Итерационные методы решения задач фильтрации в многослойных пластах при наличии точечного источника Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

УДК 519.63^517.958:532

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ В МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТАХ ПРИ НАЛИЧИИ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА

II. Б. Бадриев, Б. Я. Фаток

Аннотация

Работа посвящена решению стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости. следующей нелинейному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом в многослойном пласте при наличии точечного источника. Задача фильтрации сформулирована в виде смешанного вариационного неравенства с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Для решения вариационного неравенства предлагается использовать итерационный метод расщепления. В отличие от ранее рассматривавшихся предложенный метод позволяет находить не только приближенные значения давления жидкости, по и скорости фильтрации, в частности, па множествах, соответствующих точкам многозначности в законе фильтрации. Исследована сходимость метода.

Ключевые слова: теория подземной фильтрации, многослойный пласт, точечный источник, обратно сильно монотонный оператор, итерационный процесс.

1. Введение

В работе рассматривается установившийся процесс фильтрации несжимаемой жидкости с эффективным многозначным законом в многослойном пласте при наличии точечного источника, моделирующего скважину. Требуется определить поля давления и скорости фильтрации, удовлетворяющие уравнению неразрывности и смешанным граничным условиям. Предполагается, что функция, определяющая закон фильтрации, имеет линейный рост на бесконечности.

Обобщенная постановка задачи фильтрации сформулирована в виде вариаци-

о (1)

онного неравенства относительно давления - функции из Ш1 (П), где П - область фильтрации. Затем введена вспомогательная задача с правой частью, задаваемой дельта-функцией. Для вспомогательной задачи известно решение в явном виде. Благодаря этому обобщенная постановка свелась к нахождению решения смешанного вариационного неравенства с обратно сильно монотонным оператором [1]

о (1)

в гильбертовом пространстве Ш2 ) (П). Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу, выпуклых, собственных, вообще говоря, иедиффереицируемых функционалов. Установлены свойства оператора, входящего в это уравнение: обратная сильная монотонность, коэрцитивность. что дало возможность применить для доказательства теоремы существования известные результаты теории монотонных операторов (см.. например. [2]).

Отметим, что исходная задача сформулирована относительно полей давления и скорости фильтрации, в то время как обобщенная задача относительно поля давления. Тем не менее установлено существование поля скоростей фильтрации. построенного согласно многозначному закону по решению вариационного

неравенства, удовлетворяющего уравнению неразрывности. При этом остается открытым вопрос о построении указанного поля скоростей фильтрации на множествах. соответствующих точкам многозначности в законе фильтрации.

Для решения вариационного неравенства предложен итерационный метод расщепления. не требующий обращения исходного оператора. Ранее (см. [3. 4]) для решения вариационных неравенств второго рода предлагался метод расщепления. Основная трудность при его реализации состояла в решении возникающей на каждом шаге метода задачи минимизации. В случае однослойного пласта (когда в вариационном неравенстве присутствует лишь один недифференцируемый функционал) эта задача минимизации была решена в [4] в явном виде благодаря тому, что удалось вычислить субдифференциал функционала, сопряженного к минимизируемому. Этот прием был применен и для рассматриваемой в настоящей работе задачи. При этом каждый шаг итерационного процесса сводится фактически к обращению оператора Лапласа.

Исследование сходимости итерационного процесса удалось провести благодаря сведению его к методу последовательных приближений для отыскания неподвижной точки некоторого оператора (оператора перехода). Получена связь решения исходного вариационного неравенства с компонентами неподвижной точки этого оператора перехода. Доказано, что оператор перехода является нерастягивающим, сверх того получено неравенство, более сильное, чем неравенство нерастягиваемости. Установлено также, что оператор перехода является асимптотически регулярным. Это и позволило доказать слабую сходимость последовательных приближений.

Следует отметить, что предложенный метод позволяет находить приближенные значения не только самого решения, но и его характеристик, для задач фильтрации это приближенные значения градиента решения, а также приближенные значения скоростей фильтрации на множествах, соответствующих точкам многозначности в законе фильтрации, что весьма полезно с практической точки зрения.

Отметим, что к рассматриваемой задаче фильтрации сводится задача об определении границ целиков остаточной вязкопластичной нефти в многослойных пластах (см.. например. [5]).

