CC BY
41
УДК 62-83:621.313
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕЖИМОВ
РАБОТЫ ЭЛЕКТРОПРИВОДА С ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИМ АСИНХРОННЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
В.И. Косматое, Р.Г. Мугалимов, Е.А. Провоторов,
В. О. Танич
Магнитогорский государственный технический университет, им. Г.И. Носова, Россия, г. Магнитогорск zheka_gh@mail.ru
Электроприводы с асинхронными двигателями получили широкое применение во многих отраслях промышленности, на транспорте, сельском хозяйстве и быту благодаря ряду существенных преимуществ по сравнению с другими типами двигателей.
Асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором обладает простотой своей конструкции; не имеет ни коллектора, ни контактных колец, т.е. является бесконтактным двигателем; требует для своего изготовления меньше цветных и черных металлов, что делает его самым дешевым двигателем; значительно легче других двигателей, обладает меньшим моментом инерции при одной и той же мощности, т.е. явля-
.
Однако асинхронным двигателям с короткозамкнутым ротором присущи два серьезных недостатка:
1. Низкие регулировочные свойства без специальных преобразо-
.
2. Относительно низкий коэффициент мощности (coscp), т.к. для
-
щий ток, составляющий (30-70)% от номинального тока двигателя,
.
Длительное время асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором использовался, в основном, в нерегулируемых электроприводах. Это обширный класс механизмов, которые не предъявляли к дви-
-
тельности за счет изменения скорости двигателя (насосы, пылесосы, воздуходувки, вентиляторы и т.п.).
-
ременного тока с неизменными значениями напряжения U = const, частоты f = const в энергию с U = var и / = var первый недостаток
традиционного асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором с преобразователем частоты (ТАД с ПЧ) в настоящее время преодолен.
Что касается второго недостатка, то он может быть существенно преодолен путем создания энергосберегающих асинхронных двигателей (ЭАД) с дополнительной компенсационной обмоткой на статоре, замкнутой на конденсаторную батарею. При определенных параметрах компенсирующего конденсатора, возможно не только устранить потребление реактивной мощности из сети, но и обеспечить отдачу реактивной мощности в сеть [1].
В научных трудах [2, 3] широко освещены вопросы создания энергосберегающих асинхронных двигателей, проведены глубокие исследования свойств электроприводов насосных агрегатов, предложены методики электромагнитного расчета параметров энергосберегающих двигателей, осуществлено моделирование электропотребления насосных агрегатов, созданных на основе ЭАД и ТАД, широко проведены экспериментальные исследования и внедрение ЭАД в действующие .
В предлагаемой работе рассматривается математическое описание
-
.
Уравнения трехфазной асинхронной машины с компенсационной обмоткой на статоре
-
занных обмоток, причем взаимное положение этих обмоток в пространстве при вращении ротора ( см. рис. 1. а) непрерывно меняется. Взаимоиндуктивность между обмотками А (статора) и а (ротора) принимается с учетом принятых допущений, равной
МАа=Мпс о&0Аа, (1)
а между обмотками А' (статора) и а (ротора)
МАа=М32С05вАа, (2)
где М12 (М32) - максимальная величина взаимоиндуктивности, которая имеет место при совпадении осей А и а ( А' и а), Гн;
дАа = 6Аа = 02угол между осями обмоток статора и ротора, эл. градус.
Схематично асинхронная машина показана на рис. 1. б. Она содержит две трехфазные обмотки на статоре (рабочая 1 и компенсационная 3) и трехфазную обмотку на роторе 2. Рабочая обмотка статора подключена к симметричному трехфазному источнику напряжения иА, ив, ис. Параметры обмотки ротора и компенсационной обмотки при-
ведены к рабочей обмотке статора. Математическое описание такой машины базируется на известных законах электромеханики.
На основан™ второго закона Кирхгофа можно записать уравне-
.
