УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 149, кл. 4
Физико-математические пауки
2007
УДК 517.934
О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО НЕРАВЕНСТВА ВТОРОГО РОДА С ОБРАТНО СИЛЬНО МОНОТОННЫМ ОПЕРАТОРОМ
II. Н. Исмагилов, II. Б. Бадриев
Аннотация
В работе проведено исследование сходимости итерационного метода решения вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких функционалов, каждый из которых представляется в виде суперпозиции полунепрерывного снизу выпуклого собственного функционала и лилейного непрерывного оператора. Подобные неравенства возникают, в частности, при математическом моделировании стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом.
Введение
В работе проведено исследование сходимости итерационного метода решения вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором [1] в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких функционалов, каждый из которых представляется в виде суперпозиции полунепрерывного снизу выпуклого собственного функционала и линейного непрерывного оператора. Подобные неравенства возникают, в частности, при математическом моделировании стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом (см.. например. [2. 3]).
Для решения подобных вариационных неравенств в работах [4 6] предложены итерационные методы расщепления. Основную трудность при этом представляет решение возникающих на каждой итерации задач минимизации. В случае задач фильтрации с изотропным законом эту задачу удалось решить в явном виде (см. [7]) благодаря тому, что можно эффективно вычислить субдифференциал функционала, сопряженного к минимизируемому. В случае же анизотропного закона фильтрации, когда минимизируемый функционал является суммой нескольких функционалов, вычисление сопряженного функционала представляет из себя сложную задачу. В настоящей работе предложен алгоритм расщепления, позволяющий обойти указанную выше трудность. Исследована сходимость метода. Доказательство сходимости итерационного метода удалось провести благодаря записи его в виде метода последовательных приближений для отыскания неподвижной точки оператора перехода итерационного процесса. Получены соотношения, связывающие решение исходной задачи с неподвижной точки оператора перехода, получены условия непустоты множества неподвижных точек. Для оператора перехода доказано неравенство более сильное, чем неравенство нерастягиваемости, что и позволило получить результат о слабой сходимости итерационной последовательности. Использовались также результаты о сходимости метода последовательных
приближений для определения неподвижных точек асимптотически регулярных операторов (см. [8]).
1. Постановка задачи
Пусть V, H - гильбертовы пространства то скалярными произведениями (•, и (•, ^)H соответственно, Ao : V ^ V - обратно сильно монотонный оператор с постоянной ст0 > 0 (см. [1]):
(Aou - Aon, u - n)V > ||Aou - Aon||V , ao > 0 Vu, n G V, (1)
Bj : V ^ H, г = 1, 2,..., m, — линейные, непрерывные операторы, Gj : H ^ R1, г =1, 2,..., m, - полунепрерывные снизу, выпуклые, собственные функционалы, f G V - заданный элемент.
Рассматривается задача поиска вектора u G V, являющегося решением следующего вариационного неравенства второго рода
m m
(Aou - f,n - и)у + ^ Gj(Bj^ Gj(BjU > 0 Vn G V. (2)
j=1 j=1
Ao
константой 1/ao, функционалы Fj = GjoBj : V ^ R1, г =1, 2,..., m, - полунепре-
m
рывными снизу, выпуклыми, собственными. Функционал F ^^ Fj также являет-
j=1
ся полунепрерывным снизу, выпуклым и собственным. Поэтому при доиолнитель-
Ao
имеет непустое, выпуклое, замкнутое множество решений (см., например, [9, 10]).
2. Итерационный метод
В дальнейшем будем рассматривать абстрактное вариационное неравенство (2), считая, что Bj : V ^ H - линейные, непрерывные операторы, Gj : H ^ R1 -выпуклые, липшиц-непрерывные функционалы, г = 1, 2,..., m. Кроме того, будем предполагать, что выполняется равенство
1m
— (BiU, Вц])н = (и, 1])у У и, 1] G V. (3)
j=1
Для решения вариационного неравенства (2) по аналогии с [5] рассмотрим следующий итерационный процесс.
Пусть u(o) G V, y(o) G H, A(o) G H, г = 0,1,..., m, — произвольные элементы.