Рассматривается установившийся процесс фильтрации несжимаемой жидкости в пористой среде. Фильтрация происходит в области О С М", п > 2, с липшиц-непрерывной границей Г = Г^УГ2 (Г^р|Г2 = 0, шевГ > 0) при наличии точечного источника интенсивности д в точке х* € О и ПР0ЧИХ внешних источников, плотность которых характеризуется функцией /. Считаем, что на Г1 давление равно нулю, на Г2 задано условие непротекания.

Необходимо найти стационарные поля давления и и скорости V жидкости, удовлетворяющие уравнению неразрывности

Здесь п — единичный вектор внешней нормали к Г2, в предположении, что жидкость подчиняется многозначному закону фильтрации (см., например, [6, 7])

2. Постановка задачи

ёгуv(x) = д6(х — х*)+ /(х), х € О,

где 6 — дельта-функция Дирака, и граничным условиям

и(х) =0, х € Г1, (V, п) = 0, х € Г2.

(1)

(2)

Считаем, что многозначная функция д может быть представлена в виде

т

д(С) = дс(£) + ЕЪя(С - вз), С е м1,

3=1

где вз (предельный градиент) и - заданные неотрицательные константы, до -однозначная функция такая, что

^ I0' С<в,

д0,° = {д*(С - в), С > в, (4'

д* - непрерывная неубывающая функция, Н - функция Хевисайда:

[0, С < 0;

Н (£) = т 1], С = 0; (5)

11, С > 0.

Введем функцию ^ по формуле

МО = (0- С< 0; «И

К, С > 0.

Н(С) С

ции то есть

Ж) - МС) > С*(С - С) VС* е Н(С), Vс е м1. (7)

Относительно функции д* : [0, ^ М1 предполагаются выполненными усло-

д*(0) = 0, д*(С) > д*(С) V С>С > 0, (8)

существуют такие постоянные к > 0, С* ^ 0, что

д*(С*) > кС*, д*(С) - д*(0 > к(С - С) VС > С > С*, (9)

существует такая постоянная Ь > 0, что

I д*(С) - д*(0 I < Ь | С - СI Vс, С > 0. (ю)

Отметим, что к задаче (1) (3) сводится задача об определении границ целиков остаточной вязкопластичной нефти в многослойных пластах (см. [5, с. 135]) Определим по функции д оператор О : Мп ^ Мп следующим образом:

' 9О{\У\) / п -гт-У, уф о,

О(у) ={ |у| (И)

0, у = 0.

Перейдем теперь к вариационной формулировке задачи (1)-(3). Пусть и и V -решение этой задачи. Соотношение (3) означает, что

ф) = _№(|Уы(.г-)|) У'Ы(Ж) в°{х) Уи{х) = -С(Уи(х)) - ^ в°{х) Уи(х),

|Уи(ж)| 3=1 |Уи(ж)| 3=1 |Уи(ж)|

где

0о (х) € ^ Н (|Ум(х)| — во), 3 = 1, 2,..., т.

СО ( СО Л

СГ1 (О) = | п € С (О): п(х)=0, х € Г^.

Пусть Поскольку

Ч^ ^х)п(х) ¿х Чб(х—х*)п(х) ¿х Ч7(х) п(х) ¿х =

п п п

/СО

/(х) п(х) ¿х Vп € СГ1 (О), (12)

п

то с учетом (2). (11) по аналогии с [8. 9] имеем, что

,,(х*) + /7(х),(х)¿х < |(с(ум(х)),у,(х)) ¿х +

п п

т „

+ Е[ММ^(х) + и(х))|- во) — ^(|Уи(х)| — во)

0 = 1 П

т т

= (С^и(х)), ^(х)) ¿х + ^ р (п + и) -Е Р (и) VП € сОО (О), (13)

• ' _-i _-i

¿х =

0=1 0=1

где

Р (п) = М|^(х)| - во) ¿х. (14)

Таким образом, мы установили, что если функции и, V удовлетворяют соот-и

следующую вариационную формулировку рассматриваемой задачи фильтрации.

Под решением стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, подчиняющейся многозначному закону фильтрации с предельным градиентом при наличии точечного источника интенсивности д, будем понимать функцию (поле

давления) и € V = 11)(О) : п(х) = 0, х € Г1 являющуюся решением

вариационного неравенства

г. т т

/ (С^и(х)), ^(х)) ¿х + ^ р (п + и) - ^ р (и

„•_1 „•_1

о=1 о=1

— СО

/(х) п(х) ¿х Vп € СГ1 (О). (15)

п

и

венства (15), а также установлено существование поля скорости V, построенного по и согласно (3) и такого, что при достаточной гладкости V функции и и V являются решением задачи (1), (2).