Для обмотки 1 статора:
ид — ЯА1А +
^в — ^вЬ +
ис = ЯС1С +
Для обмотки 2 ротора:
О = ЯХ +
0 = Ль*ь +
О = клг +
сШ>трА <И
<и '
(И ' с№хрь
<Р¥фс <И '
(3)
(4)
Для компенсационной обмотки 3 статора:
0 = * А V
с1Ч>1рА-
+ —■—+ и
С А
О = +
О = ЯС1С- +
йч>грв
л +и-
■+иг
(5)
dt ' сс'
где ил. 11в, ис - мгновенные значения напряжений на зажимах фаз статора; +рА. 1ра,1рА - полное потокосцепление фаз А, а, А'; ЯА=КВ=ЯС=Я1 - активное сопротивление фаз рабочей обмотки 1 статора; /?а=/?й=/?с:=/?2 - активное сопротивление фаз обмотки 2 ротора; ЯА =ИВ=ПС=И,- активное сопротивление фаз компенсационной обмотки 3 статора; 1А. 1А. ¿а,- токи в фазах рабочей обмотки 1, компенса-
исс- - мгновенные
ционной обмотки 3 и обмотки 2 ротора; IIСА , (У
'св
значения напряжений на конденсаторах фаз компенсационной обмотки
1 г
3 статора, иСА= Е/ ■= 1/сс- =—]
С/Л
* и с
(С к в ^
~ ©
А & В& 0ф
1Л 1 1 с
©
А^ ^ С^
л- С к ~г С к ~г С к
Мп=Мг
©
(Л 1,41}
'М23=М32
6)
Рис. 1. Система магнитосвязанных обмоток компенсированного двигателя
Вторым используемым законом является закон Ампера, который связывает потокосцепление обмоток с токами, протекающими по обмоткам.
Для рабочей обмотки 1 статора
гЧ'фд = ЬАА1А + ЬДВ1В + ЬАС1С + ЬАа1а + ЬАЬ1Ь + ЬА(ЛС + ЬАА.1А: + Ьав4в. + ЬАСЛС:; | Ч^Фв = ^вди + ЬВВ1В + ЬВС1С + ЬВа1а + ЬВ1ДЪ + ЬВ(ЛС + ЬВАлА. + Ьввлв. + ЬВС4С. ; (6) I Ффс = ЬСА1д + ЬСВ1В + ЬС(4С + ЬСа1а + Ьсь1ь + ЬС(лс + ЬСАлА. + ЬСВ4В. + ЬССЛС.
Для обмотки 2 ротора
Г ^Фа = ^аА1А + ЬаБ1в + Ьа(4в + Ьаа1а + Ьаь1ь + Ьа(лс + ЬаД4А. + ЬаВлБ, + Ьаслс\
I Ч'Фь = ^ьа'А + ^ъв'в + ^ьс'в + Цга'а + ^ьь'ь + ^Ьс'с + ^ЬА^А' + ЦэВ'^В' + ¡-'ЬС'^С'' I Ч'Фс = ^са^А + Ьсв1в + ЬсС1в + Ьса1а + Ь^ь + ЬС(ЛС + ЬсА'1А' + + Ьсслс.
в
Для компенсационной обмотки 3 статора
(Ч'Фа' = ЬА'АаА' + ЬА'В'1В' + ЬА'сас- + ЬА'Д1Д + ЬД.В1В + ЬА.С1С + ЬА.аь, + ЬА.ь1ъ+ЬА.с1с; тЧ'Фв1 = 1-,в'А'1А' + ^в^в1 + ЬВ.С4С. + ЬВ.А1Д + ЬВЪ1В + Ьв.с1с + ЬВ'а1а + Ьв.ь1ь+Ьв.с1с; (8) I Ффс = ЬСАлА. + Ьсвлв. + Ьсслс + ЬСА1А + Ьсв1в + ЬСС1С + ЬСа1а + Ьс.ь1ь+1_,с(лс, где ЬАА ,Ьаа . 1А.Д. - полные индуктивности фазы рабочей обмотки статора, фазы обмотки ротора и фазы компенсационной обмотки статора, определяемые главными потокосцеплениями и потокосцеплениями в
> Laa — Lm(p + L2rT;LA.A. — Lmá) +
-'тф
фазах А, а, А': ЬАА = Ьтф + Lla L3rT;Lmф - главные индуктивности фаз; L1(T L2rT L3lJ- индуктивности рассеяния фаз обмоток; LAB, LAC - коэффициенты взаимоиндуктивности между рабочими обмотками 1 фазы статора и двумя другими его обмотками, сдвинутыми относительно её на 120 и 240 эл. градусов; Lab, Lac - то же, для обмотки ротора; LA'B', LA'C' - то же для компенсационной обмотки, Lab = Lac = Lab = Lac = La,b, = La,c, = LAA: =
Lab' = Lac = LA>A = LB A = LC,A = Lmф ■ cos = Lm^ " cos (~) = —0,5 ■ Lmф.
