Математическое моделирование взаимодействий интервальных цилиндрических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

Л. 1

A. к

УПРАВЛЕНИЯ —

УДК 519.859

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

ЕВСЕЕВА Л.Г., РОМАНОВА Т.Е., ШЕХОВЦОВ С.Б.

Вводится понятие интервального цилиндра как точечного множества трехмерного интервального пространства с евклидовой метрикой. Строится интервальное ф -отображение как средство математического моделирования отношений (касания, пересечения, непересечения и включения) для пары произвольных интервальных цилиндров.

Введение

Проблема решения задач ресурсосберегающих технологий является чрезвычайно важной и актуальной задачей.

Несмотря на высокий уровень организации архитектуры баз знаний существующих интеллектуальных систем решения задач размещения трехмерных геометрических объектов, как правило, их построение основывается на узкой классификации пространственных форм геометрических объектов, ограничений и функций цели. Кроме того, в основном, рассматривается идеализированное представление математических моделей задач размещения, когда погрешности исходных данных не учитываются [1].

Вследствие этого либо отсутствует адекватность математических моделей реальным постановкам задач размещения, либо математическая модель как таковая отсутствует вообще, либо отсутствует конструктивность описания математических моделей, представление которых позволяло бы осуществить правильный выбор метода решения, основанного на модификациях известных методов локальной и глобальной оптимизации.

Это объясняется отсутствием конструктивных средств аналитического описания отношений интервальных геометрических о бъектов, обладающих конкретными интервальными пространственными формами, метрическими характеристиками и параметрами размещения.

Таким образом, математическое и компьютерное моделирование оптимизационных задач размещения геометрических объектов с учетом погрешностей требует дальнейшего развития.

Конструктивным современным средством математического моделирования идеализированных 3D задач упаковки, раскроя и покрытия является метод ф -функций [2].

Один из подходов к моделированию и решению прикладных и научных оптимизационных задач размещения 3D объектов с учетом погрешностей базируется на использовании элементов интервального анализа в геометрическом проектировании [3-5]. Для построения адекватных математических моделей оптимизационных задач размещения геометрических объектов с учетом погрешностей их метрических характеристик и параметров размещения требуется аналитическое описание взаимодействия интервальных точечных множеств.

Целью настоящей работы является аналитическое описание взаимодействий ориентированных интервальных геометрических объектов, имеющих пространственную форму интервального цилиндра на основе использования интервального анализа и метода ф -функций.

Постановка задачи

Пусть имеется прямой круговой цилиндр (в дальнейшем - цилиндр) с с R3, радиуса r и высотой 2h. Полагаем, что цилиндр ориентирован так, что его ось перпендикулярна к плоскости xOy . Полюс цилиндра располагается в центре симметрии и совпадает с началом собственной системы координат Oxyz цилиндра.

Обозначим через C(u) = {p є R3 : p = u +1, t є C} цилиндр C cR3, транслированный на вектор

u = (x,y,z) .

Полагаем, что метрические характеристики цилиндра r є R+ и 2h є R+ , а также параметры размещения u0 = (x0,yo,z0) заданы с погрешностями vr є R+ , 2vh є R+ и vXQ, vy0 , vZQ є R1 соответственно.

Необходимо построить математическую модель цилиндра с с R3 и замыкания его дополнения C* = (R3 \ int C) с R3 с учетом заданных погрешностей исходных данных в интервальном пространстве

I3R = Is R х Is R x Is R с метрикой p(Ui,U2) =

=V p2«X!>, <x2 » + p2( (Yj), <Y2 »+p2« Zj>, <Z2 », (1)

где p«A), {B)) = -y/(a - b)2 + (va -vb)2 є R1 - евклидова метрика интервального пространства центрированных интервалов ISR [3], (A) = (a,Va)є ISR,

<B> = <b, Vb >є IsR, Ui = (<Xi >, <Yi >, < Zi >) є I3R,

РИ, 2006, № 1

31

(6)

<Xi > = <Xi, vXi >є Is R , (Yj > = <y„ v Уі >є Is R,

<Zi> = <Zj, vZj >є IsR , i = 1,2.

Как известно [2], в арифметическом евклидовом пространстве R границу цилиндра C(uq) е R3 можно представить в виде:

fr C(uq) = {u є R31 ф(и) = 0}, (2)

где

ф(и) = max (ю(и), X1 (u), Х2 (u)) , (3)

ю(и) = x2 + y2 -r2, X1(u) = z-h, X2(u) = -z-h,

Uo = (0,0,0) - начало собственной системы координат цилиндра.

