CC BY
39
Список литературы
1. Гасияров В.Р., Усатый Д.Ю. Система регулирования толщины проката толстолистового стана 5000 // Автоматизация технологических и производственных процессов в металлургии: Межвуз. сб. науч. тр. - Магнитогорск: МГТУ, 2012. С. 126-130.
2. Hidraulic automatic gauge control // Davy McKee (Sheffield) Ltd. 1987. P.9 (англ.).
3. Системы прецизионного регулирования геометрических параметров горячеполосового проката / Русаев В.И., Гринчук П.С., Чабанов А.И. и др. // Электротехническая промышленность. Сер. Электропривод. 1975. Вып. 9 (44). - С. 27-37.
4. High accuracy in the plate mill / Masao T., Yasuyuki N., Kazuo O., Sunao T. // Int. Conf. of Steel, 1980. P.331-343 (англ).
5. Гасияров В.P. Разработка системы автоматического регулирования формы раската в плане приводов клети толстолистового стана горячей прокатки: Автореф. дисс. ... канд. техн. наук. - Магнитогорск: МГТУ, 2011. С.126-130.
УДК 62-83:621.313
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМАХ РАБОТЫ АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ С КОРОТКОЗАМКНУТЫМ РОТОРОМ
В. И. Косматое, А. Р. Мугалимова,
Е.А. Провоторое, В. О. Танич
Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, Россия, г .Магнитогорск zheka_gh@mail.ru
-
пенсационной обмоткой, надо записать уравнения для мгновенных
значений напряжений, токов и потокосцеплений. При этом полагаем,
,
магнитная система не насыщена, магнитодвижущие силы, созданные фазными токами обмоток, синусоидально распределены вдоль воздушного зазора, а режим работы двигателя симметричный. Благодаря этому отсутствуют токи нулевой последовательности, что позволяет
записать уравнения равновесия напряжений для одной фазы обмоток статора, ротора и компенсационной обмотки. Обозначим цифрой 1 переменные, относящиеся к статору, цифрой 2 - относящиеся к ротору, цифрой 3 - относящиеся к компенсационной обмотке.
Для построения схемы замещения воспользуемся методом комплексных амплитуд, запишем уравнения для напряжений, токов и по-токосцеплений в комплексной форме, опуская индексы А, а, А'
иг = Д«! + ]'ш0элф 1
о = /2д2
1
О = 13Я3 +М)ЭЛ1/>3 -7'/3-
(1)
СО,
Оэл ^к )
где 111,1Ъ . /2, тр2- ¡а-Фуг векторы напряжения, потокосцепления статора и векторы тока, потокосцепления ротора и компенсационной об-мотки',о)0ЭЛ — 2тгГ - угловая частота напряжения сети; ^частота
напряжения питания статора, Гц;
а>р
со,
о эл
— Р„ со-угловая частота
роторной Э.Д.С. в электрическом пространстве; со-угловая скорость ротора в физическом пространстве; Рпсо-угловая скорость ротора в электрическом пространстве.
Во втором уравнении системы (1) произведена замена
^Оэд-Ри^ _
ыОэл'
со,.
Бш,
О эл?
"О!
где 8- скольжение.
Для представления в комплексной форме уравнений (12), (13), (14), приведенных в [1], сомножители в виде косинусов необходимо преобразовать в комплексную форму с помощью формул Эйлера, имея в виду, что угол поворота ротора в электрических радианах определяется как 0^ — Рп шС
е!(Рп<»1) + е-!(Рп»Л)
соъ{в2) - со%{рпал) ----;
сое
сое I рпсо£: +
2тг\
Т/"
сое
~т)= ео* {РпШ* ~ т)=
• ^ 2ттч .._ , 2тгч
Токи обмоток статора и ротора должны быть записаны в комплексной форме:
11А ^ 11АС г 1
1В
/ р)ь>оэл* - / oэлt-27Г/3)1
11ВС ~ 11АС I
ЧС
/ р}<^Оэл* - Т рЦш0заг+2п/3). ; т
Нсе — 11 Ае < 12а 12ае I
и2Ь
'2 Йс
ча
/ оЦшрЬ-2п/3). • 72ае I1
2 С
*2сс
2а
'2ас
7((л)р£+27г/3).
'1А е / 11В
К „ е^оы* - /,„ еЛш0элг-2я/з).
