Научная статья на тему 'Математическая модель и метод решения оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников с учетом погрешностей исходных данных'

Математическая модель и метод решения оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников с учетом погрешностей исходных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
196
33
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сысоева Юлия Анатольевна

Предложены математическая модель и метод решения оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников в полосе с учетом погрешностей исходных данных, основанные на применении нового приложения [8-11] интервального анализа [12-14] в геометрии.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Математическая модель и метод решения оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников с учетом погрешностей исходных данных»

(25)

P(xk) = P(x1) = Pk =Pi .

Отсюда с учетом (2)

PK1a1 +...+ PKnan = Pl1a1 +-+Plnan . (26)

После преобразований, аналогичных (15) — (18), получим

b11a1 + b12a2 +-+b1n an = 0 (27)

где все обозначения аналогичны введенным выше.

Если имеется информация, позволяющая сформировать d равенств (25), общая модель примет вид

b11a1 +b12a2 +-+b1nan = 0, bd1a1 +bd2a2 +-+bdnan = 0, (28)

-1 < Ь ij < 1; i = 1,d ; j = 1,n ,

a j > 0; a j > 1; Z aj =1. j=1

В общем случае экспертная информация позволяет построить некоторую композицию неравенств и равенств. Окончательная общая модель определения

весовых коэффициентов a i будет иметь вид

b11a1 +b12a2 +-+b1nan < 0,

bm1a1 +bm2a2 +-+b mnan < 0

bm+1a1 +bm+1a2 +-+bm+1an = 0, (29)

bNa1 +bNa2 +•••+ bNan = 0 -1<Ь ij < 1; i = 1,N; i = 1,n ,

n

a i > 0; a i <□ 1; Z ai =1.

i=1

Задача заключается в том, чтобы определить матрицу относительных весовых коэффициентов А на основе модели (29). Все соотношения, входящие в (29), линейны относительно искомых неизвестных a i и в силу этого представляют собой полуплоскости (неравенства) и плоскости (равенства), ограничивающие в n-мерном пространстве некоторый выпуклый [5] многогранник, который является множеством допустимых значений W матрицы А.

Литература: 1. Петров Э.Г. Организационное управление городом и его подсистемами. Методы и алгоритмы. X.: Вища шк. 1986. 144 с. 2. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. М.: Наука, 1987. 134 с. 3. Шабанов-Кушнаренко Ю.П., ШароноваН.В. Компараторная идентификация лингвистических объектов. К.: ИСИО, 1993. 116 с. 4. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. М.: Радио и связь, 1982. 184 с. 5. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. 460 с.

Поступила в редколегию 05.06.98

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шаронова Н.В.

Овезгельдыев Атагелды Оразгельдыевич, канд. техн. наук, докторант ХТУРЭ. Научные интересы: организационные системы, системный анализ. Увлечения: путешествия. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-06.

Петров Константин Эдуардович, канд. техн. наук, ст. преподаватель УниВД. Научные интересы: теория принятия решений, нечеткие множества. Увлечения: горные лыжи, футбол. Адрес: 310080, Украина, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27, тел. (0572) 50-30-67.

УДК 519.6:514.1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОД РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

СЫСОЕВА Ю.А._________________________

Предложены математическая модель и метод решения оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников в полосе с учетом погрешностей исходных данных, основанные на применении нового приложения [8-11] интервального анализа [12-14] в геометрии.

1. Постановка задачи

Имеется конечное множество ориентированных правильных многоугольников с одинаковым числом сторон и полоса, исходные данные о которых заданы с определенными погрешностями. Необходимо разместить данное множество многоугольников в полосе с учетом погрешностей исходных данных так, чтобы длина занятой части полосы была минимальной.

Формализуем множество исходных данных Q следующим образом: Jk = {1,2,...,k} - индексное множество; Q — полоса ширины w и длины l (под длиной полосы понимается длина занятой ее части как результат какого-либо размещения); XOY —

собственная система координат полосы Q; v^ — исходная погрешность ширины полосы Q по оси OY (полагаем, что v^ > 0); v0 — исходная погрешность

длины полосы Q по оси OX (полагаем, что v0 > 0); n — число размещаемых многоугольников; Sj, іє Jn

— i-й многоугольник поставленной задачи; m — число сторон многоугольника Si; XOiY, іє1п — собственная система координат многоугольника Si (в дальнейшем Oi — полюс многоугольника Si); Ri, і є Jn

— радиус окружности, описанной около многоугольника Si; v v іє^ — исходные погрешности

задания многоугольника Si соответственно по осям OiX и OiY (полагаем, что < > 0, v§. > 0).

Введем дополнительные переменные: vl — погрешность длины занятой части полосы Q; vR;, іє1п

— погрешность радиуса Ri (vR; =9 (v°., v^.), где 9 —

отображение, которое определяется особенностями математического моделирования геометрических объектов арифметического евклидового пространства R2 с учетом погрешностей исходных данных в интервальных пространствах); xi, yi, іє Jn — коорди-

РИ, 1998, № 2

43

наты полюса Oj в системе координат XOY; vx , vy ,

xi yi

їє Jn — погрешности координат полюса Oj в системе координат XOY.

