Об итерационных методах решения вариационных неравенств с обратно сильно монотонными операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 148, кн. 3 Физико-математические пауки 2006

УДК 517.934

ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С ОБРАТНО СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

II.Б. Бадриев, О.А. Задворпов

Аннотация

Рассматривается краевая задача, формулируемая математически в виде смешанного вариационного неравенства с оператором, являющимся суммой нескольких обратно сильно монотонных, вообще говоря, не потенциальных операторов, в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов. Для решения рассматриваемого вариационного неравенства предложен итерационный метод расщепления. не требующий обращения исходных операторов. Исследована сходимость метода.

Введение

Настоящая статья является развитием работ авторов [1 3]. В работе рассматривается краевая задача для системы многозначных уравнений. Математически задача формулируется в виде смешанного вариационного неравенства с оператором. являющимся суммой нескольких обратно сильно монотонных, вообще говоря. не потенциальных операторов, в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов. Для решения этого неравенства предлагается использовать метод расщепления. Доказана слабая сходимость итерационной последовательности к решению исходного вариационного неравенства. В случае, когда один из операторов является сильно монотонным и липшиц-непрерывным. доказана сильная сходимость итерационной последовательности к решению исходного вариационного неравенства.

Для рассматриваемой краевой задачи каждый шаг метода сводится фактически к решению задач Дирихле для уравнения Пуассона, число которых равно размерности системы.

1. Постановка задачи

Пусть О С Я ", п > 1,- ограниченная область с липшиц-непрерывной границей Г. Рассматривается следующая краевая задача для системы уравнений относительно вектор-функции и = (и\, П2, .. ., ип):

п ( д • \

( ~д^~ ^ + из(х) ) = /*(ж)> ж Є О, і = 1, 2,..., п, (1)

3=1 3

и(х) =0, х Є Г, (2)

,е0> 3 = і,(з,

|ди(х)/дхз | дхз

где / = (/1, /2,..., /п) - заданная функцня, Б = {в,—} - вообще говоря, несимметричная матрица, удовлетворяющая условию

(БС,С) > «с (БС, БС), а о > 0 V £ е Я". (4)

Считаем, что многозначные функции д* могут быть представлены в виде:

Я3(С) = до-(С) + $3 Н(£ - ), С е Я \ 3 = 1, 2,...,п,

где в-, — заданные неотрицательные константы, Н - многозначная функция,

определенная по формуле

Н(С)

Яо- — однозначные функции, удовлетворяющие следующим условиям:

(С) = / 0 , С < вз,

Ясз (С) I Я* (С - вз), С > вз,

где д* : [0, +то) ^ [0, +то) - непрерывные функции, такие, что Я* (0) = 0, Я* (С) >Я* (С) V С>С > 0,

существуют такие постоянные к- > 0, С* > 0, что

я*(С*) > кз с*, Я*(С) - я** (О > кз (С - С) VС > с > С*,

существуют такие постоянные а* > 0, что

0, С < 0,

[0,1], С = 0,

1, С > 0,

|де-<7Ж)|<-|£-с| у^с>о.

3 3 а-

(5)

(6)

(7)

(8)

' О (1) "I "

Пусть V = Ш 21;(О) , Н = [Ь2(О)]", ( •, ^)у, (•, Он - скалярные произведе-

ния в V и Н соответственно, В- = д/дх- : V ^ Н, 3 = 1, 2, ...,п, — линейные непрерывные операторы. Под решением задачи (1) (3) будем понимать функцию и е V, являющуюся решением вариационного неравенства

(Аои, п - и)у + ^(В* о А- о В- (и), п - и)у +

3=1

+ ^о(п) - Во (и) + ^

3=1

(в3 (Взп) в* (Взи)

> 0 V п е V, (9)

где В* : Н ^ V, 3 = 1,2,..., п, - двойственные к В- операторы, операторы Ао : V ^ V и А- : Н ^ Н 3 = 1, 2,..., п, порождаются формами

(Аои, п)у = J (Би, п)^х, и, п е V, (А- у, г)н = J(О- у, г)^х, у, г е Н, п п

операторы О- : Я" ^ Я" определены следующим образом:

доз (|у|) |у|-1 ^, у = 0,

0, у = 0,

Оз у

а функционалы Во : V ^ Я1 и В- : Н ^ Я -1, 3 = 1,2, ...,п, определены по формулам

Во(п) = ^ У (/, п) йх, п е V, В- (г) = у ^(\г\ - в- ) йх, г е Н,

п

0, С < 0,

м(С) 1 С, С > 0.

Справедлива

Ао

сильно монотонным, то есть

(Ао п - Ао и , п - и)у > ао || Ао п - Ао и || V , ао > 0 Vи, п е V. (10)

Доказательство. Из (4) вытекает, что

| Б£ \< а-1/2 (Б£,£)1/2 V С е Я ",

следовательно,

| (Б£, С) | < а-1/2 (Б£, £)1/2 | С | V £, С е Я",

поэтому

ч ч 1 т „ -1 /2 /* / -г,

и,

| (Ао и, п)у\<! | (Б и, п) | йх < а 0 1/2 J (Би, Би)1/2 | п | йх <

я я

0 /г \1/2 /г У/2 0 1/2

< а 0 1/2 I / (Би, и) йх I I / \ п\2 йх I = а 0 1/2 (Ао и, и)у || п ||н <

-1/2 1/2 -1/2 1/2

< ао 7 сн (Ао и, и)у || п IV = ао 7 (Ао и, и)у || п IV,

2

где сн - постоянная Фридрикса (константа вложения V в Н), ао = ао/сн. Таким образом.

