Интервальная метрика на n-мерном множестве центрированных интервалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы: 1. Стариков О. Технология радиочастотной идентификации в промышленной автоматизации и логистике // Chip news Украина, 2005. .№2. 2. Рахно Е. RFID идентификация // Chip news Украина, 2006. .№3. 3. Боровко Р. Мировой рынок средств идентификации // http://www.cnew.ru 4. Klaus Finkenzeller RFID Hardbook: Fundamentals and Application in Contactless Smart Cards and Identification, 2003 John Wiley & Sons. Ltd. 5. Gehrig U. RFID Made Easy / EM Microelectronic-Marin SA/ EMAN1099/ Rev/ B CH-2074. Marin, 1999. 6. Global RFID System utilizing SAW Technology / RF SAW Inc./ 2003 Rev/ 1.0// http://www.rfsaw.com. T. Friedrich U., Annala A.-L. Palomar - a European answer for passive UHF RFID application / RFID Innovations 2001 conference // http://vicaragepublictions.co.uk

Поступила в редколлегию 10.09.2006 Хаханов Владимир Иванович, д-р техн. наук, профессор кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: техническая диагностика вычислительных устройств, систем, сетей и программных продуктов. Увлечения: баскетбол, футбол, горные лыжи. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина, 14, тел. 70-21-326. E-mail:hahanov@kture.kharkov.ua.

Филиппенко Инна Викторовна, методист ХНУРЭ, инженер. Научные интересы: системы дистанционного контроля и управления с использованием радиоканала. Увлечения: книги, большой теннис, цветоводство. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-0214. E-mail:fil@kart.edu.ua.

УДК 519.859

Л.Г. ЕВСЕЕВА

ИНТЕРВАЛЬНАЯ МЕТРИКА НА n-МЕРНОМ МНОЖЕСТВЕ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ИНТЕРВАЛОВ

На п-мерном множестве центрированных интервалов строится интервальное отображение, удовлетворяющее аксиомам метрики. В интервальном пространстве I" R с интервальной метрикой определяется п-мерный интервальный шар, Е-окрестность. Вводится понятие предела интервального отображения в точке многомерного интервального метрического пространства.

Введение

При тестировании программного обеспечения (задача сегментации исходных данных) в задачах синтеза технических систем возникает проблема компоновки сложных объектов нескольких видов, которые можно аппроксимировать с наперед заданной точностью объединением геометрических объектов, метрические характеристики которых заданы с погрешностями.

Задачи компоновки относятся к классу задач геометрического проектирования [1].

При построении математических моделей оптимизационных задач такого типа, разработке эффективных методов их решения возникает необходимость учитывать погрешности метрических характеристик и параметры размещения моделей реальных объектов и их взаимодействия.

Один из подходов к моделированию и решению прикладных и научных оптимизационных задач размещения 3D объектов с учетом погрешностей базируется на использовании элементов интервального анализа в геометрическом проектировании [2-4].

Обобщением представления о расширенном множестве центрированных интервалов [4] как о множестве, в котором вводится расстояние между элементами, есть понятие интервального метрического пространства.

В работе [5] рассматриваются трехмерные интервальные метрические пространства с евклидовой и некоторыми интервальными метриками специального вида. Интервальная метрика [6], введенная на множестве центрированных интервалов, позволяет использовать особые свойства интервального метрического пространства в дальнейшем при реализации математических моделей оптимизационных задач геометрического проектирования.

Исходя из того, что при решении оптимизационных задач размещения, в частности, с учетом минимальных и максимальных допустимых расстояний между объектами, а также при аналитическом описании взаимодействий базовых геометрических объектов с помо-

щью аппарата ф -функций [7], на многомерном интервальном множестве построим интервальное отображение, удовлетворяющее аксиомам метрики.

Целью данного исследования является построение многомерного интервального метрического пространства с интервальной метрикой, определение понятия предела интервального отображения в данной точке метрического пространства.

Постановка задачи

Рассмотрим интервальное множество а вида

а = Шх ш х... х ш

(1)

где 18R - расширенное множество центрированных интервалов [3, 4].

Предлагается интервальное отображение [4] ц: а ^ 18 R вида

) =

V

Ец2(< х1>, < х? >),

]=1

(2)

где и1 = (<Х1 >,<Х2>,...,<Хп>) е а, <Х'> = <х',у'х.>, V] е Jn, Jn = {1,2,...,n}, 1 = 1,2, ц: 18 R ^ 18 R - интервальная метрика [6] на 18 R :

|<А>-<В>|, если va-vp>0,

ц(<А>, <В>) =

<А> —<В>>, если va-vp<0,

или ц(<А>,<В>) = <|а —Ь|,^-vb|> , <А> = <а^а>е18R, <В> = <Ь,vb>е18R , <А> = <а, va > = <а,-va > - сопряженный элемент к элементу <А>е 18R .

