Математическое моделирование задачи о равновесии мягкой биологической оболочки. I. обобщенная постановка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

УДК 517.957

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ МЯГКОЙ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ. I. ОБОБЩЕННАЯ ПОСТАНОВКА

Г.Р. Абдюшева, И.Б. Бадриев, В.В. Бапдеров, O.A. Задворпов, P.P. Тагиров

Аннотация

Работа посвящена построению математической модели задачи о равновесии мягкой биологической оболочки (топкой кишки). Эта биологическая оболочка моделируется мягкой сетчатой оболочкой, образованной двумя семействами взаимно пересекающихся армирующих питей в продольном и радиальном направлениях. Приведена обобщенная постановка задачи в виде вариационного неравенства с псевдомопотоппым оператором. Исследована его разрешимость.

Ключевые слова: мягкая биологическая оболочка, математическая модель, вариационное неравенство, итерационный метод.

Введение

Рассматривается задача об определении положения равновесия мягкой биологической оболочки. В качестве такой оболочки выбирается тонкая кишка. Тонкая кишка человека и животных представляет собой длинную цилиндрическую трубку (см.. например. [1]). В брюшной полости она достаточно хорошо иммобилизована близлежащими органами. Проксимальный конец ее неподвижно прикреплен к желудку. дистальный к слепой кишке. Внутрииолостное давление в состоянии покоя равно 10 20 мм вод. ст. и соответствует базальному.

Стенка кишки является полиморфным гетерогенным биокомпозитом, заключенным в податливую матрицу глнкопротендов [2]. Опорную строму нервно-мышечного комплекса и железистых компонент ткани формируют гофрированные в плоскости коллагеновые, эластические и аргирофильные волокна. Дискретно расположенные соединительно-тканные фибриллы определенным образом скреплены в местах пересечения «анастомотнческнмн связями», что создает архитектонику аналогично крупно- и мелко-петлистой сети ортогонального плетения. Многообразие форм двигательной активности обусловлено работой наружного продольного (т. кящШкйпаИБ) и внутреннего циркулярного мышечных (т. агсиЬшБ) слоев. При этом расположение сократительных волокон в т. кящШкйпаИБ истинно осевое, а в т. агсиЬшБ строго круговое.

Многокомпонентность, конструктивная анизотропия и отсутствие слоистой двумерной структуры являются одной из причин сложности механического моделирования объекта, записи для него определяющей системы уравнений состояния и равновесия. Однако такие специфические особенности, как тонкостенность, большая деформативиость, слабая сопротивляемость изгибу и практическая неспособность воспринимать сжимающие тангенциальные усилия, делают возможным использование модели мягкой безмоментной оболочки [3]. Более того, основываясь на данных о строении, целесообразно моделировать тонкую кишку в рамках

особого класса сетчатых оболочек, образованных двумя семействами взаимно пересекающихся армирующих нитей [4], в данном случае составленных из мышечных волокон, заключенных в футляр соединительнотканных фибрилл.

Считается, что оболочка является осесимметричной. Предполагается, что функция. определяющая в продольных нитях зависимость модуля силы натяжения от степени удлинения (то есть функция, задающая физическое соотношение), имеет степенной рост. Ограничений на рост функции, определяющей в циркулярных нитях зависимость модуля силы натяжения от степени удлинения, не накладывается. Приведена обобщенная постановка задачи в виде вариационного неравенства с псевдомонотонным [5] оператором. Необходимость привлечения аппарата вариационных неравенств вызвана тем, что при математическом описании задачи надо использовать ограничение на перемещения, естественно возникающее при рассмотрении осесимметричной оболочки, означающее отсутствие ее самопересечения. Исследована разрешимость вариационного неравенства. С этой целыо установлены свойства операторов, входящих в вариационное неравенство: псевдомонотонность и коэрцитивность. Это дало возможность для исследования его разрешимости использовать известные результаты теории монотонных операторов.

Анатомическую поверхность кишки отождествим с гладкой срединной поверхностью, определяющей ее положение в пространстве. Рассмотрим мягкую сетчатую биологическую оболочку, представляющую из себя в недеформированиом состоянии цилиндр заданного радиуса го длины I (см. рис. 1).

Предполагается, что вектора плотностей поверхностных и массовых сил лежат в радиальной (проходящей через ось симметрии) плоскости, и перемещение точек оболочки происходит также в радиальной плоскости. Рассматриваемая нами биологическая оболочка является мягкой цилиндрической ортотропной осесимметричной оболочкой, образованной двумя семействами гладкомышечных волокон ортогонального типа плетения и представляющей из себя в недеформированиом состоянии круговой цилиндр радиуса г0 и длины I. Рассматриваемый сегмент оболочки остается симметричным относительно горизонтальной оси и в деформированных конфигурациях. В исходном расправленном состоянии оболочка удерживается внутренним избыточным давлением интенсивности д. Поверхностная нагрузка предполагается следящей, то есть направлена по нормали к поверхности оболочки. Торцы оболочки полагаем жестко закрепленными по контуру.