и л и \ (Аоu, п)v \ -1/2 / л \1/2

и Д/ = эир ---——------- < сгп (Ао и, и)у ,

П=о 1 п ||V ^

откуда в силу линейности Ао и вытекает требуемое неравенство. □

Следуя [4], нетрудно проверить, что в силу условий (5)-(8) операторы А-, 3 =

1 , 2, . . . , п,

(А3 у - А3 г,у - г)н > аз У Аз у - Аз г|н V У, г е H, 3 = 1 2, ...,n, (И)

а также коэрцитивными. В [5] установлено, что В-, 3 = 1, 2,..., п, - выпуклые, лип-шнц-непрерывные функционалы. Из (10), (11) вытекает, что А- , 3 =0,1,..., п, -монотонные и липшиц-нспрерывные операторы.

Перечисленные выше свойства операторов А- , 3 =0,1,..., п, а также функционалов В-, 3 = 1, 2,..., п, обеспечивают разрешимость вариационного неравенства (9) (см. [61).

1 Доказательство получено проф. М.М. Карчевским.

2. Итерационный метод

В дальнейшем будем рассматривать абстрактное вариационное неравенство (9). постулируя свойства (10), (11) и считая В, : V ^ Н, і = 1, 2,..., п, — линейными непрерывными операторами, а В, , і = 0,1,..., п, — выпуклыми, липшиц-непрерыв-

П

ными функционалами. Кроме того, будем предполагать, что В* В, : V ^ V -

,=1

оператор канонического изоморфизма, то есть

^ (В* В, и п)у = (и,п)у VЄ V.

,=1

(12)

Для решения вариационного неравенства (9) по аналогии с [3] рассмотрим следующий итерационный процесс.

Пусть и(0) Є V, у0) Є Н, Л,0) Є Н, і =0,1,..., п - произвольные элементы. ,(к) л(к) вариационного неравенства то

Для к = 0,1, 2,..., зная у, , Л,, і = 1, 2,..., п, определим м(к+1) как решение

а

у (и^1') - и{к), і] ~ и{к+1) ) + В)(??) - Вз (м(А:+1)) + (а0«(й), і] ~ и{к+1) ) +

/ П П \

+ I ^ В* л5к) + г ^ В* (в, и(к) - , п - и(к+1) I > 0 Vп Є V. (13)

V ,= 1

,=1

V

Затем находим у,к+1\ і = 1, 2,..., п, решая вариационные неравенства

1 / (к+1) (к) (к+1) ^ , 771 / \ т? ( (к+1)А , ( л (к) л (к) (к+1) \

- (у) ; - у) \*-у) ’ )н + ^(г)~ Ц [у) >) + (А,- у) у) ’ ) н +

+г (у!;к) - Вд м(к+1), г - у!;к+1)) н > 0 V г е Н, 0 = 1, 2,..., п. (14) Полагаем, наконец,

лДк+1) = Л^ + г (Вд и(к+1) - Уд(к+1) ) , 0 = 1, 2,..., п. (15)

Здесь тд > 0, 0 = 0,1,..., п и г > 0 - итерационные параметры.

Обозначим через Нп прямое произведение п пространств Н и введем в рассмотрение оператор Т : V х Нп х Нп ^ V х Нп х Нп, ставящий в соответствие вектору д = (д0, дь...,д2п) = (и, У, Л), У е Н п, Л е Нп элемент Т д = (То д, Т1 д,..., Т2п д) следующим образом:

То д = Ргох То I до - то

(16)

А0 д0 + В^ дп+д + г В^ (Вд д0 — дд )

Д = 1 Д=1

Тдд = РгохFj (дд - тд дд - дп+д + г (дд - Вд То д ) ) , 0 = 1, 2, . .., n, (17)

Тп+д д = дп+д + Г (Вд То д - Тд д), 0 = 1, 2,..., п. (18)

Здесь Ргох с : ^ ^ ^ - проксимальное отображение (см., например, [6] ), ставящее в соответствие произвольному элементу р гильбертова пространства ^ элемент

V = Ргох с (р), являющийся решением задачи минимизации

V — р

2 Г 1

+ С?(гО = П1ІП < -

2 У 1 zЄP \ 2

г — р

+ С(г)

2

которая эквивалентна (см. [6] ) в случае, когда О - выпуклый, собственный, полунепрерывный снизу функционал, вариационному неравенству

( V — р, г — V )г + С(г) — С(-у) > 0 V г Є

(19)

Нетрудно проверить, что проксимальное отображение является жестко нерастягивающим, то есть

Ргох с(р) — Ргох с (г) < ( Ргох с(р) — Ргох с(,г) , р — г )^ V р, г Є

Вводя обозначения У(к) = , у^, • • •, УЯ ) > Л(к) = ^ , А^,..., лПк) ^ ,

и используя определение проксимального отображения на основе вариационного неравенства (19) , легко установить, что итерационный процесс (13) (15) записывается в виде

ц(0) — произвольный элемент,

(20)

9(й+1) = Тц(к), д(*0 = У(к), Л(к)) , к = 0,1,2,...,

то есть Т - оператор перехода этого итерационного процесса.

Справедлива

Теорема 1. Пусть оператор Т : V х Нп х Нп ^ V х Нп х Нп определен с помощью соотношений (16) (18). Точка ц = (и, У, Л), г<?е и Є V, У = (У1, У2,..., уп ) Є Нп, Л = (Л^ Л2,..., Лп ) Є Нп, является неподвиж-Т

% = В и, і = 1,2,...,п,

Л7 Є (у7) + А^- у^, 0 1, 2,...,п,

п

— В* Л і Є 5^0 (и) + Ао и.

.7 = 1

(21)

(22)

(23)

Лрм этом первая компонента и любой неподвижной точки д оператора Т является решением задачи (9).

