ideja. Ljubljana: Sopstveno izdanje, 1989.
12. Polya G. Kako rijesiti matematicki zadatak. Zagreb: Skolske novine, 1966.
13. Robinson A. Introduction to Model Theory and to the Metamathematics of Algebra: Study in Logic & Mathemathics. Amsterdam, 1963.
14. Rushiti A. Fjalor terminologjik i matematikes. Tetove: Universiteti i Evropes Juglindore, 2011.
15. Salett M, Hein N. Mathematical Modeling: Implications for Teaching and Learning. Brazil: University Regional of Blumenau, 1999.
16. Stevanovic M. Modeli kreativne nastave. Tuzla: R&S, 2000.
Поступила в редакцию 26 октября 2012 г.
Rushiti A. MATHEMATICAL MODELS FOR DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL COMPETENCIES
Human development is broadly consistent with the development of scientific disciplines on which many of interdisciplinary sciences are based. Their interdependent and correlated relationships are tested by means of scientific theory and practice.
Not a single scientific discipline in its development just stops at developing their theoretical foundations. It is always looking for confirmation of concepts, theories and models. Important place to
check of all of the pedagogical conditions and attributes is educational practice.
In this context the content and structure of the article “Mathematical models of the development of mathematical skills” should be viewed.
Models are educational component of teaching mathematics, and their extensive use is inextricably linked to the development of competencies of teachers and students in this context.
On the other hand, the level of mathematical competence involves teachers and determines the application of mathematical models in the teaching of mathematics. Thus, the synthesis of the dominant triad of concepts “mathematical model” -“development”- “mathematical competence” required for understanding the holistic unity of these concepts in learning and education in general.
Competence of teachers is not only directly correlated with personal development, but also is a key factor in the development of competencies of students in the development of mathematical models of integrated didactic components of learning mathematics. Theoretical and empirical findings presented in this article, an attempt to use new teaching methods and content of teaching mathematics as an effective pedagogical decisions of the new approach to teaching math.
Key words: mathematics, models, mathematical models, competence, mathematical competence, development, education, value.
УДК 62.001.57(063)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КОМПЕТЕНЦИЙ
© А. Рушити
Ключевые слова: математика; модели; математические модели; компетенции; математические компетенции; развитие; образование; значение.
Развитие человека в целом соответствует развитию научных дисциплин, на которых основано множество междисциплинарных наук. Их коррелирующие отношения взаимосвязаны и проверяются с помощью научной теории и практики.
Ни одна научная дисциплина в своем развитии не останавливается только на разработке собственных теоретических основ. Она постоянно ищет подтверждение своим концепциям, теориям и моделям. Значительное место в проверке всех педагогических условий и атрибутов представляет воспитательнообразовательная практика.
В этом контексте и следует воспринимать содержание и структуру статьи «Математические модели развития математических компетенций».
Модели являются воспитательным компонентом обучения математике, и их активное применение неразрывно связано с развитием компетенций преподавателей и студентов в данном контексте.
С другой стороны, уровень развития математических компетенций преподавателей предполагает и определяет применение математических моделей при обучении математике. Таким образом, синтез доминирующей триады понятий «математические модели» - «разработка» - «математические компетенции» необходим для понимания целостного единства этих понятий в обучении и образовании в целом.
Компетенции преподавателей не только непосредственно коррелируют с личностным развитием, но и являются ключевым фактором развития компетенций студентов при освоении математических моделей как интегрированных дидактических компонентов обучения математике. Теоретические и эмпирические выводы, представленные в данной статье, представляют собой попытку применения новых дидактических методов и содержания при обучении математике как эффективное педагогическое решение нового подхода в преподавании математики.
