Математическое описание процесса вертикального винтового транспортирования потока сыпучего материала Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 622. 23. 054.53

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ВЕРТИКАЛЬНОГО ВИНТОВОГО ТРАНСПОРТИРОВАНИЯ ПОТОКА СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА

© 2007 г. А.В. Евстратова

Высокопроизводительная работа современного предприятия невозможна без правильно организованного и надёжно работающего промышленного транспорта. На предприятиях стройиндустрии, химической, машиностроительной, пищевой и других отраслей промышленности транспортирование пылевидных, взрывоопасных, порошкообразных и зернистых насыпных грузов выполняется преимущественно винтовыми конвейерами (шнеками).

Обладая широким спектром применения, вертикальные винтовые конвейеры, наряду с такими достоинствами, как простота конструкции, непрерывность транспортирования, герметичность, возможность транспортирования пылящих и остропахнущих грузов, имеют существенный недостаток - материал, кроме поступательного движения в направлении транспортирования, совершает вращательное движение в направлении окружной скорости шнека, что снижает производительность конвейера и повышает энергозатраты.

В значительной мере это связано с тем, что в настоящее время создание вертикальных винтовых конвейеров реализуется посредством процедур проектирования, построенных на основе математического описания движения частицы материала. Частица материала, опирающаяся на винтовую поверхность шнека и прижатая к стенке корпуса конвейера, для вертикального конвейера в стационарном режиме имеет движение, описываемое дифференциальными уравнениями [1]:

Nш cos а R - /ш Nш sin а R - /цNц cos Р R - mg = 0

/цNц sin ßR - /шNш COS аR - Nш sinаR = 0 ; sin a R sin ß R

- N ц + mRm 0'

cos(ßR -aR)

= 0,

(1)

где Nш - нормальная реакция лопасти шнека; /ш -коэффициент трения материала о лопасть шнека;

Г

N ц - нормальная реакция цилиндра; а Я = атС^

угол подъема винтовой линии шнека на кромке шне-ковой лопасти; / = 2пRtgа к - шаг шнека; Я - радиус лопасти шнека; т - масса частицы материала; /ц -коэффициент трения материала о стенку цилиндра; в Я - угол между вектором абсолютной скорости V частицы материала и осью шнека.

Решение системы (1) дает условие для определения угла в Я между вектором абсолютной скорости движения частицы материала и осью шнека:

Rm 0 /ц

g

sin a R sin ß R cos(ßr -a r )

__/ш + tga R_

sin ßR (1 - /ш tga R ) - COs ß R (/ш + t§a R )

= . (2)

Анализ количественных результатов процесса транспортирования, полученных при решении уравнения (2) с применением вычислительной техники, показывает, что на эффективность транспортирования существенное влияние оказывают геометрические и кинематические параметры рабочих органов конвейера (радиус и угол подъема шнековой лопасти и частота вращения шнека) и коэффициенты трения материала о шнек и внутреннюю поверхность корпуса конвейера. Очевидно, что качественная картина движения потока материала будет аналогична движению частицы материала, но при этом количественные показатели, характеризующие эффективность процесса транспортирования будут существенно отличаться.

При переходе от движения частицы материала к движению потока материала необходимо установить форму поперечного сечения потока.

Из условия равновесия (3) частицы, расположенной на расстоянии х от оси шнекового вала на свободной поверхности потока материала, совершающего вращательное движение с угловой скоростью ю (рис. 1), получено уравнение для определения угла наклона касательной к образующей свободной поверхности материала £ на расстоянии х от оси конвейера (4):

^ц cos l-mg sin I- /м N = 0,

(3)

где = mxm - центробежная сила инерции; mg = G - сила тяжести; N = m(g cos ^ + ю2xsin£) -сила нормального давления; /м N = FJV - сила трения, /м - коэффициент внутреннего трения материала

„ dz т x- f..g

tgi= =-^L.

dx g + f.m2 x

У

R

= 1-

2

ю2 x

+ fu ю x

dx - J-

+ fu ю x

-dx =

= T fuЮ 2 x + g) + С:

fu fu ю

(5)

С = - —+ -

-ln( fuю 2r + g).

(6)

N ш cos a r + fm N ш sin а r + fu N u sin а r - mg = 0; fu Nu cos а r + fш N ш cos а r - N ш sin а r = 0;

- N u + тгю 02 = 0

У (7)

Аф

Рис. 1. Схема сил, действующих на частицу материала, расположенную на расстоянии х от оси шнекового вала на свободной поверхности потока материала, совершающего вращательное движение с угловой скоростью ю

Уравнение семейства кривых, которые при вращении вокруг оси г образуют возможную форму свободной поверхности материала, получено интегрированием уравнения (4)

fм §

Рис. 2. Объем материала на секторе шнековой лопасти

Решение системы (7) дает условие для определения координаты точки пересечения проекции свободной поверхности материала с лопастью шнека r

fм® 0r2 - /ш (fмR® 0tga R + g)r - gRtga R = 0.

