CC BY
20
Пусть в точках ть т2<p(t) имеет разрывы. Тогда, возмущая соответствующим образом p0(t-x1), Po(t-х2), получим в тьх2,... разрывы p0(t), совпадающие с разрывами q>(t). Теперь задача о стабилизации может быть решена так же, как и для случая непрерывной функции фД).
Рассмотрим случай, когда возмущения, которым подвергаются графы из {г;}, не приводят к фокусировке распределений на каждом из них. Возмущение любого Г; лишь незначительно изменяет распределение р; на нем.
Д опустим, что последовательность распределений Pi,a (t), возникающая на Г; при воздействии на него возмущений (5Г;)а (а = 1,2,...), является сходящейся. Если это условие выполняется для всех Г;, то фокусировка на {Г; } будет иметь место.
Полученные в работе результаты являются новыми. Сделанные исследования позволяют производить стабилизацию основных характеристик процесса случайных блужданий на множестве графов с общим центром. Эти результаты могут найти применение при анализе работы отдельных частей сети Internet и при решении задач о минимизации затрат, необходимых для стабилизации работы банков, имеющих непосредственные связи с центральным банком.
Литература: 1. Bollobas B. Random graphs, Academic press, New York (1985). 2. Moukarzel C. Spreading and shortest path in systems with spare long-range connections, Phys. rev. E60. 6263-6266 (1999). 3. Kauffman S.A. Metabolic stability and epigenesist in randomly constructed genetic nets, J Theo. Biol. 22.Р. 437-467. 4. NeiburE., SchusterH.G. andKammen D.M. Collective frequencies and metastability in networks of limit-cycle oscillators with time delay, Phys. Rev. lett. 67, 2753-2756 (1991). 5. Aiello W, Chung F, Lu L. A random graph model for massive graphs, Proc. ACM Symp. On Theory of Computing 2000. 6. Dorogovtsev S.N. and Mendes J.F.F. Evolution of networks: From biological nets to the Internet and WWW, (Oxford University Press, Oxford 2003).
7. Watts D. Small worlds: The dynamics of networks between order and randomness (Princeton University Press, Princeton 1999). 8. Дикарев B.A. Стабилизация распределений марковского процесса при возмущении его континуальных компонент/Доклады Национальной академии наук Украины. 2003 . №6. С. 47-53. 9. Дикарев B.A., Герасин С.Н, Слипченко Н.И. Стабилизация вероятностей состояний марковского процесса при локальных возмущениях его фрагментов / Доклады Национальной академии наук Украины. 2003. №8. С. 90-93.
Поступила в редколлегию 25.06.2004
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.
Дикарев Вадим Анатольевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы и их приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-436.
Таргони Тарас Олегович, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-436.
УДК 519.6:514.1
ИНТЕРВАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Is3R
ГРЕБЕННИК H.B., ЕВСЕЕВА Л.Г.,
РОМАНОВА Т.Е._________________________
Вводится понятие интервальной ломаной и интервальной прямой в трехмерном интервальном пространстве i3r . Анализируются различные способы задания интервальной прямой и интервальной ломаной, исследуются их свойства.
Введение
Важным классом задач геометрического проектирования [1] являются задачи размещения геометрических объектов. Модели и методы решения задач размещения в различных постановках в достаточной степени исследованы [1-4]. При этом, однако, чаще всего решались либо идеализированные (без учёта погрешностей) задачи размещения, либо задачи размещения плоских объектов с учётом погрешностей в двумерном интервальном пространстве. Развитие теории и методов геометрического проектирования порождает необходимость построения моделей задач размещения трехмерных геометрических объектов с учетом погрешностей исходных данных. Для этого следует определить основные понятия в трехмерном интервальном
пространстве, на основе которых могут быть построены указанные модели.
Целью настоящей работы является определение интервальной прямой в трехмерном интервальном пространстве и исследование её свойств.
Постановка задачи
Рассмотрим пространство i3r = IsRх IsRх IsR, где IsR — расширенное пространство центрированных интервалов [5].
На основе понятия интервальной прямой в пространстве i2r [6] определим понятие интервальной прямой в i3r .
Полагаем, что интервальная поверхность в пространстве i3r , аналогично определению интервальной кривой в пространстве I^R, есть множество точек П ^ i3r , удовлетворяющих уравнению f(Z) = (С'), где f : ls3R IsR является интервальным отображением [5],
Z = ((Хі),(Х2>,(Хз)) ЄI3R,(С') = (c',vс.)єIsR
— интервальная константа.