Для описания положения равновесия биологической оболочки используется криволинейная ортогональная лагранжева система координат (а1, а2), ориентированная в соответствии с расположением циркулярных и продольных нитей несущего каркаса биологической ткани и отнесенная к линиям кривизны оболочки

1. Постановка задачи

Рис. 1. Недеформироваппая оболочка

в ее недеформированном положении, 0 < а1 < 2п, 0 < а2 < I. Положение произвольной точки па поверхности оболочки зададим радиус-вектором т = r (а1, а2), где кривые а1 = const и а2 = const образуют систему параметрических линий. Предполагается, что на поверхности линии не касаются друг друга. Геометрия оболочки определяется фундаментальным метрическим тензором поверхности, кова-риантные компоненты g®j которого вычисляются по формулам g®j = (r®, rj), векторы r® = дт/да® = л/gjjё® — касательные к линиям а® = const, образующие ковариантный локальный базис, ё® - единичные вектора, касательные к линиям а® = const, i = 1, 2, ёэ = ei х ё2. Величину g = 911922 — g22 называют дискриминантом метрического тензора. Поскольку рассматриваемая оболочка ортотропна и подвергается только осесимметричному деформированию, ее профиль полностью определяет геометрию поверхности и в параметрическом виде задается уравнениями

xi = s + у(а1,а2), Х2 = то + w(a1 ,а2), (1)

где (y, w) - вектор перемещений, a равенства x1 = s, x2 = т0 определяют неде-формироваиное состояние оболочки.

Итак, рассмотрим мягкую оболочку, находящуюся в равновесии под действием некоторой заданной системы распределенных нагрузок. Под действием указанных

нагрузок в оболочке возникают мембранные усилия. Отнеся поверхность оболочки

а1 а2

лим па пей бесконечно малый элемент двумя парами сечений а1, а1 + dа1 и а2 , а2 + dа2 (см. рис. 2). Площади недеформированного и деформированного элементов вычисляются с помощью дискриминанта метрического тензора следующим

образом: \fg dа1dа2 и ^gda1da2. (Здесь и далее верхним ноликом помечены величины, относящиеся к раскройной (недеформированной) форме.) Тогда поверхностные н массовые силы, действующие на выделенный элемент, будут равны соответственно Q = q^g da1 da2 и F = da1da2, где Д - вектор, характеризующий плотность массовых сил; y0 - плотность недеформированного материала оболочки, то есть масса единицы площади недеформированной оболочки.

Наряду с указанными активными силами на гранях выделенного элемента дей-

а1 = const а2 = const

R1 = — (T11 ё1 + Tf2 ё2) л/д22 da2 и R2 = — (T^1 ё1 + T?2 ё2) л/9н da1,

где Tjj — физические компоненты тензора полных мембранных усилий в деформированном состоянии, который является симметричным.

На противоположных гранях векторы действующих внутренних сил равны

— (R' + д^ d*1) - — (R2 + g da2).

Равенство нулю главного вектора приводит к следующему уравнению равновесия элемента оболочки _ _

dRl a dR2 da2 + Q + F = 0. (2)

■ da —

da1 da2

Уравнение (2) в развернутом виде примет вид

д

да

(Tfi ei + TI2 e2)VgT2

д да2

(T2i ei + T22 e2)Vgñ + q^/g + Yo и

0.

Известно, что в любой точке недеформированной поверхности можно указать два взаимно ортогональных направления, называемых главными, которые и после деформации остаются ортогональными. В случае, когда координатные линии на поверхности совпадают с главными направлениями Т^2 = Тц = 0, 912 = 021 = 0,

Т^ ■ Тогда уравнение (3) запишется как

обозначим ТЦ

грД грД Т1 > Т 22

дат (Т? /022 ei) + За2 (Т2 V911 е^ + q /011 022 + Yo = 0, (4)

Кроме того, у 0 = 1, так как 011 = Следуя [6, с. 56], обозначим через А,

ri

, i -

= 1, 022 =

r2

= 1, а значит, 0= 1.

1, 2, степени удлинений вдоль волокон

сетки, они вычисляются по формулам Х^ = = у дц/ 9ц = у/дЩ.

Биологическая оболочка испытывает осесимметричные деформации. Так как рассматриваемая оболочка ортотропна и подвергается только осеспмметрпчному деформированию, ее профиль полностью определяет геометрию поверхности. Деформацию оболочки будем рассматривать относительно эйлеровой системы координат, в качестве которой удобно использовать цилиндрическую систему координат (р, в, х), связанную с параметрами профиля следующими соотношениями: р = Х2(а1, а2), в = в(а1, а2), х = х^а1, а2). Связь этой системы координат с введенной ранее лагранжевой системой задается очевидными соотношениями о1 = в, а2 = тов. Уравнение равновесия (4) с учетом введенных обозначений можно переписать в виде

д (грд [922 дг Os Г1

+ q л/011 022 + Yo W0 = 0. (5)

Перепишем векторное уравнение (5) в виде системы скалярных уравнений. Для этого установим взаимосвязь между цилиндрической и декартовой системами координат. Пусть орты Щ, х и ii, i2, Í3 образуют правую тройку цилиндрической и декартовой систем координат соответственно, так что

£ = ii cos в + i2 sin в, Щ = —i1 sin в + i2 cos в, X = i3.

