CC BY
33
(25)
P(xk) = P(x1) = Pk =Pi .
Отсюда с учетом (2)
PK1a1 +...+ PKnan = Pl1a1 +-+Plnan . (26)
После преобразований, аналогичных (15) — (18), получим
b11a1 + b12a2 +-+b1n an = 0 (27)
где все обозначения аналогичны введенным выше.
Если имеется информация, позволяющая сформировать d равенств (25), общая модель примет вид
b11a1 +b12a2 +-+b1nan = 0, bd1a1 +bd2a2 +-+bdnan = 0, (28)
-1 < Ь ij < 1; i = 1,d ; j = 1,n ,
a j > 0; a j > 1; Z aj =1. j=1
В общем случае экспертная информация позволяет построить некоторую композицию неравенств и равенств. Окончательная общая модель определения
весовых коэффициентов a i будет иметь вид
b11a1 +b12a2 +-+b1nan < 0,
bm1a1 +bm2a2 +-+b mnan < 0
bm+1a1 +bm+1a2 +-+bm+1an = 0, (29)
bNa1 +bNa2 +•••+ bNan = 0 -1<Ь ij < 1; i = 1,N; i = 1,n ,
n
a i > 0; a i <□ 1; Z ai =1.
i=1
Задача заключается в том, чтобы определить матрицу относительных весовых коэффициентов А на основе модели (29). Все соотношения, входящие в (29), линейны относительно искомых неизвестных a i и в силу этого представляют собой полуплоскости (неравенства) и плоскости (равенства), ограничивающие в n-мерном пространстве некоторый выпуклый [5] многогранник, который является множеством допустимых значений W матрицы А.
Литература: 1. Петров Э.Г. Организационное управление городом и его подсистемами. Методы и алгоритмы. X.: Вища шк. 1986. 144 с. 2. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. М.: Наука, 1987. 134 с. 3. Шабанов-Кушнаренко Ю.П., ШароноваН.В. Компараторная идентификация лингвистических объектов. К.: ИСИО, 1993. 116 с. 4. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. М.: Радио и связь, 1982. 184 с. 5. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. 460 с.
Поступила в редколегию 05.06.98
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шаронова Н.В.
Овезгельдыев Атагелды Оразгельдыевич, канд. техн. наук, докторант ХТУРЭ. Научные интересы: организационные системы, системный анализ. Увлечения: путешествия. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-06.
Петров Константин Эдуардович, канд. техн. наук, ст. преподаватель УниВД. Научные интересы: теория принятия решений, нечеткие множества. Увлечения: горные лыжи, футбол. Адрес: 310080, Украина, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27, тел. (0572) 50-30-67.
УДК 519.6:514.1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОД РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
СЫСОЕВА Ю.А._________________________
Предложены математическая модель и метод решения оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников в полосе с учетом погрешностей исходных данных, основанные на применении нового приложения [8-11] интервального анализа [12-14] в геометрии.
1. Постановка задачи
Имеется конечное множество ориентированных правильных многоугольников с одинаковым числом сторон и полоса, исходные данные о которых заданы с определенными погрешностями. Необходимо разместить данное множество многоугольников в полосе с учетом погрешностей исходных данных так, чтобы длина занятой части полосы была минимальной.
Формализуем множество исходных данных Q следующим образом: Jk = {1,2,...,k} - индексное множество; Q — полоса ширины w и длины l (под длиной полосы понимается длина занятой ее части как результат какого-либо размещения); XOY —
собственная система координат полосы Q; v^ — исходная погрешность ширины полосы Q по оси OY (полагаем, что v^ > 0); v0 — исходная погрешность
длины полосы Q по оси OX (полагаем, что v0 > 0); n — число размещаемых многоугольников; Sj, іє Jn
— i-й многоугольник поставленной задачи; m — число сторон многоугольника Si; XOiY, іє1п — собственная система координат многоугольника Si (в дальнейшем Oi — полюс многоугольника Si); Ri, і є Jn
— радиус окружности, описанной около многоугольника Si; v v іє^ — исходные погрешности
задания многоугольника Si соответственно по осям OiX и OiY (полагаем, что < > 0, v§. > 0).
