CC BY
34
УДК 517.958
ОБОБЩЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ МЯГКОЙ
БИОЛОГИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
© И.Б. Бадриев, В.В. Бандеров, О.А. Задворнов
Ключевые слова: мягкая биологическая оболочка; математическая модель; вариационное неравенство; псевдомонотонный оператор; теорема существования.
Рассматривается задача о равновесии мягкой биологической оболочки (тонкой кишки).
Эта биологическая оболочка моделируется мягкой сетчатой оболочкой, образованной двумя семействами взаимно пересекающихся армирующих нитей в продольном и радиальном направлениях. Приведена обобщенная постановка задачи в виде вариационного неравенства c псевдомонотонным оператором. Исследована его разрешимость.
Рассматривается задача об определении положения равновесия мягкой биологической оболочки. В качестве такой оболочки выбирается тонкая кишка. Многокомпонентность, конструктивная анизотропия и отсутствие слоистой двумерной структуры являются одной из причин сложности механического моделирования объекта, записи для него определяющей системы уравнений состояния и равновесия. Однако такие специфические особенности, как тонкостенность, большая деформативность, слабая сопротивляемость изгибу и практическая неспособность воспринимать сжимающие тангенциальные усилия, делают возможным использование модели мягкой безмоментной оболочки [1]. Более того, основываясь на данных о строении, целесообразно моделировать тонкую кишку в рамках особого класса сетчатых оболочек, образованных двумя семействами взаимно пересекающихся армирующих нитей. Считается, что оболочка является осесимметричной. Анатомическую поверхность кишки отождествим с гладкой срединной поверхностью, определяющей ее положение в пространстве. В недеформированном состоянии оболочка представляет из себя цилиндр заданного радиуса Го длины l. В исходном расправленном состоянии оболочка удерживается внутренним избыточным давлением интенсивности q. Поверхностная нагрузка предполагается следящей, т. е. направлена по нормали к поверхности оболочки. Торцы оболочки полагаем жестко закрепленными по контуру.
Для описания положения равновесия биологической оболочки используется криволинейная ортогональная лагранжева система координат (а1, а2), ориентированная в соответствии с расположением циркулярных и продольных нитей несущего каркаса биологической ткани и отнесенная к линиям кривизны оболочки в ее недеформированном положении, 0 ^ а1 ^ 2п, 0 ^ а2 ^ l. Положение произвольной точки на поверхности оболочки зададим радиус-вектором Г = Г (а1, а2), где кривые а1 = const и а2 = const образуют систему параметрических линий. Предполагается, что на поверхности линии не касаются друг друга. Поскольку рассматриваемая оболочка ортотропна и подвергается только осесимметричному деформированию, то ее профиль полностью определяет геометрию поверхности и в параметрическом виде задается уравнениями x1 = s + у(а1,а2), x2 = г0 + w(а1 ,а2), где (y,w) — вектор перемещений, а равенства x1 = s, x2 = г0 определяют недеформированное состояние оболочки. Обозначим через T функции, задающие физические соотношения в в продольном и циркулярном направлениях, через Xi — степени удлинений вдоль волокон
сетки, они вычисляются по формулам X1 = \J(dw/ds)2 + (1 + dy/ds)2, X2 = (r0 + w)/r0. Система уравнений для определения вектора перемещений y, w деформированной оболочки
2447
имеет следующий вид
д (
" 1 Л
д (Т1 ( ду \\ д'ш , , . д (Т1 д'ш \ ( ду \ 1 _ , . . , , .
^ (л7 (1+її))+рл = л(в)' ізі (лТ ш)—р(1+ев)—Г0Т2 = л(в)’ 0<' (1)
Здесь д = дз —интенсивность нормального давления, / = (У1, У2) —вектор, описывающий плотность массовой нагрузки. Поскольку края оболочки закреплены, то уравнения (1) дополняются граничными условиями у(0) = -ш(0) = 0, у(1) = и:(1)=0. Кроме того, решение должно удовлетворять условию w(s) + г0 ^ 0, 0 < в <1, означающему недопущение самопересечения оболочки. Относительно функций Т1 и Т2 считаем, что
Тг(^) = 0, £ ^ 1, г = 1, 2 (оболочка не воспринимает сжимающих усилий), (2)
Т, г = 1, 2, непрерывные, неубывающие, (3)
Т1 имеет на бесконечности степенной рост порядка р — 1 > 0, т. е. существуют положительные к о, к 1, такие, что
к о (£ - 1)Р-1 < Ті(Є) < к і £Р-1 при £ ^ 1.