Замечание 1. В данном исследовании полагаем, что погрешности исходных данных должны удовлетворять условиям: vW,v0<v*; vXi, v^i <v*, їєJn (v*=const

— максимально допустимая погрешность).

В качестве математических моделей материальных объектов, обладающих переменными метрическими характеристиками, которые порождаются погрешностями исходных данных, предлагаются интервальные, рассматриваемые как точечные множества интервальных пространств. Этот подход к учету погрешностей исходных данных при моделировании объектов размещения (области размещения и размещаемых объектов) основан на использовании элементов интервальной геометрии [8-11].

2. Математические модели объектов размещения в интервальном виде

Зададим соответствие 5 между элементами множества исходных данных Q и элементами пространства R2 следующим образом:

5(v0i )=(0,vXi), 5(v“i )=(0,V“i), їєіп; 5(v0)=(0, v°),

5(vW)=(0, vW), 5(w, vW)=(w, vW). (1)

Учитывая гомеоморфизм h [8] пространств R2 и

Is(R),где IS(R) = КU = (u,vu) Ін=(с+б)/2є R1, vu =(d-с)/2є Ri, [c,d] c R1} — расширенное пространство центрированных интервалов [8], получаем следующие соотношения:

h((0, vxi ))=0, v0Xi), h((0, у“і ))=0, v°n), їє Jn,

h((0, v0)) =0,v0), h((0, v0w))=0,v0w),

h((w, vW ))=w,vW). (2)

Пусть имеется система неравенств [8,10]:

al9((x)} + b^((Y)) + (C1, vci) > (0,

_ a2Ф((х)) + b2Ф((Х>) + (c2, vc2) > (0,

... (3)

amФ((Х)) + bmФ((Х)> + (cm, vcm ) > (0\

которая определяет некоторое множество S c i2(R) ,

где I2(R) = Is(R) x Is(R) [10]. В (3) использовано обозначение:

Mu))

X^U, если X > 0, U), если X < 0,

X є R1;^ U = (u,-vu) — интервал, сопряженный интервал^ U [8].

Внутренность множества S описывается следующей системой интервальных неравенств:

а1Ф((Х)) + bM(Y)> + (C1, Х) > (Х

_ а2Ф^Х) + Ь2Ф^Х) + (c2, v*^ > (0>,

... (4)

amФ((Х)> + bmФ((Х)> + (Cm, v*m ) > (X

где vcj ajvx bjvy, jєJm.

Из системы (3) следует, что множество S имеет непустое пересечение с интервальными прямыми [10] L1, L2,...,Lm, заданными соответственно интервальными уравнениями [10]:

aM(X)) + bM(Y}> + (cb v4) = (X

^((X)> + Ь2Ф((У):> + (c2, vc2) = (X

... ... (5)

amФ((Х)) + bmФ((Х> + vcm ) = (°.

Если положить, что интервальные прямые составляют некоторое упорядоченное множество, множеству S принадлежат интервальные отрезки [11]:

KA1,A^] c Lb ... , [(Am-1,Am)] c Lm-1,

[(Am,A^] c Lm , (6)

гдЦA^ = Lm n L1, ^Aj^, іє|2,...,т} — точка пересечения интервальных прямых Lj-1 и Lj.

Таким образом, интервальные отрезки (6) образуют интервальную линию, которая может быть описана некоторым интервальным уравнением вида

F«X),(Y»=(0). (7)

Определение 1. Объединение множеств точек, удовлетворяющих системе (4) и уравнению (7), называется выпуклым интервальным m-угольником

[11] S*, если на подпространстве RXy c i2(R) система неравенств (3) определяет выпуклый m-угольник, а

на подпространстве Xx vy c i2(R) система интервальных неравенств

a^((x))+b^((Y)) + (c1, v~)>r X,

_ a2Ф((Х)> + b2Ф((Х)> + ^c2, X*2) >r (X ... (8)

amФ((Х)> + bmФ((Х> + (c2 , <) >r (X

** • / \ I

где vq = vc Sign (vci ),vc = max {

vn v v„

c1 c2 cm

},

sign (vci )=

0, если v c. = 0,

ci

1, если v c. > 0, . T

ci , jєJn

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-1, если v c. < 0,

r((U) = v , также определяет выпуклый m-угольник.

Множество точек, удовлетворяющих уравнению (7), называется интервальной границей выпуклого интервального m-угольника S* и обозначается frS*

44

РИ, 1998, № 2

[11]. При этом интервальные отрезки Aj,A2)

[(Am-1,Am)], [(Am,Aj)] называются сторонами выпуклого интервального ш-угольника, а точки (А1), (А 2),...,( A mч), (А m) - вершинами выпуклого интервального ш-угольника S* [11].