Коэффициенты взаимоинду кции, учитывающие влияние токов в фазах обмотки ротора на потокосцепление обмотки фазы А и А' обмоток статора ( см. рис. 1.6.), записываются в виде:
LAa ~ LA'a ~ Lтф cos(62) '>
Laö — LAb — Ьтф cos ( 62 + ^ );
Lac — LA с — Lm(p cos
(б2"
2tt\ 2 n\
T/'
(9)
Коэффициенты взаимоиндуктивности, учитывающие влияние токов обмоток статора на потокосцепление обмотки ротора, записываются в виде:
LaA - LaA, - Ьтф cos(2tt - 02) - Ьтф cosö2 ;
■ LaB ~ LaBr — Ьтф cos(2tt/3 ■ Lac = Lac = Lmtj> cos(4tt/3
02) = Lm4, cos(02 -2тг/3); ■62) = ¿m^COS(62 + 2ТГ/3).
(10)
С учетом изложенного для фаз А, А' обмоток статора и фазы а ротора система уравнений, описывающих электромагнитные процессы, примет вид:
и
и1 А ~ А +
o=R3i1A,+
dt cKJ llA
dt 1
dt;
(11)
0=R2ha +
К ■ dt
tl и' -
*Pia — (^тф + LlS^i1A 0,5 Ьтф11В 0,БЬтф1АС 0,БЬтф11А Q>5Lmipi1B' — 0,5Ьтф11С' + 1тф (cos92i2a + cos (^2 + hb + cos (02-j-)i2c);
02a — {^тф + ^2s)ha ®'5Ьтф(12Ь + he) + '-'тф
(cos62i1A +
(e2 - у) ilB + cos (б2 + y) he + cosd2hx + cos (б2 -
cos
y) 11B' + COS
(13)
(14)
^Pia ~ {^тф + L3§^)i1A' 0,БЬтф11В' 0,5Ьтф11А 0,5Ьтф11В
Lшфке + Ьтф (cOS62i2a + COS (б2 + у) i2b + COS (в2 - у) ¿2с)-
Аналогично записываются уравнения для потокосцеплений
01В, 01О 02Ь'02о 01В'' 01 С'-
Девять уравнений равновесия вида (11), девять уравнений для потокосцеплений вида (12, 13, 14) образуют первый вид уравнений, входящих в систему дифференциальных уравнений короткозамкнутого асинхронного двигателя с компенсационной обмоткой на статоре.
Электромагнитная энергия обмоток асинхронной машины может быть определена по формуле
W
v * -зл
= -(.Фа1А + 0В^В +0CtC + 0<А + + 0Л +
(15)
Фа*А'+ФВ*В' + Фскд-Тогда электромагнитный момент определяется частной производной по геометрическому углу от общего запаса электромагнитной энергии
dW3M М = -гг—Р-п
д<Р,
(16)
где Рп - число пар полюсов двигателя.
Уравнение движения электропривода в условиях абсолютно жесткого приведенного звена при J = const запишется в виде
] dw3„
(17)
рп м
где ол гугловая скорость вращения ротора в электрическом пространстве, эл. рад/с; со = и>эл/Рп- угловая скорость вращения ротора в физическом пространстве; ] - момент инерции электропривода, приведенный к валу двигателя; Мс - приведенный к валу двигателя статический момент сопротивления.
Выражения (11, 12, 13, 14, 15, 16) и (17) образуют систему дифференциальных уравнений асинхронной машины. Эта система содер-
жиг 20 уравнений при 20 неизвестных - 9 токов. 9 потокосцеплений, электромагнитный момент, скорость вращения или угол поворота
Следует отметить, что в рассматриваемой системе используются понятия только электрического угла (рэл и соответственно скорости
^Фэл /1 1 \
вращения ши = что позволяет решать совместно уравнения (11),
(12), (13), (14) и (15, 16, 17).
С другой стороны в уравнениях электромагнитного момента и
-
ческих углов и скорости
_ ¡Рэл Ч^физ р
физ
1 п
Этим и объясняется наличие в формулах (16), (17) в качестве коэффициента число пар полюсов Рп. Такой подход позволяет использовать полученную систему уравнений при любом числе пар полюсов .
Выведенная система дифференциальных уравнений трудоемка при аналитическом решении. Она высокого порядка и содержит нелинейные уравнения с периодическими коэффициентами. В связи с этим
-
шины, записанная в реальных фазных величинах токов и потокосцеплений , должна быть преобразована в систему с постоянными коэффи-
.
Список литературы
1. Патент 2112307 Ш, МКИ 6 Н02К17. Асинхронная компенсированная электрическая машина/ А.Л. Савицкий, Р.Г.Мугалимов, Л.Д.Савицкая// Открытия. Изобретения. 1998г. №15
2. Мугалимов Р.Г. Асинхронные двигатели с индивидуальной
:
Монография. - Магнитогорск: МГТУ, 2011. 250с.
3. Мугалимов Р.Г. Математическая модель энергосберегающего индивидуально - компенсированного асинхронного двигателя. Известия вузов. Электромеханика. 2004. №2. С 69-73