Доказательство. Пусть д = (и, У, Л ) - неподвижная точка оператора Т, то есть в соответствии с (16) (18)

и = Ргох Т0 р0 I и — То

Ао и + В* Л7 + г В* (В^ и —

7=1

7=1

(24)

у = Ргохт3. ^ ( У7 — Т7 А,- — Л7 + г ( у — В^ и ) ) , і = 1, 2, . .., п, (25)

Л 7 = Л 7 + г (Ві и — ), і = 1, 2,..., п. (26)

Равенства (26), очевидно, эквивалентны равенствам (21).

Равенства (25) с учетом (21) в соответствии с определением проксимального отображения на основе вариационного неравенства (19) эквивалентны вариационным неравенствам

Т7 ( У7 — Л7 , г — У7 )н + Т7 ^7 (г) — Т7 ^7 (У7) > 0 V г Є H, 0 1 2, . . . ,

п

или

( У' - А' , * - У' )Н + (г) - (У' ) ^ 0 У * 6 Н 3 = 1, 2, (27)

каждое из которых эквивалентно соотношению —А'у' — А' 6 дЯ' (у'), 3 = 1,

2, • • •, и, то есть имеют место включения (22).

Аналогичным образом имеем, что равенство (24) эквивалентно вариационному неравенству

Ао и + ^2 В* Л 7 , п — и1 + Во(п) — Во (и) > 0 V п Є V, (28)

7 = 1 ) V

то есть включению (23).

Таким образом, установлена эквивалентность равенства Тц = ц соотношениям (21) (23).

Проверим теперь, что первая компонента и любой неподвижной точки ц опе-Т

пользуясь равенствами (21), у7- на В7- и, і = 1, 2,..., п, положим г = В7- п, где П — произвольный элемент из V, а затем сложим полученные неравенства. Тогда, пользуясь определением сопряженного оператора, имеем:

^(В* о о В7 (и) п — u)V + 53

7=1 7=1

В7 (В7 п) В7 (В7

> 0 V п Є V. (29)

и

неравенства (9). Теорема доказана. □

Теорема 2. Пусть существует решение задачи (9), выполнено условие

3 и* 6 Я0 : В' и* 6 Я'; Я' непрерывен в точке В' и*, 3 =1, 2, • • •, и (30)

Т

Доказательство. Пусть и - решение задачи (9), у' = В' и 3 = 1, 2, •••,и. Вариационное неравенство (9) эквивалентно следующему включению

—Ао и — В* А7 У 7 Є д

7=1

Во + ^ В7 о В7

7=1

(и).

Из предложений 5.6, 5.7 [6, с. 35, 36] при выполнении условий (30) следует, что

п

(и) = дВо(и) + £ 5 (В7 о В7 )(и) =

Во + В7 о В7

7=1

7=1

дВо(и) + ^ В* д В7(у7). (32)

7=1

Из равенства (32) и соотношения (31) вытекает существование таких элементов

V Є д Во (и), Є дВ7- (у7-), і = 1, 2,..., п, что справедливо равенство

пп

—Ао и — '^2 В* у 7 = v + X] В*

7=1

7=1

П

-Ао и - ^ ( Аі У і + *і ) = ^

7=1

Пусть Л і = А- у і + 2-, у = 1, 2,..., п, тогда имеют место включения

п

-Ао и - ^ В* Л і = V Є д^о(и); -А- у і + Л і = * Є (у- ), у = 1, 2, • • •, п,

і=1

то ость справедливы соотношения (22). (23). Кроме того, по построению выполнены равенства (21). Но тогда согласно теоремы 1 точка д = (и, У, Л), где У = ( Уі, У2, • • •, Уп ) Є Нп, Л = ( Лі, Л2, • • •, Лп ) Є Нп, является неподвижной точкой оператора Т. Теорема доказана. □

3. Сходимость итерационного метода

Введем в рассмотрение гильбертово пространство Q = V х Нп х Нп со скалярным произведением

(•>-)я = —(•> -)у + — (•,-)н + - ^2 (•, -)н,

то

і=і Т-

і=1

где г, т-, у = 0, 1, •••, п, - положительные постоянные, причем т- г < 1, у =

0, 1, • • • , п

При исследовании сходимости итерационного процесса (20) нам потребуется следующая

Теорема 3. Пусть выполнены условия (10) (12),

2 о-

2 о- г +1

І = 0,1, • • • ,п.

(33)

Тогда оператор Т является нерастягивающим. Более того, для любых д, р из Q справедливо неравенство

1Тд-трН| + ^0 (Аодо - Аоро, до -роV + ^3 (а-Ц- - А-Р- , Ц- -Р- )я +

-=1

+

1

Е

то (1 - то г) 1

(1 - т- г) (до - То д) - (ро - Тор) - то (Ао до - Ао ро)

V

+

1 ті (1 - ті г)

(1 - т-г) (д- - Т- д) - (р- - Т- р ) - т-(А- д- - А- р-)

Я

+г ЕII(д-- То д) - (р-- Тор) ііЯ ^ II д- р , (34)

-=1

г<?е = 2 - т- /[о- (1 - т- г) ], І = 0,1, • • •, п.

