Итерационные методы решения вариационных неравенств теории мягких оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 155, кн. 2

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2013

УДК 517.957

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ ТЕОРИИ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК

II. Б. Бадриев, В. В. Баидеров

Аннотация

В работе проведено исследование сходимости итерационных методов решения в банаховых пространствах вариационных неравенств с операторами монотонного типа, возникающих при описании процессов деформирования мягких сетчатых оболочек вращения. Установлены свойства этих операторов коэрцитивпость. потенциальность, ограниченная липшиц-пепрерывпость. псевдомопотошгость или обратная сильная монотонность. Для решения вариационных неравенств рассмотрен итерационный метод и исследована его сходимость доказана ограниченность итерационной последовательности и установлено. что любая ее слабо сходящаяся подпоследовательность имеет пределом решение исходного вариационного неравенства.

Ключевые слова: вариационное неравенство, псевдомопотоппый оператор, потенциальный оператор, итерационный метод, мягкая сетчатая оболочка.

Введение

Рассматривается задача решения вариационного неравенства с оператором монотонного типа в банаховом пространстве. К таким вариационным неравенствам сводится, например, осесимметричная задача об определении положения равновесия мягкой сетчатой оболочки вращения, закрепленной по краям, находящейся под воздействием массовых сил и постоянной следящей поверхностной нагрузки, представляющей из себя в недеформированном состоянии цилиндр заданного радиуса и длины. Ранее в [1] исследована разрешимость вариационного неравенства.

Считается, что сетчатая оболочка образована двумя семействами взаимно пересекающихся армирующих нитей в продольном и циркулярном направлениях. Предполагается, что функция, определяющая в продольных нитях зависимость модуля силы натяжения от степени удлинения, непрерывна, не убывает и имеет степенной рост. Ограничений на рост функции, определяющей в циркулярных нитях зависимость модуля силы натяжения от степени удлинения, не накладывается. Установлены свойства операторов, входящих в вариационное неравенство, псевдомонотонность и коэрцитивпость. Это дало возможность для исследования его разрешимости использовать известные результаты теории монотонных операто-

В настоящей работе при дополнительных предположениях относительно функций. характеризующих физические соотношения в нитях, установлено, что оператор в вариационном неравенстве является потенциальным и ограниченно Липшиц-непрерывным. а в случае гильбертова пространства, когда функции, задающие физические соотношения в нитях, имеют линейный рост, а поверхностная нагрузка отсутствует, установлено, что оператор является обратно сильно монотонным. Поэтому для решения рассматриваемого вариационного неравенства можно использовать предложенный ранее в [2] итерационный метод.

Каждый шаг итерационного процесса сводится к решению вариационного неравенства с оператором двойственности, обладающим лучшими свойствами по сравнению с исходным псевдомонотонным оператором. Данное вариационное неравенство имеет единственное решение.

Установлены пределы изменения итерационного параметра, обеспечивающие сходимость метода. Доказано, что в случае банахова пространства итерационная последовательность ограничена и все ее слабо предельные точки являются решениями исходного вариационного неравенства. В случае гильбертова пространства установлена слабая сходимость всей итерационной последовательности.

1. Постановка задачи

Пусть 1 > 0, г0 > 0, р > 1 - заданные чиела, V =

"о (1) ^р (0,1)

пространство

Соболева с нормой ||и||

Л р ¿8

1/р

(., .) _ отношение двойственности между

V и V *

■ о (-1)

Wр. (0,1)

р* = р/(р — 1), К = {и £ V : г0 + и2 > 0}. Очевидно, что

множество К выпукло и замкнуто.

Рассмотрим задачу нахождения функции и £ К, являющейся решением вариационного неравенства

((А + В)и, V — и) >(/ — д0(Б + Н)и, V — и) VV £ К,

(1)

где д0 - заданное число, операторы А, Б, В, Н : V ^ V* и элемент / £ V* порождаются формами

/Т (А (и)) /*

-—— (и', V') ¿в, (Би,го) = + U2V '] ¿в,

А 1(и) .]