3. Существование обобщенного решения

При исслодовашш разрешимости вариационного неравенства (15) нам потре-

о (1)

буется следующая вспомогательная задача: найти функцию wr G W1 (Br ) такую, что

j{ G(Vwr (x)), Vn(x) ) dx = qn(x*) Vn G C0°°(Br), (16)

Br

где Br = {x G Rn : |x - x* | < r},

Запишем в соответствии с [10, 11] явное выражение для решения задачи (16). Для этого введем обратную к g* функцию h*. Из условий (8)—(10) следует, что такая функция существует и является непрерывной. Определим теперь функцию

h(0 = h*(£) + £*, (17)

а также функцию pr : (0, r] ^ R1 в следующем виде

r

Pris) = J /? ^ —^ cri = mes Si, Si = {x G R" : |ж - ж*| = 1} . (18)

Тогда функция wr : Br ^ R1, задаваемая выражением wr(x) = pr(|x — x*|), является решением задачи (16). При этом справедлива оценка

|Vwr(x)| < ---+ 2£*. (19)

o1k|x — x* |n-1

Выберем r достаточно большим так, чтобы выполнялось включение Q С Br. Поскольку точка x* является внутренней для Q, то найдется такое е > 0, что Г С С Br \ Be. Из неравенства (19) следует, что wr G W2(1)(Br \ Be), и, таким образом, найдется функция wr G W2(1)(Q), для которой выполнено условие

wr(x) = —wr(x), x G Г1. (20)

Введем пространства Y = [L2(Q)] V = jn GW2^(Q) : n(x) = 0, x G Г1 | .

Решение задачи (15) будем искать в виде и = wr + wr + w, где w G V -

°

неизвестная функция. Поскольку СГ1 (Q) С C°°(Br), то с учетом (16) задача (15)

w G V

У (G(V(wr + wr + w)) — G(Vwr), V(w + n) — Vw) dx +

m m

+ E Fj (wr + wr + w + n) — E Fj (wr + wr + w) >

j=1 j=1

/°o

/(x) n(x) dx V n G C r1 (Q). (21)

Q

Введем теперь функционал : V ^ R1 :

фд(£) = У M(|Vwr + Vwr + £| — в) dx, (22)

Q

оператор Л : V ^ [^(П)]

Ли = Ум, (23)

элемент / € V:

(/, п)^ = / /(ж) п(ж) ¿ж V п € V

п

и форму а : V х V ^ М1:

а(ад, п) = J (С(Уадг + Уадг + Уад) - С(Уадг), Уп) ¿ж ад, п € V. (24) п

а

вательно, она порождает оператор А : V ^ V:

(Аад,п)у = а(ад, п) Vад, п € V. (25)

В работе [11] доказана

Лемма 1. Пусть выполнены условия (8)-(10). Тогда оператор А, определенный с помощью (25), является обратно сильно монотонным с константой 1/Ь > > 0 и коэрцитивным.

Задача (21) запишется в виде вариационного неравенства

т т

(Аад - /, п - (Лп) Ф(Лад) > 0 Vп € V. (26)

¿=1 ¿=1

Теорема 1. Пусть выполнены условия (8) (10). Тогда:

1) задача (26) имеет по крайней мере одно решение ад;

2) множество решений задачи (26) выпукло и замкнуто в V;

Доказательство. Следуя [8], нетрудно проверить, что функционалы ф являются липшиц-нспрсрывными, выпуклыми, а значит, слабо полунепрерывными снизу. Из леммы 1 вытекает монотонность, липшиц-нспрсрывность, следовательно, псевдомонотонность (см. предложение 2.5 [2, с. 191]) и коэрцитивность оператора Т. Поэтому существование решения вариационного неравенства (26) следует из теоремы 8.5 [2, с. 265].

Выпуклость н замкнутость множества решений задачи (26), следовательно, и задачи (21) устанавливаются стандартным образом.