Рассмотрим квазилинейное интервальное отображение [3] вида:
РИ, 2004, № 2
57
F(Z) =± (А{)*(Х{) , (1)
i—1
где (a.) = (ai, v^) є ISR , (x.) = (xi, Vє ISR ,
i є J3, Jm = {1,, — интервальные коэффициенты и интервальные переменные интервального отображения.
Квазилинейной интервальной поверхностью в пространстве I^R назовем множество п ^ I^R, заданное интервальным уравнением F(Z) = ( C'), где (С) = (o', Vє IsR — интервальная константа. Иначе
п • І <Ai)*(х,> +<C> = <0), (2)
i—1
где (C) = -(X£IsR,(X = (c,-vc) [51-
Выражение (2) назовем квазилинейным интервальным уравнением.
В пространстве I^R квазилинейная интервальная поверхность задается уравнением
(А) 4 X +< B 4 Y+(C=(°)
и называется интервальной ломаной [6].
Осуществим разбиение пространства I^R [8] следующим образом:
3 N
IsR = U Пk , Пk = Ю1хю2 хю3, (3)
k=1
где N = 64 , e{Is1>I s2 ,I S3’I s3},i Є J3 ,
I s1 = int I s1 = {( x’ v x) є I s R| x-| v x| > 0} ,
I s2 = int I s2 = {( x’ v x) є I sR| x +1 v x| < 0 ,
Is3 = cl Is3 = { (x’vx) eIsR| (x-\ vx|^ 0) л(x+| vx|^ 0)},
I+ = s3 { (x> VX Є 1 s3 1 V x ^ 0
1 s3 = {(x, Vx) Є 1 s3 V x < 0
Is3 = I^3 ^IГ3, IsR = Is1 UIs2 UIs3 .
На каждом из интервальных множеств П k с I3R,
3
k є Jn , функция F(Z) = X (Ai)*(Xi), Zє Пk ,
i=1
k є Jn , линейна [7], поэтому интервальную поверхность, заданную уравнением (2), назовем линейной интервальной поверхностью.
Определим вид интервального уравнения (2) на множестве Пk. Как известно [5, 9], операция интервального умножения (A) *(X элемента (X є I s R на интервальное число (X є I s R задается таблицей.
(X X х (X є 1 s: (X є 1 s2 (X є 1 s3
(X Є 1 s. (X 3 A> (X 4 A (X'> 4 X
(X є 1 s2 (X XX (X XX <X") XX
(X Є 1 s3 <A') -<X (A"> -<X (X 4 X
Здесь (х') = (x + sVx|,° , (х") = (x-sVx|,0),
(A " = (a+ s|va|>0) , (A"> = (a“s|va 1,0) , f 1, если v x • v a > 0,
s = і
[-1, если vx -va < 0 ,
(A) °(X = ( ax + v a v x,av x +v ax) — гиперболическое произведение [8], (A)•(X определено в [5].
В пространстве i3r рассмотрим пересечение квазилинейных поверхностей
п1:t <Ai>Xx.}XX = (X,
i=1
112:і (в.)*<х0хCX=<0>,
i=1
т.е. множество точек пространства i3r , удовлетворяющих системе:
I<Ai> 4 х)+< <Х X °),
i=1
t <Bi) XXi) X C2> = (0> , (4)
I i—1
где Z = ((хХ^),^)) є I3R.
Рассмотрим всевозможные варианты принадлежности значений интервальных коэффициентов и интервальных переменных системы (4) множествам 1 sr 1 s2>1 +>1 S3 . На основе разбиения (3)
систему (4) можно представить как совокупность N систем квазилинейных интервальных уравнений. Обозначим множество решений системы (4) на
множестве Пk с l3R, k є JN , через Lk c I3R.
„ N „ 3
Интервальное множество L = U ]Lk с 1 3r , следуя работе [6], назовем интервальной ломаной в пространстве i3r , а его подмножества Lk , j є Jn , —звеньями интервальной ломаной. Интервальная ломаная в i3r имеет не менее одного и не более N звеньев.
58
РИ, 2004, № 2
Для отображения системы (4) в евклидово пространство воспользуемся отображением H:IsR ^ R2 [5,9] .