I I

(Ви, V) = — Т2(А2(и)>2 ¿в, (Ни, V) = — г0 г0

12

^ и2'01 + U1U2V2

¿в,

(/» = у (/, ^ ¿в

0

(2)

где / - заданная функция такая, что для любого V £ V существует интеграл в (2).

К вариационному неравенству (1) сводится, например, осеспмметрпчная задача об определении положения равновесия мягкой сетчатой оболочки вращения, закрепленной по краям, находящейся под воздействием массовых сил, задаваемых функцией /, постоянной следящей поверхностной нагрузки интенсивности до и представляющей из себя в недеформированном состоянии цилиндр заданного радиуса г0 длины 1 [1].

Т1 Т2

ТД£)=0 ири С < 1, г =1, 2,

(3)

Тг, г = 1, 2, — непрерывные, неубывающие, (4)

МС — 1)р-1 < Т1(С) < к^-1 нри С > 1, к0 > 0, к1 > 0. (5)

0

0

В [1] исследована разрешимость вариационного неравенства (1). Доказана

Теорема 1. Пусть f G V*, выполнены условия (3)-(5). Тогда

1) если p > 3, то неравенство (1) имеет решение при любом q0;

2) если p = 3, то неравенство (1) имеет решение при всех q0, удовлетворяющих условию |q0| < q1 = fc0/c2, г<?е с2 = с n/211/p /r0, ci = 212/p .

3) если 1 < p < 3, то дм любого 5 > 0 найдется qg > 0, такое, что задача (1) имеет решение при условиях ||f ||V* < 5, |q0| < qg.

Доказательство теоремы 1 проводилось в [1] на основе общих результатов теории монотонных операторов (см.. например. [3]). Предварительно были установлены некоторые свойства операторов A, B, D, H, входящих в вариационное неравенство (1).

Лемма 1. Оператор B - липшиц-непрерывныи с постоянной c1. Если u(n) ^u, v(n) ^ v в V при n ^ +то, то lim (Bu(n), v(n)) = (Bu, v); кроме

n—\ /

B

Лемма 2. Пусть выполнены условия (3)-(5). Тогда оператор A является непрерывным., монотонным, и ограниченным, и, следовательно, псевдомонотонным и коэрцитивным., причем.

(Au,u)> k0|u|p - сз ||w|p-i - C4, Vu G V. (6)

где сз = [k0p + ((p - 1)k0 + ki)2p-i] 11/p, C4 = [((p - 1)k0 + fci)2p-1] / + Ы

Лемма 3. Пусть выполнены условия (3), (4). Тогда оператор D является монотонным и ограниченным. и, следовательно, псевдомонотонным,; кроме того, (Du, u) > 0 дм всex u G V; если u(n) ^ u в V при n ^ то, то Du(n) ^ Du в V* при n ^ то.

Лемма 4. Пусть u(n) ^ u,v(n) ^ v в V при n ^ +то, тогда lim (Hu(n), v(n)) = (Hu, v); кроме того, оператор H являет,ся псевдомоно-

n—\ /

тонным,.

2. Свойства операторов

В настоящем параграфе устанавливается дополнительно ряд свойств операторов, входящих в вариационное неравенство (1): потенциальность, лнпшнц-непре-рывность, ограниченная Липшиц-непрерывность, обратная сильная монотонность. Эти свойства используются для исследования сходимости предложенного в [2] двухслойного итерационного процесса решения вариационного неравенства с операторами монотонного типа в банаховых и гильбертовых пространствах.

A

с функциями фа и ^a j если

||Au - Av||V* < ма(д)фа (||u - v||V) Vu, v G V, (7)

где R = max{||u||V, ||v||V}, - неубывающая на [0, +то) функция, ФА - строго возрастающая на [0, +то) функция, такая, что ФА(0) = 0, ФА (£) ^ +то при £ ^ +то.

Оператор A называется обратно сильно монотонным1 (см. [7, с. 243]) с постоянной d, если

|| Au - Av| V* < d (Au - Av, u - v) Vu, v G V.

XB англоязычной литературе такой оператор называется также ко-коэрцнтнвным (см., например. [5. 6]).