с — ^ с г
'1А
11с 11С е^«™* = 11А еЛ^оэ^+2я/з)1 Покажем ход преобразований выражений (12), (13), (14), приведенных в [1], на примере первого и пятого слагаемых в правой части равенства
(Ьтф + Ь1а)11А (Ьтф + 11 Жа^^)
^ / 2тг\ . + г
* \ 2 + ~37
тфсо*уп2 т ^ у 2й ьтф £ ^2аС
После перемножения в последней формуле, с учетом того, что
еК^'Т-)
шр - ш,
о эл - рпш- получаем 2п\
-» 0. 5ЬГ
1тф сов
/ 2 Я"
V2 + Т
Проделав аналогичные преобразования для всех слагаемых в выражениях (12), (13), (14), приведенных в [1], сложив определенные слагаемые и произведя сокращения, получим эти формулы в символическом виде
ЧФза' = (1-51тф + ¿1<х)А
Введя обозначение 1.5Ьшф=Ьт , и после деления уравнения равновесия напряжения роторной цепи на скольжение 8, и обозначая токи в последних уравнениях /1,/2,/3 , получим систему уравнений, описывающих в установившемся режиме электромагнитные процессы в асинхронных двигателях с компенсационной обмоткой
= ^¡1 +7<иОэл01; Я,
ча' + + 1,5 Ьтф}2а-
ТЛ ггЛЛл
-/Ш
0 = +]'ЩэЛФ2Ш, о = Д3/3 +7 ^0 3^3 - ¡к
1
О),
О эл^к
(2)
Ч7! = С^т + + + Ьт13',
У2 ~ 1 + (Ьт + ¿1ст)/2 + 3;
— ^тЬ + Ьт12 + (Ьт + ¿3сг)/3.^ Описанные преобразования могут быть выполнены для любой фазы, поэтому индексы А, А' и а здесь и далее опущены.
Для построения схемы замещения двигателя преобразуем эти формулы, для чего исключим из рассмотрения потокосцепления, под-
(2).
Тогда имеем
/, = (Д +;<У0ааЬ1)/1 +]а>0ш1п1г +]ш0элЬт13;
0 =>0эл-г'ж/1
(^Г + ]ь>оэп1г)'1г
' + ]Шйэл1г ) 7 2 +
1 +1ШОэл1т1г + (й3 + МаЛ "Г
/, + /2 + /3.
Практически целесообразнее при исследовании режимов работы асинхронных двигателей использовать не индуктивности и емкости, а индуктивные и емкостные сопротивления, рассчитанные при номинальной частоте (о0эл,а именно:
Хт= о)0элЬт - индуктивное сопротивление намагничивающего контура; Х1О=со0элЬ1О - индуктивное сопротивление рассеяния фазы статора;Х2о=со0элЬ2о - индуктивное сопротивление рассеяния фазы ротора, приведенное к статору; Х3о=а>0элЬ3о - индуктивное сопротивление рассеяния фазы компенсационной обмотки статора; Х( — 1 /а>0С -емкостное сопротивление фазы компенсационной обмотки, приведенное к статору. Полные реактивные сопротивления обмоток статора и ротора определяются по формулам:
~ Х-т + ^10-1 — Хт + -^3 = %т + (^Зст — ^с)-Систему уравнений (3) целесообразно представить в следующем виде:
= (^1 + М )А 2 + Зхт1^ О = рст11 + (П2 + >2 )/2 + Лт/3; О = )хт¡1 + ¿гт/2 + (Д3 + рсъ - ]ХС )/3;
(4)
Схема замещения асинхронного двигателя с дополнительной компенсационной обмоткой, и соответствующая системе уравнений (4), изображена на рис. 1.
* 1
3х 1(7
3х2<г
ц
]Хек
3х 3
¿11
1т
Iх т
s
Кз | ]| Ез
ш
| ¿2
Рис. 1. Т-образная схема замещения ЭАД с компенсационной обмоткой
1т=1л+12 + 1 з
2
Векторная диаграмма традиционного асинхронного двигателя
При анализе процессов в асинхронном двигателе полезно располагать векторной диаграммой, которая дает наглядное представление о
-
вившемся режиме. Для этого необходимо рассчитать токи обмоток статора и ротора на основании уравнений вида (3) или (4).