Осуществим отображение из I^R в R6 вида
H3(Z) = (H^X^), H((X2)), H^X^)), (5)
H((X)) = X , X = (x, vx) ,
H3(Z) = (Xi.X2.X3) , z Є I^R , X; єR2, i є J3 .
В результате отображения (5) система (4) преобразуется в набор из N систем линейных операторных уравнений [11]:
,1k
,2k
X, +R1k. X2 +yiK X3 + C1 = 0 ,
1 *l9l? 2 М3І3 3 1
1k
ar- X1 +R2k X2 +y2k X3 + Ck = 0
;4J4 1 Pi5.5 2 ';6-6 3 2
2k
(6)
где Dk c R6 — образ интервального множества П k при отображении (5) , k є Jn ;
a1mjm’ im’ Jm Є J4’ тє J6 , — линейный оператор [11], применяемый к результату операции интервального умножения (At) * (Xt) , t є J3 .
Для случая, когда (A^ є Isj и (X^ є I
s1 ’
имеем
1k ' a1 v a1
a11 = vV a1 a1
„ 2k ' b1 V b1
a11 - vV b1 b1
Операторы P —
в первом уравнении системы (4),
во втором.
Jk
1J
заменой а1 на a2 или a3 и заменой vaj на va2 или va3 соответственно, а операторы р j2k, у 2k, i, J є J4, получены из a — заменой b1 на b2 или b3 и заменой vь1 на vь2 или vь3 .
В результате таких преобразований линейные операторные уравнения примут вид
0^11 X1 + Р11 X2 + Y11 X3 — 0, если Z є R111, a11X1 +P12X2 + Y11X3 = 0’ если Z Є R121’
a11 X1 + Pl3X2 +Y11 X3 - 0 если Z є R131, vb - vX2 > 0,
a11 X1 +P13 X2 +Y11 X3 = 0’ если Z є R131, vb - vX2 < 0,
a11X1 +PnX2 +Y12X3 = 0’ если Z є R112,
a11 X1 +P11 X2 + Y13 X3 - 0’ если Z є RU3, vc -vz > 0,
a11 X1 +P11 X2 +Y13 X3 - 0’ если Z є RU3, vc -vz < 0,
a11X1 +P12X2 +Y12X3 - 0’ если Z Є R122’
a11 X1 +P12 X2 +Yl3 X3 = 0’ если Z є R 1 23, vc -vz > 0,
a!2 X1 + P11 X2 +Y11 X3 = 0, если Z є R211,
a12 X1 +P12X2 +Y12X3 = 0’ если Z є R222’
a12 X1 +P12 X2 + Yl3 X3 = 0 если Z є R 223, v c -v z > 0,
a12 X1 +P12 X2 +Y13 X3 - 0 если Z є R 223, v c -v z < 0,
a12 X1 + РЇГ3 X2 +Y12 X3 = 0’ если Z Є R232, vb 'vy - 0,
a12 X1 +Pl3 X2 +Y12 X3 = 0 если Z Є R232, vb ■vy < 0,
a12 X1 + Pl3 X2 +Yl3 X3 = 0’ если Z є R233, vb-vy >0, vc-vz > 0 и т.д.
Здесь R ijm = Dk — образ множества
Пk = ISi x Is- x Ism , i,J,m є J4, при отображении вида (5).
Операторы в уравнениях определяются, например, так:
41
13
12
a -V a
если v a -v x > 0,
если va•vx < 0.;
a13 -
+ fa+ 1 val
a13 - . О
'a + 1 va 1 0 N
1 0 a “ V a ,
R2 = {a, va) є R2
s1 a /
a + v
al
, если (a’ V a ) є R
s1
Для других типов интервальных коэффициентов (Ai),(Bi),i є J3, образы интервальных ломаных в пространстве R6 определяются аналогичными наборами систем линейных уравнений.
Заметим, что каждое операторное уравнение системы (6) в арифметическом евклидовом пространстве
R 6 равносильно следующей системе двух линейных уравнений соответственно:
31 Е (aiXi +Vai Vxi) + C1 = 0
i=1
3
£ (Vaixi + aiVxi) + Vc1 = 0 ,
I i=1 i i C1
РИ, 2004, № 2
59
£Cbixi +vbivx.) + c2, =0 ,
i=1
3
Z (vb.xi + bivxi) + vc1 = 0 .