Доказательство. Заметим предварительно, что в силу условий (33) выполнены неравенства т- г < 1, > 0, і = 0,1,•••,n, а значит, из (10), (11) и (34)

Т

т- <

2

С учетом (12) перепишем равенство (16) в виде

( П

То д = РгохТо д, I до - то Ао до - то г до - то ^ В* ( дп+з - г дз)

з=1

Ргох то Ро ( йо до - то ^2 В* (д п+з - г дз) ) ,

3* з

7=1

где оператор йо : V ^ V, определяется соотношением йо = (1 - то г) Е - то Ао. Следуя [3], в силу (10) для любых до,ро € V имеем, что

У йоРо - ^о до || V = (1-то г)2 У до - Ро IV-2 то (1-то г) (Ао до - Ао ро , до - Ро V + + то2 || Ао до - Ао ро IV < (1 - то г)2 || до - Ро| V -

- 2 г0 ^1 - т0 1 ^ (Ао до - А0 ро, до - Ро V >

то есть

II йоро - йодо IV <

< (1 - то г)2 || до - роIV - то (1 - то г) й> (Ао до - Аоро, до - Ро )V . (35)

Далее, используя жесткую нерастягиваемость проксимального отображения Ргох То р0, имеем

|| То д - Тор IV < (То д - Тор, йо до - йоРо V -

П

-то Е (Вз* (дп+з-рп+з) -гВ* (дз-Рз), Тод-Тор)V •

3=1

Преобразуя первое слагаемой в правой части при помощью равенства

(г>,ги)г = ^~: М\\ ~ ^ Ь ~ £™\\22 + - \\ш\\22 Уи,ги&г, У е >0 (36)

с 2 = V, V = йо до - йо ро, т = То д - То р, получаем

|| Т0 д - Т0р ||2, < ^ Цй'о д0 - 5'оРо \\у + ^ ||Т0 д - Тзр ||2, -

- 1- || (й'о до - 5'оро ) - £ (То д -Т0р) ||2, -

2 £

п

-то Е (Вз* (дп+з -рп+з) -гВ* (дз -Рз), Тод-Тор)V •

з=1

Отсюда в силу (35) следует, что

2_£ ит ГТ1 ||2 . (1 — То'г)“ 2

—— || Т0 д - Тзр ||Д/ < ------—------- IIдо - Ро ||у _

т0 (1 - тог)(5о -----------^------- (А0 до - Аоро, до - ро V ~

~ 97 1К1-Т° г) _ Ро ) - то (Ао до - Аоро ) - е (Т0д - Тур) \\у -

п

- то Е (Вз*(дп+з- рп+з) - г В* (дз- рз ), То д- То р)Д

з=1

Разделив обе части этого неравенства на то и положив є = 1 - то г, получаем

—-—-— || То д — Тор ||у + 77 (Ао до — Лоро, до — ро )у +

2 то 2

1

2 (1 - то г) то

1 - то г

<

2 то

(1 - то г) (до - То д) - (ро - Тор) - то (Ао до - Ао ро)

п

ІІдо -ро УV -Е (дп+і -рп+-, (То д - Тор))Я +

<

-=1

+ г Е (дз - Рз, Вз (То д - Тор ))н , з=1

откуда после преобразования величин ( дз- - рз-, Вз- (То д - То р) )н при помощи равенства (35) с 2 = Н £ = 1 > V = дз - рз-, ад = Вз- (То д - То р) следует, что

—-—-— || То д — Тор ||у + — (Ло до — Аоро, до — Ро )у +

2 то 2

+

1

2 (1 - то г) то

(1 - то г) (до - То д) - (ро - То р) - то (Ао до - Ао ро)

+ ^ Е II (<& - В3 То <7) - (Рз - В, Тор) Ия <

V

<

-=1 1 ~ т0 г 2 т0

2 г 2 ко - РО \\у + 9 2^ II ?3 - Рз ІІЯ +

- = 1

+ 9 Е II в3 (То д - Тор) \\2н - Е ( 9п+з -Рп+з , Вз (Тод - Тур))н -=1 -=1

(37)

Теперь для каждого І = 1, 2, • • •, п перепишем равенство (17) в виде

Т- д = Ргох Тз рз ( д- - т- г д- - т- А- д- + т- д п+- + т- Щ Т о д ) =

= Ргох т3- р3- ( д- + т- д п+- + т- В- То д ) .

где оператор 5- : Н ^ Н определяется соотношением = (1 - т- г) Е - т- А- .

В силу (11) по аналогии с (35) получаем оценку

IIр- - д- ІіЯ <

< (1 - т-г)2 IIд- - р- IIЯ - т-(1 - т-г) (аі д- - А- р- , д- - р- )я , (38)

а в силу жесткой нерастягиваемости проксимального отображения Ргох Ті р и равенства (35) с произвольным є > 0, 2 = Н, V = д- - р-, ад = Т- д - Т- р

имеем

УТ- д- Т- р ІіЯ <(Т- д- Т- p, д-- р- )я +

+ т-г (Т- д- Т- р , (То д- То р) )я +

Я

+ тз (Тг'д - ТзР, д„+з-Рп+з )я = II 5з дз - 5'зРз ||я + - \\Т^д-Тур\\^н-~ ^7 II (53 Яз ~ &зРз ) ~ £ д -Тзр)\\~н +

+ т-г (Т- д- Т-р, (То д- Тор))я + т-(Т- д- Т-р, дп+- -рп+- )я •

2

Полагая в последнем неравенстве £ = 1 - тз- г и используя полученную выше оценку (38) для Ц^з дз- - йз рз' ||Н, приходим к неравенству

1 + тз г 2 г,-

\\Tjq Т^р\\н+ (Ау </3 А^р^,д^ Рз)н~\~

1

2(1 - тз г)тз

(1 -

<

1 ~ тз г 2 г,

(дз - Тз д) - (Рз - Тз р) - тз (Аз дз - Аз Рз)

У дз- рз 11н - (Тз д- Тз р , дп+з- рп+з )я +

<

Н

+ г (Тзд-Тзp, Вз(Тод-Тор))Н,

которое после применения равенства (35) с £ = 1, 2 = Н, V = Тз- д - Тз- р,

ад = Вз (То д - То р) для преобразования последнего слагаемого приобретает вид

^ II Тз <7 - Тз р II н + (Аз <?з - А,- Рз , <?з - Рз )я +

2 тз

+

2(1 -

г

+ ^ II (Тз д _ В3 Т0 д) - (Тзр - Вз Т0Р) Ня +

(1 - тзг) (дз - Тз д) - (Рз - Тз р) - тз(Аз дз - Аз Рз)