□

Лемма 2. Пусть даны функции £, С : П ^ Мп и — : [0; ^ [0; такая, что ¿(ж) = 0 щи ж < а и ¿(ж)ж возрастает при ж > а. Определим функцию Н : Мп х Мп ^ М

Н(Р = (^(Н)Р - -¿"(МИР - <?)

и пусть Н(£(ж), С(ж)) = 0 щи ж € П* с П. Тогда для любого в ^ а

{ж € П* : |£(ж)| > в} = {ж € П* : |С(ж)| > в}.

(27)

Доказательство. Используя лемму 1 из [13]. имеем: Если |£(х)| > в > а, то £(х) = С(х). Тогда |С(х)| = |£(х)| > в; Если а < |£(х)| < в, то ^(х) = С(х). Тогда |С(х)| = |£(х)| < в; Если |£(х)| ^ а, то |С(х)| ^ а ^ в-

Равенство (27) доказано. □

Теорема 2. Для любых решении и1; и2 задачи (26) справедливы соотношения С(У(иг + иг + ад1)) = С(У(иг + иг + и2)) почти всюду, (28)

(и1) = (м2) = П* с точностью до множества нулевой меры, (29)

(п) = {х е П: |Уп(х)| >вд }, 3 = 1, 2,..., т;

М = иг + иг + г = 1, 2.

Доказательство. Пусть и1 и и2 - два решения задачи (26), то есть

т т

(Аи1 - /,п - и1)у + (лп) -Е Ф (Лад1) > 0 V п е V, ¿=1 ¿=1

тт

(Аи - /, п - + (Лп) Ф(Ли2) > 0 Vп е V.

¿=1 ¿=1

Полагая п = и2 в первом го этих неравенств и п = и1 во втором, а затем складывая, получаем: (Аи2 - Ато1,ш2 - и1)у ^ 0, откуда в силу монотонности оператора А следует, что что (Аи2 - Аи1, и2 - и1 )у = 0.

Следуя [12], нетрудно проверить, что при выполнении условий (8) (10) оператор С, определенный формулой (11), удовлетворяет условию

|Су - Ог|2 < Ь (Су - Ог,у - г) Vу, г е М". (30)

С учетом (30) имеем, что

0 = ^ (с(Уиг + Уиг + У»2) - С(Уиг + Ушг + УиД Уи2 - Уи^ ¿х >

п

1 Г 2

^ — / С(Х7(гиг + №г + «-'2)) — С(Х7(гиг + гор + №1)) ¿г', (31)

п

откуда немедленно следует (28).

В силу первой части леммы 1 [13]

+ Уиг + Уи2) - С(Уиг + Уиг + Уи1), Уи2 - Уи^ > 0.

С учетом (31) получаем, что почти всюду

+ Уиг + Уи2) - С(Уиг + Уиг + Уи1), Уи2 - Уи^ = 0.

В силу леммы 2 получаем (29). □

Теорема 3. Пусть т - решение задачи (21), тг - решение задачи (16), тг -произвольная функция из удовлетворяющая соотношению (20), и = тг +

+ тг + т. Тогда существует функция V такая, что имеют, место соотношения (3) и

У Л» п(ж) ¿ж + 9п(ж*) = У^ж), Уп(ж)) ¿ж Vп € С0°(П). п п

Доказательство. Неравенство (26) эквивалентно включению

т

Л - Ат € (Ф,- (Лт)).

3=1

В силу леммы 3 [13] функционал Ф3 всюду непрерывен, значит

д(Ф3 (Лт)) = Л*дФ3 (Лт).

Пользуясь представлением дФ3-, данным в той же лемме, получаем

VIV«!

fпdx - У (с(у»г + у»г + V» - с(у»г), Уп) ¿ж

п п

3=1 п

что с учетом (16) приводит к равенству 'до(|Уи(ж)|) + 3 ^(ж

п

|Уи(ж)

Уи(ж), Уп(ж) ¿ж

п

из которого и следует требуемый результат, причем

= У (^(ж - ж*) + /(ж)) п(ж) ¿ж Vn € С^(П),

:>(ж) =--—-—--|Уи(ж)|Уц(ж).

4. Итерационный метод

В настоящем параграфе мы строим итерационный метод для решения абстрактного смешанного вариационного неравенства с обратно сильно монотонным оператором, частным случаем которого является вариационное неравенство (26).