Для k = 0,1, 2,..., зная y(k), определим u(fc+1) как
u(k+1) = u(k) - T
m
Aou(k) - f + r £ B* Bj u(k) + £ B*(A((k) - ry(fc^]. (4)
j=1 j=1
Затем находим y(k+1), решая задачи минимизации r (y(k+1),Zj - y(fc+1) )я + Gj(zj) - Gj(y(k+1)) >
H
> (rBjU(fc+1) + A(fc),zj - yf+1)) H V zj G H, г = 1, 2,...,m. (5)
m
Наконец, вычисляем A(k+1 по формуле
Af+1) = A(k) + r
BiU(k+1) - y(k+1)
i = 1, 2, . .. ,m.
(6)
Здесь т > 0 и r > ^ — итерационные параметры, B* : H ^ V - сопряженные к Bi операторы:
(B*yi, n)v = (yi, Bin) H Vn e V, yi G H. (7)
Для исследования сходимости описанного итерационного процесса выпишем явный вид оператора перехода этого процесса.
Обозначим через Hm прямое произведение m пространств H и введем в рассмотрение оператор T : V х Hm х Hm ^ V х Hm х Hm, ставящий в соответствие вектору q = (q0,qi,q2, . . . ,q2m) = (u,yi, . . . ,ym,\i, . . . ,\m), элементы Tq = { T0q, Tiq, ..., T2mq } следующим образом:
Toq = qo - t A0q0 - f + r^B*Bi q0 + ^ B* (qm+i - r qi)
i=1 i=1
Ti.q = Prox Gi/r ( Bi T0q + ^ ) , i= 1,2,..., m, Tm+iq = qm+i + r [Bi Toq - Tiq], i = 1, 2,...,m.
(8)
(9) (10)
Здесь Ргох а : % ^ % - проксимальное отображение, сопоставляющее каждому-элементу р го гильбертова пространства % элемент V = Ргох а (р), являющийся решением задачи минимизации
\ II v ~p\\l + G(v) = mm { 7, II z~p\\l + G(z) |,
которая эквивалентна в случае, когда G - выпуклый, собственный, полунепрерывный снизу функционал, вариационному неравенству
(v - p,z - v)Z + G(z) - G(v) > 0 V z e Z.
(И)
Нетрудно проверить, что проксимальное отображение является жестко нерас-тягивающим, то есть
Ргоха(р) — Ргоха(г) < ^Ргоха(р) — Ргоха(г), р — г^ Ур,г €
Используя определение проксимального отображения в виде вариационного неравенства (11), легко установить, что итерационный процесс (4) (6) может быть записан в следующем виде:
qo — произвольный элемент,
д(к+1) = Tq{k), ^
/к) = (п(к),у1к) ,у{2к), Х™ , ...,Х$) , к = 0,1, 2,...,
то есть Т - оператор перехода этого итерационного процесса.
Справедливы
Теорема 1. Точка д = (и, В1и, В2и,..., Вти, А1, А2,..., Ат) является неподвижной точкой оператора Т в том и только в том случае, когда выполнены условия
уг = Вги, (13)
Аг е ^(Вги), (14)
т
— 53 В** Аг = А0и - /, г = 1, 2 ..., т. (15)
г=1
Лрм этом первая компонента и любой неподвижной точки оператора Т является решением. задачи (2).
Доказательство. Пусть д = (и, ^и, В2и,..., Вт и, А1, А2,..., Ат) является
Т
и = и — т
Аои — / + Г V В*Вги — V В* (Аг — Г уг) , (16)
уг = Ргох а./г + ^ , % = 1, 2 ..., т, (17)
Аг = Аг + Г (Вги — уг), г = 1, 2 ..., т. (18)
Равенства (18) эквивалентны (13), ибо г > 0. Равенства (17) эквивалентны с учетом (13) неравенствам
( — ■ :: I!:») +- [Сг(гг)-<Зг(ВгМ) 1>0 V £ Я, г = 1, 2 . . . , Ш, (19) v г /Я г i j
которые эквивалентны соотношениям Аг е 9Сг(Вги), то есть включениям (14). Также в силу (13) равенство (16) эквивалентно равенству (15)
т
Аои — / + В* Аг =0,
г=1
т
— В* Аг = Аои — /, г = 1, 2,...,т. (20)
г=1
Таким образом, установлена эквивалентность равенства Тд = д соотношениям (13) (15).