Введем дополнительные переменные: vl — погрешность длины занятой части полосы Q; vR;, іє1п
— погрешность радиуса Ri (vR; =9 (v°., v^.), где 9 —
отображение, которое определяется особенностями математического моделирования геометрических объектов арифметического евклидового пространства R2 с учетом погрешностей исходных данных в интервальных пространствах); xi, yi, іє Jn — коорди-
РИ, 1998, № 2
43
наты полюса Oj в системе координат XOY; vx , vy ,
xi yi
їє Jn — погрешности координат полюса Oj в системе координат XOY.
Замечание 1. В данном исследовании полагаем, что погрешности исходных данных должны удовлетворять условиям: vW,v0<v*; vXi, v^i <v*, їєJn (v*=const
— максимально допустимая погрешность).
В качестве математических моделей материальных объектов, обладающих переменными метрическими характеристиками, которые порождаются погрешностями исходных данных, предлагаются интервальные, рассматриваемые как точечные множества интервальных пространств. Этот подход к учету погрешностей исходных данных при моделировании объектов размещения (области размещения и размещаемых объектов) основан на использовании элементов интервальной геометрии [8-11].
2. Математические модели объектов размещения в интервальном виде
Зададим соответствие 5 между элементами множества исходных данных Q и элементами пространства R2 следующим образом:
5(v0i )=(0,vXi), 5(v“i )=(0,V“i), їєіп; 5(v0)=(0, v°),
5(vW)=(0, vW), 5(w, vW)=(w, vW). (1)
Учитывая гомеоморфизм h [8] пространств R2 и
Is(R),где IS(R) = КU = (u,vu) Ін=(с+б)/2є R1, vu =(d-с)/2є Ri, [c,d] c R1} — расширенное пространство центрированных интервалов [8], получаем следующие соотношения:
h((0, vxi ))=0, v0Xi), h((0, у“і ))=0, v°n), їє Jn,
h((0, v0)) =0,v0), h((0, v0w))=0,v0w),
h((w, vW ))=w,vW). (2)
Пусть имеется система неравенств [8,10]:
al9((x)} + b^((Y)) + (C1, vci) > (0,
_ a2Ф((х)) + b2Ф((Х>) + (c2, vc2) > (0,
... (3)
amФ((Х)) + bmФ((Х)> + (cm, vcm ) > (0\
которая определяет некоторое множество S c i2(R) ,
где I2(R) = Is(R) x Is(R) [10]. В (3) использовано обозначение:
Mu))
X^U, если X > 0, U), если X < 0,
X є R1;^ U = (u,-vu) — интервал, сопряженный интервал^ U [8].
Внутренность множества S описывается следующей системой интервальных неравенств:
а1Ф((Х)) + bM(Y)> + (C1, Х) > (Х
_ а2Ф^Х) + Ь2Ф^Х) + (c2, v*^ > (0>,
... (4)
amФ((Х)> + bmФ((Х)> + (Cm, v*m ) > (X
где vcj ajvx bjvy, jєJm.
Из системы (3) следует, что множество S имеет непустое пересечение с интервальными прямыми [10] L1, L2,...,Lm, заданными соответственно интервальными уравнениями [10]:
aM(X)) + bM(Y}> + (cb v4) = (X
^((X)> + Ь2Ф((У):> + (c2, vc2) = (X
... ... (5)
amФ((Х)) + bmФ((Х> + vcm ) = (°.
Если положить, что интервальные прямые составляют некоторое упорядоченное множество, множеству S принадлежат интервальные отрезки [11]:
KA1,A^] c Lb ... , [(Am-1,Am)] c Lm-1,
[(Am,A^] c Lm , (6)
гдЦA^ = Lm n L1, ^Aj^, іє|2,...,т} — точка пересечения интервальных прямых Lj-1 и Lj.