Лемма 5. Пусть выполнены условия (3)-(5). Тогда оператор А потенциален, его потенциалом является функционал РА

1 г М«)

Н = У (А('«),«) А У Т\(£) ^¿в V е V,

0 0 0

и справедлива формула2

1

+ V) - ^А(и) = У (А(м + 4«),«) А Ум,« е V. (8)

Доказательство. Имеем

1 1 i

Fa(v) = J (A(tv), v) dt = J у ^Aff [t |v'|2 + v1 ] dsdt

А^)

о о

г 1

^ +ч ] ¿'¿в.

о о

Сделаем замену переменного е = А1 ('«). При этом е2 = '2 |«'|2 + + 1, следовательно, ^¿е = [' |«'|2 + «1] и

г А1(«) г А1(«)

зд) = у у Т1(е) ¿е^ = у у Т1(е) (9)

0100

так как Т1 (е) = ^и е < 1 •

Далее,

i 1

У (A(u + tv), v) dt = J У [(u''V,)+1 |v'|2 + v1,] dtds.

A1(u + tv)

о о

Пусть £ = A1(u + tv). При этом £2 = 2t(u', v') + t2 |v'|2 + 2tv1 + |u'|2 + u' + 1, следовательно, = [(u', v') +1 |v'|2 + v'J dt, и

1 l Ai(u+v)

У (A(u + tv), v) dt = у У T1(£) d£ds. (10)

0 0 Ai(u)

Из (9) и (10) вытекает соотношение (8).

Поскольку в силу леммы 2 оператор A непрерывен, то согласно замечанию 4.1 и лемме 4.1 [4, с. 111, 112] он является потенциальным, причем его потенциалом является функционал fa • Лемма доказана.

□

Лемма 6. Пусть p > 2, выполнены условия (3)-(5) и, кроме того,

< k2(1+ в + Y)p-2, k2 > 0 Vв, Y е R1, в, Y > 0. (11)

в - Y

2Так называемое условие квазипотенциальности [8].

А

ф(е) = е, ме) = сб (з/1/р + 2е)р—2, ^е С5 = шах{кь ^2>.

Доказательство. Следуя [9. 10]. нетрудно проверить, что при выполнении условия (11) для любых векторов е, П е Д2 справедливо неравенство

е-

■п

< С5

|е| * |п|

Тогда для любых и, V, т из V имеем

е - тп, е -п) (1 + |е| + |п|)р-2. (12)

|(Аи - Av, т)

г

К Г1(Л1(и)) и Т1 (Л1 (V)) и Л,

<

< с1/2

< с5

Т1(Л1(и)^; Т1 (Л1 (V))

Л1(и)

Лl(v)

¿в

1/р*

г

Г АГ1(Л1(и)) и Т1 (Л1 (V)) и У V Л1(и) и Лl(v) и ,

х [1 + Л1(и)+ Л1Н]

<

11т|| <

Р*/2

(р—2)р*/2

¿в

1/р*

Пусть р > 2, тогда р* < 2, а 2/р* > 1. Применяя к правой части последнего неравенства неравенство Гельдера с показателями 2/р* и сопряженным к нему 2р/(р*(р - 2)), учитывая то, что и' - и' = и ' - V', получим

|(Аи - Av,w)| < с5/2

Г /Г1(Л1(и)) _' Г1(Л1(у))_' ,'

А и г; ,и - *;

(р—2)/(2р)

0

1/2

1 + Л1(и) + Лl(v)

¿в

т|| < с5/2 (Аи - Av, и - V) х// х (р—2)/(2р)

1/2

3+ |и' | + | V' |

¿в

т <

< с5/2 (Аи - Av, и - V)

1/2

311/р + II и У + 1М1

(р—2)/2

Поэтому

II Аи - Av||V* = вир

ш = 0 1/2

|(Аи - Av, т)

< Сб! (Аи - Av, и - V)

<

1/2

311/р + ||и|| +

(р—2)/2

<

< с1/2|Аи - Av|| V2 ||и - V!1/2 |~311/р + ||и| + ||V

(р—2)/2

2

Р

и — и х

х

0

х

0

т .

откуда

||Аи — Av||V* < С5 ||и — -

311/р + ||и| +

Р-2

<

< м(Я)Ф(||и — V!), Я = тах{||и||, ||V|} Vи, п £ V.