Пусть V, У - гильбертовы иространства, Л : V ^ У - линейный непрерывный оператор такой, что

Л*Л = , (32)

Р. : У ^ М1, 3 = 1, 2, — собственные выпуклые полунепрерывные снизу

функционалы, А : V ^ V - обратно сильно монотонный оператор, / € V - заданный элемент.

Ищем решение вариационного неравенства

т т

(Аи - /, п - и V + Е Р. (Лп) -Е Р. (Ли) > 0 V п € V. (33)

.=1 .=1

Введем пространство Q = V х Ут х Ут. Для его элементов будем использовать запись (91,921, • • . ,92т,9з1,... ,93т)-Зададим произвольно набор чисел:

т > 0, (34)

г. > 0. (35)

Решение вариационного неравенства (33) будем искать с помощью итерационного процесса. Его оператор перехода Т : Q ^ Q зададим равенствами:

Т19 = 91 - т(А91 - / + Л* Е^=1 93. + Ет=1 г. (91 - Л*92. Т2. 9 = Ргох{р/Г3-} (ЛТ19 + г.-193.) , 3 = 1 2, . .., т; ,Тз. 9 = 9з. + г. (ЛТ19 - Т2. 9), 3 = 1, 2,..., т.

Здесь Ргохф : У ^ У - проксимальное отображение ( [15, с. 48]), которое ставит в соответствие вектору р € У элемент Ргох = Рф(р), являющийся решением вариационного неравенства

(ад - р, в - + Ф(в) - > 0 Vв € У. (36)

Нетрудно проверить, что (ср. с Предложением 2.1 [16, с. 285]) проксимальное от-бражеиие является жестко нерастягивающим, то есть

II Ргох ф(р) - Ргох ф(в) < (Ргох ф(р) - Ргох ф(в) ,р - в )у V р, в € У. (37)

Теорема 4. Точка 9 = (и, у., А.) является неподвижной точкой оператора Т тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

т

Аи - / + Л*£ А. =0; (38)

.=1

А. € дР.(Ли), 3 = 1, 2,..., т; (39)

у. = Ли, 3 = 1, 2,..., т. (40)

Доказательство. Пусть 9 = (и, у1,..., ут, А1,..., Ат) - неподвижная точка Т

тт

и = и - т(Аи - / + Л* А. + Е г. (и - Л*у.)); (41)

.=1 .=1

у. = Ргох{Рз. /гз.} (Ли + г. -1А.) , 3 = 1, 2, ...,т; (42)

А. = А. + г. (Ли - у.), 3 = 1, 2,..., т. (43)

Равенство (43) в силу (35) эквивалентно (40). Равенство (41) в силу (34) преобразуется сначала к виду

m m

Au - f + Л* £ Aj + ^ rj (u - Л*^-) = 0,

j= 1 j=i

затем в силу (32) к виду

m m

Au - f + Л* (]T Aj + ^ rj (Ли - yj )) = 0,

j=i j=i

откуда с учетом (40) получим (38). значит. (41) эквивалентно (38). Равенства (42) запишем в виде вариационных неравенств:

(yj - Ли - rj-lAj, z - y^Y + rj-1 (Pj(z) - Pj(yj)) > 0 Vz G Y

rj

(-Aj, z - Ли)у + P,(z) - P,(Ли) > 0 Vz G Y,

что в терминах субдифференциального исчисления записывается в виде (39). Таким образом. (42) эквивалентно (39). □

Следствие 1. Если точка q = (u, y1;..., ym, A1;..., Am) является неподвижной точкой оператора T, то компонента u есть решение вариационного неравенства (33).

Доказательство. В силу теоремы 4 имеем, что справедливы соотношения (38). (39). Из (38). очевидно, следует, что

m

(Au - f + Л* Aj, n - u) Y = 0 V n G Y. (44)

j=i

Положив в (39) z = Лп, получим

(-Aj, Ln - Л^ Y + Pj(Лп) - Pj(Лu) > 0 Vn G Y.