Заметим при этом, что

д£ = дп = 0 д£

Os Os ' дв

Поэтому

дц П дв

—ц, r = ii рcos в + i2 рsin в + i2z = р£ + zx.

дг дх2 — дх1 _ Ow — O(s + у) _ Ow — f ду \_ дг

п п £ + п х п £ + п х п £ + (1 + п )х, in

Os Os Os Os Os Os \ Os / дв

РП = X2 Tj.

Выводом формулы для вычисления компонент метрического тензора поверх-

а1 = const а2 = const

Имеем _ _ _ _

дт дт дт 1 дт

1 да1 ds' 2 да2 r0 дО'

а значит.

911 = I'2I=( +0 + £)'• 922 = ^=( t0)' = (нГ"

С учетом этих выражений степени удлинений поверхности в направлении па-а1 = const а2 = const

'dW) 2 +Cl + ^ 2' = ^. С)

dW у ds ¡ ' ro

Поэтому

dS

Э = Л" + ¿(Tf Л2 0+!))*=

д ímu Л2 dx2 \ — д( Л2 дх"

3* V21 А! е + 3* \Т1 Л! 3* ^ Х

Так как рассматриваются только осесимметричные деформации, компоненты тензора мембранных усилий и метрического тензора поверхности не зависят от угла в, а значит,

1 3 Гт 3г \ _ 1 грд Гяп 3п _ Т2Л!

тД Z±± _ = __ Тд Д11 „ ' = _ ^ 1 л т2 Зв\12у 922 д^ т2 922 Рдв то Л

Для нахождения проекции вектора нормального давления q на направления векторов цилиндрической системы координат, разложим его по локальному базису в1, в2, ёэ поверхностп: q = q1^1 + q2^2 + • Имеем

г1 1 дт 1 (дт — f ду \ -z

е1 = = -к- = + 1 + х = Л sin ф + X cos ф,

Vffii V9" дs V9" V дs/ /

_ то 1 дг____ - .

e2 = - — = — — — = п, еэ = e1 х e2 = —Л cos ф + х sin ф,

+(i + ^2 = 1 дs / у дs / Л" дs '

= Л"

Поскольку вектор q направлен по нормали к поверхности оболочки, а вектора ё" и ё2 лежат в касательной плоскости, то qi = q2 = 0. Таким образом,

__1 дх"_ 1 дх2

q = q3e3 = -q3Í cos у + q3x sin у = —q^ — — С + q3 T- X'

Л" дs Л" дs

где q3 — интенсивность нормальной нагрузки, действующей на единицу площади деформированной поверхности.

Л

i

Если теперь векторное уравнение (5) спроектировать на направления векторов £, Щ, х, то получим два скалярных уравнения для проекций па оси £ и х (проекции па ось п обеих частей уравнения (5) равны нулю):

_ ( тд — дх2

д_

дв

д_

дв

Х1 дв

_ ( Тя — дх2

Х1 дв

Я з х , дх2 , , , Т Х1 Х2^— = -Jl(s), Х1 дв

Яз Х1

дх1 "дв

т~ Х1 Х2 -т^---Т2Д Х1

1

то

-¡2(в)

где /1 и /2 — проекции па оси £ и х вектор а —^оИ- Эти уравнения могут быть

Т1 Т2

Т1 Т2 Т1 = Х2 Т1 Т2 = Х1 Т2

уравнение (5) принимает вид системы дифференциальных уравнений

д Т1 дх2 дх2

зв Х1 "зв) +Яз Х2 = —/1(в),

д (Т1 дх2\ дх1 1 , . 38 1x7 -дв — ЯзХ21дв — то Т2 = —/2(в).

Отсюда с учетом (1). (6) получаем уравнения равновесия в перемещениях

— (— 3у

дв у Х1 у дв

ш\ дш Яз ( 1 + — 1Г = /1(8),

то дв

д /Т1 дш\ дв Х1 дв

Яз [ 1 + (1 + — -1 Т2 = /2(8). то ) у дв 1 то

(7)

Уравнения (7) равновесия мягкой биологической оболочки получены в предположении, что инерционные силы отсутствуют. Это предположение для изучаемого класса задач о деформации биологических оболочек выглядит достаточно естественным, ибо, как правило, в моделируемых объектах, в частности в тонкой кишке, инерционные силы несоизмеримо малы по сравнению с остальными силами, действующими на оболочку. При указанном предположении система уравнений (7) для определения вектора перемещений у, ш деформированной оболочки приобретает следующий вид:

— (Т1Л + ду

дв УХ1 У дв

. ш\ дш „ . .

+ я 1 + - т = —/1(в) то) дв

0 <в <1,

д /Т1 дш\ ( ш дв УХ1 дв) Я I то

1 + 7т) — - Т2 = —/2(в), 0 <в<1.