р = 2 |(Аи — Av, ™)| < с5/2

С (Т1(А1(и)) „ Tl(Аl(v)) „ „ „Л ¿

1/2

= с5/2 (Аи — Av, и — V)

1/2

следовательно.

||Аи — Av|v* < С5|и — v||.

При этом оператор А является липшиц-непрерывным с постоянной С5. Лемма доказана. □

Лемма 7. Пусть 1 < р < 2, функция Т1 удовлетворяет условиям (3)-(5) и, кроме того,

Т1(в) — Т1(7) < кз(в + 7)р-2 Vв, 7 £ (0, +~), кз > 0. (13)

в — 7

Тогда справедливо неравенство

Т(|С|) С Т1(|п|) С--п— п

< С6(|С| + |п1)р-2 1С — п1 VС, п £ Я2,

(14)

|С| ь 1п1

где с6 = тах{2к1, к3}.

Доказательство. При С = П неравенство (14) выполняется тривиальным образом. Предположим поэтому, что С = П- По аналогии с [11] рассмотрим выражение

2

I

Т1(|С1) С Т1(|п|) С--т— п

|С|

|п|

|С — п|2

Т2(|С|) + Т2(|п|) — 2Т1(|С|)Т1(|п|)* |С|2 + |п|2 — 2^|С| |п| ,

где

t = (М е 1]

= |С| |п| £ [ 1,1].

Функция £ ^ I(£) является дробно-рациональной, а значит, достигает наибольшего значения либо при £ = 1, либо при £ = — 1. В первом случае (при £ = 1) в силу (13)

I =(Т1((СС)—Тп2п|))2 < кК|С|+|п|)2(р-2).

(|С| — |п|)

Во втором случае (при £ = —1) в силу (5)

1 = (Т1(|С|) + Т1(|п|)Г <к2 (|С| + |п|)2 " 1

2 (шР-1 + №-1)2

(|С| + |п|)2

< 4к2

<

(|С| + |п|)2(р-1) (|С| + |п|)2

4к2(|С| + |п|)2(р-2).

2

Таким образом.

Лемма доказана.

11/2 < сб(|е| + |п|)р—2, се = шах{2Л1,Лэ> .

□

Лемма 8. Пусть 1 < р < 2, функция Т1 удовлетворяет условиям (3)-(5), А

циями ФА(е) = ер—\ мл(е) = се.

Доказательство. В силу леммы 7 для любых векторов е, П е Д 2 имеем

Т1(|е|) е Т1(|п|) е--гл- п

|е|

. (|е| + |п|)р—2 |е - п| (|е - п|)2—- ^

< се-г--¡-—;-= с^ 2 < се.

|е - п|-—1 |е - п|-—1 (|е| + |п|)2—-

Из этого неравенства следует, что для любых и, п-, т из V

г

|(Аи - Av, т)| =

С /Г1(Л1(и)) и (Л1 (V)) и Л,

А "миги и ,тГв

г

<

Поэтому

< с^ У |и' - и'||т'| ¿в = с^ У |и' - V'|р—1 |т'| ¿в < с7 |и - V!--11 ||т||,

, , .. |(Аи —Av, т)| .. ||-— 1

||Аи - AvУу. = вир ^- ' л < с7 ||и - vУ- 1:

™ = 0 ||т|

что и требовалось доказать.

□

Лемма 9. Пусть выполнены условия (3), (4). Тогда оператор В потенциален, его потенциалом является функционал До

1 г А1(«)

Дон = У (вм, V) л = у у т2(е) ¿е^, V е V, 0 0 1

и справедлива формула

1

До (и + V) - До (и) = У (В(и + ¿V), V) А У и, V е V. (15)

Доказательство. Имеем

1 1 г

1 1г г1

До(V) = Г0У (ВМ, V) =у У Д2(Л2(МЬ ^ =у У Т2 (

0 0 0 0 0 0

^2 + Г0 \ V2

Г0 / Г0

■ ¿в.