К первому слагаемому правой части применим определение сопряженного опе-()

(^*Aj, n - uY + (Pj(Лп) - Pj^u)) > 0 Vп G Y. (45)

Складывая (44). (45). получим, что и удовлетворяет неравенству (33). □

Следствие 2. Пусть существует решение вариационного неравенства (33) и выполнено условие:

m

3у G П domGfc : lim Pj(y) = Pj(y), j = 1, 2,..., m. (46)

k=1

T

u

в виде включения:

f - Au G ^(¿Pj ^(u).

j

j=1

В силу (46) выполнены условия теорем о субдифференцировании сложной функции и суммы функций [15. с. 35 37. предложения 5.6. 5.7]. следовательно.

m m m m

d (E Pj Л (u) = £ d (Pj Л) (u) = £ A*dPj (Ли) = Л* ^ 5Pj (Ли).

j=i j=i j=i j=i

Итак, найдутся Aj G dPj (Au) такие, что

m

f - Au = Л*^ Aj,

j=i

следовательно, выполнены условия (38), (39). Определим yj по формуле (40).

По теореме 4 получаем, что точка (u, yi,..., ym, Ai,..., Am) есть неподвижная точка оператора Т. □

Теорема 5. Пусть A : V ^ V - обратно сильно монотонный оператор с константой а > 0 .•

(Au - Av, u - v)V > ||Au - Av||V Vu, v G V. (47)

Тогда выполняется следующее неравенство:

m m m

(г-1 -Еj||Tiq-Tip¡ + Еrj|T2jq-T2jp| + Erj-1|T3jq-T3jp| + j=1 j=1 j=1

i M ||2

+ (5 (Agí - Api, q\ — pi) H--\\(Sqi - Spí) - £ {Tiq - Tip) +

re11 11

mm

r j ||(q2j - ЛТ^) - (p2j - ЛT,lp)|| < (т-1 r¿) |q1 - p1| +

j=1 j=1

mm

+ Erj||q2j-P2j|| + Erj-1|К--psj|| . (48) j=1 j=1

Здесь константы e, S и оператор S : V ^ V определяются по формулам:

m

e = 1 - ^rj, (49)

j=1

S = 2--T—-, (50)

а(1 - TErj)

j=1

m

Sn = (i - rErj) П - т (An - f) • (51)

j=1

Доказательство. Оператор T1 можно записать в виде:

m

T1q = Sq1 - тЛ* ( Y^ (q3j - rj q2j ^ .

j=1

Используя неравенство (47). получим:

т 2 т

Ц^! - 5р1||2 = (1 - | 51 - Р1 ||2 - 2т (1 - т (Л51 - АР1, 51 - рО +

¿=1 ¿=1

т 2

+ т2||А51 - Ар11|2 < (1 - || 51 -Р1 ||2 -

¿=1 т

- - ~АР1, 51 (52)

¿=1

Нетрудно проверить, что справедливо тождество

(«'ь)у = ^:11а11у-^:11а-еь11у + |11ь11у' е ем. (53)

2еи 2еи 21

Используя тождество (53) и оценку (52). получим:

(Т15 - Тгр, 6*51 - 5рх) = 5'51 - ||" + -|| Т15 - Тцз ||~ -

1 1 т 2

||(5*51 — 5р1) — е (Т15 — Гцр)||2 < ^(1 - г 91

2е __ .

¿=1

т

£ ¿=1 а

+ |||Т15-Т1р||2--||(5'51-5р1)-£(Т15-Т1р)||2 =

1т 2

= 9^ ~ ТХ/Г?)И 1Г ~ - 51 -£>1) +

¿=1

1 т 1

+ 2 " Т Е ^) II ^ " II2 " II " " е ^ ~ Т|Г

¿=1

откуда имеем:

! Т15-Т1р ||2 = ^15-Гф, (5^1 -5р1)-тЛ^^ (5з^ - рз^ Г' ^ - ^

¿=1 ¿=1 т

= (Т15 - 551 - 5р1) - т ^ (Л (Т15 - Т1р), 5з^ - ) +

¿=1

т

+ т Е ^ (Л (Г15 - ' 52^ - ) <

¿=1

1т

^ 9 I1 ~ Т Х/'О II 1Г ~ ~0~ (АЧ1 ~АР1'11 ~-Р1) +

¿=1

1 т 1

+ 2 " Т ЕII ^^ " ||2 - -1| (551 - 5^1) - е (Т15 - Т1р) ||2 -

2

- ТЕ (Л(Т19 - TiP) >q3j - P3j) + TErj (Л(1^ - T1P) >q2j - P2j) . j=i j=i

Умножим это неравенство на 2/т и применим (53) с е = 1, a = q2 — P2j b = Л (Tiq - Tip):