Необходимо проверить, является ли интервальное отображение (2) метрикой на а , в полученном метрическом пространстве построить математическую модель п -мерного шара, исходные данные которого заданы с погрешностями, определить понятие интервального предела интервального отображения в точке интервального многомерного метрического пространства. Основная часть Полагаем

цО^) = <W> = <w,v№> = 7<В>,

где

П П \2

< Б> = v „ > = Е ц2 (< х1 >, < X? >) = Е < X . >2 з=1 з=1

1 2 х1 - х 2

v , — v

V] е Jn.

(3)

(4)

(5)

<Х] > = <Х], Vx. > = ц(<х1 >, <X2 >) ■

\ ") "з

Для определения конкретного вида отображения (1) воспользуемся выражениями для квадрата <х>2 и квадратного корня ^<Х> из интервального числа <Х> = <х, v х > [2]:

если <Х>е!§1 и 182 ,

<х>2 Ч

<Х2 + v2,2• х|•Vx>,

<(х + | vх |)• х,(х + | vх |)•Vх>, если<Х>е 1+з <(х — | Vх |) • х, —(х — ¡Vх |)•Vх>, если<Х>е I—3,

2 ^л/в+^Г ^л/ё^^Г^л/ё+^Г — >, <(>е1

(6)

0, <(> = 0.

<(>е 1+з

(7)

V

ё

ё

Здесь

181 = ^ 1§1 ={<х,Vx)е18R| X>0},

1§2 = ^ I§2 ={<х, Vx )е1^| х — Vx| < 0}, 183 = с1183 ={<х, Vx ) е I SR| (х-^х| < 0) л(х + >0)},

1+3 ={<X,Vx) е ^3 К > 0}, 1-3 = {(х^х)е^3 К < 0},

^3 = и 1-3, IsR = 1 s1 и и Is3 , N

в соответствии с разбиением [4] множества й = и йк , N = 4п,

к=1

йк = ^ X J 2 X ... х J n, Ji е{^, I s2, 1+3,1-3}, ^ е Jn, 0 = <0,°) . Для построения интервального метрического многомерного пространства проверим интервальное отображение (2) на выполнимость аксиом метрики.

Интервальное отображение (2) удовлетворяет следующим свойствам:

1) Отображение Ц определено на интервальном множестве й .

2) При любых и е й , i = 1,2, справедливо неравенство:

ц(и!,и2) > 0,

равносильное совокупности ^ > 0) V (^ = 0) л (V№ > 0)), согласно отношению порядка в пространстве ^ R [4], с учетом соотношений (6)-(7).

3) Интервальное отображение , и2) равно нулю тогда и только тогда, когда и и

1 2

и2 совпадают, т.е. (Xj) = (Xj ) , V] е Jn, i = 1,2. Данный факт следует из определения равных элементов пространства ^R . В этом случае w = V№ = 0, т.е. х] = Vх. = 0, V] е Jn,

откуда х1 = х2, vxl = Vх2 .

4) Равенство ц(и1 ,и2) = ц(и2 ,и1) следует из определения отображения.

5) Для проверки справедливости интервального неравенства

Ц(и1,и2) < Ц^,^) + Ц(и2,и3), (8)

для любых и е й , i = 1,2,3 , обозначим

ц(и1,и3) = (^) = (w1,vwi)^>/(Д> еIsR, i = 1,2.

На основании (3) с учетом определения операции сложения [4] представим выражение (8) в виде: ^^^^) < + w2,vW1 + vw2 ) , что с учетом отношения порядка в^R равносильно совокупности

w < Wl + W2, Vvw,Vw1,Vw2 е R1,

íw = w1 + W 2

IV < V + V

^ ^ _ ^^ w2 '

Исходя из (4), имеем

(X] )е ^ и ^ Пусть выполняется ограничение:

(X])е ^ и^3, V] е Jn, ^ ={(х,Vx)еIsR| (х — Vx| > 0)и(х > 0)} сIsl.