Замечание 2. Выпуклый интервальный ш-уголь-ник S* является ни открытым, ни замкнутым множеством в i2(R) в силу того, что frS* с frS*.

Определение 2. Выпуклый интервальный четырехугольник называется интервальным прямоуголь-

2 2

ником [11], если на подпространствахRXy иR VxVy

системы интервальных неравенств (3) и (8) соответственно определяют прямоугольники.

Определение 3. Выпуклый интервальный ш-угольник называется правильным интервальным ш-

2 п 2

угольником, если на подпространствах R xy иR VxVy

системы интервальных неравенств (3) и (8) соответственно определяют правильные ш-угольники.

Основываясь на определениях 2,3 и учитывая исходные данные поставленной задачи, аналитическое описание интервальной полосы П можно представить как

(9)

где

int П =

fr П =

= int П u fr П,

X + (°,-V x> > <0-

Y+( °,-V y) > (0-

- <x+d v x) ■> (X

- (Y+у V, ■)> (0-

’(X+ <0,V 0> =(0-

(Y+ (°,v w; )> <0-

- (Y + ^w, V w) > (X

(Y+ <°,v w: ) = (X

(X+ (0,v 0) > (0-

- (X + (>,V 0 )> (X

(X+ (- 1,-V 0) = (0-

(Y+ (°,v w: )> <0-

- (Y + ^w, V w) > <0-

(Y+ (- w,-' V °w) = (0.

(X+ (°,v 0) > (0-

- (X + (1,V 0 )> (0-

а аналитическое описание правильного интервального многоугольника Si — как

Si = int Si u fr Si , (10)

где

int Si

a(1)cp((x)) + b(1)p((Y)) + (ci, v®) > (0,

. a(2)p((x)) + b(2)p((y)) + (ci, VC2)) > (0,

a(m)P((X)) + b(m)p((y)) + (ci, VCm)) > (0,

fr S i

a(1) ф((х)) + b(1) P((Y) + (Ci, V Ci) = (0,

■ a(2)p((x))+b(2)P0Y) + (Ci, VCi) > (0, a(m)ф((Х>) + b(m)P((y)) + (Ci, VCi ) > (0, a(2)P((X) + b(2)P0X) + (Ci, VCi ) = (0,

■ a(3)ф((Х))+b(3)P((Y>) + (Ci,VCi) > (0, a(1) ф((х))+b(1) P0X) + (Ci, V Ci} > (0,

a(m)ф((Х) + b(m)P0X) + (Ci,VCi ) = (0,

■ a(1) p0X) + b(1) P((Y)) + (Ci, V CJ > (0, a(m-1)ф^Х) + b(m-1)P0X) + (Ci,VCi ) > (0,

(p)

a = - cos

п(2Р -1 ,(p) . n(2p -1)

-------, bVF' =-sin--------,

m m

vCp) = -a(p)vx -b(p)Vy

рє Зш; Ci Ricos .

m

71

Cos

0 ч2 , 0 42 = л/(^0 + (vyi)

ci Ri m’ Ri Таким образом, задачу размещения правильных многоугольников Si с R2, ieJn в полосе Пс R2 с учетом погрешностей исходных данных можно представить как задачу размещения правильных интервальных многоугольников Si с I2(R), ieJn (10) в

71

интервальной полосе Пс i2(R) (9). 3. Математическая модель задачи

Теоретико-множественная модель поставленной задачи имеет вид

Isi ПП = Si, iє Jn,

[cl S i П cl S j =0, i,j є Jn, i ф j. (11)

3.1. Условия размещения правильного интервального многоугольника в интервальной полосе.

Используя понятие интервального касания, введенное в работе [11], условия размещения многоугольника Si в полосе П можно представить в виде структуры [2] интервальных неравенств:

РИ, 1998, № 2

45

a'(Fj((^Zj)), (l)), д\4), (12)

где Fi (^Z;)), (О) = Fi ((^ ), (^)), (l, v^) - набор интервальных неравенств вида

(Xi) + (-2v0 -kjRі, v0 -kjv> (0),

- (X^ + (l - 2v i - Ri, v i-v rJ > (0),

(YO + (-2vW -k2Ri, v0w -k2vr:) > (О),

-(Yi) +(w - 2vW - k2R і , vW - k2 v r:) > (° ;

k1 =

1, если m = 0 (mod 2), n

cos —, если m = 1(mod 2), m

1, если m = 0 (mod 4),

. 2n[m/4] sin-------

k2 =

m

если m = 1(mod 4),

cos —, если m = 2 (mod 4), m

. 2n([m/4] +1) л „ч

sin----------, если m = 3 (mod 4).

m

3.2. Условия взаимного непересечения правиль -ных интервальных многоугольников.