^||T1(/-Tip||2 < (- -Pill2 -Pl) +

T T j=i

i m 1

+ (7 " Eri) ~ TM\2 - - - Sp 1) - e (Tig - Tip) ||2 -

- 2 E(L (Tiq- Tip)' q3j-рз.) +2Erj(L (Tiq- Tip) > q2j-P2j) =

j=i j=i

1 m

= (—~Pl 1Г ~s(Aií ~APuqi -pi) + j=i

1 m 1

+ (7 - Е г0 II Tiq - tip II2 - -ll(s'qi - -e (Tiq - Ml2 -т j=i те

mm

- 2 £ (Л (Tiq - Tip) , q3j - P3j) - E rj II (q2j - ЛТ^) - (p2j - ЛЗД ||2 +

j=i j=i

mm

+ E rj 11q2j - P2j ||2 + E rj 11Tiq - Tip||2. (54) j=i j=i

После несложных преобразований из (4.) получаем, что i II Tiq - Trp ||2 + S {Aqi -Apí,qí-pí) + ±- II (Sqi - Spi) - £ (Tiq - Trp) ||2 +

m mm

j=i j=i j=i

m

- 2 £ (Л (Tiq - Tip) , q3j - p3j) . (55) j=i

Проксимальное отображение является жестко нерастягивающим. поэтому:

rj11T2j q - T2jp|2 < rj(Л (Tiq - Tip), T2j q - T2jp) + (q3j -p3j, Туq - T2jp). (56)

T3j

rj-i||T3jq - T3jp|2 = rj-i! q3j -p3j||2 + 2 (q3j -p3j,Л (Tiq - Tip)) -- 2 (q3j -p3j, T2j q - T2jp) + rj||Л (Tiq - Tip)||2 -

- 2rj (Л (Tiq - Tip) , T2j q - T2jp) + || T2j q - T2jp ||2 <

^ rj-i! q3j - p3j||2 + 2 (q3j -p3j,Л (Tiq - Tip)) -

Ii 112

- (q3j - P3j, T2j q - T2jp) + || - || -

- rj(л (Tiq - Tip)> T2j q - T2jp). (57) Суммируя теперь (55) (57). получим (48). □

Пусть теперь е > 0, где е задается формулой (49).

Введем в пространстве Q = V х Yn х Yn скалярное произведение по формуле:

1 m m m

(^p)q = (- - (vi>Pi)v + 52гз(Ч2з>Р2з)у ' У1Г; !'/:■.;•/':■■; •

j=1 j=1 j=1

Используя это определение, запишем неравенство (48) в виде:

II 1|2 1 11 ц2

|| Tq - Тр \\Q + 5{Aqi -APi,qi - Pl )v + —1| (Sqi - Sp i) - £ {Tiq - Tip)\[v +

m

+ Erj||(q2j - ^^ - (P2j - ЛТ1Р)|У < 11 q -p (58) j=l

Следствие 3. Если в условиях теоремы 5 справедливо неравенство 5 > 0, то оператор T является жестко нерастягивающим.

Теорема 6. Пусть существует решение вариационного неравенства (33), выполнены условия (46), (47), а также

е > 0, 5 > 0,

где е, 5 определены формулами (49), (50).

Пусть последовательность {q(k)}^0 построена по формуле

q(fc+1) = Tq«,

где q(0) G Q - произвольный элемент. Тогда эта последовательность слабо схо-

QT неравенства:

lim || y(k) - Ли(й)||^ = 0, (59)

k—

lim || q(k+1) - q(k)||Y = 0. (60)

k—Y

pT

ществует в силу следствия 2. Тогда p 1 = Tp, и в силу теоремы 4 справедливы равенства p2j - ЛTp = p2j - Лp 1 = 0. В силу теоремы 5 имеем неравенство (58). Подставив в него q = q(k), получим:

q(k+1) - p ||Q + 5(Au(k) - Ap1,u(k) - p^^ +

+ i_|| ф(*) _ U(fc+D) _ T(AuW - AP1) ||J, +

m

+ Erj|| yjk) - Л«^ ||Y < || q(k) -p ||Q. (61) j=1

{II 1 ^

|| q(k) -p ||q j ограничена снизу нулем и в силу (61) не возрастает, поэтому имеет конечный предел, следовательно, из (61) имеем, что

lim (Au(k) - Ap1,u(k) -p1)V = 0, (62)

k—V

lim II ф(к) - u(k+1)) - r(Au(k) - Api) |l = 0, (63)

к—»-то

lim || y(k) - Ли(к+1) || Y = 0. (64)

к—то j Y

Из (62). (47) следует:

lim || Au(k) - Ap1 ||V =0. (65)

к—>то V

Из (63). (65) получаем, что

lim || u(k) - u(k+1)|L =0. (66)

k—► ^ V

В силу неравенства треугольника:

11 yjk) - Ли(к) 11Y < 11 yjk) - Ли(к+1) 11Y + 11 Л(м(к) - u(k+1))11Y.