Таким образом, интервальные отрезки (6) образуют интервальную линию, которая может быть описана некоторым интервальным уравнением вида
F«X),(Y»=(0). (7)
Определение 1. Объединение множеств точек, удовлетворяющих системе (4) и уравнению (7), называется выпуклым интервальным m-угольником
[11] S*, если на подпространстве RXy c i2(R) система неравенств (3) определяет выпуклый m-угольник, а
на подпространстве Xx vy c i2(R) система интервальных неравенств
a^((x))+b^((Y)) + (c1, v~)>r X,
_ a2Ф((Х)> + b2Ф((Х)> + ^c2, X*2) >r (X ... (8)
amФ((Х)> + bmФ((Х> + (c2 , <) >r (X
** • / \ I
где vq = vc Sign (vci ),vc = max {
vn v v„
c1 c2 cm
},
sign (vci )=
0, если v c. = 0,
ci
1, если v c. > 0, . T
ci , jєJn
-1, если v c. < 0,
r((U) = v , также определяет выпуклый m-угольник.
Множество точек, удовлетворяющих уравнению (7), называется интервальной границей выпуклого интервального m-угольника S* и обозначается frS*
44
РИ, 1998, № 2
[11]. При этом интервальные отрезки Aj,A2)
[(Am-1,Am)], [(Am,Aj)] называются сторонами выпуклого интервального ш-угольника, а точки (А1), (А 2),...,( A mч), (А m) - вершинами выпуклого интервального ш-угольника S* [11].
Замечание 2. Выпуклый интервальный ш-уголь-ник S* является ни открытым, ни замкнутым множеством в i2(R) в силу того, что frS* с frS*.
Определение 2. Выпуклый интервальный четырехугольник называется интервальным прямоуголь-
2 2
ником [11], если на подпространствахRXy иR VxVy
системы интервальных неравенств (3) и (8) соответственно определяют прямоугольники.
Определение 3. Выпуклый интервальный ш-угольник называется правильным интервальным ш-
2 п 2
угольником, если на подпространствах R xy иR VxVy
системы интервальных неравенств (3) и (8) соответственно определяют правильные ш-угольники.
Основываясь на определениях 2,3 и учитывая исходные данные поставленной задачи, аналитическое описание интервальной полосы П можно представить как
(9)
где
int П =
fr П =
= int П u fr П,
X + (°,-V x> > <0-
Y+( °,-V y) > (0-
- <x+d v x) ■> (X
- (Y+у V, ■)> (0-
’(X+ <0,V 0> =(0-
(Y+ (°,v w; )> <0-
- (Y + ^w, V w) > (X
(Y+ <°,v w: ) = (X
(X+ (0,v 0) > (0-
- (X + (>,V 0 )> (X
(X+ (- 1,-V 0) = (0-
(Y+ (°,v w: )> <0-
- (Y + ^w, V w) > <0-
(Y+ (- w,-' V °w) = (0.
(X+ (°,v 0) > (0-
- (X + (1,V 0 )> (0-
а аналитическое описание правильного интервального многоугольника Si — как
Si = int Si u fr Si , (10)
где
int Si
a(1)cp((x)) + b(1)p((Y)) + (ci, v®) > (0,
. a(2)p((x)) + b(2)p((y)) + (ci, VC2)) > (0,
a(m)P((X)) + b(m)p((y)) + (ci, VCm)) > (0,
fr S i
a(1) ф((х)) + b(1) P((Y) + (Ci, V Ci) = (0,
■ a(2)p((x))+b(2)P0Y) + (Ci, VCi) > (0, a(m)ф((Х>) + b(m)P((y)) + (Ci, VCi ) > (0, a(2)P((X) + b(2)P0X) + (Ci, VCi ) = (0,
■ a(3)ф((Х))+b(3)P((Y>) + (Ci,VCi) > (0, a(1) ф((х))+b(1) P0X) + (Ci, V Ci} > (0,
a(m)ф((Х) + b(m)P0X) + (Ci,VCi ) = (0,
■ a(1) p0X) + b(1) P((Y)) + (Ci, V CJ > (0, a(m-1)ф^Х) + b(m-1)P0X) + (Ci,VCi ) > (0,
(p)
a = - cos
п(2Р -1 ,(p) . n(2p -1)
-------, bVF' =-sin--------,
m m
vCp) = -a(p)vx -b(p)Vy
рє Зш; Ci Ricos .
m
71
Cos
0 ч2 , 0 42 = л/(^0 + (vyi)
ci Ri m’ Ri Таким образом, задачу размещения правильных многоугольников Si с R2, ieJn в полосе Пс R2 с учетом погрешностей исходных данных можно представить как задачу размещения правильных интервальных многоугольников Si с I2(R), ieJn (10) в
71
интервальной полосе Пс i2(R) (9). 3. Математическая модель задачи
Теоретико-множественная модель поставленной задачи имеет вид
Isi ПП = Si, iє Jn,
[cl S i П cl S j =0, i,j є Jn, i ф j. (11)
3.1. Условия размещения правильного интервального многоугольника в интервальной полосе.