Сделаем замену переменного е = Л2(^) = (^2 + г0)/г0. При этом ¿е = v2 Л/г0, следовательно,

г А2(«)

г А1(«)

До м = У У Т2(е) ¿е^ = 1 у Т2(е) ¿е^,

(ю)

01

00

0

0

так как T2 (£) = 0 при £ < 1.

Далее,

У (D(u + tv),v) dt = J j T2(A2(m + tv)) — dtds.

1 i 1

+ tv)

0 0 0 Сделаем замену переменного £ = Л2(м + tv) = (u2 + tv2 + r0)/r0. При этом d£ = = v2dt/r0, следовательно,

1 i A2O+-U)

J (D(u + tv), v) dt = J J T2(£) d£ ds. (17)

0 0 A2(u)

Из (16) и (17) вытекает соотношение (15).

D

мечанию 4.1 и лемме 4.1 [4, с. 111, 112] он является потенциальным, причем его потенциалом является функционал FD. Лемма доказана. □

Лемма 10. Пусть p > 2, выполнено условие (3), а также

< k4(1+ в + Y)с—1 Vв, Y е (0, k4 > 0, а > 1. (18)

То(в) - t2(y) „ ^ , „ , 1

в - Y

D

Фд(£) = £, Md(£) = С7 (3 + 2/1/p*£/r0)ff-^de c7 = кз/2/р*+1/г0 . Доказательство. Для любых u, v, w из V в силу (18) имеем i

|(Du - Dv, w)|< - f |T2(Л2(u)) - TO(Л2(v))| |w21 ds < Г0 J

0

i

^ 1 1 ( м f T2 (Л2(u)) - T2 (Л2(v)) I л , ^ , , s, , .

< _ nmax, |w2(s)| -П1-ГТ^- |Л2 (u)) - Л2 (v) 1 ds <

Г0 0<s<i J Л2(u) - Л2^)

0

i

< ^ /1/p* ||w|| max |u2(s) - v2(s)| /[1 + Л2Н + ЛоИ)^1 ds <

r0 0<s<i J

< % /2/p* N|||u - v||

r0

0

i

< ^ /2/p*+1|N|||u - v| r0

u2 v2 3+ — + —

Г0 Г0

0

* -i с — 1

— 1

ds

/1/p

3+-(||u|| + llv

Г0

< (R^d(||u - v||),

где R = max{||u||, ||v||}. Поэтому

||Du - Dv||v* = sup |(Du ^ Dv,w)| < (R) Фв(||u - v||), w=0 ||w||

что и требовалось доказать. □

Следствие 1. Пусть 1 < p < 2, выполнено условие (18). Тогда оператор D является ограниченно липшиц-непрерывным с функциям,и Ф1;Д(£) = £p—1

« m1,d(£) = С8 (3 + 2/1/p*£/r0)c—1 £0—р,где cg = cr20—p.

Доказательство. Имеем

||Ви - Вv||V. < сг

< С7

2/1/Р* ■ 3+2-Д

Г0 2/1/р*

Д

—1

т—1

< с722—р Д2—р

Г0

3+2-Д

Г0

|и - v|| <

(||и|| + ||v|

т—1

)2— р| 1 <

Фо(||и - V|) = М1,о(Д)Ф1,о(|и - v|),

что и требовалось доказать.

р = 2 ад - Т2(7)

в - 7

< к5 У в, 7 е (0, + те), к5 > 0.

□

(19)

Тогда В - обратно сильно монотонный оператор с постоянной с9 = к5 //2г02. Доказательство. Для любых в, 7 е (0, + те) в силу (19) имеем

|Т2(в) - Д2(7)|2

ВД) - Д2(7)

в - 7

РМв) - 12(7)] (в - 7) <

< к5 [Т2(в) - Т2(7)] (в - 7),

следовательно, для любых и, V, т из V

г

1

(Ви - Вv, т)|< — /|Т2(Л2(и)) - Д2(Л2(V))| |т21 ¿в <

Г0 ]

<

1/2

Г0

[(Т2(Л2(и)) - Д2(Л2(V)) (Л2(и) - Л2(v))]1/2 |т2| ¿в <

<

Г0

(Ви - Вv, и - v)1/2 ,

тогда

| (Ви - Вv, т)| к1/2 /1/2 _ . 1/2

||Ви - Dv||v. = вир Ь- ' 71 < — (Ви - Вv, и - V)1'2

™=0 ||т|| Г0 л/2

откуда и вытекает требуемое утверждение.

