CC BY
65
УДК 621. 313
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С КОРОТКОЗАМКНУТЫМ РОТОРОМ В СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМАХ РАБОТЫ В.И. Косматое, В.О Танич, У. В. Карпова
ФГБОУВПО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова», Россия, г. Магнитогорск
Аннотация
Для исследования стационарных режимов энергосберегающего асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором разработана упрощенная Т-образная схема замещения. Произведены расчеты токов статора, намагничивающего контура и ротора.
Ключевые слова: энергосберегающий, двигатель, схема, замещения, токи.
SIMULATION OF ELECTROMAGNETIC PROCESSES OF ENERGY SAVING CAGE ROTOR ASYNCHRONOUS DRIVE IN STEADY MODES
V.I. Kosmatov, V. О Tanich, U.V. Karpova
Nosov Magnitogorsk State Technical University Russia, Magnitogorsk
Abstract
The simplified squirrel cage scheme of replacement is developed for stationary modes energy saving asynchronous motor. The calculations of stator currents magnetizing of circuit and rotor are made. Key words: energy saving, motor, scheme, replacement, currents.
Актуальность работы
Предлагаемая методика математического описания электромагнитных процессов в энергосберегающем асинхронном двигателе позволит производить инженерные расчеты по определению загрузки двигателей в стационарных режимах работы.
Для энергосберегающего асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором и индивидуальной компенсацией (ЭАД) справедли-
во математическое описание электромагнитных процессов в стационарном режиме работы [1]
и = (к + X) 11+}Хт 12+]Хт1ъ, О = ]Хт11 + (К- + ]Х 2) /2 + ]Хт!ъ,
О = jXт /' + jXт Д + (Кз + >Хз - X ) /'3
1т = /1 + / 2 + /з
(1)
Системе уравнений (1) соответствует Т-образная схема замещения ЭАД, представленная на рис. 1.
Для системы уравнений (1) запишем матрицу 3 порядка К + Х ]Хт УХ.
ип иХ1 ихъ
А = а., = ]Х — + Х ]Х
<•' т ^^ <•' 2 <•' I
Х Х Кз + j (Хз - Хс )
(2)
Рис. 7. Т-образная схема замещения ЭАДс компенсационной
обмоткой
Определитель (детерминант) 3 порядка, соответствующий матрице (2), вычисляется по формуле
Д = а„ а22 а23 а21 а23 а21 а22
" а12 + а13
а32 азз аз1 азз аз1 а32
Тогда имеем
Д = (Л, + ]Х,)
Л- + уХ 2 | Лз + у (X3 - Хс)
- у2X2 !>-
^ /и
-X {]Хт [Лз + у (Хз - Хс)] - у2X2} +
+]Хт уХпуХп - уХп Г Л- + уХ 2
После перемножения сомножителей и группировки слагаемых в формуле (3) на вещественную и мнимую части полученного определителя имеем
Л = Л- [Л,Лз - Х,(Хз - Хс)+Х2 ]+Л, [Х2т - Х2 (Хз - Хс)]+
+Лз (X2 - X, Х 2) + у { Л- [ Л (Х з - Хс) + Лз Х, ] + (4)
+ X2 [Х, + Х 2 + (Хз - Хс)]-2Х,з + Л, Лз Х 2 - Х ,Х 2 (Х з - Хс )}.