Рассмотрим векторную диаграмму традиционного асинхронного двигателя без компенсационной обмотки (ТАД) на примере двигателя 4А225М4УЗ со следующими данными Рн=55кВт, иш=380/220В, пн=1450 об/мин, 1щ=100,1А , 12Н=103А, созфн=0.86 , г|н=0.92, 1^1=0.04380м, Я2=0.0650м, Ь1О=0.000417Гн, Ьт=0.0225Гн, Ь2о=0.0005Гн, 8н=0,0333.
Для ТАД справедливы уравнения, записанные в комплексной форме
и\ = <Д +>!)/! + >т/2;
К
0 = ]хт1х+{— + ]хг)12,
(5)
1т = 1\+12-
У
В уравнениях (5) ток ротора /2 , активное и индуктивное сопротивление х2, Я2 приведены к обмотке статора, а
1Л=1.5Ьтф Ьт= \.5Ьтф ,и1т= у^и^ .
Для системы уравнений (5) запишем матрицу 2 порядка
ап а12 (Д1 + М) ]хт
А = =
а21 а22 ]хт
Определитель (детерминант) 2 порядка, соответствующий матрице, называется число, вычисляемое по правилу
Д = 011@22 ~а2\а\2-При А = с1е1:А ^ 0 решение системы уравнений (5) единственно и
находится по формулам Крамера х =—'-,1—1,2. В них определи-
А
тель А называется определителем неизвестного х и получается из определителя А заменой ¿-го столбца столбцом свободных членов:
А,=
и1 К
О ^ +>.
Б У "
= Щ^ + ]х1)-0-]хт = й1-
Л2 =
К1+]х1 V1
Л О + А л Л Б
= <Д +Р1)-0-й1]хт
>Хт
+ ]х2
л
А
= (К1+Р1)(— + ]х1)-хт = К1 — -х1х1+]К1х1+]—х1+хт =
"Б
Б
Б
= Х1Х2 + ^ + ЖХ2 + ^ Х1)-
Тогда токи определяются следующим образом
Кг
г - А1 - л 1 ~ ~ 1
1 а 1
Б
■ + 7*2
(^1 -у- - *1*2 + ) + ./(^1*2 + ^ ^
_~ _.
2 к? '
1Г - + Л и) + У(Д1*2 + "ТГ^)
/„ =/1 +/2.
(6)
Обозначим:
2
5
Ъ2 =Л1х2+^х1;
Подставим в уравнения (6) коэффициенты вещественных и мнимых чисел, получим
Ъъ + -/64 ^ и (Ьз + АХ6!
¿1
Ьф5 +Ь2Ь6
Ь2+ъ1 ЬЬ6 ~Ь2ЬЪ ь2+ъ1
= иЛ
Ьфз + ¿2^4
Ц2+ъ1
Ьф4 - Ъ2Ъъ
1т
(7)
Определим значения коэффициентов Ь1-Ь6 в уравнениях (7) и рас:
Д =105.74- >34.89; 11 = ^11180+1217 = 111.3 Л;
I2 = -106.92 + >14.988 I2= Vl1432 + 224 = 107.96 A;
Im = 105.74 -106.92->34.89 + >14.99 =-1.18->19.9;
На рис. 2 представлена векторная диаграмма традиционного асинхронного двигателя, из которой следует, что cos (pi < 1, а двигатель в номинальном режиме при номинальном скольжении Sh=0,0333 потребляет намагничивающий ток 11т = 34,89 А (30,87%).