□

Лемма 12. Оператор В потенциален, его потенциалом является функционал Дв

1 г

Дв Н = У (В(^), V) А = ук + 1>2 ¿в, V е V,

00

и справедлива формула

1

Дв (и + V) - Дв (и) = У (В(и + V) А У и, V е V. (20)

3

0

5

Доказательство. Имеем

1 11 I

(V) = У )В(^), V) Л = J У(2^! + 1)v2 ¿в Л = У(v1 + 1>2 ¿е.

0 0 0 0

При этом

I

Дв (и + V) — Дв (и) = / [(V! + и1 + 1) ^2 + и2) — (и1 + 1)и2] ¿в =

0

I 1 1

= //[(^1 + и1 + 1) v2 + (и2 + ^2) V;] ¿¿¿в = / (В(и + ¿V), V) Л,

0 0 0

то есть равенство (20) справедливо. То, что является потенциалом В, вытекает

непосредственно из определения производной Гато функционала. Лемма доказана.

□

Лемма 13. Оператор Н является ограниченно липшиц-непрерывным с функциями Ф(С) = С> Мя(С) = С10 С> где ст = 13/р*/г0.

Доказательство. Для произвольных и, V и ад из V имеем

|(Ни — Ну, = —

Г0

2 (и2 — V2)2w1 + К — v1) (и2 — V2)w2

¿в

<

I

< -— тах |и2(в) — V2(s)|2 / |Щ ¿в + 2г0 0<в<! У

0

I

1

+ — тах |^2(в)| тах |и2(в) — v2(s)| / |и1 — v1| ¿в < Г0 0<я<г 0<я<г ]

< —у |и2 — «2! ¿в У |и2 — «2! ¿в У ¿в + 1 К — vl| ¿^У К| ¿в

<

2%/2 13/р*

< - тах{||и||, |М|} ||и — v||||w|| = с10Я||и — v|| ЦадЦ, Я = тах{||и||, ||V|},

Г0

следовательно,

н тт- -т,- п |(Ни — Hv,

||Ни — Н^Ну* = вир ^- ' л < С10Я||и — v||.

™=0 |И|

Лемма доказана.

□

Н

нал

1 I

(V) = У (Н(¿V), V) А = 2"" /+ 1^2 ¿в, V £ V,

0

0

0

0

0

0

0

и справедлива формула

1

FH(u + v) - FH(u) = У (H(u + tv), v) dt Vu, v G V.

(21)

Доказательство. Имеем

1 i

2 t2vlv1 +tv2

i

ds dt = - (v1 + 1)v2 ds.

2 ro J

fh(v) = J (H(tv),v) dt = Г0 У У

0 0 0 0

При этом

i

fh(u + v) - fh(u) = 21- У [(v1 + u1 + 1) (v2 + 2u2)v2 + vlu2] ds =

1

ro

i 1

00

2 (u2 + tv2 ) v2 v1 + (u1 + tv1 + 1) (u2 + t v2 )v2

dt ds

(H(u + tv), v) dt,

то есть равенство (21) справедливо. То, что Дн является потенциалом Н, вытекает

непосредственно из определения производной Гато функционала. Лемма доказана.

□

3. Итерационный метод

В работе [2] для решения вариационного неравенства

(Ри, V - и)>(/> - и) У V е К (22)

был рассмотрен следующий итерационный процесс, позволяющий свести (22) к вариационному неравенству с оператором двойственности вместо исходного псевдомонотонного оператора, решение которого можно проводить известными методами (см., например, [12 16]).

Пусть и(0) - произвольный элемент из К. Для п = 0,1, 2,..., зная и(п), определим и("+1) как решение вариационного неравенства

J(u(n+1) - u(n)), v - u(n+1)) > t f - Pu(n),

V v G K, (23)

где t > 0 - итерационный параметр, J : V ^ V* - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф (см. [3, с. 185]:

(Jv,v) = ||Jv||v. ||vH, IIJvHv. = Ф(М) Vv G V.

