Существование решения задачи о равновесии мягкой сетчатой оболочки при наличии точечной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 152, кн. 1 Физико-математические пауки 2010

УДК 519.958

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

О РАВНОВЕСИИ МЯГКОЙ СЕТЧАТОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ НАЛИЧИИ ТОЧЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

II.Б. Бадриев, В.В. Бапдеров, O.A. Задворпов

Аннотация

Рассматривается пространственная задача о равновесном состоянии мягкой сетчатой оболочки при наличии точечного источника. Предполагается, что функции, описывающие физические соотношения в нитях, образующих оболочку, являются непрерывными, неубывающими и имеют лилейный рост па бесконечности. Сформулирована обобщенная задача в виде интегрального тождества и установлена ее разрешимость.

Ключевые слова: мягкая сетчатая оболочка, точечный источник, монотонный оператор. теорема существования.

Введение

В работе рассматривается пространственная задача о равновесном состоянии мягкой сетчатой оболочки при наличии точечного источника. Под сетчатой понимается оболочка, силовой основой которой является сетка, образованная двумя семействами взаимно перекрещивающихся, абсолютно гибких, упругих нитей. Предполагается. что функции, описывающие физические соотношения в нитях, являются непрерывными, неубывающими и имеют линейный рост на бесконечности. Задачи об определении положения равновесия мягкой сетчатой оболочки рассматривались и ранее (см., например. [1]). При этом обобщенные задачи формулировались в виде уравнений или вариационных неравенств с оператором, действующим в случае линейного роста функций, описывающих физические соотношения

в нитях, из соболевского пространства V =[ Ш 2^]3 в сопряженное с ним, и соответственно рассматривалась ситуация, когда функция, описывающая плотность внешних источников, определяет линейный непрерывный функционал на V.

В настоящей работе проводится исследование задач теории мягких сетчатых оболочек с менее гладкой правой частью: в неодномерном случае дельта-функция Дирака, моделирующая точечный источник, не принадлежит пространству, сопряженному с V. Обойти указанную выше трудность удалось благодаря аддитивному выделению особенности, связанной с дельта-функцией.

Обобщенная постановка задачи сформулирована в виде интегрального тождества относительно функции из [ Ш 1^]3- Затем введена вспомогательная задача с правой частью, задаваемой дельта-функцией. Для вспомогательной задачи известно решение в явном виде. Благодаря этому обобщенная постановка свелась к‘нахождению решения операторного уравнения в V. Установлены свойства оператора, входящего в это уравнение: ограниченность, непрерывность, монотонность, коэрцитивность, что дало возможность применить для доказательства теоремы существования известные результаты теории монотонных операторов (см., например, [2, 3]). Доказано, что множество решений обобщенной задачи непусто, выпукло и замкнуто. Вообще говоря, решение обобщенной задачи неединственно. Однако установлено, что усилия в нитях определяются однозначно.

Отмстим, что аналогичный подход был использован при рассмотрении стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом, при наличии точечного источника (см. [4. 5]).

1. Постановка задачи

Рассмотрим пространственную задачу о равновесном состоянии мягкой сетчатой оболочки при наличии точечного источника. Предполагается, что узлы сети фиксированы, материал, заполняющий промежутки между нитями, не сопротивляется деформации и ни в начальном состоянии, ни в процессе деформации соседние нити не соприкасаются. Ячейки сети считаются малыми и не сопротивляющимися сдвиговым деформациям. Деформации и перемещения допускаются конечными.

Введем в пространстве декартову систему координат x2, x3). Считаем, что в недеформированном состоянии оболочка может быть описана поверхностью

£(а) = (£1(а) £2(а), £з(а))

где а = («1, а2) € О - лагранжевы координаты, О - ограниченная область из R2 с непрерывной по Липшицу границей Г; предполагаем, что функция £ удовлетворяет условиям:

С€е[с!(П)13, |[ад,ада)]|>с>о Vaeo.

Лагранжевы координаты (а1, а2) выберем так, что координатные линии сона-правлены с нитями, образующими оболочку.

Через w(a) = (w1(a), w2(a), w3(a)) обозначим функцию, описывающую поверхность оболочки в деформированном состоянии, G(a) = | \d1w(a),32w(a)] | -дискриминант метрического тензора поверхности деформированной оболочки.