При Д = det А Ф 0 решение системы уравнений (!) единственно и находится по формулам Крамера: х = А. / А, г = ¡,2,з. В них определитель А называется определителем неизвестного и получается из определителя А заменой г - го столбца столбцом свободных членов:
V
и }Хт 0 + ^Х 2
0 ]Хт
}Хт ]Хт
Лз + ] (Хз - Хс )
-и, ^ + }Х2 ][дз + }(Х з - Хс)]- у 2 Х2т
Или
Л
4 = и,Лз + Х1 - Х 2 (Хз - Хс) + у
Л, + уХ, и, уХт
УХт 0 ]Хт
УХт 0 Лз + У (Хз - Хс)
Лз Х2 + у"(Хз - Хс)
(5)
= (Л, + уХ,) • 0 - С, {уХт [Лз + у(Хз - Хс)]-у2 хП }-уХт • 0. Или
А 2 = { [ Хт (X 3 - Хс) - XI - « Хт ];
Я + Х ]Хт {А
]Хт «2- + Х 2 5 2 0
)Хт ]Хт 0
= 0 - 0 + и1
Или
Дз = и1
Хт (Х2 " Хт ) " Хт
7Хт -}Хт I ^ + ]Х2
(7)
Обозначим в формулах (4-7) коэффициенты при вещественных и мнимых частях буквами:
А|
Я
а = [Я1Я3 - Х,(Хз - Хс) + Х,2 ] + Я, [Х* - Х2(Хз - Хс)]+ Яз [Х* - Х1Х1 ];
а2 = у [Я,(Хз - Хс) + Я3Х1 ] + Х2 [Х1 + Х2 + Хз -Хс ]-2Х3 -Х,Х2(Хз -Хс); Я
а3 = Я3 + Х2 ~ Х2(Х3 " ХС ); Я
а4 = Я3Х2 +~52(Х3 " ХС );
«5 = Хт (Х з - Хс) - Х*; «6 = "Я Хт ;
«7 = Хт (Х2 - Хт ).
а =- 4 Х.;
Искомые значения токов 11,12,1з и 1т определяются по следующим формулам:
Л = и 1 а1аз + а2 а4 + 7 а^ - а2 аз
д 2 2 а1 + а2 а? + а2
Д 2 = А 1 а1а5 + а2 а6 а1 аб - а2 а5
д 2 2 а1 + а2 1 У а.2 + а2
Аз = и 1 а1а7 + а2 а8 + 7 а1а8 - а2 а7
д 2 2 а1 + а2 а2 + а2
1т = 11 + 12 + I з.
(8)
(9)
(10) (11)
Для уменьшения числа уравнений системы (1) предлагается пре-
образованная Т-образная схема замещения энергосберегающего асинхронного двигателя, в которой компенсационная обмотка объединена с намагничивающей ветвью. В этом случае эквивалентные параметры намагничивающей ветви определяются:
[Я + ДХзет -Хс)] /Хп ¿3 + Яз + У(Хзст- Хс ) + /Хп
7 7
7' = 7з7т
(12)
После преобразований (12) и разделения полученного выражения на вещественную и мнимую части, получим:
7' =_Мт_+ /
т Я32 + (Х3 - Хс )2 Х
Хт [Яз2 + (Хз,- Хс )(Хз - Хс ) ]
Я2 + (Хз - Хс)2
(13)
где Хз = Хт ' * .за-
Преобразованная схема замещения представлена на рис. 2
Я; _
• * ^
/1 . , X . I
и 1
Рис. 2. Преобразованная Т - образная схема замещения ЭАД В преобразованной схеме параметры Ят, Хт определяются как: Я • Х2
Ят = —2-з—т-2 - активное сопротивление намагничивающей
Яз + (Хз " Хс) ветви;
, Хт • [Я' + (Хз, - Хс ) • (Хз - Хс )]
Хт =-2-2- - реактивное сопротивление
Яз + (Хз " Хс) намагничивающей ветви.
Приравнивая числитель реактивного сопротивления нулю, получим Яз2 + (Хз, - Хс) • (Хз - Хс) = 0 , и запишем квадратное уравнение Хс -Хс • (Хз, + Хз) + (Яз2 + Хз • ХЪа) = 0 , решение которого определяет величину сопротивления конденсатора компенсационной обмотки
X =
ЛС 1,2
X+ 1(Х3а + Xз)2
-(Я32 + X3 • Xз,),
(14)
при которой происходит ферродинамический резонанс в намагничивающем контуре (в формуле 14 необходимо принимать знак «+»).
Для схемы замещения (рис. 2) справедливы уравнения в комплексной форме
и 1 = [(Я + ю+у(х1ст -хя)]/1+Я -}Хт)12; я
о = (К -)Хп)11+
+ Я 1 + У (Х2 - X )
^ п | ^ V п'
(15)
1п = 11 + 12.