дв) то

(8)

Я=Я3

Поскольку края оболочки закреплены, уравнения (8) дополняются граничными условиями

у(0) = ш(0) = 0, у(1) = ш(1) = 0. (9)

Кроме того, решение должно удовлетворять условию

ш(в) + то > 0, 0 < в < I,

(Ю)

означающему недопущение самопересечения оболочки.

2. Обобщенная постановка задачи

Вариационная постановка задачи (8). (9) имеет вид

I I

[ ТКА^м)) . . Г . .

—— (м , V ) ав + д м «2 + М2 ./ АЦм) )

I

I

-о

; м2 V[ + и 1 М2 «2

1

о? + -о у Т2(А2(и)) «2 ^ = у(/^) ав. (и)

о о о

Здесь V - произвольная бесконечно дифференцируемая, финитная на [0,1] функция, и(в) = (м1(в) + в,м2(в)), Ах(и) = |и'(в)|, А2(и) = 1 + М2(в)/-о, м = у, м = ад. Граничные условия (9) приобретут вид и(0) = (0, 0), и(1) = (0,0). Кроме того, решение должно удовлетворять условию м2(в) + г0 > 0, которое означает недопущение самопересечения оболочки.

Т1

Т2

Т»(£) =0, £ < 1, г = 1, 2 (оболочка те воспринимает сжимающих усилий), (12) Т®, г = 1, 2, — непрерывные, неубывающие, (13)

Т1 имеет та бесконечности степенной рост порядка р — 1 > 0, то есть существуют положительные к о, к 1, такие, что

ме — 1)р-1 < Т1(е) < к^-1 пРИ е > 1.

(14)

Введем в рассмотрение пространство V

◦ (1) ^р (0,1)

с нормой

2

'/\Р

1/р

а также множество К = {и € V : -о + М2 > 0}. Очевидно, что множество К вы-

Г ◦ (-1) п2

пукло и замкнуто. Сопряженным к V является пространство V* = (0,1)

Р* = Р/(Р — 1)-

Обозначим интегралы в левой части интегрального тождества (11) через Ф1и(«), Ф2и(«), Фз«^), где и, V - произвольные функции из V. Вве-

дем вектор и = (в, 0). Тогда и = и + и, ||и]| < ||и|| + 1. Имеем в силу (14)

|*1»

Т1(А1(м)) ,, А1(м)

Т1(А1(м)^ '

-——— (и + и , V ) ав

А1(и)

<

< |и' + и'|р-1 IV'| Ов < к1||и||р-1|М| < к1(|и| + 1)р-1И|. (15)

Далее,

|^2и (V) | = д

[и 1^2 + U2V^ Ов

< С1д (||и|| + 1) IV!, С1 > 0. (16)

о (1)

В силу вложения Wp (0, l) в C[0,l] имеем

l*3u(v)| = -

ro

1 2 ' ,

2 u2v1 + И 1М2«2

ds

<

< — max |u2(s)|

ro se[o,i] J

1

■ U2V1 + И 1V2

ds < C2q||u||(||u|| + 1)HvH, C2 > 0. (17)

о (1)

Из непрерывности T2 и вложения Wp (0,l) в C[0, l] следует, что

i

|^4«(v)| = — T2(\2(u))v2 ds < C3„||v||, C3„ > 0.

ro

(18)

Итак, функционалы Ф1и, Ф2и, ограничены на V, кроме того, они,

очевидно, являются линейными, следовательно, определены операторы А, В, П, Н : V ^ V* и элемент / £ V*, порождаемые формами

I I

/Т (А (и)) /*

-—--(и '/о') ¿в, (Ви,о) = Гм 1о2 + П2го'Л ¿в,

Аци) У

i i

(Du,v) = — T2(\2(u))v2 ds, (Hu,v) = — ro ro

2 u2v1 + и 1u2v2

ds,

(f,v) = (f,v) ds,

где (•, •) — отношение двойственности между V и V* .

Таким образом, под обобщенным решением осесимметричной задачи об определении положения равновесия мягкой оболочки вращения, закрепленной по краям, находящейся под воздействием массовых сил, постоянной следящей поверхностной нагрузки, будем понимать функцию и £ К, удовлетворяющую следующему вариационному неравенству:

((A + D)u, v - u) > (f - q (B + H)u, v - u) Vv e K.

(19)

3. Свойства операторов и существование решения

Установим некоторые свойства операторов, которые потребуются нам в дальнейшем при исследовании разрешимости задачи (19) и алгоритма ее решения.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (12)—(14). Тогда оператор A является непрерывным., монотонным, и ограниченным, и, следовательно, псевдомонотонным и коэрцитивным, причем.

(Au,u) > k0||u||p - c4\\u\\p-1 - c5 Vu e V. (20)

где C4 = [kop + ((p - 1)ko + ki)2p-1] l1/p, C5 = [((p - 1)ko + ki)2p-1] l + ko l.