Условия взаимного непересечения многоугольников Sj и Sj в случае, если m—четное, описываются структурой интервальных неравенств:

о" (Fj(((Zi)),((Zj))), Д0,m), (13)

где Fij(^Zi)),^Zj))) = Fij(^Xi),(Yi)),^Xj)^Yj))) -набор интервальных неравенств вида

-a(p)9((x j)) - b(p)9((y. )) + j vcp.) ^ > (0, peJm;

,(p^ 0(p).

cij' = a(p)xi + b(p)yi -Rjjcos

m

>:> (p)

(P) (P) i(p)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

v_. = a vx. + b vy. -Vr, cos—

m

R:: = R: + 2vr. + R . Vr.. =Vr +Vr.

у 1 R: j ■> *Mj Rj •

В случае же, когда m нечетное — структурой интервальных неравенств:

o"(Fj(((Zi)),((Zj))), Д0^), (14)

где ^фі)м(^))) = Fij(((Xі ^ (Yi}X((Xj )l (Yj))) -

MjVvrn/Z’V^j/// :j

набор интервальных неравенств вида

~(r)9<Xj)) -b(r)9((Yj)) + (~f ^ ) > (0, reJm, a(q)9^Xj)) -b(q)9((Yj)) + / j, \ > (0, qeJm;

~(r) n(2r - 1 a(q) 2nq

У =- cos-, a =- cos-,

mm

~(r) . n(2r - 1 г(q) • 2nq

b =- sin-, b =- sin-,

m

m

71

~(r) ciJ) II + o4 1 _p- , П (1)ч cos(—- Yij ),

m

c(q) = a (q)x cij =a xi +b(q)yi -djj cos

~(r) У.. cij II <Ґ 1*1 :i + ~(r)vyi-vdycos(m-Y ?)) ’

V (q) = a cu (q)v x. + xi тГ > і ub cos y,(2) ' U ’

rd ij ’

d:j = f(R 0)2 + r2 + 2R *R j cos

m

2 2 П

Ri = Ri + 2Vr: ,vdij = ^Ъ: +Vr. + 2vr:vRjcosm

(1) П Ri -Rj n

Yij) = — -arc1g(—:-------1^—),

2m

R: + R. 2m

(2) L

Y ij =-------- arctg(

ij 2m

Vr: - Vr j

Vr: +Vr

tg—) 2m .

ij

Принимая во внимание (11)—(14), математическая модель рассматриваемой задачи в общем случае будет иметь вид

arg min (l), (15)

((<Z»n ,< L )eDc l2n+1(R)

D: [ П 0( Fi(^Z^)^L>), Д1,4) ]n

i=1

П O'(Fij(^Z^),rfZj))),Д0,k)

n[i,j=1

1* j

где (<Z))n = (^Z^),^Z^),...,^Zn>))e l2n(R),

m, если m = 0 (mod 2), 2m, если m = 1 (mod 2).

(16)

Замечание 3. При VW =0, v0 =0; vX: =0, v0: =0, ieJn

математическая модель (15), (16) совпадает с математической моделью идеализированной оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников в полосе [7].

4. Представление математической модели в евклидовом пространстве R4n+2

В силу сложности математической модели (15),

(16), решение рассматриваемой задачи непосредственно в интервальном виде сопряжено с большими трудностями.

В целях использования в дальнейшем существующих методов решения оптимизационных задач размещения [3,7] перейдем от интервальных пространств Ig(R) к изометричным им евклидовым пространствам R2g, geJn [8,10].

Пусть имеется отображение §: Ig(R) ^ R2g такое,

что ад^Иь , ^ ^, vU2) ,...^Ug, VuJ ))=

46

РИ, 1998, № 2

= ( U1,Vu1,U2,VU2’ -’Ug’Vug ). Рассмотрим один из элементов математической модели (15), (16) — интервальное множество Dc i^n+1(R), описывающее область ее допустимых решений.

Осуществим отображение |(D)=ID, воспользовавшись при этом отношением порядка, введенным

в пространстве I^(R) [8,10].

Любое интервальное неравенство вида аф((х)) + Ъф((у)) + (c, vc) > (о)представимо [8,10] как совокупность

ax + by + c > О, fax + by + c = О,

|avx + bvy +Vc > 0.

Тогда очевидно, что структура интервальных неравенств (12), участвующая в формировании множества D, сводится к системе совокупностей