Используя понятие интервального касания, введенное в работе [11], условия размещения многоугольника Si в полосе П можно представить в виде структуры [2] интервальных неравенств:
РИ, 1998, № 2
45
a'(Fj((^Zj)), (l)), д\4), (12)
где Fi (^Z;)), (О) = Fi ((^ ), (^)), (l, v^) - набор интервальных неравенств вида
(Xi) + (-2v0 -kjRі, v0 -kjv> (0),
- (X^ + (l - 2v i - Ri, v i-v rJ > (0),
(YO + (-2vW -k2Ri, v0w -k2vr:) > (О),
-(Yi) +(w - 2vW - k2R і , vW - k2 v r:) > (° ;
k1 =
1, если m = 0 (mod 2), n
cos —, если m = 1(mod 2), m
1, если m = 0 (mod 4),
. 2n[m/4] sin-------
k2 =
m
если m = 1(mod 4),
cos —, если m = 2 (mod 4), m
. 2n([m/4] +1) л „ч
sin----------, если m = 3 (mod 4).
m
3.2. Условия взаимного непересечения правиль -ных интервальных многоугольников.
Условия взаимного непересечения многоугольников Sj и Sj в случае, если m—четное, описываются структурой интервальных неравенств:
о" (Fj(((Zi)),((Zj))), Д0,m), (13)
где Fij(^Zi)),^Zj))) = Fij(^Xi),(Yi)),^Xj)^Yj))) -набор интервальных неравенств вида
-a(p)9((x j)) - b(p)9((y. )) + j vcp.) ^ > (0, peJm;
,(p^ 0(p).
cij' = a(p)xi + b(p)yi -Rjjcos
m
>:> (p)
(P) (P) i(p)
v_. = a vx. + b vy. -Vr, cos—
m
R:: = R: + 2vr. + R . Vr.. =Vr +Vr.
у 1 R: j ■> *Mj Rj •
В случае же, когда m нечетное — структурой интервальных неравенств:
o"(Fj(((Zi)),((Zj))), Д0^), (14)
где ^фі)м(^))) = Fij(((Xі ^ (Yi}X((Xj )l (Yj))) -
MjVvrn/Z’V^j/// :j
набор интервальных неравенств вида
~(r)9<Xj)) -b(r)9((Yj)) + (~f ^ ) > (0, reJm, a(q)9^Xj)) -b(q)9((Yj)) + / j, \ > (0, qeJm;
~(r) n(2r - 1 a(q) 2nq
У =- cos-, a =- cos-,
mm
~(r) . n(2r - 1 г(q) • 2nq
b =- sin-, b =- sin-,
m
m
71
~(r) ciJ) II + o4 1 _p- , П (1)ч cos(—- Yij ),
m
c(q) = a (q)x cij =a xi +b(q)yi -djj cos
~(r) У.. cij II <Ґ 1*1 :i + ~(r)vyi-vdycos(m-Y ?)) ’
V (q) = a cu (q)v x. + xi тГ > і ub cos y,(2) ' U ’
rd ij ’
d:j = f(R 0)2 + r2 + 2R *R j cos
m
2 2 П
Ri = Ri + 2Vr: ,vdij = ^Ъ: +Vr. + 2vr:vRjcosm
(1) П Ri -Rj n
Yij) = — -arc1g(—:-------1^—),
2m
R: + R. 2m
(2) L
Y ij =-------- arctg(
ij 2m
Vr: - Vr j
Vr: +Vr
tg—) 2m .
ij
Принимая во внимание (11)—(14), математическая модель рассматриваемой задачи в общем случае будет иметь вид
arg min (l), (15)
((<Z»n ,< L )eDc l2n+1(R)
D: [ П 0( Fi(^Z^)^L>), Д1,4) ]n
i=1
П O'(Fij(^Z^),rfZj))),Д0,k)
n[i,j=1
1* j
где (<Z))n = (^Z^),^Z^),...,^Zn>))e l2n(R),
m, если m = 0 (mod 2), 2m, если m = 1 (mod 2).