Доказательство. Для произвольных и и V имеем

I

/Т (а (и))

-—— [(1 + и!) (и! — v1) + и2(и2 — v2)] Ов—

А1(и)

о

I

[(1+ ^(и! — v1)+ Ц(и 2 — V')] Ов =

Аl(v)

о

I

/ Т1АА(и1и)) [(1 + и1)((и1 + 1) — (v,l + 1)) + и 2(и 2 — V')] Ов —

0

I

/ ^ [(1 + Vl)((u1 + 1) — (V; + 1)) + V '(и2 — V')] Ов =

01

I

Т1(А1(и)) и Tl(Аl(v)) и/и/ ^

и---——— и , и — и Ов

А,(М) А1^)

о

I

Т1(|и'|) ' 2 Т1(|и '|) / и, Т1(|и'|) г, и + Т1(|и'|) ' 2 , , .

|~/| |и |--РТ"(и ,и )--РТ"(и ,и )+ |~'I |и | ^ >

0 |и | |и | |и | |и |

(Т1(|и'|) / 2 Т1(|и'|) / / Т1(| и'|) / / Т1(|и '|) / п

> / |~/| |и |--РЛ-|и | |и |--РТ~ |и | |и | + |~/I |и | =

0 V |и | |и'| |и | |и

1 ■ Т1(|и Т1(|и'

|и'| 1 1 |и'|

[|и'| — |и'|] Ов > 0

в силу монотонного возрастания Т,, то есть оператор А является монотонным. Ограниченность оператора А непосредственно следует из (15). Далее, обозначим = {в € (0,1) : А,(м) > 1}, П- = (0,1) \ П+. Поскольку Т1(А1(м)) = 0 на П-(0,1), то с учетом (14) и неравенства ха > уа + а у а-1(х — у), справедливого для всех х > 0, у > 0, а> 1, имеем

/Т (а (и)) /*

—-—^— [(1 + и !)м ! + (м2)21 Ов = Т((А1(м)) А,(м) Ов — А,(М) )

о

+ 0+ 1

т1(а((м))

л . . (1 + и!) Ов > к0 / (А,(м) — 1)р-1А((и) Ов — Т1(А1(и)) Ов > 1 А, (и)

> ко ^ (А, (и) — 1)р Ов — к, J Ар-1 (и) Ов > ко ^ А, (и) Ов—

I

— ((р — 1)ко + к^У А( !(и) Ов > ко У А((и) Ов — ко J Ар(и) Ов—

о-

1+ о о

1 "1

i

— ((p — 1)ко + ki) j Ap 1(u) ds > к о j Ap(u) ds — j ds —

0 0 Q-

l l l

— ((p — 1)ко + к1^У Ap 1(u) ds > ко j Ap(u) ds — kol — ((p — 1)ko + ki) J Ap 1(u) ds,

0 0 0

ибо A1(u) < 1 на О-.

Для любых векторов x, y, любого а > 1 имеет место неравенство

|х|а — Ыа > а Ы a-2(y,x — y), применяя которое для векторов x = u' + м ', y = u', получим, что

Ap(u) = lu' + и 'lp > lu'lp — p|u'|p-2(u',u') >

> |u'|p - p|u'|'p-2|u'| |u '| = lu'lp - p|u'|p-1

Далее -1

Ap-1(u) = lu' + u '|p-1 < (|u'| + \u '|)p-1 = (|u'| + 1)p-1 < 2p-1 (|u'|p-1 + 1) .

Таким образом,

i i (Au, u) > ко J ^'f ds - [k0p + ((p - 1)k0 + k1)2p-1^ J |u'|p-1 ds - k0l-

0

- [((p - 1)k0 + ki)2p-1] l > k0\\u\\p - [k0p + ((p - 1)k0 + ki)2p-1] l1/p ||u^p— 1 —

— [((p - 1)k0 + ki)2p-1] l - k0l = k0\u\p - C4\u\p-1 - cs,

то есть неравенство (20) выполнено.

Определим теперь на Y = [Lp(0, l)]2 оператор h по формуле

h(g) = i е = (ei + 1,6), е = (&,&) е y. №

h

например, [7, с. 213]). В силу (14)

i i

JкеЖ ds < kf J|e|pds < kp* [1 + \\e\\Y]p <

00

то есть h действует из [Lp(0, l)]2 в [Lp* (0, l)]2 = Y*. Для любых u, w из V имеем

i

(Au, w)

Ti(Ai(u)) u' M

-——— u , w I ds

Ai(u)

<

< ' I [ Ti(Ai(u))„' -——— u p* ds

J 0 Ai(u)

1/p*

и\ = теш *\\w\\, е = w.

Поэтому для любых и, V из V

IIАм — Av||v* =впр |(Ам — А^}| < ||^(е) — Н(п)||у*, е = м', п = V'.

А

Немыцкого Н (см. [7, теорема 19.2, с. 213]). □

Лемма 2. Пусть выполнено условие (13). Тогда если м(п) ^ м в V при п то, то Вм(п) ^ Дм в V* при п ^ то.