и
ложим гг = Вгп, где п _ произвольный элемент из V. Тогда, с учетом (7), сложив эти неравенства по г = 1, 2,..., т, получим
т т
— (53 Вг*Мг,П — и) +53 [Сг(Вгп) — Сг(Вги)] > 0 V п е V. (21)
г= 1 У г=1
Складывая (20) и (21), получим, что и решение задачи (2). □
Теорема 2. Пусть существует по крайней мере одно решение задачи (2).
Т
т
т
Доказательство. Пусть и - решение задачи (2), у = и, г = 1, 2 ..., ш. Вариационное неравенство (2) эквивалентно следующему включению:
т
/ - Аои е о B¿) (и). (22)
¿=1
Из предложений 5.6. 5.7 [10] следует, что
т т т
о В^ (и) = 53 о ВО (и) = 53 В*д^(ВгИ. (23)
¿=1 ¿=1 ¿=1
Из равенства (23) и соотношения (22) следует, что существуют такие элементы 2 е Вги), для которых справедливо равенство
т
-53 В* 2 = Аои - /.
¿=1
Поэтому для точки д = (и,у1,...,ут,А1,..., Ат ) имеют место соотношения (13) (15). а значит, в силу теоремы 1 д неподвижная точка оператора Т. □
3. Сходимость итерационного метода
Из теоремы 1 следует, что исследование сходимости итерационного процесса (4) (6) сводится к исследованию сходимости метода последовательных приближений отыскания неподвижной точки оператора Т.
Введем в рассмотрение гильбертово пространство Q = V х Нт х Нт со скалярным произведением
тт
, , (1 - ШТГ) 1
(•, -)<э = --;-- (•, + Г 53(-, -)н + - 5>> -)н-
¿=1 ¿=1
Для исследования сходимости итерационного процесса (12) нам потребуется следующая
Теорема 3. Пусть Ао : V ^ V - обратно сильно монотонный оператор с константой ао > 0 м выполнено условие:
0 < т < - (24)
2 ш ао г + 1
Тогда оператор Т, определяемый соотношениями (8)—(10), является нерастя-гивающим,.
Более того, для любых р, д е Q справедливо неравенство
|| Тд - Тр ||^ + 6 (Аодо - Аоро, до - Ро)у +
+ —г,—--г 11(1 - тг)(до - Т0д - (р0 - Т0р)) - т(А0до - А0р0)||у+
т (1 - ш тг)
т
+ ^II q¿ - B¿Tоq - ^ - B¿Tоp) " <|| д - Р (25)
2
2
я— -
где 6 = 2 - т/(сто(1 - штг)).
Доказательство. По условию теоремы А0 - обратно сильно монотонный оператор с константой а0 > 0, то есть выполнено (1).
В силу условия (24) выполнены неравенства тг < 1/т и 6 > 0,а значит, из (25) и (1) будет следовать нерастягиваемость оператора Т.
Докажем неравенство (25). С учетом (3) перепишем равенство (8) в виде
m
* /
Toq = (1 - ттг) qo - TAoqo + т f - t^B* (qm+i - rqi) = Sqo - t^B* (qm+i - rqi),
i=l i=l
где оператор S : V ^ V определяется соотношением
Sqo = (1 - mTr)qo - TAoqo + т f. Используя (1), получаем
I Sqo - Spo || V = (1 - mTr)21| qo - po ||V - 2т (1 - mTr) ( Aoqo - Aopo, qo - Po) v+
+ т2 Ц Aoqo - Aopo HV < (1 - mTr)2 Ц qo - po ¡V -
-r 2(1 -ттг)-— (A0q0 - Aopo, qo ~ Po)v- (26) L ao i V
Далее,
m
^ Toq - Top \\V = (Toq - Top, Sqo - Spo - т J^B* (qm+i - Vm+i - r(qi - pi))^J =
i=\
m
= (Toq - Top, Sqo - Spo) v - T^Toq - Top^^B* (qm+i - Vm+i - r(qi - pi))^J .
i=l
Для произвольного числа e имеем равенство
1 | 2 1
— || о — eb ||у = —
IV - 2 e ( a, b )v + e2 Ц b W]
1 И М2 , у \ e м м2
— || а || v -(а, + ^ II 6 Не-
откуда получаем
(ь )v = ^ II ° II;- - ^ II °_ е 6 +9II6 llv- (28)
Используя равенство (28) с a = Sqo - Spo, b = Toq - Top, преобразуем (27):
II 112 111 112 e 11 112
ГТ1 rri 2 о С' 2 I ГТ! rri 2
|| loq - loP ||д/ = — || bqo - Ьр0 ||д/ + - || ±oq- J-oP ||д/-
1 m
|| (Sqo-Spo)-s (Toq-Top) \\у~т (Т0д-Т0р, В* (qm+i-pm+i-r(qi-pi))^ .