При этом справедливы

Теорема 2. Пусть K - непустое, замкнутое, выпуклое подмножество рефлексивного банахова пространства V, оператор P : V ^ V* является псевдомонотонным, коэрцитивным, ограниченно липшиц-непрерывным с функциям,и ^

0

1

Ф

1

F(u + v) - F(u) = У (P(u + tv), v) dt Vu, v е V, (24)

0

1

F(u) = J (P(tu), u) dt.

0

Пусть, далее, выполнено условие

0 <т< min{1,1/^0}, М0 = M(R0 + Ф—1(R1)), (25)

R0 = sup ||u||, R1 = sup ||Pu - f ||v*, S0 = {u е K : F(u) < F(u (0))}.

m£So M£So

Тогда итерационная последовательность {u(n)}+=0, построенная согласно (23), V,

онного неравенства (22).

K

бертова пространства V, оператор P : V ^ V* является обратно сильно моно-

d

соотношение (24). Пусть, далее, выполнено условие

0 < т < 2/d. (26)

Тогда вся итерационная последовательность {u(n)}+=0, построенная согласно (23), сходится слабо к некоторому решению задачи (22).

Элемент u(n+1) го (23) однозначно определяется по u(n). Действительно, оператор двойственности является демииепрерывиым, строго монотонным и коэрци-K

венство (23) имеет единственное решение (см. [17, с. 44]).

Для задачи об определении положения равновесия мягкой сетчатой оболочки вращения (1) итерационный процесс (23) приобретает следующий вид.

Пусть u(0) - произвольный элемент из K. Для n = 0,1, 2,..., зная u(n), определим u(n+1) как решение вариационного неравенства

J(u(n+1) - u(n)), v - u(n+1)) >

> Tf - (A + D + q0(B + H))u(n), v - u(n+1)) Vv е K. (27)

Установим теперь, что для задачи об определении положения равновесия мягкой сетчатой оболочки вращения (1) выполняются достаточные условия сходимости метода (23).

Теорема 4. Пусть выполнены условия (3) (5), (11), а также условие (25) с функциям,и Ф(£) = £, ^(£) = ^а(£) + Мс(£) + №(£) + c11 и константой

R1 = sup ||(A + D + q0(B + H))u - f ||v*.

m£So

Тогда при p > 3 итерационная последовалиельность {u(n)}+=0, построенная согласно (27), ограничена в V и все ее слабо предельные точки являются решениями задачи (1). Если же p = 3, то утверждение теоремы справедливо при дополнительном условии |q0| < qi = k0/c2.

Доказательство. Обозначим

P = A + D + qo(B + H), P : V ^ V*. (28)

Из лемм 1-4 вытекает, что оператор P является псевдомонотонным. Из лемм 5, 6, 9, 12-14 следует, что P - потенциальный и ограниченно липшиц-непрерывный оператор. Из определения операторов B и H имеем

|(Bu,u>|< ci [|М| + 1] INI, |(Hu,u>|< С2 INI2 [|M| + 1] Vu G V.

Тогда в силу леммы 3 из неравенства (6) имеем, что для всех u G V

(Pu, u) > ko||u||p - csIMr1 - C4 - ci|qo| [||u|| + 1] ||u|| - C2|qo| ||u||2 [||u|| + 1] = = [ko||u|r3 - C2|qo|] ||u||3 - C3||u||p-i - C2|qo| ||u||2 - ci|qo| ||u|| - (c4 + ci|qo|),

P

Таким образом, выполнены все условия все теоремы 2. □

Теорема 5. Пусть выполнены условия (3) (5), (11), (18). Пусть, далее, выполнены условия qo = 0 и (25) с функциями Ф(£) = = c6 (С) и константой Pi = sup || (A + D)u - f ||V*. Тогда при 1 < p < 2 итерационная последовательность {u(n)} +=0, построенная согласно (27), ограничена в V и все ее слабо предельные точки являются решениями задачи (1).

Доказательство. Справедливость данного утверждения непосредственно следует из теоремы 4, леммы 8 и леммы 10.

qo = 0 p = 2

V

Теорема 6. Пусть выполнены условия (3) (5), (11), (19), а также

0 < т < 2/(c5 + cii).