<

Н

<

1 - тз г

2 тз

У дз рз IIн + (дп+з рп+з , Тз д Тз р )н +

+ ^ 1|Тз</-Тзр||^+ ^ II Вз( То 9-Тор) 11^. (39)

П Н ~ О II 3

Далее, для каждого ] = 1, 2,..., п в силу (18) имеем

У Тп+з д - Тп+зр Ун = У дп+з -рп+з Ун +

+ 2 г (дп+з - р п+з, Вз (То д - То Р) )н -

- 2 г (дп+з - рп+з, Тз д - Тз р )н + г2 У Вз(То д - Тор ) - (Тз д - Тз р ) УН,

откуда вытекает, что

2^ И -^п+7 ^ _ Тп+зР IIя = 27 ^ — Рп+3 IIя +

+ (дп+з - рп+з , Вз (Тод - Тор) )н -

г

- ( Чп+з -рп+з , Тз д - т^р)н + - II Вз (Тз д - Т)Р) - (Тз д-^р) ||^ . (40)

Просуммируем соотношения (39) и (40) по ^ = 1, 2,..., п, а сложим эти резуль-

2

1 + Т° ( || Тз д - Тор ||^ + 60 (Лз до ~ Лоро, до ~ ро )у +

то

+

1

(1 - то г) то

(1 - то г) (до - То д) - (ро - Тор) - то (Ао до - Аоро)

п

+ г У (дз - Вз То д) - (рз - Вз Тор) УН +

V

+

з=1

1 + тз г

+ II _ ^7 р Ня + ^ ® ® _ р3 )я +

з=1 тз з=1

з

2

з

2

+ г 52 У (Тз д - Вз То д) - (ТзР - Вз ТоР) УН + з=1

+ Е

з=1

1

(1 - тз г)тз

(1 - тзг) (дз - Тз д) - (Рз - Тз р) - тз(Аз дз - Аз Рз)

Н

+

пп

+ Ф Е У Тп+З д - Тп+зР ||^ < —— || до - Ро IIV + г Е У Уз ~ 'р3 У я +

г з=1 то з=1

пп

+ г Е У Вз (То д - Тор ) УН - 2 Е ( дп+з - рп+з , Вз (То д - Тор ))Н +

з=1

з=1

+ Е У Ъ ~ рэ 11я + 2Е( <1п+0 ~Рп+з Т]Р)Н +

з=1 тз з=1

пп

+г ЕУ Тз д- Тз р УН+г ЕУ Вз(То д- То р) УН +

з=1

з=1

+ 7 Е у дп+з -рп+з IIя + 2 Е (дп+з -рп+з > в, (ТЬд - Тор ) )я -

з=1

з=1

- 2 Е (д п+з - р п+з, Тз д - Тз р )н + г Е У Вз (То д - То р ) - (Тз д - Тз р ) УН -

з=1 з=1

Заметим теперь, что в силу (12)

Е УВзпУН

з=1

V V п € V.

(41)

С учетом этого соотиошеиия после несложных выкладок последнее неравенство приобретет вид:

II То д - Тор\\;,+52 1Л31- II Ъ д - Тур ||я+- ]Г || Тп+й д - Тп+Гр\\2н +

то тз г

з=1 з=1

п

+ £о (Ао до - Аоpо, до - ро)V + <*з (Аз дз - АзРз, дз - Рз )н +

з=1

1

1

Н

(1 - то г) то

(1 - тзг) [ (дз - Тз д) - (Рз - Тз р) ] - тз (Аз дз - Аз Рз) Н +

(1 - то г) (до - То д) - (ро - То р) - то (Ао до - Ао ро)

п

+ г Е У (дз - Вз То д) - (Рз - Вз Тор) УН <

з=1

1 - т г п 1 1 п

< —г^- II до ро ||у + Е г II д3 _р3 11я + -Е II ^+3 “р»+3 Ия >

то тз г

з=1 з=1

то есть неравенство (34) справедливо. Теорема доказана. □

Напомним (см. [7]), что оператор Т : Q ^ Q называется асимптотически регулярным, если Т к+1 д - Т к д ^ ^и к ^ для любогод € Q.

2

Справедлива

Т

точку и выполнены условия (10) (12), (33). Тогда итерационная последовательность {д(к)} +=о, построенная согласно (20), сходится слабо к д* в ^ щи к ^ ^ +то, д* является неподвижной точкой оператора Т, справедливы равенства

Иш

к——+^

(к) - В- и(к)

Я

и оператор Т : Q

0, І = 1, 2, • • • , п,

Q является асимптотически регулярным, то есть

= 0^

Ііш

к——+^

д(к+1) - д(к)

я

(42)

(43)

Доказательство. Воспользуемся неравенством (34), положив в нем д = д(к) рТ существует хотя бы одна такая точка). По определению итерационной последовательности Тд(к) = д(к+1), для неподвижной точки справедливы равенства Рз = Тзр, з = 0,1,...,п. Далее, согласно теореме 1 выполнены соотношения Рз = Вз То р = Вз ро, з = 1, 2,..., п. С учетом вышесказанного получаем:

д(к+1) - р

+ ■

^Ао и(к) - Ао ро , и(к) - ро) v +

п

+ Е ( А- І - АІ рі , І - рО Я +

І=1

2

я

+

1

Е

І=1

то (1 - то г) 1

(1 - то г) (

(к) - и(к+1)

) - то (Ао и(к) - Ао ро)

+

(1 -

(1 - т- г) (І - у-к+1) ) - т- (А- І - А- р-)