Тогда C(u0) = {u є R31 ф(и) < 0} ,

С*(U0) = {u є R3| ф(и) > 0}. (4)

Для аналитического описания границы цилиндра frC(u0), заданной в пространстве R выражением (2), с учетом погрешностей исходных данных зададим биекцию между исходными данными и элементами расширенного пространства центрированных интервалов IsR вида:

R2 э (r, vr) ^ (r, vr) = (R) є IsR,

R2 э (h, vh) h, vh> = <И)є IsR ,

m(U) = <w, vw > = p 2(U,U0) -R2 =

= <X>2 +<Y>2 +<0, vc >2 -R2

2

где p(U,U0) определяется соотношением (1), <•> -квадрат интервального числа (•) [3],

U0 = (<X0 >, <Y0 >, <Z0 >) = «0, Va >, <0, vb >, <0, vc » є I3R ,

R = <Vr2 +Vr2,0>.

Определение 1. Множество S c I3r , точки которого удовлетворяют интервальному ур авнению вида

m(U) = 0 , (7)

назовем интервальной цилиндрической поверхностью, т.е. S(U) = {U є i3r| m(U) = 0}.

Обозначим (X') = (X)-(0, va >, {Y') = {Y>-{0, vb >. Тогда в соответствии с [3] имеем:

V)2 +v2, ,2-1 x'|-v x 1 1 x'>, если (X') є Is1 U Is2

<(x' + Vx' |) • x',(x' + v x' |: •vx-), если (X')e I+

<(x'- Vx' |)- x', -(x'- -|vx' |)-Vx'), если (X')e I~3

< (y')2 + v2, ,2-1 y'|-v y” hi если (Y')e Is1 U Is2

<(y' + vy- ) • y',(y' + vy't •vy->, если < Y')e I+

< (y'- vy- )• y',-(y'- - Vy- )-vy-), если <Y')e I“3

R2 э (h, vh) h, vh> = <И)є IsR ,

R2 3 (x0>vx0) x0>vx0 ) = <X0>є IsR ,

r2 3 (y0>vy0) ^(y0>vy0 ) = (Y0)є 1 sR 5

r2 3 (z0.vz0) z0>vz0 ) = (Z0 ) є IsR .

Пусть начало интервальной системы координат O(X)(Y)(Z) находится в точкеO«0,va),(0,Vb>,<0,vc)), где va,Vb, vc є R1 - исходные погрешности по соответствующим координатным осям. Интервальные уравнения интервальных координатных плоскостей имеют вид

nj(U) = 0, i = 1,2,3, (5)

где

П1(У) = <X>-<0, va >, П2(U) = <Y>-<0, vb > ,

П3 (U) =<Z>-<0, vc >, 0 = <0,0>eIsR ,

(X) = (x, vx) = (x, -vx) є IsR - элемент, сопряженный

к элементу (X) є IsR [3], ni : I3R ^ IsR, i = 1,2,3, -интервальные отображения [4, 5].

Рассмотрим интервальное отображение ю : i3R IsR вида:

здесь

Is1 = int Is1 = {<x, Vx >Є IsR| x -|v^ > 0},

Is2 = int Is2 = {<x, Vx>Є IsR I x -|Vx| < 0},

Is3 = cl Is3 = Кx,vx>є IsR I (x -|vx| < 0) л(x +|vx| > 0)} ,

C3 = {<xvx>є Is3 Ivx > 0},

^3 = {<x vx >Є Is3 |Vx < 0},

Is3 = Is3 u Is3, IsR = Is1 U Is2 U Is3 .