Для системы уравнений (15) запишем матрицу второго порядка
(Я1 + Яп) + у(х1а~ Xп) Яп - Ап
Яп ~ ^п
А =
(у + Яп) + j(X2СТ" Xn)
и определители
д = [ (я + Яп) + j (х1а- Xn) ] я
(у-+Яп)+У (X 2СТ- Xn)
Ах = их
+Яп)+у( X 2СТ- Xn)
д2 =-и
и (Яп -Ухт).
Здесь вещественные и мнимые части определителей
Ъ = ( ях + Яп)(я2+Яп
(16)
(17)
(18)
Я2 + Яп |"( XXa~ Xn )[X2a ~ Xn
"п )(х2ст " Xп );
+ Яп ^х^- Xn) + (Я, + Яп )(х 2ст- Xn);
Ъз = Я2+Яп;
Ъ4 = х2а ~ хп; Ъ5 =~Яп ;
— х т.
Комплексные уравнения для токов представлены в виде:
• • \Ъъ+Ъ2ЪА • ЪфА - Ъ2Ъъ
11 = ^'ь^; (19)
А Ъ1Ъ5 + Ъ2Ъ6 ^ и Ъ1Ъ6 - Ъ2Ъ5 . (20)
Ъ12 + Ъ22 Ъ2 + Ъ22
/т = /1+1 2. (21)
Для энергосберегающего асинхронного двигателя с короткоза-мкнутым ротором со следующими параметрами
К = 0,055 Ож; X, = 0,10м; X = 20,57 Ом; К2 = 0,065 Ож; Х2а = 0,16 Ом; Х1 = 20,67 Ом; Я3 = 0,042 Ом; Х3а = 0,08 Ом ; Х2 = 20,73 Ом;
Х3 = 20,65 Ом
и двух значений Хс = 10 Ом и Хс = 20 Ом рассчитаны параметры преобразованной схемы замещения Ят,Хт и токов 11,12,1т . Данные расчетов приводятся в табл. 1, в ней же указаны значения токов, рассчитанных для исходной схемы замещения [1].
Критическое скольжение ЭАД определяется из следующих соображений:
"Я ЭАД "К ЭАД
V V
ТАД "К ТАД
*НТАД = ^ = 1500-1450 = 0,0333; язад п0 1500
К2 0,065
V =_2_=_!_= 0 9939-
К ТАД I I 5
у] К + (X 1(Т + X 2(Т )2 ^/0,04382 + (0,1309 + 0,157 )2
^ ЭАД = I 2 =Т = I , =0,1887;
№ + (Х^ + X 2, + Х^) -^0,0552 + (0,1 + 0,16 + 0,
Н эад 0,2232
0,1887 • 0,0333 = 0,0281.
Таблица 1
Резулътатырасчетовтоков 11,12,1з, 1т компенсированного двигателя ЭАД для двух схем замещения
Схе ма Rrn/ /X' / m Xc, Ом I1, A 12, А I з, А Im , А cos^1 К
Рис. 1 - 10 91,22 +j1,1 6 -90,65 + 110,06 -1,02 - j 21,7 -0,45 + 110,06 0,9999 <0
20 90,28 + j9,4 -90,25 + 19,74 -0,45 110,75 -0,414 + 110,48 0,9946 >0
Рис. 2 0,1517 -19,16 10 90,97 + j1,92 -90,45 + j 10,01 0,52 + 111,2 0,9999 <0
41,887 -627,69 20 90,38 19,42 -90.34 + 19,76 - 0,04 + 10,339 0,9946 >0
Выводы
Сходимость расчетов по схемам рис. 1 и 2 высокая, что доказывает тождество исходной и преобразованной схем замещения энергосберегающего асинхронного двигателя при описании электромагнитных процессов в энергосберегающем асинхронном двигателе.
Список литературы
1. Косматов В.И., Мугалимов Р.Г., Танич В.О., Провоторов Е.А. «Математическое описание электромагнитных процессов в стационарных режимах работы асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором. Электротехнические системы и комплексы: Междунар. сб. научных трудов под ред. A.C. Сарварова, М.В. Вечеркина. Магнитогорск: изд-во Магнитогорского Государственного Технического Уни-верситета им. Г.И. Носова, 2012 г - 484 стр.