а(1) (х; - xj) + ~(1)(у; - yj) - k(1)dij > О,

a(1)(x; - xj) + b(1)(у; - yj) - k(1)dij = 0,

~(1)(vx; -Vxj) + b(1)(Vy; -Vyj)-k(2)Vdij > 0,

b(m)(x; - xj) + b(m)(y; - yj) - k(1)dij > 0, b(m)(xi - xj) + b(m)(y; - yj) - k(1)dij = 0,

b(m)(V x; -Vxj) + ~(m)(V у; -v ) - kfvd;j > 0,

^ (19)

a(1) (x; - xj)+b(1) (yi - yj) - k(j3)dij > 0,

a(1)(x; - xj) + b(1)(y; - yj) - k(3)dij = 0,

a (1)(v x; -Vj + b (1)(v y; -v у.) - k(4)Vd;j > 0,

x; - 2v0 - ^R; > 0,

fxi - 2v0 - k1Ri = 0,

lvx; + v0 - k1VR; > 0,

- x; + l - 2vj - R; > 0,

|- x; + l - 2vi - R; = 0,

[-vx; +vl -VR; > 0,

y; - 2vW - k2Ri > 0,

Jy; - 2vW - k2R; = 0,

lvy; + VW - k2VR; > 0

- y; + W - 2vW - k2R; > 0,

f- y; + w - 2vW - k2R; = 0, l-vy; +VW - k2VR; > 0,

структура интервальных неравенств (13) — к совокупности

a(1) (x; - xj ) + b(1) (y; - yj ) - k3R;j > 0, a(1) (x; - xj ) + b(1) (y; - yj ) - k3R;j = 0,

a(1)(v x; -v xj) + b(1)(v y; -v yj) - k3VR;j > 0,

a(m) (x; - xj ) + b(m) (y; - y j ) - k3R;j > 0, a(m)(x; - xj) + b(m)(y; - yj) - k3R;j = 0, a(m)(v x; -v xj) + b(m)(vy; -v yj) - k3VR;j > 0,

(18)

а структура (14) — к совокупности

a (m)(x; - xj) + b(m)(y; - yj) - k(3)d;j > 0, a (m)(x; - xj) + b (m)(y; - yj) - k(3)d;j = 0,

^a (m)(v x; -Vx.) + b(m)(Vy; -V y.) - k(4)Vd;j > 0,

1 П 1 (1) ҐП (1)ч

где k3 = cos , kij = cos( - yij ), m m

kj = cOS( ^-Y (?) m

1 (3) (1) ! (4) (2)

kij = cosYij , kij = cosYij •

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

;j ;j

m

Обозначим множество, описываемое системой

(17), через х;, а множества, описываемые совокуп-

ностями (18),(19), — черезх -j ) их

(m) (2m)

соответствен-

но. С учетом введенных обозначений образ ID интервального множества D в пространстве R4n+2

A n x(jk)

примет вид ID: [I Iхi]п[; ].

i=1 ;* j

Отметим некоторые особенности множества ID.

1. Множество IDc R4n+2.

2. Все соотношения, участвующие в описании множества ID, линейны, а следовательно, граница ID кусочно-линейна.

3. Множество х; (17) является ни открытым, ни замкнутым, выпуклым.

4. Множества х (m), х^2^ (18), (19) являются ни

открытыми, ни замкнутыми, неограниченными, невыпуклыми.

5. Множество ID при n>2 в общем случае невыпукло — оно лежит в пересечении n выпуклых (17)

и 2 сП невыпуклых (18), (19) множеств.

6. Множество ID, ID^int ID, ID^cl ID, лежит в пересечении n+2 сП ни открытых, ни замкнутых множеств.

РИ, 1998, № 2

47

Элементом математической модели (15), (16) является также функция цели. При переходе от интервальных пространств к евклидовым в качестве функции цели выберем величину 1.

Тогда, в результате указанного перехода, математическая модель (15), (16) примет вид:

arg min 1, (20)

((Z)n,l, V!) є ID;

П n4k)

ID: [ПXi ]n[ j J ], (21)

1=1 i*j

где^)п =(Xi,Vx1,yi,Vyi,...,Xn,VXn,yn,Vyn) є R4n.

5. Метод решения

При решении задачи (20), (21) предлагается использовать модификацию метода ветвей и границ, предназначенную для решения класса оптимизационных геометрических задач [3,7].

Определение 4. Множество Es с Rs называется псевдомногогранным множеством размерности s, если оно задано произвольной структурой у* линейных неравенств (как строгих, так и нестрогих).

Обозначим через T* набор уравнений, которые соответствуют всем неравенствам у *.

Определение 5. Точка хєСг Es называется псевдовершиной Es, если ее координаты являются решением системы не менее чем s уравнений набора T*, среди которых s линейно независимых.

Теорема. Если линейная функция цели f достигает своего глобального минимума в некоторой точке х0 є Es, то x0 — псевдовершина Es.

Доказательство. Очевидно, что линейная функция цели f не может достигать минимума на int Es, т.е. она достигает его на fr Es. Граница Es состоит из конечного числа множеств Es-i, описание каждого из которых получается путем замены неравенства у* соотвествующим уравнением набора T*. Пусть минимум достигается на одном из таких Es-1. Поскольку сужение линейной функции fm линейное многообразие размерности s—1, содержащее Es-1, остается линейной функцией, то ее минимум вновь не может достигаться на int Es-1, т.е. достигается на fr Es-1. Продолжая эти рассуждения, получаем, что f не может достигать минимума на int E1. Описание E1 получается путем замены s—1 неравенств у* соответствующими уравнениями набора T*.