i=l
a
Отсюда с учетом (26) вытекает, что
II Т0д - Тур< ттг (1 — ттг)2 II до - ро \\у~
т 2г
т
2(1 — т т г)--
ао
(Аодо - Аоро, до - Ро)v+
'V
е .. 2 1м 2
+ 7, II т0 <7 - Тор\\у - — || ( Б до - Яро ) - е (Т0д - Т0р)
т
- т (Тод - Тор, 53 В* (дm+¿ - рт+ - г ^ - Р¿))) v.
После умножения получившегося неравенства на 2/т имеем
'| Т0д - Тур + || (Бд0 - б'ро ) - £ (Т0д - Тур) <
т "г те
(1 - штг)2 и и 2 1
<- <7о ~Ро , , - -
те 11 11 v е
т
2(1— т тг)--
ао
(Аодо - Аоро,до - Ро) v-- 2 (Тод - Тор, 53 В* (дт+ - Рm+¿ - г^ - p¿)) ) v.
Выбирая в этом неравенстве е = 1 - ш т г, на основании определения оператора Б получаем
1м ц2
(1 - 'ттг) [ (до - Т0д) - (ро ~ Тур)] - т (Аодо - А0р0 ) \\у+ т (1 - ттг1" "у
■ (1 - штг)
, + ттг) II г гг. ц2 , (1 - ттг) и н2 , ,
Н----|| ¿од-Тур\\у < ---|| до ~Ро \\у -д { Аодо-Аоро, до ~Ро )у~
т
- 2 (Тод - Тор, В*( qm+¿ - Рm+¿ - г ^ - p¿)) ) =
¿=1
(1 - штг) и и2 г н . . \
= ---II до - ро \\у ~ д {Аодо - Аоро, до ~Ро )у~
тт
- 2 (53 B¿(Tоq - Тор), qm+¿ -Рт+^я +2^ ^53B¿(Tод - Тор), д¿ -. (29)
Применяя равенство (28) с е = 1, а = q¿ - р^ Ь = B¿(T0д - Тор), г = 1, 2,.... преобразуем (29) к следующему виду:
1 , г, ~ , , „л .......
ш
(1 - штг) [ (до - Тод) - (ро - Тор) ] - т (Аодо - Аоро ) +
т (1 - штг) " ^
т2
я
+ г 53 И (д¿ - B¿Tод) - - B¿Tоp) + 6 (Аодо - Аоро, до - Ро) v+
¿=1 я
, (1+'/ПТГ) II гр гр ||2 , (1-ШТ7') Ц и2 -Ам м2
Н--|| 1оЯ - -¡-ОР ||Д/ < ; - II <70 -РО ||Д/ + г 2_^ II <7г — Рг ||я ~
¿=1
т т 2
- 2 ^¿(Тод - Тор), дm+¿ -Рт+^я + ^53 I B¿(Тод - Тор) я. (30)
0р
¿=1 я ¿=1
Далее, из (9) с учетом жесткой нерастягиваемости проксимального отображения для г = 1, 2,..., ш имеем, что
II Т.1д - ТгР \\н < (ВгТод + ^ <7т+г - В^Тур - ^Рт+г, Тц1 - ТгР) ^
2r
2 r И Ti q - Tip |H < 2 r ( Bi( Toq - Top), Ti q - Tip)H+
+ 2( qm+i - pm+i,Ti q - Ti p) H. (31)
Из (10) для i = 1, 2,... ,m следуют соотношения
1|| l|2 1|i 112 n ii2
- || Tm+iq - Tm+ip \\H = - || qm+i -pm+i ||я + r || Bi (T0q - Тур) ||я+
+ r Ц Ti q - Ti p |H + 2( Bi( Toq - Top ), qm+i - pm+i) H -- 2 (qm+i - pm+i, Ti q - Tip )H - 2 r (Bi( Toq - Top), Ti q - Ti p)H. (32)
Просуммируем соотношения (31) и (32) no i = 1, 2,... ,m, а затем эти результаты сложим с (30):
(1 + mTr) 2 m 2 1 m 2
- II Toq - Top + 2r^2\\Tiq-Tip\\H + - ^ || Tm+i q - Tm+ip ||я+
i=1 i=1 1 II,- rn м - M|2
H--n-Г 11(1- m T r) [ (<7o - Toq) - (po - Top) ] - т [Aoqo ~ A0p0 ) +
т (1 - mTr)
m 2
+ || (qi - Bi Toq) - (pi - Bi Top) + S (Aoqo - Aopo , qo - po) V <
i=1
mm
(1 - mTr) || |i2 V-^ И ||2 1 || М2
- - I110 -PO \\v +Г II 1i -Pi \\H + - II 1m+i ~P™+i IIЯ +
i=1 i=1 m 2 m 2 m
+ || Bi(Toq - Top) + || Bi(Toq - Top) + || Ti q - Ti p
i=l i=l i=l mm
- 2 (*( Toq - Top), qm+i - Pm+i) + 2 ^ (Bi( Toq - Top), qm+i - Pm+i) . i=l i=l
(33)
Учитывая при этом, что в силу условия (3)
m
у^ WB^ Toq - Top) |H = m | Toq - Top |V,
i=1
после несложных преобразований неравенство (33) преобразуем к виду
(1 - mTr) 2 m 2 1 m 2
- || Toq ~ Top + Г ^ || Ti 1 ~ TiP ||Я + ~ XIII Tm+i 1 ~ Tm+iP Ня +