Получена система уравнений движения потока сыпучего материала в винтовом канале шнека, учитывающая геометрические характеристики поперечного сечения потока

РшSгор - f шРшSверт - /цРцSц C0S Р R - Y ф = 0 ; /ц Рц S ц Sin в R - f ш Рш S гор - Рш S верт = 0 ;

^ sin aR sin

где С - произвольная постоянная, которая определяется из условия: г = 0 при х = г , где г - координата пересечения свободной поверхности материала с лопастью шнека

-РцS ц + 1 Vdфр Сю 2

верт

А2

R

= 0,

>(8)

гДе S гор =

R 2 - r 2

cos(P r - a r )

ч x

Аф - площадь проекции сектора

/м fм 2ю 2

Подставив значение С из (6) в (5), имеем функцию, график которой при вращении вокруг оси г образует свободную поверхность материала

г = Х-г + § (1 + Ум2) 1П( ЛЮ 2 г + § )

-Г у 2 2 к г 2 ' '

/м /м 2ю 2 /мЮ 2х + §

Для определения координаты точки пересечения проекции свободной поверхности материала с лопастью шнека рассмотрено равновесие частицы материала в этой точке. Считаем, что данная частица находится на свободной поверхности материала, опирается на шнековую лопасть на расстоянии г от оси шнека, прижата к потоку материала и совершает движение по концентрическим окружностям с угловой частотой вращения шнека ю0 (рис. 2). Уравнения движения частицы имеют следующий вид:

лопасти на горизонтальную плоскость, м ; § = 9,81 м/с2 - ускорение свободного падения; £верт = Я(Я - г^а ЯАф - площадь проекции сектора

2

лопасти на вертикальную плоскость, м ; р с - координата центра масс объема материала, расположенного на секторе шнековой лопасти с центральным углом

Аф, u; S ц =

R - r + gOf) in

fu

f 2, J2 fu Ю

( fuЮ2Г + g А

fu ю2 R + g

RАф -

площадь контакта рассматриваемого элемента материала с внутренней поверхностью корпуса конвейера, м2; у - объемный вес транспортируемого материала,

Н/м3; / - коэффициент трения транспортируемого

материала о внутреннюю поверхность корпуса конвейера.

Объем материала Уйф [2] (рис.2), расположенный на секторе лопасти с центральным углом Аф, м3,

Аф Я

ф = Л/(р)рарdе = / ае|/(р)р^р =

= АфJ f (p)pdp =

2R3 - 3R 2 r + r3

6 fM

аЬАф

где а г = arctg- - угол подъема винтовой линии

2пг

шнека на расстоянии г от оси шнека; к - шаг шнека.

R2 - r2

- а(R -r) + (R 2 - a 2)ln

-Аф +

R + а

где p = yl x + у

Г 2 2

yjx + у ; а =

fu ю2

u

b =

1 + fu

fu

x

g

Координата центра масс сектора материала, с учетом (9)

Лф R

Жр^ IIf(р)Р2cosQdPd0

р ц.м

V.

d ф

Лф R

II f (p)pd pd 0

0 r

9R4 + 3r4 -12R3r + 2fMab^2(R3 -r3)-3a(R2 -r2) + 12R3 -18rR2 + 6r3 +

+6a2(R r) + 6(R3 + a3)ln\ Г + a| ^ R + a J

+9 fM ab (R2 r2) 2a(R r) + 2(R2 a2)ln| r + a | ^ R + a J

(10)

После подстановки (9) и (10) в систему (8) ее решение дает условие для определения угла в ц м между

продольной осью конвейера и направлением движения центра масс груза

ЛР ц.мЮ о

sin а ц

t sin ß ц

c0s(ß ц.м -а ц.м )

f S + S

J ш гор в

(S гор - fш S верт )sin ß R - (S верт + fш Srop ) C0s ß

■ = о,

R

(11)

связаны соотношением

движении частицы, так и при движении потока материала. При этом количественные показатели процесса движения частицы и потока материала существенно отличаются.

ю 0 = 100 об/мин ю 0 = 200 об/мин ю 0 = 400 об/мин

80 70 60 50

где углы в ц.м и в 1

1ЕР ц.м =р^т я .

Исследование зависимостей (2) и (11) с использованием ПК позволяет установить влияние на направление движения частицы и потока материала в винтовом конвейере физико-механических свойств транспортируемого материала, конструктивных и режимных параметров конвейера и провести их сравнительный анализ.

На рис. 3 представлены зависимости направления движения частицы и потока материала в вертикальном винтовом конвейере от угловой скорости вращения вала конвейера при различных значениях угла подъема винтовой линии шнековой лопасти а Я . Коэффициенты трения транспортируемого материала о шнек и корпус конвейера /ш = /ц = 0,5. Радиус лопасти шнека Я = 0,5 м .

Анализ полученных результатов показывает, что с увеличением угловой скорости вращения шнека увеличивается поступательная составляющая движения материала в направлении транспортирования, как при

0 5

Рис. 3. Зависимости угла вЯ между направлением вектора абсолютной скорости и продольной осью конвейера для частицы и потока материала от угла подъема винтовой линии шнековой лопасти при различных угловых скоростях

вращения шнека:--частица материала;----поток

материала

Угол в Я между направлением вектора абсолютной скорости транспортируемого материала на кромке шнековой лопасти и продольной осью конвейера для потока материала значительно больше аналогичного параметра для частицы материала, лежащей на кромке шнековой лопасти и прижатой к стенке корпуса конвейера.

Установление закономерностей движения потока транспортируемого материала в вертикальном винтовом конвейере имеет важное практическое значение, так как позволяет при проектировании винтовых конвейеров более обоснованно выбирать их конструктивные и режимные параметры, создавая предпосылки для производства высокоэффективных транспортирующих машин.

Литература

1. ГригорьевА.М. Винтовые конвейеры.М., 1972.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 кн. М., 1985.

Шахтинский институт (филиал)

Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института)

1 октября 2007 г.

g