На основе разбиения пространства I3R вида

N

U % , % = J1 х J2 х J3,

k=1

где N = 43 = 64, J i = {Is1, Is2, I^3, I“3},i = 1,2,3, и конкретного вида интервальных уравнений интервальной окружности пространства i2r [5], интервальное уравнение m(U') = 0, U' = «X'), (Y'), (0, vc)), интервальной цилиндрической поверхности S(U') с I3R можно представить одним из следующих соотношений:

<fn,f21> + <f31,f41> + <0,vc>2-<R>2 = 0 ,

если <X'), <Y')e Is1, (8)

32

РИ, 2006, № 1

(f13,f23) + (f31,f4l) + (0, vc)2 R)2 - 0 ,

если

< X')e Itf, <Y')e IS1,

<fl1,f2i> + <f33,f43> + <0, vc>2 -<R>2 = 0,

если

{Х')є IS1, <Y')e I+3 ,

(f13,f23) + (f33,f43) + (0vc)2 R)2 = 0 ’

если

<X')e £3, <Y')e I^

где

f11 = (x')2 +vx' , f21 = 2 • x'-v x', f31 = (y')2 +vy' 5 f41 = 2 • y''vy' ,

Здесь * - знак операции интервального умножения [3], frM - интервальная граница интервального точечного множества M с i3r .

Следует заметить, что в отличие от идеализированного случая интервальные множества Г;, i = 1,2 не являются открытыми множествами в пространстве i3r , т. е. Г; Ф int Г;, І = 1, 2 .

Заметим, что ориентацию интервального уравнения y(U) = 0 можно изменить на противоположную следующим образом: -y(U) = 0 .

Рассмотрим в пространстве i3r интервальную гиперплоскость [6] П с I3R, которая задается интервальным уравнением

Ф(а • < X)) + Ф(Ъ • < Y» + ф(с • < Z» + <D> = 0, (9)

f23 = (x'+Vx-) • x', f33 - (y' + vy') •y', f43 = (y' + Vy') -Vy- .

Утверждение 1. Интервальная цилиндрическая поверхность S(U') с I3R, заданная одним из интервальных уравнений (8), делит интервальное пространство i3r на два интервальных множества:

S1 (U) = {U = «X), <Y), <Z» є I3RI ro(U) < 0} ,

S2(U) = {U є i3r| w(U) > 0}.

Аналогично понятию ориентированного уравнения [2] поверхности в пространстве r3 , введем понятие ориентированного уравнения интервальной поверхности

в I3R.

Пусть задано некоторое интервальное отображение у : I3R ^ IsR [4], определяющее разбиение

I3R =Г1 и Y и Г2,

где

Г1 = {U є I3R| у (U) = <ф, v^><0},

Г2 = {U є I3R| у (U) =<у, V^)> 0},

Y c I3R - интервальная поверхность вида Y = {U є I3R| у (U) = <у, V = 0}.

Определение 2. Интервальное уравнение y(U) = 0 называется ориентированным интервальным уравнением интервальной поверхности y с i3r , если интервальное отображение у : i3r ^ IsR непрерывно, определено всюду в i3r , при этом выполняется условие: у(^) * у(^) < 0 , VU1 є Г1 и VU2 є Г2.

здесь

U = (<Х>,<Y),<Z» є l3R, a,b,c є R1, <D) = <d,vd>єIsR ,

Ф(Х-<Х»

X • (X), если X> 0,

X-<X>, если X<0> XeR1, <X>eIsR.

Утверждение 2. Интервальное уравнение вида (9) является ориетируемым в смысле определения 2.

Действительно, интервальная гиперплоскость П , заданная интервальным уравнением (9), делит интервальное пространство 13R на два интервальных множества:

Й1 = {U є I3R |Ф(а -(X» + ф(Ь • (Y>) + Ф(с • <Z>) + (D> < 0} ,

Й2 = {U є I3R|ф(а • (X» + ф(Ь • (Y>) + ф(с • <Z>) + <D> > 0} .

По аналогии с интервальной ломаной в двумерном интервальном пространстве I^R [5] квазилинейная поверхность P с 13R, интервальное уравнение которой имеет вид

<Л) * <X) + (Б) * (Y) + <С> *<Z) + (D) = 0 ,

делит интервальное пространство i3r на два связных интервальных множества

P1 = {U є I3R |(A)*(X) + (Б) * СY> + (С) * <Z> + (D> > 0},

P2 = {U є l3R |<A>* <X> + (Б) * <Y> + <C>* <Z>+<D> < 0}

так, что I3R =P1 U P2 , P1 П P2 = 0 .

Справедливость данного утверждения следует из того, что интервальные гиперплоскости являются частным случаем интервальных квазилинейных поверхностей.