■, 1 i c2
I i=1
По аналогии с определением псевдопрямой в пространстве i2r и в соответствии с определением квазилинейной интервальной поверхности в пространстве I^R квазилинейной интервальной псевдоповерхностью в пространстве I^R назовем множество Пi с I^R , ii є J3 , заданное интервальным уравнением
(Aii )*(Xii ) + Z ^(aij (XiJ)) + (C)= (0), (7)
J=2
ij є j3 , где Z є i3r , (C) = (c, vc) є1 sR ,
<P(a(X))
a (X), если a > 0 , a^X^, если a < 0
(8)
Если в уравнении (7) положить aiJ = і1, .J є J3,1J ^.i, получим каноническое интервальное уравнение интервальной псевдоповерхности.
Интервальной псевдопрямой L в пространстве I^R назовем пересечение двух квазилинейных интервальных псевдоповерхностей:
<Ai1 )*<Xi1 >+Хф(^
J=2
< Bi1 >*<Xi1 > + Z9(biJ J=2
(XiJ )) + <Ci> = <0> (XiJ)) + <C2> = <0) ’
где ij є J3,J є J3 , z є I^R .
Обозначим множество решений системы (9) на множестве Пk с i3r, k є JN , через Lk c I^R . Тогда интервальную псевдопрямую можно представить в виде U Lk = L С IsR, следуя работе [6].
k=1
Подмножества Lk с i3r , J є Jn , назовем звеньями интервальной псевдопрямой. Псевдопрямая L имеет не более N звеньев.
Рассмотрим интервальное отображение
3
f (Z) = Z ^(ai (X1)), Z є I3R , которое является 1=1 s
частным случаем квазилинейного интервального отображения (1) в силу (8).
Тогда интервальную поверхность П ^ i3r , интервальное уравнение которой имеет вид f (Z) = (С) , назовем линейной интервальной поверхностью.
Иначе, линейная интервальная поверхность в i3r задается уравнением:
Z9(ai(Xi>) + <C = (0), (10)
1=1
где 9(a.(Xi)) определяется из (8),
(Xi) Є IsR,1G J3 , Z = ^X^^X^^X3)) єI,
a. є R, i є J3 , a = (ap a2, a3) є R3 — ненулевой вектор, (C) є ISR.
В пространстве i3r линейная интервальная поверхность называется интервальной гиперплоскостью [10].
Как известно, интервальное уравнение (10) определяет в евклидовом пространстве R гиперплоскости, заданные уравнениями
3
£ aixi +c=0, 1=1 3 (11)
Z ai V x. +V c = 0 . 1=1 (12)
Пусть интервальная гиперплоскость проходит в i3r через три точки вида
Z j = ((x1> <) , (x2>v 0, (x2, VX2 ^, J = 1,2,3.
Тогда уравнение гиперплоскости (11) в пространстве R3 , проходящей через точки X1,X2,X3 є R3, где
XJ = p^Z^ , JG J3, pn : inR ^ Rn , Pn (Z) = (p((X1)),p^Xn ))), p((X)) = x , имеет вид
x1 xl2 x 3 x
x2 x2 x2 x2
x3 x2 x3 x3
1 1 1 1
Коэффициенты в уравнении гиперплоскости (11) вычисляются так: ai = A14, i є J3 , где A.4 — алгебраические дополнения элементов последнего столбца матрицы, соответствующей данному определителю.
Гиперплоскость вида (12), проходящая через точки
YJ = r3(Zj), i є J3, rn: inR ^ Rn , rn(Z) = (r^X^),r((Xn))) , r(<X)) = vx , имеет те же коэффициенты, что и гиперплоскость
(11). Поэтому для того, чтобы точки YJ є R3 удовлетворяли уравнению (10), необходимо выполнение следующего условия:
60
РИ, 2004, № 2
V
3 .
c =-ZaІ • Уі> Vj Є J3 . i—1
Справедливо утверждение о том, что через три точки пространства I^R можно провести интервальную гиперплоскость тогда и только тогда, когда для каждой из них выполняется условие [10]
3 .
vc =-Xaі -vJx.’ Vj є J3 . і—1 i
Достаточное условие проведения интервальной гиперплоскости через точки Z j , j є J3 , описывается
так [10]: vXi = v^ = vXi.