Здесь использованы обозначения: dj = d/daj , j = 1,2, [•, •], (•, •) и | • | -векторное, скалярное произведения и норма в R3 соответственно.

Введем также следующие обозначения (для j = 1, 2): j* =3 — j; r j = dj w -вектора, образующие ковариантный локальный базис на деформированной поверхности; gj = | dj £ |, Gj = | dj w | - параметры Ляме недеформированной и дефор-

r1 r2

коптрвариантпый локальный базис па деформированной поверхности: (rj, rm) = 3jm-

Обозначим через F j внутреннюю силу, действующую на единицу длины aj -й координатной линии (aj = const) деформированной оболочки с той стороны оболочки, куда направлен вектор rj, j = 1, 2, через Fjm - коэффициенты разложения этой плотности сил по единичным векторам локального базиса:

Fj

2 0' 2-^ ~Q~

-, G m m= 1

Тогда ковариантные компоненты тензора напряжений

2

Т= ^ T зтг, Гт

j,m=1

связаны с погонными усилиями F^m соотношениями \/~GT^m = F^m Gj*/Gm (см. Гб, с. 501).

Для сетчатой оболочки в силу того, что в выбранной лагранжевой системо координат направления осей совпадают с направлениями нитей, имеем (см. [7]): Д 12 = Д21 = 0 (то есть ячейка сети не оказывает сопротивления повороту нитей в узлах скрепления), Д? ? = Ь? (А?) р? д?* /О?*, ще А? = О?/д? - относительные степени удлинения.

Здесь Ьі, Ь2 : Д+ ^ Д+ - функции, характеризующие физические свойства

нитей, р? : П ^ Д+ - количество нитей, сонаправленных с а?-й координатной

осью, на единицу длины а? -й координатной оси в недеформированном состоянии. Эти функции определены конструкцией сетчатой оболочки, и относительно них считаем выполненными условия:

Ь? Є с(Д+), (1)

ь?(С)=0 нри С < 1 (2)

(то есть нити не воспринимают сжимающих усилий),

Ь? (А) > Ь? (С) при А > С > 1, (3)

существуют постоянные со, сі, к > 0 такие, что при А > 0 для і = 1, 2

Рз Є Ф), (4)

Pjia) > со > 0 Уск Є Г2. (5)

к С - сі < Ь? (С) < к С. (6)

Заметим, что, вообще говоря, направления г? не являются главными для тензора Т, хотя смешанные компоненты Т?т (і = ш) и равны нулю.

Уравнение равновесия оболочки, находящейся под воздействием внешних сил, в декартовой системе координат имеет следующий вид (см. [6, с. 88]):

2

V-д, / Ьд №М1яз) р. +у/ср + у/с7д = о, (7)

?=1

|д? М1

где Р, Q - вектора плотности поверхностной и массовой нагрузок соответственно, 7 - плотность материала оболочки в деформированном состоянии.

В силу закона сохранения массы %/б?7 = | [¿^(а), <92£(а)] | 7, где 7: П —*■ Д1 заданная плотность материала нодоформированной оболочки. Будем считать, что

О

плотность материала равна единице (7= 1) и р1 = р2 = 1- Поверхностная нагрузка

предполагается равной нулю: Р = 0. Поэтому в силу тог о, что | [д^, д2£] | = 1,

01 = 02 = 1, уравнение (7) примет следующий вид:

¿8|(йН1,„)+д = 0] (8|

П V !

Далее будем считать края оболочки закрепленными:

г = £(«1,0:2) г • (9)

Приводом вариационную постановку задачи (8). (9) в перемещениях: искомой будет вектор-функция v = w — £ такая, что

Е

j=i

bj(\dj(v + Q\) |c>j (*’ + £) I

dj(v + £), djц da —

— J (Q(a)^(a)) da = 0 Vц Є [C0TO(Q)j3. (10)

Предполагаем, что массовая нагрузка, действующая на оболочку, сосредоточена во внутренней точке а* множества Q и имеет интенсивность q = (qi,q2,q3); q1 = const, q2 = const, q3 = const.

Наряду с приведенной выше задачей, рассмотрим семейство задач с массовыми нагрузками Qe, е ^ +0,

0,

где Se = { a G Q : |а — а* | < е } .