РИ, 2006, № 1

33

Пусть интервальные гиперплоскости заданы ориентированными интервальными уравнениями

Xi(U) = 0, 1 = 1,2, (10)

Xl(U) =<Z)-<H>, X2(U) = -<Z>-<H> ,

а интервальная цилиндрическая поверхность - ориентированным интервальным уравнением (7).

Ориентация интервальных уравнений выбрана таким образом, что выполняются условия

ю (Uo) < 0, Xi(Uo) < 0, 1 = 1,2.

Определение 3. Интервальной границей frC(Uo)

интервального цилиндра C(Uo) с I^R назовем интервальное точечное множество вида

frC(Uo) = {U єI|R 9(U) =<ф,уф) = <0,уф», (11)

9(U) = max {«(U), X1(U), X2(U)}, (12)

где m(U) определяется соотношением (7), Xi(U), 1 = 1,2, - соотношениями (1o).

Здесь под максимумом конечного набора элементов пространства IsR будем понимать

<X*> = <x*,vX> = max{{ХД {X2<Xn>} є IsR,j є Jn,

где с учетом отношения линейного порядка в ISR [3] имеем:

1. <X*) = <x* = xj = max xi, vx =v x- >,

i=1,2,...,n j

если xi Ф xt, i Ф t, i, t є Jn .

2. <X*> = <x* = x-,vx =vxj = max vx- >,

J j i=1,2,...,n i

если x1 = x2 =... = xn = x* .

3. <X > = <x = Xj,Vx = Vxj = max vxit >,

J j t=1,2,...,m it

если x^ =... = xj = x*,it є Jn,m < n.

i1 im ’ L n’

Определение 4. Интервальным цилиндром C(Uo) c i3r назовем интервальное множество вида

C(Uo) = int C(Uo) U frC(Uo), (13)

intC(Uo) = {U є lfc| 9(U) =<ф,v9)<<o,v9>}. (14)

Тогда дополнение интервального цилиндра C(Uo) до пространства i3r можно представить в виде C*(Uo) = (I3R\clC(Uo)) UfrC(Uo),причем внутренность обьекта C*(Uo) имет следующий вид:

intC*(Uo) = {U є lfc| 9(U) = <ф,v9)><o,v9>}, (15)

cl(*) - топологическое замыкание множества (•).

Заметим, что в идеализированном случае, когда все погрешности исходных данных равны нулю, в ариф-

3

метическом евклидовом пространстве R выражения (11) - (15) совпадают с уравнениями вида (2)-(4) границы цилиндра, цилиндра и замыкания его дополнения.

Построение адекватных математических моделей задач размещения с учетом погрешностей требует аналитического описания взаимодействий пары интервальных геометрических объектов, обладающих произвольной пространственной формой, что является фундаментальной базой создания методологии математического моделирования задач размещения с учетом погрешностей исходных данных, порождаемых погрешностями метрических характеристик и параметров размещения геометрических объектов.

Для аналитического описания отношений интервальных геометрических объектов T1(U1) с i3r и T2 (U2) с I3R в трехмерном интервальном пространстве i3r рассмотрим интервальное отображение Ф : I^R ^ Is R , обладающее свойствами:

Ф^,^) > 0, если T1(U1) П T2(U2) = 0,

J int T1(U1) n int T2(U2) = 0 ^1^2) = 0, если |frT1(U1)nfrT2(U2) *0 ,

Ф(U1,U2) < 0, если int T1 (U1) n int T2(U2) Ф 0 .

Пусть имеются интервальные цилиндры Q(U^ с I3R и C2(U2) СI3R с интервальными метрическими характеристиками ш- = ((Ri), (Hi)), i = 1,2. Построим интервальное ф -отображение Q(U^ и C2(U2) в интервальном пространстве i3r . Такое ф -отображение будет иметь следующий вид:

Ф^ь^) = 9(U1 - U2), (16)

где U = U1 - U2 , U2 = «X), (У), {Z)) є I3R, интервальное отображение 9(U) определяется соотношением (12), если положить

<R> = <R1> + <R2 >, <H) = <H1> + <H2 >.

Условие int C2CU2) n int C1(U1) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда Ф^,^) > 0 .

Для моделирования отношения принадлежности объекта C2(U2) объекту C1(U1) (отношение включения C2(U2) с C1(U1)) построим интервальное Ф -отображение интервальных объектов C*(U1) и

C2(U2) .