Если в (9) положить (Ai^ = (ail,^, (Bp ) = (Ьц,0^, получим интервальные уравнения двух интервальных гиперплоскостей в пространстве I^R . Пусть числа ai. є R1, bi. є R1, i. = 1,2,3 , таковы, что гиперплоскости не являются интервально параллельными, т.е. интервальное расстояние р между ними удовлетворяет условию [7]:
Р*( |c1 -c2^| vc1 -vc2| ).
Пусть в пространстве I^R даны две интервально непараллельные гиперплоскости
П1 : І ф(аї <Xi)> + (C^ = (0),
i=1
п 2:1 <№i(Xi))+(с^ = (0).
i—1
Интервальной прямой в пространстве I^R назовем множество, которое получается в результате пересечения двух интервальных гиперплоскостей, т.е.
множество точек Z = ((X^, (X2), (X3 ^) є I^R , удовлетворяющих системе интервальных уравнений
E<Kai(Xi)) + (C^ = (0),
i=1
ІФ(Ьї <Xi)) + (C^ = (0) .
i=1
(13)
Используя арифметические операции в пространстве IsR, каждому интервальному уравнению системы (13) в пространстве R6 сопоставим соответствующую систему линейных уравнений вида
Г a1x1 + a2x2 + a3x3 + c1 = 0,
[ a1v xj + a2v x2 + a3v x3 +v cj = 0
[ b1x1 + b2x2 + b3x3 + c2 = 0, и [b1vx1 + b2vx2 + b3vx3 +vc2 = 0 .
Таким образом, системе (13) соответствует в про-
странстве R6 система
a^ + a2x2 + a3x3 + c1 — 0, b^1 + b2x2 + b3x3 + c2 = 0 , ' a1vx1 + a2vx2 + a3vx3 +vc1 ^ b1v x1 + b2v x2 + b3v x3 +v c2
= 0 , = 0 .
(14)
Система линейных уравнений
a1x1 + a2x2 + a3x3 + c1 — 0 b1x1 + b2x2 + b3x3 + c 2 = 0
3
в пространстве R определяет прямую 1x c rX c R6 , канонические уравнения которой имеют вид
m
(15)
где s = (m, n, p) — направляющий вектор прямой,
a2 a3 a3 a1 a1 a2
m = b2 b3 n = 1 b3 b1 , p=
b1 b2
/ 0 0 0ч , п3
(xbx2,x3)e lx с R .
Аналогично, система уравнений
[ a1v x1 + a2v x2 + a3v x3 +v c1 = °
[b1v x1 + b2v x2 + b3v x3 +v c2 = 0
в трехмерном евклидовом пространстве определяет
3
прямую l v x с R :
Vx _V x1 x1
v xo _v
x2 x
V x3-V x3
(16)
Исходя из (15) и (16), получим интервальные уравнения интервальной прямой в пространстве
is3R : ____ ___________ ____________
<х0-(х“) <X4-(х“) (X4-(х"} (17)
(m.^ (n,0) (p,0) ’ (17)
где (m, 0) , (n, 0) , (p, 0) — координаты направляющего вектора A((m, 0) ,(n, 0) ,(p, 0)). Поскольку (x,0) = x , пусть
(T) _< X0-(X0 = <XQ-(X°)
m n
<X4 -( X°)
p
,(18)
здесь (T = (t, Vt) є IsR . Полагаем, что <X1>-(X?) = 9(m•(T)),
(X^ -( X2) =9(n •( T)),
(X3)-(X0) = 9(p•(T>),
тогда выражение (18) можно представить так: (X1)-( X0) = 9(m •( T)),
' (X^-(х2) = ф(п•(T)),
(Х3)-(X0) = 9(p•(T)) ,
РИ, 2004, № 2
61
где (X;) = (Xj, v, Z = ^Х^^Х^^Хэ)) є IS3R, І Є J3 .
Иначе,
(ХО = (X?) + Ф(ш•(Т)),
■< Х2) = (Х°2) + ф(и •( Т)), (19)
(Х^ = (Х?) + Ф(р •(Т)) .
Интервальные уравнения системы (19) назовем интервальными уравнениями интервальной прямой L в пространстве i3r в параметрической форме, или параметрическими интервальными уравнениями интервальной прямой в пространстве i3r , а (Т) — интервальным параметром интервальной прямой.