Итак, минимум f может достигаться лишь на fr E1. Данная граница представляет собой конечный набор точек, каждая из которых описывается системой s линейно независимых уравнений набора T*. Из условия теоремы вцдно, что точка х0 є Es. Значит, точка х0 є Cr Es, т.е. является псевдовершиной Es.

Следствие. Функция цели 1 задачи (20), (21) достигает глобального минимума в псевдовершинах ID.

Обозначим через T={tj}, j=1,2,.. .,(4k +8n) набор уравнений, которые соответствуют неравенствам, участвующим в описании ID. Как показывает следствие, для решения (20), (21) можно применить стратешю построения систем уравнений из набора Т, описывающих все псевдовершины области ID.

5.1. Построение дерева решений

Структура дерева решений в нашем случае обладает некоторой спецификой, обусловленной особен-

ностями уравнений, входящих в набор Т. А именно, как видно из (17)—(19), уравнения, содержащие переменные xi, yi, іє Jn; 1, и уравнения, включающие

переменныеvx , Vy , іє1п; v1, жестко связаны между xi yi

собой, так как образуют системы. Учитывая это, алгоритм построения дерева решений описывается следующим образом.

Поставим в соответствие корню дерева решений пространство R4n+2.

Каждой вершине i-го уровня (i< 2n-1, i — нечетное) соответствует линейное многообразие Lj размерности 4n-2i+2, полученное как пересечение линейного многообразия Li-1 с двумя гиперплоскостями, уравнения которых связаны между собой и содержат

переменную xi и переменную v с ненулевыми

xi

коэффициентами соответственно. А всякой вершине j-го уровня (j<2n, j — четное) отвечает линейное многообразие Lj размерности 4n-2j+2, полученное как пересечение линейного многообразия Lj-1 с двумя гиперплоскостями, уравнения которых связаны между

собой и содержат переменную yj и переменную Vy. с ненулевыми коэффициентами соответственно.

На последнем — (2n+ 1)-м — уровне дерева каждая его вершина соответствует точке пространства R4n+2. Эта точка получена как пересечение некоторого линейного многообразия Ln с двумя гиперплоскостями, уравнения которых связаны между собой и содержат переменную 1 и переменную v1 с ненулевыми коэффициентами соответственно. Каждая вершина 2п-го уровня имеет n потомков [15], так как каждая из переменных 1 и v1 с ненулевыми коэффициентами входит в n уравнений набора T.

Заметим, что при определенных значениях индексов p,r,q некоторые из коэффициентов a(p), ~(r) ,b (q) обращаются в ноль, а именно: a(p)=0 при p=[m/4]+1 или p=m-[m/4], если m=2 (mod 4); ~(r)=0 при r=[m/ 2]+1 и b (q) =0 при q=m. С учетом этого число систем уравнений, построенных на (2n+ 1)-м уровне, равно величине

n [m (n -1) + 2]2n, если m = 0 (mod 4), n [(m - 2)(n -1) + 2]n [m (n -1) + 2]n, если m = 2 (mod 4),

k* =

n [2m (n -1) + 2]n[(2m - 2)(n -1) + 2]n, если m = 1 (mod 2).

5.2. Построение набора правил отсечения

В процессе решения задачи (20), (21) происходит исключение тех систем уравнений, решения которых не удовлетворяют условиям размещения в области (17); условиям взаимного непересечения (18), (19); либо увеличивают значение функции цели (20). Оценочное значение функции цели переопределяется в результате решения каждой из упомянутых выше систем, построенных при прохождении дерева решений. Для сокращения числа систем уравнений, которые необходимо решать на последнем — (2п+1)-м — уровне (а также на более высоких уровнях), предложен эффективный набор правил отсечения бесперспективных вершин дерева решений, базирующийся

48

РИ, 1998, № 2

на правилах отсечения, приведенных в работах [3,7], и особенностях математической модели (20), (21).

В дальнейшем удобно использовать следующие обозначения:

sP =

(2)

S ’ =

s(3) =

Jxj - 2v® - kjRj = 0,

[Vx. +v0 - kJVR. = 0,

I"-Xj +1 -2vj -R. = 0, [-Vq +V1 -VR. = 0,

y. - 2vW - k2R j = 0,

vy. + VW - k2VR. = 0,

s(4) =

-yj + w - 2v°W - k2Rj = 0,

-vy. + VW - k2VR. = 0,

sVh)(i,j)

s(p), если v = 1 (h = p), Sjf, если v = 2 (h = r), sjjq), если v = 3 (h = q),

где

a(p)(xi - xj) + b(p)(yi - yj) - k3Rij = 0,

a(p)(Vx. -Vxj) + b(p)(Vyi -Vyj) - k3VRij = 0,

a(r) (x. - xj) + b(r) (y. - yj) - k(1)djj = 0, a(r)(Vxj-Vxj) + b(r)(vy. -vyj) - k(2)Vdjj = 0,

a(q)(x - xj) + b(q)(y. - yj) - kij3)djj = 0,

a(q)(Vx. -vxj) + b(q)(Vy. - Vyj) - k(j4)Vdjj = 0,

pe Jn, re Jn, qe Jn.