(16)
Замечание 3. При VW =0, v0 =0; vX: =0, v0: =0, ieJn
математическая модель (15), (16) совпадает с математической моделью идеализированной оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников в полосе [7].
4. Представление математической модели в евклидовом пространстве R4n+2
В силу сложности математической модели (15),
(16), решение рассматриваемой задачи непосредственно в интервальном виде сопряжено с большими трудностями.
В целях использования в дальнейшем существующих методов решения оптимизационных задач размещения [3,7] перейдем от интервальных пространств Ig(R) к изометричным им евклидовым пространствам R2g, geJn [8,10].
Пусть имеется отображение §: Ig(R) ^ R2g такое,
что ад^Иь , ^ ^, vU2) ,...^Ug, VuJ ))=
46
РИ, 1998, № 2
= ( U1,Vu1,U2,VU2’ -’Ug’Vug ). Рассмотрим один из элементов математической модели (15), (16) — интервальное множество Dc i^n+1(R), описывающее область ее допустимых решений.
Осуществим отображение |(D)=ID, воспользовавшись при этом отношением порядка, введенным
в пространстве I^(R) [8,10].
Любое интервальное неравенство вида аф((х)) + Ъф((у)) + (c, vc) > (о)представимо [8,10] как совокупность
ax + by + c > О, fax + by + c = О,
|avx + bvy +Vc > 0.
Тогда очевидно, что структура интервальных неравенств (12), участвующая в формировании множества D, сводится к системе совокупностей
а(1) (х; - xj) + ~(1)(у; - yj) - k(1)dij > О,
a(1)(x; - xj) + b(1)(у; - yj) - k(1)dij = 0,
~(1)(vx; -Vxj) + b(1)(Vy; -Vyj)-k(2)Vdij > 0,
b(m)(x; - xj) + b(m)(y; - yj) - k(1)dij > 0, b(m)(xi - xj) + b(m)(y; - yj) - k(1)dij = 0,
b(m)(V x; -Vxj) + ~(m)(V у; -v ) - kfvd;j > 0,
^ (19)
a(1) (x; - xj)+b(1) (yi - yj) - k(j3)dij > 0,
a(1)(x; - xj) + b(1)(y; - yj) - k(3)dij = 0,
a (1)(v x; -Vj + b (1)(v y; -v у.) - k(4)Vd;j > 0,
x; - 2v0 - ^R; > 0,
fxi - 2v0 - k1Ri = 0,
lvx; + v0 - k1VR; > 0,
- x; + l - 2vj - R; > 0,
|- x; + l - 2vi - R; = 0,
[-vx; +vl -VR; > 0,
y; - 2vW - k2Ri > 0,
Jy; - 2vW - k2R; = 0,
lvy; + VW - k2VR; > 0
- y; + W - 2vW - k2R; > 0,
f- y; + w - 2vW - k2R; = 0, l-vy; +VW - k2VR; > 0,
структура интервальных неравенств (13) — к совокупности
a(1) (x; - xj ) + b(1) (y; - yj ) - k3R;j > 0, a(1) (x; - xj ) + b(1) (y; - yj ) - k3R;j = 0,
a(1)(v x; -v xj) + b(1)(v y; -v yj) - k3VR;j > 0,
a(m) (x; - xj ) + b(m) (y; - y j ) - k3R;j > 0, a(m)(x; - xj) + b(m)(y; - yj) - k3R;j = 0, a(m)(v x; -v xj) + b(m)(vy; -v yj) - k3VR;j > 0,
(18)
а структура (14) — к совокупности
a (m)(x; - xj) + b(m)(y; - yj) - k(3)d;j > 0, a (m)(x; - xj) + b (m)(y; - yj) - k(3)d;j = 0,
^a (m)(v x; -Vx.) + b(m)(Vy; -V y.) - k(4)Vd;j > 0,
1 П 1 (1) ҐП (1)ч
где k3 = cos , kij = cos( - yij ), m m
kj = cOS( ^-Y (?) m
1 (3) (1) ! (4) (2)
kij = cosYij , kij = cosYij •
;j ;j
m
Обозначим множество, описываемое системой
(17), через х;, а множества, описываемые совокуп-
ностями (18),(19), — черезх -j ) их
(m) (2m)
соответствен-
но. С учетом введенных обозначений образ ID интервального множества D в пространстве R4n+2
A n x(jk)
примет вид ID: [I Iхi]п[; ].
