CC BY
92
УДК 631.31 В.П. Кочетков, Н.С. Курочкин, Н.В. Цугленок
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
В статье рассматривается моделирование асинхронного двигателя в двухфазной системе координат. Проведено сравнение динамики асинхронного двигателя, полученной на представленной модели и с помощью стандартного блока Asynchronous Machine в пакете Simulink.
Ключевые слова: асинхронный двигатель, моделирование, электромеханические переходные процессы.
V.P. Kochetkov, N.S. Kurochkin, N.V. Tsuglenok RESEARCH OF THE ASYNCHRONOUS ENGINE DYNAMICS
The modeling of asynchronous engine in two-phase system of coordinates is considered in the article. The comparison of the asynchronous engine dynamics obtained on the presented model and with the help of the "Asynchronous Machine" standard block in the Simulink package is conducted.
Key words: asynchronous engine, modeling, electromechanical transitional processes.
Традиционно механические характеристики асинхронных двигателей построены по общеизвестной формуле Клосса и соответствуют только статическим режимам, когда момент не превышает момента критического Мк по паспортным данным, но они существенно отличаются от характеристик реальных, в которых учитываются электромагнитные переходные процессы.
Точное математическое описание явлений, происходящих в асинхронных машинах, сложно и громоздко, поэтому используем следующие общеизвестные допущения:
- отсутствие насыщения магнитной цепи;
- отсутствие гистерезиса;
- синусоидальное распределение в пространстве кривых МДС и магнитных индукций;
- независимость индуктивных сопротивлений рассеяния от положения ротора;
- полная симметрия обмоток статора.
Математическое описание асинхронного короткозамкнутого двигателя, с уч^ом допущений, представим в виде систем уравнений.
Уравнения напряжений для статорной и роторной цепи соответственно имеют вид:
J,i =
J, 2 = ^ + R, 2 • ,, 2 dt
J,3 = ^ + R,3,-3.
, 3 dt ,3 ,3
(1)
0 = 0 = 0 =
dWr1
dt
dWr 2 dt
dWr 3 dt
-Rr і • К і>
- Rr 2 • Іг 2 ,
Rr з • К 3.
Потокосцепление обмотки каждой фазы является функцией всех токов статора и ротора. Системы уравнений для потокосцеплений статора и ротора (соответственно индексы «в» и «г») имеют следующий вид:
= 4 • +1^,2 • ^2$ + 4и • 4 + • СОБ ф • 7г1 +11>2 • ^(ф + 2 - а) • /;2 +!и • ^(ф + а) • гг3,
2 = 4 • *2, + 42,1 • 4 + 42, Э • 4 + 4,1 • С08(ф + а) • 4 + 4,2 - С0Б Ф - *г2 + 4,3 - С08(ф + 2 - а) - /гЭ > (3)
= 4 • *3, + Аэ,1 • *1, + к,Э,2 • 4 + 4,1 • С08(Ф + 2 • а) • 4 + 4,2 • С08(Ф + а) • *г2 + 4,3 • С0Б ф' К3 .
>Г1 = 4 • 1 + ЬГ1Л • *2г + 4и • 4 + 4,1 • С0БФ" 4 + 4,2 • С08(Ф + 2 • а) • 2 + 4,3 • С08(Ф + а) • 4 ,
¥г2 = 4 • *2г + 42,1 • 4 + 42,3 • 4 + 4,1 • С08(Ф + а) • 4 + 4,2 • С08 Ф • 2 + 4,3 • С0§(Ф + 2 • а) • 4 , (4)
¥г3 = 4 • 4 + 43,1 • 4 + 43,2 • 4 + 4л • С0Б(ф + 2•а)• ^ + к3,2 • С0Б(ф + а)• г,2 +Ц,,3 • С0Бф•,.
В уравнениях (3) и (4) 1^ и Ь являются собственными индуктивностями соответствующих обмоток статора и ротора, все остальные - взаимоиндуктивностями между соответствующими обмотками статора 1^1,2, ротора 1г1}2 и статора и ротора, например, Ц1 - взаимоиндуктивность между первой обмоткой статора и первой обмоткой ротора.