(X] )е ^, V] е Jn. (9)

Как известно [4], операция возведения интервального числа в квадрат является непрерывной, т.е. если <Х>е 1§1 и 1§2, то <Х>2 е 1§1. Если <Х>е 1§3 , то <Х>2 е 1§3 . Будем использовать данный факт в дальнейших исследованиях. Тогда с учетом (3)-(6) имеем

<Х>2 =<(х])2 + (vxJ)2,2•х •VxJ >е1§1, V] е Jn, <0>е 181, Л/<0>е181. (10) Из соотношений (7) и (9) в силу непрерывности интервальных операций [4] получим:

= > = 2 ^d + vd ^ — Vd — vd

где 7 = Е ((] + (Vх. )2), Vd = 2 • ЕЕ х] •Vx. .

з=1у J ' 3=1 -1

После некоторых преобразований выражение (2) примет вид:

цО^) = <W> = <w,vw > ,

(11)

1

w = — 2

1

^^з|(х]+-хз)2 +|]з2

(

V =--

w 2

ч|5(х]+^ з)2 —^ (х]—■з

при выполнении ограничений (9). Представим <Х.>, V] е Jn, в виде:

<х] > = (| (х1 —х3) + (х3 — ^^^ —Vx3) + (vx3 — ^1). Тогда с учетом выражения (10) имеем:

х1—х 2

х1 х 2

х1 х2

х1 х2 / '

откуда, используя свойства модулей, убеждаемся в справедливости выражения (8).

В соответствии с (6) и отношением порядка на расширенном пространстве центрированных интервалов получим

<Б> = <7, vd > <<^, vdl > + <72, vd2 > = <Б1 > + <Б2 >.

Положим теперь, что <Х] >е 1+3, V] е Jn :

<х]>2 = <(х] +vxз) • х],(х] +VХJ) • Vз > е Is+3, V] е Jn, <Б>е 1+3 , Щ е 1+3 .

П \2 П

<0> = Е <Х] >2 = Е <(х] + Vx,) • х] , (х] + Vx , ) • Vx ■ >

з=1 з=1 3 2 2 '

^- /¿ц +vxз)-х] £(х +vxз)з

^ = м-^, *п-

*з=1 \ Е (х] +Vx, )2 Е (х] +Vx , )2

\ з=1 з з=1 з

Пусть теперь для некоторых ] е Jn выполняется условие <Х] >е 1+1, для остальных -<Х]>е 1+3 . Не нарушая общности рассуждений, полагаем, что

2

2

<Xj )e I+i, j e Jk, k < n, <Xj>eI+3, je Jn\Jk. (12)

С учетом (5) и (3) получим

<Xj)2 = <(xj)2 + (vx.)2,2• | xj | -vx.)e Isi, Vj e Jk, <Xj>2 = <(xj +Vxj) • xj,(xj +Vxj) • Vx. >e I+3, Vj e Jn \ Jk.

Тогда

<D) = £<(xj)2 + (Vx.)2,2• xj •vx.)+ £ <(xj +vx.)• xj,(xj +vx.)•Vx.)

j=1 J J j=k+1 J J J '

<D) = £<(xj)2 +(VX.)2,2•xj •Vx.)+ £ <xj •Vx.,xj •Vx.), j=1 j=k+1 J J

откуда после преобразований следует выполнение условия (8).

Нетрудно проверить справедливость некоторых свойств интервальной метрики,

необходимых для дальнейших исследований, а именно:

1) + Uo ,U2 + Uo) = ,U2), VUi e fi,i = 1,2, VUo e fi ;

2) + U2,U3 + U4) < ^(U1,U3) + ^(U2,U4), VUi e fi,i = 1,2,3,4 ;

3) ^(U!,U2) = Ц(Ü!,Ü2), VUi e fi,i = 1,2, U = (<X1),<X2),...,W) .

Таким образом, интервальное отображение (2) удовлетворяет свойствам 1-3 метрики.

Это означает, что построено интервальное метрическое пространство I" R = (fi, j).

В целях построения в многомерном интервальном пространстве с интервальной метрикой математической модели гиперсферы, исходные данные которой заданы с погрешностями, зададим интервальное отображение х: Ij^R ^ IsR вида: х(U) = j(U,U0) -<R), где ц - интервальная метрика (2), U,U0 eIjR,<R) = <r,vr)eIsR - интервальный радиус [8], Uo - интервальный центр интервальной гиперсферы.

Тогда гиперсфера Q(U0, <R)) с IjjR может быть представлена следующим образом: Q(U0,<R)) = {U e IjR x(U) = <x,V = <0,vx)}, а интервальный шар S(U0, <R)) с IjR с центром в точке U0 интервального радиуса <R) = <r, vr)e IsR - соответственно в виде:

S(Uo, <R)) = int S(U 0, < R)) U frS(U 0, < R)), (13)

int S(Uo,<R)) = {U e IjR\ х(U) = <x,vx) < <0,vx)},

frS(Uo, < R)) = Q(Uo, < R)),

где int S(U0,<R)), frS(U0 ,<R)) - топологическая внутренность [9] и интервальная граница

интервального шара S(U0, <R)) соответственно.