(4)
Введем в рассмотрение пространство V -
о (1)
Wp (0,1)
с нормой ||и|| =
| и' \рйв
1/р
а также множество К = {и € V : Го + Щ ^ 0} . Очевидно, что множество К выпукло и за-
(-1) ]2
мкнуто. Сопряженным к V является пространство V* =
W р* (0,1)
р* = р/(р — 1),
отношение двойственности между V и V* обозначим через (■, ■).
Определим операторы А,Б,Б,Н : V V* и элемент / € V*, порождаемые формами
/ГТ1 ( \ ( \ \ /*
— — (и,1 ,у') йв, {Би, у) = \и 1 у2 + и2 V1] йв,
Л1(и) ]
12
2 и2 V 1 + и 1 и2 У2
йв, ІІ',у) = (/, у) йв,
I I
(Би,у) = — [ Т2(\2(и)) У2 йв, (Ни, у) = — [
Го Го
оо
и(в) = (и1(в) + в,и2(в)), \1(и) = |«'(в)|, Л2Щ = 1 + и2(в)/Го, Щ = у,и2 = W.
Под обобщенным решением осесимметричной задачи об определении положения равновесия мягкой оболочки вращения, закрепленной по краям, находящейся под воздействием массовых сил, постоянной следящей поверхностной нагрузки, будем понимать функцию и € К, удовлетворяющую следующему вариационному неравенству:
((А + Б)и, V — и) ^ {/ — д (Б + Н)и, V — и) VV Є К.
(5)
Теорема 1. Пусть выполнены условия (2)-(4). Тогда оператор А является монотонным, непрерывным, ограниченным и коэрцитивным.
Теорема 2. Оператор Б является псевдомонотонным [2, с. 190] и липшиц-непре-рывным с постоянной к 2 = 2I2/р* .
Теорема 3. Пусть выполнены условия (2), (3). Тогда оператор Б является компактным, монотонным и ограниченным, кроме того, (Бп, п) ^ 0 для всех п Є V.
Теорема 4. Оператор Н является непрерывным и псевдомонотонным, кроме того, (Би,п) ^ к з ||и|| [1 + ||и||] ||п|| ^ 0 для всех и,п Є V, к з = 2^213/р*/г0.
2
2448
Доказательство теорем 1-4 проводится с использованием свойств оператора Немыцкого [3, с. 213] и теорем вложения пространств Соболева [4]. Отметим, что из теорем 1, 3 следует, что операторы A, D являются псевдомонотонными.
Теорема 5. Пусть f € V *, выполнены условия (2)-(4). Тогда
1) если р> 3, то неравенство (5) имеет решение при любом q;
2) если p = 3, то неравенство (5) имеет решение при всех q, удовлетворяющих условию \q\ < qi = кo/kз ;
3) если 1 <p< 3, то для любого 5> 0 найдется qg > 0, такое, что задача (5) имеет
решение при условиях \\f ||у* ^ 8, \q\ <qg.
Справедливость теоремы 4 доказывается с использованием свойств операторов, входящих в вариационное неравенство (5), установленных в теоремах 1-4, а также теорем 8.1 и 8.2 [2, с. 258, 262].
ЛИТЕРАТУРА
1. Мифтахов Р.Н. Численное моделирование моторики тонкой кишки // Современные проблемы биомеханики, 1989. Вып. 5. С. 147-183.
2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.
3. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. 344 с.
4. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 255 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами РФФИ 12-01-00955, 12-01-97026, 1201-31515, 13-01-00908.
Badriev I.B., Banderov V.V., Zadvornov O.A. GENERALIZED STATEMENT OF EQUILI-BRIUM PROBLEM FOR SOFT BIOLOGICAL SHELL
The equilibrium problem for the soft biological shell (small intestine) is consided. The biological shell is simulated by the soft network shell, shells formed by two families of intersecting reinforcing filaments in the longitudinal and radial directions. The generalized formulation of the problem as a variational inequality with pseudomonotone operators is given. The solvability of variational in-equalities is examined.
Key words: soft biological shell; mathematical model; variational inequality; pseudomonotone operator; existence theorem.
УДК 517.929
О РАЗРЕШИМОСТИ НА ОСИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
© А.С. Баландин
Ключевые слова: разрешимость; дифференциально-разностное уравнение; устойчивость.
Получено представление решения одного автономного дифференциально-разностного уравнения на оси. Для этого уравнения связаны задача разрешимости на оси с задачей устойчивости на полуоси.
2449