Из этого неравенства, а также из (64). (66) и (32) получаем (59). Из (59). (66) с учетом равенства

yjk) - yjk+1) = (yjk) - Л««) + (Л«« - Л«^) + - yjk+1))

следует, что

lim || j - y?+1)|Y = 0. (67)

k—J 1

Наконец, используя (59) и определение компоненты оператора T, имеем:

lim || A(k+1) - A(k) ||Y = r lim || Лм(k) - y(k) ||Y = 0. (68)

k—k—j

Равенства (66)-(68) означают, что выполнено условие (60), и поскольку q(0) -

T

T

то в силу теоремы 2 последовательность {q(k)}слабо сходится в Q и ее предел является неподвижной точкой оператора Т. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 08-01-00676, 09-01-00814).

Summary

I.B. Badriev, B. Ya. Fanyuk. Iterative Method for Solving Seepage Problems in Multilayer Beds in tlie Presence of a Point. Source.

The paper is devoted to solving the stationary seepage problems of non-compressible fluid following the nonlinear multi-valued filtration law with limiting gradient in multilayer beds in the presence of a point source. This problem is mathematically formulated in the form of mixed variational inequality with inversely strongly monotone operator in Hilbert. space. For the solving of the considered variational inequality the iterative splitting method is offered. Unlike the previously considered methods, this one makes it possible to find not only the pressure of the fluid, but also the filtration velocity in the domains corresponding to the multi-valued points in the filtration law. The convergence of the iterative method results is investigated.

Key words: seepage theory, multilayer bed, point source, inversely strongly monotone operator, iterative process.

Литература

1. Гольште.йи Е.Г., Третьяков П.В. Модифицированные функции Лаграпжа. М.: Наука, 1989. 400 с.

2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

3. Бадриеа И,Б,, Задаориоа O.A. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами // Дифферепц. уравнения. 2003. Т. 39, 7. С. 888 895.

4. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. Постановка и исследование нелинейных задач фильтрации при наличии точечных источников // Дифферепц. уравнения. 2008. Т. 44,

7. С. 932 941.

5. Eumoa В.М., Панков В.П., Паиько C.B. Математическая теория целиков остаточной вязкопластичпой нефти. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. 196 с.

6. Алихиаев М.Г. О стационарной фильтрации с начальным градиентом // Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, 1968. С. 202 211.

7. Карчевеклш М.М., Бадриеа И.Б. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР, 1979. Т. 10, Л» 5. С. 63 78.

8. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. Исследование стационарной задачи фильтрации с многозначным законом при наличии точечного источника // Дифферепц. уравнения. 2005. Т. 41, Л» 7. - С. 874 880.

9. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. Итерационные методы решения задач об определении границ целиков остаточной вязкопластичпой нефти в многослойных пластах // Дифферепц. уравнения. 2009. Т. 45, Л' 7. С. 973 979.

10. Бериаидииер A4.Г., Eumoa В.М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. 199 с.

11. Задаориоа O.A. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника // Изв. вузов. Матем. 2005. Л' 1. С. 58 63.

12. Глугиеикоа В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации// Прикладная математика в научно-технических задачах. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. С. 12 21.

13. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A., Саддек A.M. Исследование сходимости итерационных методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомопотоппыми операторами // Дифферепц. уравнения. 2001. Т. 37, Л' 7. С. 891 898.

14. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

15. Эклаид П., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

16. Résolution numériques de problèmes aux limites par des méthodes de Lagrangien augmenté / Eds M. Fortin, R. Glowinski. Paris: Dunod, 1983. 320 p.

Поступила в редакцию 19.04.10

Вадриев Ильдар Вурханович доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: Ildar.BadrievQksu.ru

Фанюк Борис Яковлевич аспирант кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.