В соответствии с определением (12) интервального шара в метрическом пространстве

Ij R рассмотрим понятие Е -окрестности точки.

Полагаем, что <Е) = <е, vs ) e IsR , причем <Е) > 0, 0 = <0,0), где <Е) - радиус n -мерного шара с центром в точке u0 e Rn, Ve e R1 - погрешность задания радиуса.

С учетом (13) <Е) -окрестностью точки Uo e IjjR является открытый n -мерный интервальный шар S(U0, <Е)) с IjR радиуса е с центром в точке U0: 54

S(Uo, <Е» = {U e I°Rx(U) = <X, vx > < <0, v^ > }. (14)

Пусть интервальное отображение W: I^ R ^ I s R представлено в виде:

W(<Aj>, < A2 >,..., < Ak >,U), где U = (<X!>,<X2>,...,<Xn>) e IjJR, <XjXje Jn , - интервальные переменные, <A;> , i e Jk, -интервальные коэффициенты и константы, участвующие в формировании интервального отображения W.

Базируясь на (14), сформулируем понятие интервального предела интервального отображения W в многомерном интервальном метрическом пространстве IjJR .

Число <C>eIsR назовем пределом интервального отображения W(<Aj>,<A2>,...,<Ak>,U) в точке U0 e IjJR, если для любого достаточно малого интервального числа <Е>, удовлетворяющего условию <Е>> 0, найдется такое <Д> = <5, v5>> 0, что как только U e S(U0 ,<А>), соответствующие значения интервального отображения W(< A1 >, < A2 >,..., < Ak >, U) e S(U0, <E>).

Будем обозначать данный факт следующим образом:

lim W(<Aj>,<A2>,...,<Ak>,U) = <C> U^U0

Выводы

Получены новые теоретические результаты, касающиеся построения интервального многомерного метрического пространства.

Построено интервальное метрическое пространство IjJ R = (ß,с интервальной метрикой ; на многомерном интервальном множестве ß вида (1), а также определено понятие интервального предела интервального отображения.

Построенная модель шара в многомерном интервальном пространстве может быть использована при математическом моделировании и разработке эффективных методов решения задач 3D упаковки и некоторых классов задач покрытия, оптимизационных задач размещения шаров с учетом погрешностей исходных данных, чем определяется их научная ценность и практическая значимость. Введенное определение предела интервального отображения может быть использовано при вычислении значений интервального ф -отображения в его особых точках и при переходе от общей формулы ф -отображения к частной. Понятие интервального расстояния дает возможность определить нормализованное ф -отображение, значение которого является мерой взаимного положения пар интервальных объектов для случая, когда топологические внутренности данных объектов не пересекаются.

Список литературы: 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 356 с. 3. KoucherE. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR// Comp. Suppl. 1980. N° 2. P. 33-49. 4. СтоянЮ.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов// Доклады НАН Украины. 1996. №7. С.23-25. 5. Романова Т.Е. Интервальное пространство IпR // Доклады НАН Украины. 2000. №9. С.36-41. 6. Стоян Ю.Г. Квазилинейные интервальные отображения. Интервальная метрика. Харьков, 1995. 23с. (Препр./ НАН Украины. Институт проблем машиностроения; №387. 7. Романова Т.Е., СтоянЮ.Г., ШайтхауэрГ. Математическое моделирование взаимодействий базовых геометрических 3D объектов// Кибернетика и системный анализ. 2005. № 3. С. 19-31. 8. ГребенникИ.В., Евсеева Л.Г., Романова Т.Е. Учет погрешностей при моделировании компоновки объектов с нелинейной границей в задачах синтеза технических систем// Проблемы машиностроения. 2005. Т.8, № 1. С. 65-70. 9. Kuratowski K. (1966) Topology. Volume I, Academic press, New York and London, p. 794.

Поступила в редколлегию 20.08.2006

Евсеева Людмила Григорьевна, канд. физ.-мат.наук, доцент, профессор кафедры высшей математики и физики Полтавского университета потребительской кооперации Украины. Научные интересы: математическое моделирование, вычислительные методы. Адрес: Украина, 36034, Полтава, ул. Примакова, 12, кв.112, тел. (0532) 66 82 86. E-mail: yevseeva@satel.com.ua.