Для произвольной функции n G С1(П)

1

a Є q, a Є

имеем:

/(QE(a), 77(a)) da = [ (QE(a),i)(a)) da =------------- [ ( q, 77(a)) da =

J mes (S) J

(q,v(a))

mes (Se) = (q,v(a^)) .

a=a'ESe

mes (5е)

Устремляя £ к нулю, получим:

Пт J ^е(а),п(а)) da = (д, п(а*)) = J ( В(а — а*),п(а)) da п п

где В (а) = (д1 ¿(а), д2 ¿(а), ¿(а)), 5 - дельта функция Дирака:

/¿(а)р(а) da = р(0) Vр € 60° (П).

Используя введенные обозначения, массовую нагрузку Q, сосредоточенную во внутренней точке а* , интенсивности д запишем в виде: Q(a) = В(а — а*).

Приведем обобщенную формулировку рассматриваемой задачи. Определим

О

пространство Ж 1(П) как пополнение пространства Сд°(П) по норме

11п11 = 11д1ПУь1 + 11д2пУ^1 •

Под обобщенным решением задачи (10) будем понимать функцию V € Ж 1(^)

такую, что

2

j=!n

+ ?’)!) (£ + *’) I

і 3

dj(£ + v), djці da = (q^(a*)) Vц Є C~(Q) . (11)

3

1

2. Существование решения

О

Определим пространство Ж2(П) как пополнение пространства С0°(П) по норме

ПСП = Пд1СIIь2 + ||д2С||ь2 ^ где \\дзС\\12 =!\дзС12 3 = 1, 2,

Рассмотрим вспомогательную задачу поиска функции ф = (фі_,ф2,ф3) такой,

что

—к Дф* = ф£(а — а*), а Є П,

і = 1, 2, 3.

(12)

,ф*(а) =0, а € Г,

Здесь к - постоянная из условия (6).

О

Решение задачи (12) существует и ф* €Ж 1(П) для каждого г = 1,2,3 (см.

Г о 1 1 3

например [8, с. 163]). Поэтому ф € ЖН^) •

Вариационная постановка задачи (12) выглядит следующим образом:

Найти ф : к^^ І (д?ф, д?п) ¿а = (д, п(а*)) Vп Є С0”(П)

?=1 п

(13)

Решение задачи (11) будем искать в виде V = и + ф, где и € V - неизвестная ф

Л? : V

¿2(П)

, В? : Д3 ^ Д3, і = 1, 2, по формулам: Л?(и) = с?(£ + и + ф), и Є V,

Ь? (Ы)

У У = 0

(14)

(15)

Отметим, что Bj (Л(и)(а)), а € П, 3 = 1, 2, - усилия в точках нити.

С учетом (13)—(15) задача (11) сводится к поиску функции и € V такой, что

Е / (В?(Л?(и)) д?п) ¿а = кЕ / (д?ф, д?п) ¿а VП Є со°(П)

?=1:

?=1;

В силу (16) для произвольной функции п из С0”(П)

(16)

0 = ¿( J( В?(Л?(и))д?п)^а — к^(д?ф,д?пМа) =

?=1 п п

2

: ^ J ( В?(Л? (и)),д? п) dа—^J(д? (£+и+ф),д?п) ¿а+к^(д? (£+и),д?п) ¿а^ =

3

2

3

3

= Е( / (К'(Л(u)l) - k Л(u)

j=i

———^—,djri]}da-\-k I (dj(£ + u), dj'i]) da ) = |Лд (u)|

= E/( 6j(|Л(u)|)-k|Л(u)

то ость задача (16) запишется в виде:

ai(u,n)+ а2(м,п)+ k (£ + u,n)v = 0 Vп Є б^(П)

где формы aj : V х V ^ Д1, j = 1, 2, определены соотношениями:

Лд(u)

Oj(«; »у) = / (|\(1-М«)1) - к |Л,-(и)| 1 ojV\ da

J u J Л(u)l y

k

(ЛД (u) djп) da.

Из (6) имеем, что

а значит.

Поэтому

-с 1 = k |Л,-(u)| - с 1 - k |Л3-(u)| < 6j (|Л3-(u)|) - k |Л3-(u)| < bj(|Л(u)|) - k |Л(u)| <с 1 j =12

-------- (a jiu), dj п) | da < с 1/| dj п da < c*1

|ЛІ(u)| /

|aj(u,n)| <c 1У

(17)

где c* = c 1 (mesQ)1/2 .