В частности, если V t = 2, система (19) примет вид (Хі) = (Х? ^ + m• t ,
' (Х^ = (Х2 ^ + n't ,
(Хэ) = (Х?^ + р't •
где (Т^ — значение интервального параметра, соответствующее точке Z і; (Т2) — значение интервального параметра, соответствующее точке Z 2 ; < l — символ отношения предшествования, задан -ного на множестве точек интервальной прямой.
В общем случае, если (т^ < ^Т^, т.е.
(tl < t2) V ((ti = t2) A (V tl <V t2)) ,
то:
— либо точка Zi “предшествует” точке Z2 , т.е. Zl <L Z2,
— либо точка Z 2 “предшествует” точке Zi, т.е.
Z2 <l Zi в зависимости от выбора направления на интервальной прямой.
Верно и обратное утверждение: если справедливо (Т) < (Т2) <(Т2), а точки Zi и Z2 принадлежат интервальной прямой, то существует точка Z ? , принадлежащая интервальной прямой и соответствующая интервальному параметру (Т? ).
Заметим, что образами интервальной прямой в э
пространстве R являются прямые, заданные соответствующими системами:
xi = x? + m • t
• X2 = x2 + n • t
2 , x3 = x? + p •t
v x 0 > II
x1 x1
V x 0 > II
x2 x2
V x 0 > II
x3 x3
Согласно отношению порядка [5] в IsR зададим направление на интервальной прямой. Интервальную прямую L ^ i3r назовем ориентированной интервальной прямой в i3r , если на прямой выбраны начальная точка и направление.
Начальной точкой интервальной прямой назовем точку, соответствующую значению интервального
параметра (Т) = (t, vt) = (2, 2) = (?).
Если интервальная прямая задается в параметрической форме (19), то направление на ней соответствует непрерывному изменению параметра, т.е. если точке Z? є i3r сопоставим значение параметра {Т?) = (to.vt2)еIsR , то для всех
<Т).<Т2> * i.R , удовлетворяющих условию ^Т^ < ^Т?) < ^Т^ , справедливо следующее:
— либо точка Zi “предшествует” точке Z? , а точка Z2 “следует” за точкой Z? , т.е. Zi <l Z? <l Z2 ,
— либо точка Z 2 “предшествует” точке Z ? , а точка Zi “следует” за точкой Z? , т.е. Z2 <l Z? <l Zi,
Если интервальная прямая проходит через две
точки ZІ = ^Х^^Х^^ХЭ)) Є i3r, і = i, 2 , то направляющим вектором интервальной прямой (19) являются:
— интервальный вектор [12] A = [Zi, Z2], если (v1 =v2 )Л(v1 =v2 )Л(v1 =v2 ) •
v xi xY x2 x2 x3 x3 ’
— интервальный псевдовектор A p = [Zi, Z 2]p, если
(V1 ф V 2 ) Л (Vі =V 2 ) Л (Vі =V2 )
V xi xC V x2 xr x3 2э'
v(v1 =V2 )Л(Vі ФУ2 )Л(v1 =v2 )
v xi xC V x2 xr x3 2э'
v(v1 =v2 ) л (v1 =v2 ) л (v1 Ф v2 );
v x1 xr x2 x2 x3 x3
— интервальное семейство множеств Ab = [ZbZ2]b , если
(v1 ф V2 ) Л (Vі Ф V 2 ) Л (Vі Ф V2 )
v x1 xC V x2 x2 ' x3 x3 ’ •
Обозначим через A;,i є J3, интервальные координаты интервального вектора, интервального псевдовектора и направленного интервального семейства множеств. Тогда, следуя работе [12], вычисляем их по формулам: A; = (Х2)-(Х1) , где
^Х^^Х2^, і є J3, — интервальные координаты соответственно начала Zi и конца Z2 интервалы ного вектора A(Ab A2, A3) = (Ai, A2, A3), интервального псевдовектора Ap (A1, A2, A3) = (A1, A2, A3)p и направленного интервального семейства множеств Ab(A 1, A2, AЭ) = (A1> A2, A3)b .
62
РИ, 2004, № 2
Тогда система (19) примет вид
' (Xi> = (X?) + *<Т) ,
' (X2) = (х?) + A2 *(Т) ,
^ (хз) = (х?) + Aз *<Т),
где Aє J3 , — интервальные координаты интервального вектора A либо интервального псевдовектора Ap , либо интервального семейства множеств A ь .