Доказательство. Пусть м(п) ^ м в V щи п ^ + то. В силу компактного

(1)

вложения (0,1) в С[0,1] имеем, что м2п) ^ и2 в С[0,п ^ + то. Для любого т € V имеем

^Вм(п) — Вм,т^

1 [

-о ]

/ (п) I

ТЛ м2 + -о

-о

— Т2

и2 + -о -о

и>2 Ов

<

< -1 тех м*)| / Т2 (

-о о<я<г } \

П \

(п) I \ /I

м2 + -И _ Т ( и2 + -о

-о

-о

Ов <

11/р* < — м

-о

Т (м2п) + _ Т2 / м2 + -о

-о

-о

следовательно,

Вм(п)- Дм

к Вм(п)- Дм,

= ^-Г~п- < -

V* ||т|| -о

-о

-о

откуда вследствие непрерывности Т2 и сильной сходимости м2п) к и2 в С[0,1] при п ^ + той вытекает требуемое. □

Лемма 3. Пусть выполнены условия (12), (13). Тогда оператор В является монотонным и ограниченны,м и, следовательно, псевдолитотонньш,, кроме того

(Вм,м)> 0 V м € V. Доказательство. Для произвольных м и V из V имеем

(21)

м2 _ V2 ,

(V))! -Ов

(Вм — Dv,м — V) = 1 [Т2(А2(м)) — T2(А2(v))]

о

= / [Т2(А2(м)) — T2(А2(v))] м2 + -о ~ (V2 + -о)

-о

Ов =

Т , м2 + -и _Т2 ( V2 + -о ^ и2 + -о — (V2 + -о)

-о

-о

-о

откуда в силу неубывания Т2 получим монотонность В.

Ограниченность оператора Б непосредственно следует из (18). Далее, обозначим = (в € (0,1) : Х2(и) > 1}, О- = (0,1) \ П+. Поскольку Т1(Х2(п)) = 0 на О-(0,1), то

{Би,и) = -0 У Т2(Х2(п))и2 ¿в = ! Т2(Х2(п))(Х2(п) — 1) ¿в > 0,

ибо Х2(и) — 1 > 0 на , а Т2 всюду неотрицательна. □

Лемма 4. Оператор В - липшиц-непрерывный с постоянной с7 = 212/р*. Доказательство. Для произвольных и, V и т из V имеем

(Bu — Bv,w) = j [(u 1 — v 1) W2 + (u2 — V2)w1] ds i

J [(u1 — v1) W2 + (u2 — V2)w1] ds o

i i < rnax J |u1 — v1| ds + imx |u2(s) — v2(s^ J |w1| ds <

о о

i i i i

</K| dsJ|u1—^ ds +/ W2—v2 ds!K| ds <

0 о о 0

1 i

<f [|u1 — v1| + |u2 — v2|] ds f [|w2| + |w1|] ds < 2l2/p* ||u —

<

uvw

следовательно,

||Bu — Bv|| V. = sup KBu — Bv,w) < 2f/P* ||u — v|| =

u — v|| = C7|u — v||.

w = 0

□

Лемма 5. Пусть u(n) ^ u, v(n) ^ v в V при n ^ + то, тогда

lim /Bu(n),v(n)\ = (Bu,v), (22)

n—> + ^ \ /

B

Доказательство. Пусть u(n) ^ u, v(n) ^ v в V при n ^ + то. Имеем

^Bu(n), v(n)^ — (Bu,v)

u1nM +1

v(n) + u2n) fv(n)

u 1 + 1

v2 — u2 v 1 ds

<

<

(u(1n^' + 1 v(n) + u2n) (v(n))' — (u(1n^' + 1 v2 — u2 (v(n)) ' } ds

+

+

,(п)

+1

V2 + м2 ( V,

,(п)

м ( + 1

</ (м^)' +1

(п) V2 — V2

,(п)

V2 — м2 V ( > Ов

,(п)

V2

<

(п) и2 — и2

(п)

и2 > Ов

В силу компактного вложения Шр()(0,1) в Ьр(0,1) имеем, что V2n) ^ V2, м2'

(п)

(п)

м2 в Ьр(0,1) при

то

{(<•>)' + 1}

п=1

(п)

ограничены в Ьр(0,1) в силу слабой сходимости последовательностей

(п) 1

^ Г ( ) + ^ ◦ (1)

м, ' )■ , < v2n^ в Ш р )(0,1). Отсюда вытекает сходимость при п ^ + то

п=1 I Jп=1

первых двух интегралов к нулю в правой части последнего неравенства.

Сходимость при п ^ + то к нулю третьего интегршга есть следствие слабой

° (1)/П П - Г (п)г +Г (п)г +

сходимости в Ш р (0, ¿) последовательностей < м( ' > , < V, ' > к м( и V,

I J п=1 I J п=1

соответственно.

В силу (22) из того, что м(п) ^ м в V щи п ^ то и Ишвир (Вм(п), м(п) — м) < 0,

п—^

следует неравенство ИшШ > (Вм, м — V) для всех V € V. Кроме

п—^ \ /

того, (16) означает ограниченность В.