С этой целью рассмотрим интервальные уравнения вида

34

РИ, 2oo6, № 1

ro'(U) = 0, X (U) = 0, i = 1,2, где

xi (U) =-X1(U) =<Z)-<H) = -<Z>+<H>, x 2(U) = -X2(U) = -(-<Z)-<H>) = <Z)+<H),

ra'(U) = -rn(U) = R2 -p2(U,U0) =

= R2 -<X>2 -<Y>2 -<0, vc>2 .

Тогда, если положить

<R> = <Ri>-<r2> , <H) = <Hi)-<H^,

то интервальное ф -отображение объектов С*(Ui) и C2CU2) будет иметь вид:

0(Ui,U2) = 9'(Ui -U2), (17)

где интервальное отображение 9'(U) определяется так: 9'(U) = min (m'(U), xi (U), x2(U)).

Минимум из множества элементов простр анства Is R в этом случае определяется так [7]:

min{<Xi>,<X2<Xn>}=<X*>,

здесь

1) <X*> = <x*, = min v >,

i=1,...,n

если xi = x2 =... = xn = x*;

r\ X * * .

2) <X > = <x = x;. = min xi, Vx. >, ij Є In, j Є In,

J i—1,...,n j

если xi Ф x2 Ф... Ф xn; 3

3) <X*) = <x* = min x., v*x =vx = min vx >,

i—1,...,n 'j k=1,...,m 'k

*

если xi1 = xi2 = ... = xim = x ,

{xi1,xi2,...,xim} c{xi,x2,...,xn}, i< m<n.

Таким образом, условие С2Ш2) c Ci(Ui) выполняется тогда и только тогда, когда Ф^,^) > 0 .

На основе интервальных ф -отображений (16) и (17) в пространстве i3r можно описать взаимодействие интервальных цилиндров Ci(Ui) и С2Ш2). Выводы

Получены новые теоретические результаты, касающиеся построения интервальных моделей объектов и их взаимодействий в трехмерном интервальном пространстве.

Построена интервальная математическая модель цилиндр а и замыкания его дополнения с учетом погрешностей исходных данных. С этой целью введены понятия интервального ориентированного уравнения, интервальной цилиндрической поверхности. Для моделирования взаимодействий пары произвольных интервальных цилиндров в интервальном пространстве построено интервальное ф -отображение. Введенное в данной статье понятие интервального цилиндра, а также интервальное ф -отображение могут быть использованы при моделировании оптимизационных 3D задач размещения цилиндров в заданных областях с учетом погрешностей исходных данных.

Литература: 1. Dyckhoff, Scheithauer G. and Terno J. Cutting and packing. In M. Dell’Amico, F. Maffioli, and S. Martello, editors, Annotated Bibliographies in Combinatorial Optimization, chapter 22. Р. 393-412. John Wiley & Sons, Chichester, 1997. 2. Stoyan Yu., Scheithauer G., T. Romanova T. Mathematical Modeling of Interactions of Primary Geometric 3D Objects/ Cybernetics and Systems Analysis-2005. Consultants Bureau, An Imprint of Springer Verlag New YorkLLC. ISSN: 1060-0396, Vol. 41, Number 3. P. 332 - 342. 3. Стоян Ю.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов// Доклады НАН Украины, А. 1996. №7. С.23-25. 4. Стоян Ю.Г. Интервальные отображения // Доп. НАН України. 1996. №10. С.57-63.5. Стоян Ю.Г. Интервальное

пространство i2r . Интервальные уравнения// Доп. НАН України. 1998. №6. С. 109-116. 6. ГребенникИ.В., Романова Т.Е. Интервальная гиперплоскость в пространстве ЩR / / Проблемы машиностроения. 2002. Т.5, № 3. С. 52-56. 7. Гребенник И.В., Романова Т.Е. Учет погрешностей при построении математических моделей оптимизационных комбинаторных задач // АСУ та прилади автоматики. 2002. Вып. 119. С. 64 - 69.

Поступила в редколлегию 12.03.2006

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Яковлев С.В.

Евсеева Людмила Григорьевна, канд. физ.-мат. наук, докторант Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95 95 36.

Романова Татьяна Евгеньевна, д-р техн. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/ 10, тел. (0572) 95 96 77.

Шеховцов Сергей Борисович, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики Харьковского национального университета внутренних дел. Адрес: Украина, 61180, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27, тел. (0572) 73-98-067.

РИ, 2006, № 1

35