В дополнение к системам уравнений (1)-(4) используем основное уравнение динамики электропривода
Ь% = М-МС, (5)
где 7^, М, Мс, ш - соответственно суммарный момент инерции, электромагнитный и статический моменты и угловая скорость двигателя.
Момент электромагнитный может быть выражен через векторные величины потокосцепления ^ и тока 1ГХ ротора в координатных осях х,у
М=Ч'ГХ* 1ГХ- (6)
Несмотря на полное и строгое математическое описание, использование уравнений (1)-(6) для исследования машины встречает серьёзные трудности. Перечислим основные:
- в уравнениях (5)-(6) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (1-4) скалярные;
- количество взаимосвязанных уравнений равно 16, а количество коэффициентов при них - 44;
- коэффициенты взаимоиндукции между обмотками статора и ротора в уравнениях (3) и (4) являются функцией угла поворота ротора относительно статора, то есть уравнения (3) и (4) являются уравнениями с переменными коэффициентами;
- уравнение (6) является нелинейным, так как в нём перемножаются переменные.
На пути упрощения математического описания асинхронной машины используем метод пространственного вектора, который позволит существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравнений; метод позволяет связать уравнения (1)-(6) в единую систему с векторными переменными состояниями. Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметричных трёхфазных переменных состояний (напряжения, токи, потокосцепления) можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором. Это математическое преобразование имеет вид (например, для тока статора)
* = 2 ^^ + алв + а 21с ) , (7)
.2 п Ап
где а = е13 , а2 = е13 - векторы, учитывающие пространственное смещение обмоток;
iA = ^С00, iB = Im COS
С f 4^
^---------I, /„ = I cos ot-------I - трехфазная симметричная сис-
^ 3 ) C m ^ 3 )
тема токов статора.
Приведем уравнения к безмерным (относительным) величинам. В качестве основных базовых величин выбираются амплитудные номинальные значения фазного напряжения и тока, а также номинальное значение угловой частоты
U =J2Uih , It = 42llH, От, = О = 2л/ін •
(8)
На основе (8) определяются базовые значения всех переменных и коэффициентов, входящих в уравнения, а также базового времени
Rt = Y, Lt =U L (oJ.
(9)
В дальнейшем используются уравнения только в относительных единицах. Обобщенная система уравнений для описания асинхронной машины примет вид:
г г d w г
us = ns ■ is +—7^ + J ak Ws, dr
г г dwR . , ч г
UR = nR "iR +—7^ + J • (ak - Pnv) •Wr ,
dr
Ws = xs 'is + xm • iR ,
WR = Xm • is + XR • iR,
/г ^
W X ik
V У
M = k • Mod dv
(10)
В этих уравнениях все переменные относительные, полученные как результат деления реальных значений на базовые, все коэффициенты также безразмерные, полученные аналогично. Переменные и параметры в относительных единицах:
г U г І г W
U =-----, i = —, W =-----------относительные электромагнитные переменные состояния;
L
б
О
а = —^, V =------------относительная частота статора и относительная скорость ротора соответст-
О
венно;
м
M
относительный момент на валу машины;
г г ~ЯЯ у — Г — г _ °б^т Т _ Об
б яб ’ К Яб ’ б К , Я Кб , т Кб , " М
- параметры
двигателя в относительных единицах.
І
В уравнениях (10) время принято безразмерным т = — = дЛ, то есть единицей измерения време-
I я
ни является не секунда, а Іб
(Обі
Следует заметить, что введение относительных величин существенно
сокращает время моделирования и позволяет устранить многие проблемы при моделировании.
Для динамических систем необходимо учитывать переходные электромагнитные процессы в машине. В этом случае в качестве пары переменных, описывающих машину, оставим пространственные векторы тока
статора и потокосцеплении ротора ), тогда уравнения (10) после преобразования примут вид:
* * ' 0^I о * . *
щ=г-1б + х —3 + ] -ак ■ х-1бЯ + ] ■ кя ■ рп-У-^Я, ат 1К
0 = -кя ■ Гя ■ і5 + -1 Я + Я + +] ■ {ак -РпуУяг,
1Й ат
ц = к ■ Моа ( ц х Яй),
ёи ёт
(11)
Х
2 Л
Х
ХХ
, кК=—т, 1=— - безразмерные коэффициенты. х0 г0
где г = (гб + к>б ), Хб '= .