Таким образом, В - псевдомонотонный оператор. □

Лемма 6. Пусть м(п) ^ м, v(n) ^ V в V при п ^ + то, тогда

Иш /Нм^^Л = (Ни, V),

п—^ \ /

кроме того, оператор Н является псевдомонотонным.

Доказательство. Пусть м(п) ^ и, v(n) ^ V в V при п ^ + то. Имеем

^Нм(п), v(n)) — (Ни, V)

(23)

1

-о

1 (и2п)№п)| +

и(п)) +1

(п) (п) 1 2

и2 ^2 — г u2v1 —

2

2 ^—

и, + 1

М2V2 Ов

<

2-о

(п) 2 2

м -и

(п)

+

2-о

(п)

V} - V,

м2 Ов

+

-о

и(п)) +1

(п) (п) и2 ^2 — U2V2

1

+ — -о

(п)

м( I — и,

U2V2 Ов

<

1

1

1

1

1

1

" 270 о<а<г |и2")(в) + и2(в)\ ^ |и2П) — и21^

о

г

тах Ь(п) (в)| / о<я<г 2 у

¿в +

2-о

I [(V (П))' — V ']и2 ¿в

+

-0 о<я<г г

(п) и2 — и2

(и(п))' + 1

¿в +

+--тах |и2(в)

-о о<я<г

(п) V2 — V2

,(п)

+ 1

¿в +--

,(п)

U2V2 ¿в

В силу компактного вложения Шр1 )(0,1) в Ьр(0,1) имеем, что V2n) ^ V2, и2

(п)

,(п)

и2 в Ьр(0,1) щи п ^ + то, кроме того, последовательности

и(п) +1

п=1

(п) '1

=1

ограничены в Ьр(0,1) в силу слабой сходимости последовательно-

{()*) + ТО Г ( ) + то о (1)

и^-Ч , < в Ш р (0,1). Отсюда вытекает сходим ость при п ^ +

J п=1 I J п=1

+ то первого, третьего и четвертого интегралов к нулю в правой части последнего неравенства.

Сходимость при п ^ + то к нулю второго и пятого интегралов теть следствие

й - (%П П - / (п)\+Г (п)1+

слабой сходимости в Ш р (0,1) последовательноетеи < и1 > , < v1 > к и1

^ ) п=1 ^ ^ п=1

и V;! соответствешо и того, что и2 € Ьр* (0,1), u2v2 € Ьр* (0,1). В силу (23) из того, что и(п) ^ и в V при п ^ + то и Итвир/Ни(п),и(п) — и\ < 0, следует

п—>+ то \ '

неравенство ИтШ > {Ни, и — V) для всех V € V. Кроме того,

п—>+ ТО \ /

НН

Лемма доказана. □

Перейдем к исследованию разрешимости задачи (19). Рассмотрим предварительно задачу поиска элемента и € К, являющегося решением вариационного неравенства

{Ти, V — и) + до {Яи, V — и) >{/, V — и) V V € К, (24)

где до - заданное число, К - непустое, замкнутое, выпуклое подмножество рефлексивного банахова пространства V, оператор Т : V ^ V* является псевдомонотонным н коэрцитивным, то есть

{Tv, V — Vо) > р (|М

V V € V, Ит р (£) = + то,

5—+ то

(25)

V о - фиксированный элемент из V, оператор Я : V ^ V* является псевдомонотонным, / € V* - заданный элемент.

Лемма 7. Для любого 3 > 0 существуют такие числа дЙ > 0, -о > 0 и элемент, v0 € Ко = (V € К : IV! < го|, что при выполнении условий

IV* < 3, |д| < дй

имеет место неравенство

{Т^а, V — vо ) + д V — vо ) > {/, V — vо ) V V € во,

(26)

(27)

где во = (V € К : IV! = -о}.

1

Доказательство. Пусть 6 > 0 - произвольное число, ||/||у* < 6 > 0. Поскольку множество К не пусто, то существует V* € К, при этом для -* > ||V*| множество Кг* также те пусто. Зафиксируем некоторый элемент vо € КГ0. Из ко-эрцитивностп оператора Т следует существование таких -о > -*, Мо > 0, что при ||V| > -о выполнено неравенство

(Т^ — vо) —(/,v — vо) > P(|v|)|v|—6|v—vо| > [р(|М|) — 6] М—6|Ы| > Мо. (28)

Поскольку Q - псевдомонотонный оператор, он ограничен, а значит, найдется такое д г > 0, что пр и || V | < - о и |д| <д г выполнено неравенство

— V о )| < |д| ||Qv| V * — V о || < Мо/2 . (29)

Из (28) н (29) получаем, что при выполнении условий (26) имеет место неравенство (27)

V — vо) + д V — vо) — (/, V — vо) > Мо — Мо/2 = Мо/2 > 0 V V € йф

Нам потребуется следующий результат (см. теоремы 8.1 и 8.2 [5, с. 258, 262]). К

сивного банахова пространства V, Р : V ^ V* - псевдомонотонный оператор, то при любом / € V* задача поиска такого элемента м € К, что

(Рм, V — и) > (/, V — и) V V € К, (30)

имеет решение при выполнении хотя бы одного из условий: О Р - коэрцитивный К

Имеет место следующая

Теорема 2. Пусть / € V*, выполнены условия (12)—(14). Тогда

1) если р > 3, то неравенство (19) имеет решение при любом до;

2) если р = 3, то неравенство (19) имеет решение при всех до, удовлетворяющих условию |до| < д( = ко/с2;

3) если 1 < р < 3, то для любого 6 > 0 найдется дг > 0, такое, что задача (19) имеет решение при условиях ||/* < 6, |до| < дг.