Тогда вся итерационная последовательность {u(n)} +=0, построенная согласно (27), сходится слабо к некоторому решению задачи (1).

Доказательство. Справедливость данного утверждения вытекает из тео-p = 2

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 12-01-00955, 12-01-97026, 12-01-31515, 13-01-00908).

Summary

I.B. Badriev, V. V. Banderuv. Iterative Methods for Solving Variational Inequalities of the Theory of Soft Shells.

In this paper we study the convergence of iterative methods for solving variational inequalities with monotone-type operators in Banacli spaces. Such inequalities arise in the

description of t.lie deformation processes of soft, network rotational shells. We establish the properties of these operators, i.e. coercivity, potentiality, bounded Lipscliit.z continuity, and pseudomonot.onicit.y or inverse strong monot.onicit.y. For solving these variational inequalities, we consider an iterative method, investigate its convergence, prove the boundedness of the iterative sequence, and establish that each its weakly convergent subsequence has as a limit the solution of the original variational inequality.

Keywords: variational inequality, pseudo-monotone operator, potential operator, iterative method, soft, network shell.

Литература

1. Абдюшева Г.P., Бадриеа И.Б., Бандеров В.В., Задаориоа О.А., Тапиров P.P. Математическое моделирование задачи о равновесии мягкой биологической оболочки. I. Обобщенная постановка // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2012. Т. 154, кп. 4. С. 57 73.

2. Бадриеа И.Б., Задаориоа О.А., Саддек A.M. Исследование сходимости итерационных методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомопотоппыми операторами // Дифферепц. уравнения. 2001. Т. 37, Л' 7. С. 891 898.

3. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

4. Гаеас.кий X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

5. Tseng P. Further applications of a splitting algorithm to decomposition in variational inequalities and convex programming // Math. Program. 1990. V. 48, No 1 3. P. 249 263.

6. Zhu D., Marcutte P. New classes of generalized monot.onicit.y // J. Opt.imaz. Theory App. 1995. V. 87, No 2. P. 457 471.

7. Гольште.йи Е.Г., Третьяков H.B. Модифицированные функции Лаграпжа. М.: Наука, 1989. 400 с.

8. Ва,йиберг М.М., Лаврентьев И.М. Нелинейные квазипотепциальпые операторы // Докл. АН СССР. 1972. Т. 205, Л» 5. С. 1022 1024.

9. Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации // Прикладная математика в паучпо-техпических задачах. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. С. 12 21.

10. Ляшко А.Д., Карневеклш М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Матем. 1975. Л' 6. С. 73 81.

11. Бадриеа И.Б., Карневеклш М.М. О сходимости итерационного процесса в банаховом пространстве // Исслед. по прикл. матем. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1990. Вып. 17. С. 3 15.

12. Гловииеки Р.Г., Лионе Ж.-Л., Тремолъер Р. Числешюе исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 576 с.

13. Fortin М., Glowinski R. Augmented Lagrangian Methods: Applications to the Numerical Solution of Boundary-Value Problems. Amsterdam: North-Holland, 1983. 340 p.

14. Gabay D., Merrier B. A dual algorithm for the solution of nonlinear variational problems via finite element, approximation//Comput. Math. Appl. 1976. V. 2, No 1. P. 17 40.

15. Lions P.L., Mereier B. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators // SIAM J. Kurner. Anal. 1979. V. 16, No 6. P. 964 979.

16. Fortin M., Glowinski R. Méthodes de lagrangien augmenté: applications à la résolution numérique de problèmes aux limites. Paris: Dunod, 1982. 336 p.

17. Эклаид И., Темам P. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979. 400 с.

Поступила в редакцию 15.04.13

Вадриев Ильдар Вурханович доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики. Казанский (Приволжский) федеральный университет. г. Казань. Россия.

Е-шаП: Ildar.BadrievQkpfu.ru

Вандеров Виктор Викторович кандидат физико-математических паук, заместитель директора Института вычислительной математики и информационных технологий. Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань. Россия.

Е-шаП: Victor.BanderovQkpfu.ru