i=1 i=1 1 11 ||2
(1 - m т r) [ (qo - T0q ) - (po - Trp) ] - т(А0до - A0p0 ) +
(1 - mTr) " "V
m2
н
• • ~ 11 2 + r X^ || (qi - Bi Toq) - (pi - Bi Top) + S (Aoqo - Aopo, qo - po) V <
i=i
mm
(1 - mTr) || |i2 V-^ || ||2 1 || ||2
- - I11° ~P° IIV + r Z^ II qi ~Pi WH + ~ Z^ II qm+i ~P™+i IIЯ'
r
i=l i=l
то есть неравенство (25) справедливо. Теорема доказана. □
Напомним (см. [8]), что оператор Т : Q ^ Q называется асимптотически регулярным, если Тк+1д - Ткд ^ ^и к ^ для любого д е Q.
Справедлива
Теорема 4. Пусть Ао : V ^ V - обратно сильно монотонный оператор с константой ао > 0, выполнены условия (1), (24), задача (2) имеет по крайней мере одно решение, итерационная последовательность {д(к)}+=о, построенная по формуле
д(к+1) = Тд«, д(о) е Q - произвольно заданный элемент. Тогда эта последовательности сходится слабо в Q при к ^ ее предел д* является
Т
lim
k—
- Bi u(k)
= 0, i = 1, 2,..., m, (34)
lim
k—+ ^
q(k+l) - q(k)
= 0.
Доказательство. Воспользуемся неравенством (25), положив в нем д = д(к) рТ бы одна такая точка). Учитывая, что по определению итерационной последовательности Тд(к) = д(к+1), а для неподвижной точки согласно теореме 1 выполнены равенства p¿ - B¿ Тор = p¿ - B¿ро = 0, г = 1, 2,..., ш, Ро - Тор = 0, получаем
q(k+1) -p llQ + <* (Acu(k) - Aopo,u(k) -p„)V +
(1 -'
(1 - mTr)(w(k) - w(k+1)) - r(Ao«(k) - Aopo ) fy+
^E ll y(k) - Biu(k+1) ||H < ll q(k) -P || Q- (36)
i=i
Из неравенства (36) следует, что ограниченная снизу (нулем) числовая после-
|| д(к) - р ||ц ^ не возрастает, и следовательно, имеет конечный J к=о
k=o
предел:
lim Ц q(k) - p Уп = Ар
k—■+ТО 11 IIQ
и значит, выполнены соотношения:
lim fAow(k) - Aopo, u(k) - pH =0, (37)
k—■+TO V )y
lim ^ (1 - mrr) (u(k) - u(k+1)) - т (Aou(k) - Aopo ) ЦУ = 0, (38)
k—+ ^
lim ll y(k) - BjW(k+1) |L = 0, i = 1, 2,..., m. (39)
k—11 ® IIH
Используя (37) и (1), получаем
lim ll Aou(k) - Aopo ||v =0. (40)
k—y
Из (38) и (40) следует, что
lim Ц u(k) - u(k+1) ||y = 0. (41)
k—+ ^
Далее, используя (39), (41), (3) и неравенства || y(k) - BiU(k) ||H < ll y(k) - Bi u(k+1) ||H + || Bi u(k) - u(k+1) ||H , i = 1, 2,...,m,
получаем соотношения (34). из которых с учетом условия (41) и равенств
y(k) - yf+l) = (yf] - Bi u(k)) + (Bi u(k) - Bi u(k+1)) +
+ (Bi u(k+1) - y(k+1)), i = 1, 2,... ,m,
следует, что
lim || y(k) - y(k+1) ||H = 0, i = 1, 2,... ,m. (42)
Наконец, используя (10) и (34), имеем
lim || \(k+1) - \(k) ||H = r lim || Bi u(k) - y(k) ||H = 0, i = 1, 2,...,m. (43)
Равенства (41)-(43) означают, что условие (35) выполнено, и, поскольку q(0) £ £ Q - произвольный заданный элемент, то оператор T является асимптотически регулярным. Кроме того, оператор T является перастягиваюгцим, и поэтому итерационная последовательность {q(k)} +0 сходится слабо в Q при k ^ и ее предел q* является неподвижной точкой оператора Т. Теорема доказана. □
Отметим, что если выполнены условия теоремы 1, то из теорем 2, 4 вытекает,