Правило отсечения 1. Если на g-м уровне в системе, определяющей вершину дерева решений,

содержится менее чем g-n-1 подсистем вида s Vі) (j, j), то данная вершина является концевой.

Правило отсечения 2. Если на некотором нечетном уровне дерева решений выбрана подсистема

sVh) (i, j), то на следующем уровне подсистемы sVh) (i, j) с теми же индексами і и j не выбираются.

Правило отсечения 3. Если построенная в некоторой вершине дерева решений система содержит подсистему вида

sVh)(il,i2),

• sVh)(i2,i3), sVh)(i3,ii),

где hteJm, vte{2,3}, iteJn, it ^is, t,seJ3, то данная вершина является концевой.

Правило отсечения 4. Если построенная в некоторой вершине дерева решений система содержит подсистему вида

s(hl)(il,i2),

s(h3)(i3,ii)

или

где hteJm, vte{2,3}, iteJn, it ^is, t,se J3, и эта подсистема определяет внутреннюю точку области ID, то данная вершина является концевой.

Правило отсечения 5. Если на 2п-м уровне в системе, определяющей вершину дерева решений,

отсутствует подсистема s(1) или s(3), то данная вершина является концевой.

Правило отсечения 6. Если на первых уровнях дерева решений (до 2n включительно) в систему, определяющую вершину, включены подсистемы si2) , то на (2п+1)-м уровне эти подсистемы в формировании системы не участвуют и соответствующие подсистемы не рассматриваются.

Прежде чем перейти к формулировке правила отсечения 7, рассмотрим вопрос о нахождении точных нижней и верхней оценок оптимального решения задачи (20), (21). Для этого введем дополнительные обозначения. Будем полагать, что Q0 — полоса Q без учета погрешностей (VW =0, V0 = 0): Q0={(x,y)eR2 |xe[0;l], ye[0;w]}; Q- — полоса Q с минимально допустимыми размерами: Q-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

={(x,y)eR2 | xe [0+v0;l], ye [0+vW;w-vW]}; Q+ - полоса Q с максимально допустимыми размерами:

Q+={(x,y)eR21xe[0-v0;l], ye[0-vW;w+vW]}; s0, ieJn

— многоугольник Si без учета погрешностей; R0, i e Jn

— радиус окружности, описанной около многоугольника S0 (VRj =0); s-, ieJn — многоугольник Si с

минимально допустимыми размерами; r. , ieJn — радиус окружности, описанной около многоугольника S- (R- =Ri-VRj ); S+ , ieJn — многоугольник Si с

максимально допустимыми размерами; r+, ieJn — радиус окружности, описанной около многоугольника S+ (R + =Ri+VR. ).

Если в качестве исходных данных в задаче оптимального размещения правильных ориентированных многоугольников в полосе без учета погрешностей [7] выбрать: 1) Q0 и s0, ieJn; 2) Q+ и s-, ieJn;

3) Q- и s+, ieJn, то в первом случае определяется

точное решение l0 для идеализированного случая, во втором — точная нижняя оценка l- оптимального решения задачи (20), (21), в третьем—точная верхняя оценка l+ оптимального решения задачи (20), (21).

Правило отсечения 7. Если построенная в вершине g-го уровня дерева решений система уравнений может быть решена (количество уравнений совпадает

ч max (x. + R.) Г1-с количеством неизвестных), но . т v j j/ £ [l ,

je Js

l+] (s=g/2, если g - четное; s=[g/2]+1, если g -нечетное; s=[g/2], если g=2n+1) или найденные решения не удовлетворяют условиям (17)—(19), то данная вершина является концевой.

РИ, 1998, № 2

49

6. Численные эксперименты

В качестве тестового примера рассмотрим следующие исходные данные: w=20; vW=0,08; v0=0,05;

m=6; n=7 ; R1=3; ; R2=4,1; R3=2,7; R4= 3,7; R5 =2,2

R6=1 ,8; R7=2; v0 = 0,09 Х1 ; v° = 0,1 ; ’ °2 ’ v0 = °3 0,05

V0 = 0,12 : ■ V0 = 0,01 • v0 = 0,02 ; v0 = 07 0,03

x4 ' °5 °6 ’

v0 = 0,03 : ■ v0 = 0,14 ; v0 = 0,06 ; v0 = 0,07

У1 ' У2 У3 ’ У4

V0 = 0,04 : • v0 = 0,05; v0 = 0,05 .

У5 ’ У6 ’ У7

Применяя к решению поставленной задачи изложенный выше метод, получаем следующий результат: точное решение задачи (20), (21) равно: l=10,8577. Для сравнения, точное решение для идеализированного случая равно: l0=10,503, а точные нижняя и верхняя оценки оптимального решения задачи (20), (21) равны соответственно: l-= 9,657, l+=11,1442. Справедливо неравенство l-< l0<l< l+, причем предложенный в работе алгоритм позволяет улучшить верхнюю оценку l+ на 0,0965.