Я

+

г ЕII у-к) -І=1

(к+1)

<

Я

д(к) - р

Из этого неравенства вытекает, что числовая последовательность 111 д(к) - р||ц| не возрастает, и, следовательно, имеет конечный предел:

к=о

Ііш

к——+^

и значит, выполнены соотношения:

д(к) - р

< +ГО;

Ііш Ао и(к) - Ао ро , и(к) - ро

к——+^ V / 1

(А-ук) - А-р-, ук) -р- )Я = 0, і' = 12, • • •,n,

Ііш

к——+^

Ііш

к——+^

Ііш

к——+^

Ііш

к——+^

0,

0,

у(к) - в- и(к+1)

Я

= 0, І = 1, 2, • • • , п,

(1 - то г) ^и(к) - и (к+1^ - то ^ Ао и(к) - Ао

(1 - тіг) (— - У-к+1)) - ті (Аі — - АІ рі)

V

(44)

(45)

(46)

(47)

Я

= 0, І = 1, 2, • • •, п (48)

2

2

2

я

0

Используя (10). (11). (44) и (45). получаем Ао и(к) - Ао ро Из (47) (49) следует, что

Ііт

к——

= 0, Ііт

V к——

А, у,к) - А, Р,

н

Ііт

к——

и(к) - и(к+1)

0,

V

Ііт

к——

(к)

„(к+1)

н

= 0, і = 1, 2,..., п. (50)

Далее, используя (41). (46). (50). из неравенства

у(к) - В, и(к)

<

н

/(к) - В, и(к+1)

н

В, (и(к) - и(к+1))

<

<

7(к) - В, и(к+1)

н

| Ві (и(к) - и(к+1)

7(к) - В, и(к+1)

н

и(к) - и(к+1)

V

н

1/2

і = 1, 2,.

получаем соотношения (42). Из (18) и (42) имеем

Ііт

д(к) - д(к+1)

= г Ііт

Н к——+ ^

(к+1) - в,и(к+1)

н

° і' = 1, 2, (51)

Равенства (50), (51) означают, что выполнено условие (43), то есть Т - асимптотически регулярный оператор. Поскольку к тому же оператор Т по условиям настоящей теоремы имеет непустое множество неподвижных точек н является в силу теоремы 3 нерастягивающим, то из [8] следует, что итерационная последовательность {д(к)} +=0 > построенная согласно (20), сходится слабо в ^ щ)и к ^ +го, ее предел д* является неподвижной точкой оператора Т. Теорема доказана. □

Отмстим, что если выполнены условия теоремы 1, то из теорем 2, 4 вытекает,

что последовательности { и(к)}+=0, | Ук)| , построенные согласно (13)-(15),

сходятся слабо ки^кВ^ и в Н, ^ = 1, 2,..., п, соответственно, при к ^ ,

где и - решение вариационного неравенства (9).

4. Сходимость итерационного метода в случае сильно монотонного и липшиц-непрерывного оператора

Рассмотрим теперь случай, когда один из операторов, входящих в вариационн-иоо неравенство (9), является сильно монотонным и липшиц-нопрорывным, то есть либо вместо (10) выполнены условия

(Ао п - Ао и , п - «V > Мо У п - '

IV :

V и, п Є V,

Ао п - Ао и || V < 7о У п - и || V , Vи, п Є V,

либо вместо (11) выполнены условия

(52)

(53)

(А, у - А, г, у - г)н > М, || У - г ||н V у, г Є Н, і = 1, 2,..., п, (54)

А, у - А, г ||н < 7, у у - г ун V У, г Є Н і' = 1 2, •••,п-

(55)

2

Теорема 5. Пусть выполнены, условия (11). (12). (52). (53) то <

З до З а,

о-----------’ Ті < о--------------------------------ТТ ’ 3 = І! 2’ • • • ’ п-

З до г + y0 З а, г + І

(56)

Тогда оператор Т является нерастягивающим. Более того, для любых ц, р из справедливо неравенство

П

II Тц - Тр Нц + в0 II ц0 - р0 IIV + Е (А - А р3 ’ - р3 +

5=1

1

+

Е

,= 1

то (І - то г) І

(І - т, г) (q0 - То q) - (p0 - То p) - то (Ао q0 - Ао p0)

V

+

т,(І - т, г)

(І - т, г) (q, - Т, q) - (p, - Т, p) - т,(А, q, - А, p,)

H

+ г Е Н (- То Ц) - (Рз - Тор ) НН ^ Н Ц - р Ид ’ (57)

3=1

где во = 2 до - то 72/(1 - то г ), =2 - т, /[ст, (1 - т, г) ], і = 1, 2,..., п.

Доказательство. Заметим, прежде всего, что в силу условий (56) выполнены неравенства то г < 1, во > 0, т, г < 1, > 0, і = 1, 2,..., п, а значит, из (11) и

Т

Далее, для оператора £о = (1 -то г) Е-то Ао, введенного в теореме 3, используя (52) и (53), получаем неравенство

II S0 qo - S0Po ||у = (1 - то г )2 II qo - Po ||у -

- 2то (1 - то r) (Ao qo - Aopo , qo -Po )V + Ti || Ao qo - Aopo ||V <

< (1 - To r )2 у qo - Po У V - To (2Mo - To (2rMo + Y2)) у qo - Po У V .

Используя это неравенство, следуя доказательству теоремы 3, вместо (37) получаем неравенство:

1 ^ То ? 11 гр гр 112 , во || 112 |

- II То q ~ Top\\v + — II qo -ро || у +

2 To 2

+

І

З (І - то г) то

(І - то г) (q0 - То q) - (p0 - Тоp) - то (Ао q0 - Аоp0)

V

+

+ 9 Е II ~ ^ Т> <?) - (Рд - Top) Wx < ,=1

І - то г n

^ Оі_о II qo - Po IIV + 9 Е II qj ~ рі II н +

,= 1

+ 9 Е II Ві (Т° q ~ Т°Р ) ІІя-Е( Чп+і ~Р'-‘+і > (Т° q ~ Тур))н .