Доказательство. Обозначим Т = А + В, Q = В + Н.В силу неравенств (20), (21) имеем для vо = 0 € К:

(Тм, м) > ко||м||р — с4||м||р-1 — с5 Vм € V. (31)

Т

силу лемм 5 и 6 оператор Q является псевдомонотонным, кроме того, из (16), (17) вытекает, что для любых м, V € V

|^м, V) < С1 ( ||м|| + 1) И + С2||м|| (||м|| + 1) И = [С1 + С2 ||и|] [||и|| + 1] И.

При этом

(Тм + qоQм, м) > ко||м||р — С4|м|р-1 — |до|С2 ||м||3 — |до|(с, + С2) — |до|с, ||м|| — С5,

то есть оператор Р = Т + доQ является коэрцитивным в условиях пунктов 1) и 2) настоящей теоремы.

Из монотонности оператора Т и псевдомонотонности Q следует псевдомонотонность оператора P (см. замечание 2.2.12 [5, с. 201]).

Таким образом, существование решения задачи (19) в случаях 1) и 2) следует из условия i) теоремы 1.

Рассмотрим теперь случай, когда 1 <p < 3. Определим, так же как и в теореме 1, для r > 0 множество Kr = {u G K : ||u||y < r}, являющееся выпуклым, замкнутым н ограниченным. Из условия ii) теоремы 1 следует, что задача нахождения такой функции ur G Kr, что

((Т + qo Q)ur,v - Ur)>(f,v - Ur) Vv G Kr, (32)

имеет решение. По лемме 7 для константы S из утверждения 3) настоящей теоремы выберем такие величины qg > 0, r > 0 и элемеht vo G Mr , при которых выполнено неравенство (26). Тогда если ||ur|| = r, то выполнено неравенство

((Т + qo Q)ur,ur - vo ) > (f,Ur - vo ), v o G Kr,

| ur | < r

ur v G K

найдется достаточно малое e > 0, при котором ve = (1 - e)ur + ev G Kr. Используя в неравенстве (32) в качестве v функцию ve, получим

e ((Т + qoQ)ur, v - Ur) > e (f,v - Ur) Vv G K,

и следовательно,

((T + qoQ)uT., v - Ur) > (f, v - Ur) Vv G K. Теорема доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 11-01-00667, 12-01-00955, 12-01-97026, 12-01-31515).

Summary

G.R. Abdyusheva, I.В. Badriev, V.V. Bantlerov, O. A. Zadvornov, R.R. Tagirov. Mathematical Modeling of the Equilibrium Problem for a Soft. Biological Shell. I. Generalized Statement.

A mathematical model of the equilibrium problem for a soft, biological shell (small intestine) is constructed. The biological shell is modeled by a soft, network shell formed by two families of mutually intersecting reinforcing filaments in the longitudinal and radial directions. A generalized formulation of the problem as a variational inequality with pseudomonot.one operators is given. The solvability of the variational inequality is examined.

Key words: soft, biological shell, mathematical model, variational inequality, iterative method.

Литература

1. Мифтахов P.H. Числеппое моделирование моторики топкой кишки // Современные проблемы биомеханики. 1989. Вып. 5. С. 147 183.

2. Гистология / Под ред. В.Г. Алексеева, Ю.Н. Афанасьева, Н.А. Юрипой. М.: Медицина, 1983. 692 с.

3. Мифгтахоо Р.Н. Приложите теории мягких оболочек в задачах биомеханики полых органов // Биомеханика: проблемы и исследования. Рига: Зипатпе. 1988. С. 57 64.

4. Илъгамов М.А., Мифтахоо Р.Н. Моделирование ритмической сегментации топкой кишки // Медицинская биомеханика: Тр. Междупар. копф. Рига, 1986. С. 164 177.

5. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 588 с.

6. Риделъ В.В., Гулии Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990. 206 с.

7. Вайиберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. 344 с.

8. Гаевский X., Греаер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

Поступила в редакцию 12.08.12

Абдюшева Гузель Равилевна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: Guzel.AbdushevaQksu.ru

Вадриев Ильдар Вурханович доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: Ildar.BadrievQksu.ru

Ванд еров Виктор Викторович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры анализа даппых и исследования операций Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: Vietor.BanderovQksu.ru

Задворнов Олег Анатольевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: (Jleg.ZadvornovQksu.ru

Тагиров Равиль Рафгатович старший преподаватель кафедры системного анализа и информационных технологий Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: ДггегХ TagirovQksu.ru