Определим форму a : V x V ^ R1 по формуле

a(u, v) = a1(u,n) + a2(u,n) + k (£ + u,n)v •

Очевидно, что эта форма линейна по второму аргументу, из неравенств (17) вытекает. что она непрерывна по второму аргументу. Поэтому в силу теоремы Рисса Фишера форма a порождает оператор A : V ^ V.

(Au, n)v = a(u, n) V u, n G V. (18)

Из оценки (17) получаем, что

|a(u,n)|< 2 c\ ||n|| + k Ш + ||u|| ) HnH,

следовательно,

|lAull < kIlu|| + kii£|i + 2c*,

A

С учетом введенных обозначений обобщенная задача (16) эквивалентна вариационному уравнению:

Найти u Є V : (Au, n)v =0 V п Є V.

(19)

2

Лемма 1. Пусть выполнены условия (1)-(6). Тогда оператор А ограничен, непрерывен, монотонен, и выполняется неравенство:

(Аи,и)у > к ||и|| — с* ||и|| Vи Є V.

(20)

Доказательство. Ограниченность оператора А установлена выше. Непрерывность оператора А следует из непрерывности из условий (1), (2), (6) па функции 6? и свойств оператора Немыцкого (см. [9, с. 213]).

А

(Аи — Ап, и — п)у = (Аи, и)у — (Аи, п)у — (Ап, и)у + (Ап, п)^ =

— к (Л?(и),д? и) ¿а + к (и,и)у + к (£, и)у —

2 Г

Е/

?=1 п

6? (Л?(и)|)

—

?=1 п 2 /

—

?=1 п 2 I

+Е/

?=1 п

|Л? (и)| М|Л»|) ІЛі(«)І

ъо (Аз (>?)!)

|Л3-(»7)1

(1А3 (>?)!)

|Л3-(»7)1

к

к

к

(Л?(и), д? п) ¿а — к (и, п)у — к (£, п)у — (Л?(п), д? и ¿а — к (п, и)у — к (£, и)у + (Л? (п), д? п) ¿а + к (п, п)^ + к (£,п)^ =

Е / 'і 6Д(|АД(Ц)І) (Лі('и), (« - ??)) - А: (Л^г/,), до (и ~ ??))-

?=1

|Л?(и)

Ъо (1АзШ) \^оШ

(Л?(и), д? (и — п)) + к (Л?(и), д? (и — п)) | ¿а +

+ к (и, и)у — к (и, п)у — к (п, и)у + к (п, п)^

Е

?=1

6? (Л? (и)|) А /„Л 6? (|Л? (п)1)

|Л? (и

Л? (и) —

|Л? (п)|

Л?(п), д? (и — пн ¿а

= Е /(В?(Л?(и)) — В?(Л?(п)), Л?(и) — Л?(п))

?=1п

Для произвольных векторов г, у из Д3 и і = 1, 2 имеем:

(В? (г) — В? (У), г — У) =

= (1-І) 1-І - Ъо (1-І) - Ъз (Ы) + Ъз (Ы) Ы >

> 6? (|г|) N — 6?(|г|) |У| — 6? (|У|) N + 6? (|У|) |У| =

= [ (6? (М) — 6?(|У|) ] (|г| — ІУІ).

2

6?

(6?(С) — 6?(М))(С — м) > 0, Vс,м > 0.

Таким образом, выполнены неравенства

(В?(г) — В?(У^ г — У) > 0 Vг,У Є д3, і' = 1, 2. (21)

Воспользовавшись соотношениями (14). (15) и неравенствами (21). для произвольных функций и, V из V получаем неравенство:

(Аи — Ап, и — п)у =

2 Г

= Е / (В?(Л?(и)) — В?(Л?(п^ Л?(и) — Л?(п)) ¿а > 0,

?=1П

А

Установим справедливость неравенства (20). По определению (Аи, и)у = а(и, и) = а1(и, и) + а2(и, и) + к (£ + и, и)у >

> —| й1 (и, и) | — | й2 (и, и) | — к | (£,и, )у | + к ||и|2.

Из оценок (17) вытекает, что

(Аи,и)у > —(2с1 + ||£||) ||и|| + к ІНІ^

откуда и следует неравенство (20). □

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1) (6). Тогда:

1)

2) Если V - решение задачи (11), то V = и + ф, где и является решением

задачи (16), а ф - решение задачи (13).