Векторная диаграмма энергосберегающего асинхронного двигателя с индивидуальной компенсацией
Для энергосберегающего асинхронного двигателя ЭАД с индивидуальной компенсацией в установившемся режиме работы справедливы уравнения, записанные в комплексной форме
U\ = (R\ +jx i)/i + jxmI2 +jxmI3; r2
О = jxmIi + (— + jx2)I2 + jxmI з;
О = jxmIi + jxmI2 + j(x3 ~ xc)]i3; !m = h+h + h-
Для системы уравнений (8) запишем матрицу III порядка
+ А fim JXm r2
Arn -+ fi 2 ßm
s
ßcm ßcm r3+j(x3-xc)
Определитель (детерминант) III порядка, соответствующий матрице, называется число, вычисляемое по правилу
«11 «12 «13
= a21 «22 «23
«31 «32 «33
А = ац
«22 «23 «21 «23 + «13 «21 «22
-«12
«32 «33 «31 «33 «31 «32
Тогда имеем
А = (й1+7Х1>
+ JXn
R,
R2
J " Jxm \xm [«3 + Äx3 ~ xc)\~ J }+
J xm J^mV^m
(9)
jxmjxm +yx2)
После перемножения сомножителей и группировки слагаемых формулы (9) на вещественную и мнимую части полученного определителя имеем
Г 2 2 и 2
А = —[ Я1Я^х1( х}- хс ^ хт) + Я1( хт- х2( л, - Х ) ] + Кз(хт~ ХЛ) +
J'jl2 Rl( Х,~ Xc ^ +R3 Xm ^ + Xl+(X3~ Xc t~2x?m + R R3X2 " X1X2 (X3 Xc )j
( 1 0)
При А=с1с1А^0 решение системы уравнений (7) единственно и
находится по формулам Крамера xi =—, / = 1,2,3 В них определитель
д
А! называется определителем неизвестного х и получается из определителя А заменой ¿-го столбца столбцом свободных членов:
Ai =
U1 JXm JXm
^ r2 ■
o — + jx 2 jXm
o JXm R3 + j ( X3 ~ Xc )
= + Jx 2 Из+./Оз -xc)]~ j2x2m| =
- \ R7 2 = U1l ~R3+ Xm~X2(X3~ Xc ) + j
r2
R3X2+ — (X3- Xc )
+ Jxl U\ Jxm
jxm & Jxm Jxm
О R3 + j(x3-xc) I
(i\ + jxl)-0-Ul'yxm \R3 + j(x3-xc)-j x
-jxm-0
Л2 xc) xm - ]R3xm\
R\-jx\ Jxm Щ
Аз = Jxm S + Jx 2 O
Jxm Jxm o
= o~o+ul
j2x2m ~ jxm(-^- + jx2
Ai =Ui
xm(x2 xm) J } xm
(13)
Обозначим в формулах (10)-(13) коэффициенты при вещественных и мнимых частях буквами:
: - Х\(ХЪ " хс) + хт )]+ «1
а\ = уЧ^З ~Х\{х3 -хс) + xl,)\+ R\ |xjj, -х2(х3 -хс)]+ Д3(х^ - Х]Х2); а2 = ~хс) + Й3Х]]+ х^[х] +х2+(х3 - хс)]- 2х^ -xjx2(x3 -хс);
а3 = + х3т - х2(х3 - хс% а4 = й3х2+-^2-(х3-хс); а5 = хт (х3 - хс) -
s
а6=~Щ хт'> а1 = хт (х2 ~ хт )' а8 =——хт-
Искомые значения токов 1^,12,/3 и 1т определяются по следу:
(3^¿73 +(32(34 ^ . (3^(34 — (32(3з
2 2 (3j +¡32
2 2 (3j +¡32
■ Д2 - aia5 + а2а6 , а1а6 - а2а5 12 = —=и\ -^-9-+ J'
2 2 а\ + й2
2 2 а-у + й2
/ - Лз - TI
a\ai + "2а& ■ alaS - а2 а1
2 , 2 «j + «2
2 , 2 ay + «2
=h+h+h-
Для асинхронного двигателя с индивидуальной компенсацией (ЭАД) со следующими параметрами:
Ri = 0,055 Ом; R2 = 0,065 Ом; R3 = 0,042 0м;хт = 20,57 0м; х1 = 20,67 0м;х1ст = 0,1 Ом; х2 = 20,73 Ом;х2ст = 0,16 Ом;
(14)
(15)
(16) (17)
2
т
х3 - 20,65 Ом; х3(Т = 0,08 Ом и различных значений хс = 118; 30,86; 20,86; 10,86 ; 8,86; 5,86; 3,86 Ом, что соответствует величине емкости компенсирующего конденсатора ск — 27; 106; 159; 318 ; 398 ; 530 ; 796 мкФ; при напряжении t/1=220B и скольжении s = 0,0276 произведены расчеты токов l\j2Лъ -1 ш и cos<pj.
Номинальное скольжение ЭАД (SH ЭАд) определено из условия:
JH ЭАД
где5н
■^нТАД 1500-1450
, к ЭДД
1 с ' ^н ЭДД 1 *^кТДД
^кЭДД
5ктдд
■5,
нТАД,
ТАД '
0,0333;
д;
0.065
к тдд
л/Дх2 + (х1а + х2а)2 т/0.04382 + (0.13 + 0.157)2 R'2 0.065
= 0,224;
= 0,1857;
хЭАД " + (x1(J + x2(J + x3(J)2 " V0.045^ +(0.1 +0.157 +0,08)2 0,1857
" -0,0333 = 0,0276.