что последовательности {u(k)}+=0, {yik^}+=°0, построенные согласно (4)-(6), при k ^ сходятся слабо к u в V и к Biu в H, i = 1, 2,...,m, соответственно, где u
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Х- 06-01-00633-а).
Summary
I.N. Ismagilov, I.В. Badriev. On the convergence of iterative method for solving a variational inequality of the second kind with inversely strongly monotone operator.
In the paper the convergence of the iterative method for solving a variational inequality of the second kind with inversely strongly monotone operator in Hilbert. space is investigated. The functional occurring in this variational inequality is a sum of several functionate. Each of these functionals is a superposition of lower semi-continuous convex proper functional and a linear continuous operator. Such variational inequalities arise, in particular, during mathematical modeling of stationary problems of filtration of a non-compressible fluid follows the nonlinear mult.i-valued anisotropic filtration law with limiting gradient.
Литература
1. Гольште.йи Е.Г., Третьяков H.B. Модифицированные функции Лаграпжа. М.: Наука, 1989. 400 с.
2. Бадриео И.В., Иемагилоо И.Н. Исследование некоторых нелинейных краевых задач с вырождением по градиенту // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы 6-го Всерос. семинара. Казань: Казан, гос. уп-т, 2005. С. 50 53.
3. Бадриео И.Б., Иемагилоо И.Н. Математическое моделирование стационарных анизотропных задач теории фильтрации с многозначным законом // Вести. Удмурт, ун-та. Математика. 2007. Л® 1. С. 3 8.
4. Бадриео И.Б., Задоориоо О.А. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами// Изв. вузов. Математика. 2003. 1. С. 20 28.
100
H.H. ИСМАГИЛОВ, И.В. ВАДРИЕВ
5. Бадриеа И,Б,, Задаориоа O.A. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами // Дифферепц. уравнения. 2003. Т. 39, 7. С. 888 895.
6. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. О сходимости итерационного метода двойственного типа решения смешанных вариационных неравенств // Дифферепц. уравнения. 2006. Т. 42, Л» 8. С. 1115 1122.
7. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A., Иемагилоа JI.H. Применение метода декомпозиции для численного решения некоторых нелинейных стационарных задач теории фильтрации // Исслед. по прикл. матем. и ипформ. Казань: Казап. гос. уп-т, 2003. Вып. 24. С. 12 24.
8. Browder F.E., Petrushin W. V. The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banacli spaces // Bull. American. Mat.li. Soc. 1996. V. 72. P. 571 575.
9. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.
10. Эклаид И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.
Поступила в редакцию 01.10.07
Вадриев Ильдар Вурханович доктор физико-математических паук, профессор
кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Ildar.BadrievQksu.ru
Исмагилов Ирек Наилевич аспирант кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Irek.IsmagilovQmail.ru