V хя У хя г
В неподвижной комплексной системе координат (о =0, ак = 0) вещественная ось обозначается через а, а мнимая через р. Пространственные векторы в этом случае раскладываются по осям
иб иба + ]ибр, 1б 1ба+ ] - 1бр, иЯ ЯЯа + ] ' ЯЯр, К 1Яа + ] ' 1Яр '
Система уравнений (11) в операторной форме примет вид:
иба =Г - (1 + Тб - Р) - *ба - кя - Яга - кЯ - Рп - У - Яі?р ,
ТЯ
ибр = Г ■ (1 + 1 ' р) ■ г'бр - ~^Т -Ягр - кЯ ' ри ' У ■ яЯа ,
1 О
1
0 = -кЯ ■ ГК ■ Із а + ■ (1 + ТЯ ■ Р) ■ Яяа + Ри ‘ У ■ Янр ,
ТЯ
0 = -кЯ ■ ГК ■ Ізр + ^ ■ (1 + ТЯ ■ Р) ■ Яяр + Рп • У ■
ТЯ
№ = кг ■ (яЯа ■ г'бр - Я- ' -),
Р ■» = №-№с,
1
<
Т % где Т8 = —. г
Для моделирования выберем асинхронный двигатель со следующими паспортными данными и параметрами:
р =14 кВт, и1и = 220 В, /1н =27,5 А, /1и =50 Гц, рл =1, Я, =0,219 Ом, Дг =0,211 Ом,
Ь = Ь =0,094 Гн, Ь = 0,092 Гн, 3 = 0,09 кг • м2.
Значения безразмерных коэффициентов в уравнениях (12), рассчитанные по выражениям, приведенным
выше, помещены в таблицу.
r Ts Kr Tr rR J„
0,052732 2,950816 0,978723 139,8863 0,026421 153,2941
Модель АКЗ, построенная по уравнениям (12), представлена на рисунке 1.
На вход модели в момент времени т = 0 подаются напряжения USa = COST, Щр = sinT (ttk = 1), тем самым реализуя прямой пуск.
Рис. 1. Модель асинхронного короткозамкнутого двигателя
Рис. 2. Результаты моделирования асинхронного короткозамкнутого двигателя в пакете Simulink
Осциллоскопы измеряют относительные значения электромагнитного момента и скорости. Результаты моделирования представлены на рисунке 2. Они показывают, что при прямом пуске вначале наблюдаются значительные колебания момента. Такие же колебания наблюдаются в токе и скорости. Кроме того, они показывают, что при приложении момента нагрузки наблюдается уменьшение скорости.
Сравним полученную нами модель со стандартным блоком пакета Simulink Asynchronous Machine (рис. 3). Осциллограммы переходных процессов при пуске и набросе нагрузки, полученные на модели рисунка 3, представлены на рисунке 4.
Рис.3. Модель со стандартным блоком пакета Simulink
Рис. 4. Результаты моделирования
По полученным данным делаем вывод, что созданная нами модель и стандартный блок Asynchronous Machine в пакете SimuIink полностью дают идентичные переходные процессы.
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
Мохпеп{
1 Оо 0.6 |5рее<1^В 0.4 0.2
-1.5 -1 -0.5 О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 \foment
Рис. 5. Статические и динамические механические характеристики асинхронного двигателя
Как следует из осциллограмм, при пуске электромагнитный момент представляет пульсирующий характер, причём броски значительно превышают критический момент Мк. Таким образом, с целью увеличения надёжности при проектировании электроприводов переменного тока, даже если не требуется регулирование скорости, необходимо учитывать, что электромагнитные моменты в пуско-тормозных режимах не только превышают критические значения, но и имеют пульсирующий характер, что может привести к выходу из строя двигателя.
Литература
1. Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем. - СПб.: КОРОНА-принт, 2001. - 320 с.
2. Важнов А.И. Переходные процессы в машинах переменного тока. - Л.: Энергия, 1980.