Под направлением интервального вектора A , интервального псевдовектора A p и интервального семейства множеств A ь понимаем направление на ориентированной интервальной прямой L с I^R , ориентированной интервальной псевдопрямой Lp с I^R и ориентированного семейства интервальных ломаных Lь с I^R , которые можно провести в пространстве I^R через точки Zi и Z2 в каждом из рассмотренных случаев соответственно.
Если точки Zi, Z2 є L, то часть интервальной прямой L между точками Zi и Z2 называется интервальным отрезком, а точки Zi и Z2 — концами интервального отрезка [ZiZ2] с L .
Учитывая параметрическую форму интервальных уравнений интервальной прямой, можно утверждать, что интервальный отрезок есть множество точек интервальной прямой вида (19), интервальные параметры (Т) которых удовлетворяют условию (Ti) <(Т) < (Т^, где (Ti) — интервальный параметр точки Zi, а (Т^ — интервальный параметр точки Z 2 или, наоборот, (Т^ — интервальный параметр точки Z2 и (Т^ — интервальный параметр точки Zi в зависимости от выбора на прямой направления:
[ZiZ2] = {ZeL |((Ті)<(Т <(Т2))V(fc) <(Т <(Ті)}} . Выводы
Научная новизна. Впервые введены понятия интервальной прямой, интервальной псевдопрямой и интервальной ломаной в трехмерном интервальном пространстве. Это позволит, в отличие от известных подходов, строить математические модели задач размещения трехмерных геометрических объектов с кусочно-линейной границей, учитывая погрешности исходных данных средствами интервальной геометрии.
Практическая ценность. Предложенные результаты могут быть использованы для математического
и компьютерного моделирования интервальных геометрических объектов и их взаимодействий (включения, пересечения, касания, непересечения) в интервальных пространствах при решении трехмерных прикладных и научных задач упаковки, раскроя и покрытия.
Сравнение с лучшими аналогами. Введенные в статье понятия получены на основе применения нового приложения интервального анализа в геометрическом проектировании. Являясь элементами интервальной геометрии, интервальная прямая, интервальная псевдопрямая и интервальная ломаная аналогов в своем классе объектов не имеют.
Литература: 1. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 267 с. 2. Элементы теории геометрического проектирования/ Яковлев С.В., Гиль Н.И., КомякВ.М, Новожилова М.В., Романова Т.Е., Смеляков С.В. и др. / Под ред. В.Л. Рвачева. К.: Наук. думка, 1995. 241с. 3. Стоян Ю.Г., Романова Т.Е., Сысоева Ю.А. Математическая модель оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников с учетом погрешностей исходных данных // Докл. НАН Украины. 1998. № 5. С. 104-111. 4. Евсеева Л. Г., Романова Т.Е., Сысоева Ю.А. Особенности комбинаторной оптимизационной задачи размещения интервальных прямоугольников / / Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 3. С. 48 - 50. 5. Стоян Ю.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов // Докл. НАН Украины. Сер.А. 1996. №7. С. 23—25.
6. Стоян Ю.Г. Интервальное пространство I^R . Интервальные уравнения// Доп. НАН України. 1998. №6. С. 109— 116. 7. Стоян Ю.Г. Квазилинейные интервальные отображения. Интервальная метрика. Харьков, 1995. 23с. (Препр./ НАН Украины. Институт проблем машиностроения; №387). 8. Романова Т.Е. Интервальное пространство I^R // Докл. НАН Украины. 2000. №9. С. 36—41. 9. Kaucher E. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR // Comp. Suppl. 1980. № 2. P. 33—49. 10. Гребенник И.В., Романова Т.Е. Интервальная гиперплоскость в пространстве I^R // Проблемы машиностроения. 2002. Т. 5, № 3. С. 52- 56. 11. Стоян Ю.Г. Интервальные отображения// Доклады НАН Украины, Сер.А, 1996. №10. С. 57-61. 12. Стоян Ю.Г, Романова Т.Е. Интервальное произведение в пространстве I^R // Докл. НАН Украины. 2001. № 1. С. 23 - 27.
Поступила в редколлегию 27.02.2004
Рецензент: д-р техн. наук Гиль Н.И.
Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 70210-06.
Евсеева Людмила Григорьевна, канд. физ.-мат. наук, докторант Института проблем машиностроения НАН Украины им. АН. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95-95-36.
Романова Татьяна Евгеньевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95 96 77.
РИ, 2004, № 2
63