Литература: 1. Стоян Ю.Г., Гиль Н.И. Методы и алгоритмы размещения плоских геометрических объектов. К.: Наук. думка, 1976. 248с. 2. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук.думка, 1986. 286с. 3. Новожилова М.В. Решение задачи поиска глобального экстремума линейной функции цели на структуре линейных неравенств. Харьков, 1988. 48с. / (Препр./ АН УССР. Ин-т проблем машиностроения; №292).

4. Milencovic V., DanielsK, Li Zh. Placement and compaction of nonconvex polygons for clothing manufacture // Paper for forth Canadian conference on computational geometry. St. John’s, Newfoundland, Canada. 1992. P.10-18. 5. Dowsland K.A., Dowsland W.B. Solution approaches to irregular nesting problems // Europ. Journ. Oper. Res. 1995. 84. P.506-521. 6. Элементы теории геометрического проектирования / Под ред. В.Л.Рвачева. К.: Наук. думка, 1995. 244с. 7. Сысоева Ю.А. Математическая модель и метод решения задачи размещения правильных ориентированных многоугольников в полосе. Харьков, 1996. 19с. Рукопись представлена Ин-том проблем машиностроения НАН Украины. Деп. в ВИНИТИ 22 января 1996 г. №242В-96. 8. Стоян Ю.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов // Докл. НАН Украины. 1995. №7. С.23-25. 9. Стоян Ю.Г. Интервальные отображения // Докл. НАН Украины. 1996. №10. С.57-63. 10. Стоян Ю.Г. Интервальное пространство l2 (R) . Интервальные уравнения. Харьков, 1996. 19с. (Препр./ НАН Украины. Ин-т проблем машиностроения; №392). 11. Стоян Ю.Г. Интервальные множества. Харьков, 1997. 27с. (Препр./ НАН Украины. Ин-т проблем машиностроения; № 400 ). 12. Moore R.E. Interval analysis. Prentice Hall, 1966. 400p. 13. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR // Comp.Suppl. 1980. P.33-49. 14. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 356с. 15. Ахо А., Хопкфорт Дж, Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979. 536с.

Поступила в редколегию 20.06.98

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Чудинович И.Ю.

Сысоева Юлия Анатольевна, ассистент кафедры естественных наук ХТУРЭ. Научные интересы: оптимизационные методы геометрического проектирования. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр.Ленина, 14, тел. 30-09-03.

УДК 519.21

ФОКУСИРУЮЩИЕ ФАКТОРЫ. БАЗИСЫ ФОКУСИРОВКИ И СТАБИЛИЗАЦИИ

ДИКАРЕВ В.А.

Введены понятия меры фокусировки, базиса фокусировки и базиса стабилизации. Приведены примеры их применения при рассмотрении реальных процессов, которые могут быть описаны системами уравнений Колмогорова.

Рассмотрим задачи, связанные с процессами фокусировки и стабилизации [1—4]. Фокусировка и стабилизация имеют место в системах,эволюция которых может быть описана с помощью марковских процессов с непрерывным временем и конечным числом состояний. Явления фокусировки и стабилизации состоят в том, что при определенных воздействиях на процесс его основные характеристики (вероятности состояний, переходные вероятности и др.) с изменением времени все менее отличаются от наперед заданых значений. Эти воздействия можно выбрать так, что промежуток времени, необходимый для фокусировки и стабилизации, можно сделать сколь угодно малым. В статье основное внимание уделено именно этому случаю. Общий случай, когда время, необходимое для фокусировки и стабилизации, произвольно, рассматривается аналогично.

В [1,2] показано, что фокусировка в точке t0 может иметь место, если элементы Ai j (t) инфинитезимальной матрицы Л(t) (все или их часть) при 11 to быстро возрастают. Возникающие при этом в точке to разрывы функций М j (t) должны быть неин-тегрируемы (случай точной фокусировки) или почти неинтегрируемы (случай s-фокусировки). Если кроме этого выполняются некоторые условия (см. [2,4]),

то при 1110:

а) для случая точной фокусировки

Pj (So,t) ^nj; (1)

б) для случая s-фокусировки

lim Pj (So, t) є (n,■ —а,п,- + a), ttt0 1 J J

lim Pj (So, t) є (n j -a, n-j+a). (2)

ttto

Здесь индексом j нумеруются состояния Kj >0,

'^Kj = 1, (1) и (2) должны выполнятся для всех

j

состояний; величина s в (2) является нижней гранью

по всем a , для которых условия (2) имеют место. Случай точной фокусировки связан с бесконечными энергозатратами и является некоторой идеализацией, позволяющей наиболее полно исследовать про-

50

РИ, 1998, № 2

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.