-нэад - Qj224 ^ ^ ^
Результаты расчетов токов обмоток статора Д . /3 . ротора /2, намагничивающего тока 1т и cos срг приведены в таблице 1.
Таблица 1
Результаты расчета токов компенсированного двигателя ЭАД
Тип двигателя О.чмкФ м KA Im, A COSIPj
118/27 89.59-jl8.05 /, = 91.4 -89,91-j9.49 /, = 90.41 -0,068-j 1,809 /, = 1.81 ■0,587-jl0,568 /„ = 10.375 0.9804 >0
30/106 89.995-il2.89 It = 90.91 -90,ll-j9,64 l2 = 90.625 -0,287-jl,144 /, = 7.15 -0,405-jl0,392 /„ = 10.4 0.9898 >0
20/159 90,28-j9,4 и = 90.77 -90,25-j9,74 /, = 90.77 -0,45-j 10,75 /, = 10.76 -0,414-jl0,48 /„ = 10.416 0.9946 >0
? m 10/308 91.22-jl.16 /, = 91.23 ■90,65-jl0,06 /, = 91.2 -l,02-j21,7 /, = 21.7 ■0,45-j 10,6 /„ = 10.467 0.9999 <0
8/398 91,74-j6,514 /, = 91.97 -90,855-jl0,22 /, = 91.43 -l,}48-j27,21 /, = 27.25 -0,46i-jl0,48 /„ = 10.49 0.9975 <0
6/530 92,68-jl5,55 /, = 93.97 ■91.19-jl0.49 I, = 91.8 -l,97-j56,55 /, = 36.03 •0,492-j 10,525 /„ = 10.534 0.98624 <0
4/796 94,81-jm /, = 100.7 ■91.89-jU.06 /, = 92.55 -5,49-j55,62 /, = 55.73 -0,552-jl0,607 /„ = 10.621 0.941 <0
ТАД
Векторная диаграмма ЭАД при С = 318мкФ (Хс — 20 0м) приведена на рис. 3
Баланс мощностей двигателей ТАД и ЭАД (Хс — 20 Ом) отражен в таблице 2.
Таблица 2
Баланс мощности двигателей ТАД и ЭАД
Мощность, Вт Тип двигателя
ЭАД ТАД
St = 3 ■ 1г, ВА 3-220-90,77 = 59908 3-220-113 = 74580
Р1 = Sj ■ cos ^ , Вт 59908-0,9946 = 59584 74580-0,918 = 68464
АРг = 3 ■ /г2 ■ Д1( Вт 3 ■ 90,772 ■ 0,0455 = 1124 3- 1132 0,04 8 = 18 38
A Р2 = 3 ■ /22 ■ R2, ВТ 3-90,772 -0,065 = 1606 3- 106 0,065 = 2191
АР3 = 3 ■ /32 ■ Д3, Вт 14,58
Рэм rPi-APa-AP^BT 58446 68464-1838=66626
Pi=P3M-AP2 56840 66626-2191=64435
cos 0,9946 0,918
Пэп Без учёта ДРмех 0,954 0,94
^Пэн = ^Пзл ■ cos<Pl 0,9488 0,8629
Выводы
Разработано математическое описание электромеханических процессов в электроприводе на базе асинхронных двигателей с корот-козамкнутым ротором и дополнительной компенсационной обмоткой на статоре.
-
жимы работы традиционных асинхронных двигателей (ТАД) и энергосберегающих асинхронных двигателей с компенсационной обмоткой (ЭАД). Произведены расчёты токов статорных обмоток, обмотки ротора и намагничивающего тока; для наглядности построены векторные
-
.
Произведено сравнение энергетических показателей двигателя ТАД (4А225М4УЗ) и реконструированного двигателя на его основе ЭАД с изменением параметров статорных обмоток (рабочей и компенсационной).
Энергетический КПД ЭАД (гдеэнЭАД = 0,9488) выше КПД ТАД (^Пэнтад = 0,8629) на 9,95%, что говорит о целесообразности внедрения компенсированных асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором, в первую очередь, в нерегулируемых электроприводах мас-.
Список литературы
1. Косматов В.И., Мугалимов Р.Г., Провоторов Е.А., Танич В.В.
-
сберегающим асинхронным двигателем. Электротехнические системы и комплексы: междунар. сб. науч. трудов. Выпуск 20. - Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск, гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2012.