А

что задача (16) эквивалентна операторному уравнению

Аи = 0.

А

ства (20) следует коэрцитивность этого оператора. Поэтому нопустота. выпуклость и замкнутость множества решений уравнения (22). а значит, и задачи (16). вытекает из теоремы 2.1 [3. с. 95].

Пусть V - решение задачи (11), ф - решение задачи (13). Положим и = V — ф.

В силу (11), (13) для произвольной функции п Є С^(П)

2 Г

Е У ( В?(Л?^ — ф))д?(^ + ^ — ф) + д?п) ¿а =

3

имеем:

?=1 п

2 /•

(?,п(а*)) = кЕ /(д?ф д?п) dа,

?=1П

то есть и является решением задачи (16) □

Отмстим, что. вообще говоря, решение задачи (16) не единственно. Однако справедлива

Теорема 2. Пусть выполнены условия (2), (6) и, кроме того,

| bj(Л) - bj(Z) |< Lj | Л - Z |, Lj > 0, j = 1,2, V А,С > 0. (23)

Если и - решение задачи (16), ф - решение задачи (13), то усилия в нитях

1ЛЛ«)1^0,

Bj (Л,- (и))=^ |Л (и)| , j = 1,2,

[0, Л (и)| =0

определяются единственным образом.

Доказательство. Пусть, наряду с и, функция и* также является решением задачи (16), то есть Аи = Аи* = 0. В [10] доказано, что при выполнении условий (2), (6), (23) справедливы так называемые неравенства подчинения

| Bj (y) - Bj (z) |2 < Lj ( Bj (y) - Bj (z), y - z ) Vy, z e r3-

Поэтому

0 = (Аи — Аи*, и — u*)v = ^^.1 (Bj (Л^- (и)) — Bj (Л^- (и*)), Л^- (и) — Л^- (и*)) da >

j=1n

2 1 Г

^Е Г lBi(A3N)-B3(Aj(«*))|2da, j=1 Lj n

а значит, Bj (Лj(w)) = Bj (Лj(«*)), j = 1, 2. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Л*1' 08-01-00676, 09-01-00814, 10-01-00728).

Summary

J.B. Btulriev, V.V. Banderov, О.A. Zadvomov. Existence of Solution of the Equilibrium Soft. Network Shell Problem in the Presence of a Point Load.

A spatial equilibrium soft, network shell problem in the presence of a point, source is considered. We assume that, the functions specifying the physical relations in the threads forming the shell are continuous, non-decreasing and have linear growth at. infinity. The generalized problem in the form of integral identity is formulated. The existence theorem is proved. Key words: soft, network shell, point, source, monotone operator, existence theorem.

Литература

1. Badpv.ee И.Б., Sadoopuoo O.A. Исследование разрешимости стационарных задач для

сетчатых оболочек // Изв. вузов. Матем. 1992. Л'! 11. С. 3 7.

2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир.

1972. 588 с.

3. Гаевский X., Гре.ге.р К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978. 336 с.

4. Задвориов O.A. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника // Изв. вузов. Матем. 2005. Л'! 1. С. 58 63.

5. Задвориов O.A. Существование решения квазилинейной эллиптической краевой задачи при наличии точечных источников // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2010. Т. 152. кп. 1. С. 155 163.

6. Риделъ В.В., Гулии Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990. 206 с.

7. Бидерма,и В.Л., Вухии Б.Л. Уравнения равновесия безмомептпой сетчатой оболочки // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1966. Л'! 1. С. 81 89.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 348 с.

9. Вайиберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.:

Гостехиздат, 1956. 344 с.

10. Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации // Прикладная математика в паучпо-техпических задачах. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1976.

С. 12 21.

Поступила в редакцию 26.01.10

Вадриев Ильдар Вурханович доктор физико-математических паук, профессор

кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

E-mail: Ildar.BadrievQksu.ru

Ванд еров Виктор Викторович кандидат физико-математических паук, доцепт

кафедры экономической кибернетики Казанского государственного университета.

E-mail: Victur.BanderuvQksu.ru

Задвориов Олег Анатольевич доктор физико-математических паук, профессор

кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

E-mail: Oleg.ZadvurnuvQksu.ru