,=1 ,=1

Повторяя выкладки, проведенные при доказательстве теоремы 3, получаем неравенство (57). Теорема доказана. □

2

Теорема 6. Пусть выполнены, условия (11). (12). (52). (53). (56). итерационная последовательность {ц(к)} +=^ построена согласно (20). Тогда выполнены (42), (43) и следующие равенства

Иш

к——+ ^

и(к) — и

(к) тз

у; — В; и

н

= 0 3 = 1, 2, (58)

и

Доказательство. Отмстим, что из (52) вытекает существование единственного решения вариационного неравенства (9) (см., например, [6]), а значит, в силу теоремы 2 множество неподвижных точек оператора Т не пусто.

Положим в неравенстве (57) ц = ц(к), а в качестве р выберем неподвижную точку оператора Т (при этом р; = Т;р, 3 = 0,1,...,п). В силу теоремы 1

справедливы соотношения р; = В; То р = В; ро, 3 = 1, 2,..., п. Тогда, поскольку Тц(к) = ц(к+1) , имеем

ц(к+1) — р

+

и(к) — ро

п

+ Е (А; у;к) — А р; > У;к) — р;) н +

;=1

Е

;=1

то (1 — то г) 1

(1 —

(1 — то г) (и(к) — и(к+1)) — то (Ао и(к) — Аоро)

(1 — т; г) (У(к) — У(к+1) ) — т; (А; У(к) — р;)

+

2

н

г Е | У;к) — В

;=1

,(к+1)

<

н

ц(к) — р

Из этого неравенства вытекает, что числовая последовательность |||ц(к) — р 11 д } не возрастает, и следовательно, имеет конечный предел, а значит, выполнены соотношения (45)-(48), а также следующее равенство

к=о

Иш

к——

и(к) — ро

0.

(59)

Из (11), (45) и (53), (59) имеем (49), и далее, следуя доказательству теоремы 4,

и

силу теоремы 1 выполнены равенства ро = и, р; = В; и, 3 = 1, 2,..., п.

Далее, имеем

(к)

У; В; и

<

н

у(к) — В; и(к) + В; (и(к) — и )

£|| в (

и(к) — и

3 -э 2 \1/2 н

н

<

н

У;(к) — В; и(к)

н

У(к) — В; и(к)

н

и(к) — и

V

3 = 1, 2, ...,п,

и из (42), (59) получаем (58). Теорема доказана.

Теорема 7. Пусть выполнены, условия (10), (12), (54), (55),

□

то <

2 сто

2 сто г +1

2 м зг + т;

■, 3 = 1, 2,..., п.

(60)

2

2

2

2

т; <

Тогда оператор Т является нерастягивающим. Более того, для любых д, р из Q справедливо неравенство

Тц - ТР Іі| + й ( Ао Цо - Аоро , Цо - ро V + 52 в3 Н Ц, - р, НН +

3=1

1 Г 1 2

—------------ (1-го >') (до - То д) - (ро - Тур) - т0 (А0 до - А0 ро)

то (1 - то г) І ]

+

1

3=1

+ Е т. (і ^~тз -ТзЧ)- {Ро - Тур) - Тэ (Аэ дз - Ай Рі)

+ г 52 Н (Ц, - В3 То Ц) - (р, - В3 Тор ) Нн - Н Ц - р Нд ’ (61) 3=1

где 5о = 2 — т; /[ сто (1 — то г)], в; =2 М; — т; 72/(1 — т,- г ), 3 = 1, 2,... ,п.

Доказательство. Доказательство данной теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 5. □

Теорема 8. Пусть выполнены условия (10). (12). (54). (55). (00), итерационная последовательность {ц(к)} +=^ построена согласно (20). Тогда выполнены (42), (43), (58).

Доказательство. Из (41), (55) вытекает, что

п п п

Е(В*оА;оВ;(u), п—и)у = Е(А;оВ;(u), В;п—В;и)н > Ем; IIВ; (п—и)11Н >

3=1

3=1

3=1

> М* Е Н В3 (П - и)11Н = М* Н П - и 11т>> М* = тах{ М1> М2 ,..Мп },

3=1

а значит, вариационное неравенство (9) имеет единственное решение, и в силу тео-

Т

р

неподвижной точкой оператора Т и полагая Ц = Ц(к), имеем

Ц(к+1) - р

п

+ 5о (Ао м(к) - Ао ро , м(к) - ро ) v + 52 в,

3=1

(к)

У, - р,

+

+

то (1 - то г) 1

(1 - то г) (м(к) - и(к+1)) - то (Ао м(к) - Ао ро)

н

+

3=1

(1 -

(1 - т3г) (У,к) - У(к+1)) - т3 (А3 3 - А, р, )

н

+

г Е || 3 - В3^

3=1

,(к+1)

-

н

Ц(к) - р

Отсюда следуют соотношения (44), (46) (48) и, кроме того,

Ііт

к——+ ^

(к)

У, - р,

1, 2, . . . , п,

н

(62)

2

2

2

2

0

і

а значит, в силу (55) Иш

А; у^0 — А; р;

н

= 0, 3 = 1,2,..., п.

Но тогда справедливы равенства (45) и. как это было установлено при доказательстве теоремы 4. равенства (42). (43).

Далее, в силу (42), (62) имеем для всех 3 = 1, 2,..., п

В; и(к) — В; и

н

В; и(к) — р;

<

н

<

В; и(к) — у(к)

н

(к)

■р;

н

0 при к ^ +то.

а значит, согласно (41)

Иш

к—

и(к) — и

Иш 52 | В; и(к) — В;

;=1

0.

н

Таким образом установлена справедливость (58). Теорема доказана.

□

Отметим, что для задачи (1)-(3) в случае, когда В; = д/дж;, 3 = 1, 2, ...,п, соотношение (12), как нетрудно установить, имеет место. Кроме того, условия (54), (55) выполнены, если, в частности, в; = 0, 3 = 1, 2,... ,п (см., например, лемму 1.6. [6, с. 891 )•

5. Реализация итерационного метода для задачи (1)—(3)

Рассмотрим особенности реализации итерационного метода (13) (15) применительно к задаче (1) (3). Очевидно, в рассмотрении нуждаются лишь задачи (13), (14), поскольку в (15) вычисления производятся по явным формулам.

С учетом того, что функционал То является линейным, вариационное неравенство (13) стандартным образом приводится к виду

то

и(к+1) — и(к), п ) +

+ ^Ао и(к) — / + ги(к) + 52^ В;* — гу;(к)) , п j =0 V п € V,

где элемент / € V определяется соотношением

(/, пк ^У"(/,П) ^ж, п € V.

п

п

Дирихле для уравнения Пуассона.

Далее, для каждого 3 = 1, 2,..., п перепишем вариационное неравенство (14) в виде

(к+1)

где

■5к+1)) н + С (г) — С; (у(к+1)) > 0 V г € Н, (63)

С(г) = т; В;(г) — (У;к) — т; А; У;к) — ^ + г (у3(к) — В;и(к+1)) , г)н .

1

Пользуясь определением проксимального отображения, получаем, что вариационное неравенство (63) эквивалентно задаче минимизации

1м м2 1

- ||г||я + С;, (г) > -

(й+1)

У-

+ (у?+1)) V г е Н

ИЛИ

1 2

2тз Ы1 н +

ч к

то есть

2 т-

,(й+1)

н

А - — + г - - В- „(‘+1>

(й) ■у- -

А- - - - + г (у(й> - В- и(й+1>

, г - у

(й+1)

V г е Н,

н

е (у(й+1))

(64)

где

*Н*~) = ^ 1Н1н + ЗД-2-

Известно (см. [6]), что р е д (г) тогда и только тогда, когда г е дТ-*(д), где В* - сопряженный к Т- функционал (см., например, [6, с. 26 ]). Поэтому включение (64) эквивалентно следующему:

у(/+1) £дР; ( ± ую -

А- + г (у(й) - В- м(й+1)

(65)

Поскольку

Т (г)

е/т

е/т- + е > в-

£т,- (е) 5т3- (е) =

п 0 I С/'.; I ^ ;

то следуя [9], нетрудно проверить, что

и ( т- С е < в- /т- :

(г) = / J ¥>т,- (е) ^ (I X, ^т, (е) = < в- , в- /т- < е < в- /т- + $ - ,

1 т- (е + ^ ); е > в- /т- + ^ .

Тогда по аналогии с [10, с. 321] и [11, с. 116] получаем, что функционал В* диф-

ференцируем по Гато, причем

(г) =

^т, (| г |)

следовательно, в силу предложения 5.3 [6, с. 33] субдифференциал дТ-*(г) состоит

из единственного элемента совпадающего с ^ (г). Поэтому соотношение (65)

представляет из себя вычисления по явным формулам.

2

1

г

з

-

з

2

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л*1' 06-01-00633).

Summary

I.B. Badriev, О.A. Ztulvomov. Он t.lie iterative method for solving a variational inequalities with inversely strongly monotone operators.

We consider a boundary valued problem whose generalized statement is formulated as a mixed variational inequality in Hilbert space. The operator of this variational inequality is a sum of several inversely strongly monotone operators (which are not necessarily potential operators). The functional occurring in this variational inequality is also a sum of several lower semi-con-t.inuous convex proper functionals. For the solving of the considered variational inequality the decomposition iterative method is offered. The suggested method does not require the inversion of original operators. The convergence of this method is investigated.

Литература

1. Бадриев И,Б,, Задвориов О.А. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами // Дифферепц. уравнения. 2003. Т. 39, .V 7. С. 888 895.

2. Задвориов О.А. О сходимости полуявиого метода с расщеплением для решения вариационных неравенств второго рода // Изв. вузов. Математика. 2005. Л'! 6. С. 61 70.

3. Бадриев И.Б., Задвориов О.А. О сходимости итерационного метода двойственного

типа решения смешанных вариационных неравенств // Дифферепц. уравнения. 2006. Т. 42, Л» 8. С. 1115 1122.

4. Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации // Прикладная математика в паучпо-техпических задачах. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976.

С. 12 21.

5. Бадриев И.Б., Задвориов О.А., Саддек А.М. Исследование сходимости итерационных

методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомопотппыми опера-

торами // Дифферепц. уравнения. 2001. Т. 37, Л'! 7. С. 891 898.

6. Эклаид И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979. 400 с.

7. Browder F.E., Petryshin W. V. The soluyion by iteration of nonlinear functional equations in Banach spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. V. 72. P. 571 575.

8. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. P. 591 597.

9. Бадриев И.Б., Задвориов О.А., Исмагилов JI.H. Применение метода декомпозиции для численного решения некоторых нелинейных стационарных задач теории фильтрации // Исследования по прикладной математике и информатике. Казань: Казан, гос. уп-т. 2003. Вып. 24. С. 12 24.

10. Михлии С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. 430 с.

11. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

Поступила в редакцию 06.08.06

Вадриев Ильдар Вурханович доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

E-mail: Ildar.BadrievQksu.ru

Задвориов Олег Анатольевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

E-mail: Oleg.ZadvurnuvQksu.ru