i=1 ;* j
Отметим некоторые особенности множества ID.
1. Множество IDc R4n+2.
2. Все соотношения, участвующие в описании множества ID, линейны, а следовательно, граница ID кусочно-линейна.
3. Множество х; (17) является ни открытым, ни замкнутым, выпуклым.
4. Множества х (m), х^2^ (18), (19) являются ни
открытыми, ни замкнутыми, неограниченными, невыпуклыми.
5. Множество ID при n>2 в общем случае невыпукло — оно лежит в пересечении n выпуклых (17)
и 2 сП невыпуклых (18), (19) множеств.
6. Множество ID, ID^int ID, ID^cl ID, лежит в пересечении n+2 сП ни открытых, ни замкнутых множеств.
РИ, 1998, № 2
47
Элементом математической модели (15), (16) является также функция цели. При переходе от интервальных пространств к евклидовым в качестве функции цели выберем величину 1.
Тогда, в результате указанного перехода, математическая модель (15), (16) примет вид:
arg min 1, (20)
((Z)n,l, V!) є ID;
П n4k)
ID: [ПXi ]n[ j J ], (21)
1=1 i*j
где^)п =(Xi,Vx1,yi,Vyi,...,Xn,VXn,yn,Vyn) є R4n.
5. Метод решения
При решении задачи (20), (21) предлагается использовать модификацию метода ветвей и границ, предназначенную для решения класса оптимизационных геометрических задач [3,7].
Определение 4. Множество Es с Rs называется псевдомногогранным множеством размерности s, если оно задано произвольной структурой у* линейных неравенств (как строгих, так и нестрогих).
Обозначим через T* набор уравнений, которые соответствуют всем неравенствам у *.
Определение 5. Точка хєСг Es называется псевдовершиной Es, если ее координаты являются решением системы не менее чем s уравнений набора T*, среди которых s линейно независимых.
Теорема. Если линейная функция цели f достигает своего глобального минимума в некоторой точке х0 є Es, то x0 — псевдовершина Es.
Доказательство. Очевидно, что линейная функция цели f не может достигать минимума на int Es, т.е. она достигает его на fr Es. Граница Es состоит из конечного числа множеств Es-i, описание каждого из которых получается путем замены неравенства у* соотвествующим уравнением набора T*. Пусть минимум достигается на одном из таких Es-1. Поскольку сужение линейной функции fm линейное многообразие размерности s—1, содержащее Es-1, остается линейной функцией, то ее минимум вновь не может достигаться на int Es-1, т.е. достигается на fr Es-1. Продолжая эти рассуждения, получаем, что f не может достигать минимума на int E1. Описание E1 получается путем замены s—1 неравенств у* соответствующими уравнениями набора T*.
Итак, минимум f может достигаться лишь на fr E1. Данная граница представляет собой конечный набор точек, каждая из которых описывается системой s линейно независимых уравнений набора T*. Из условия теоремы вцдно, что точка х0 є Es. Значит, точка х0 є Cr Es, т.е. является псевдовершиной Es.
Следствие. Функция цели 1 задачи (20), (21) достигает глобального минимума в псевдовершинах ID.
Обозначим через T={tj}, j=1,2,.. .,(4k +8n) набор уравнений, которые соответствуют неравенствам, участвующим в описании ID. Как показывает следствие, для решения (20), (21) можно применить стратешю построения систем уравнений из набора Т, описывающих все псевдовершины области ID.
5.1. Построение дерева решений
Структура дерева решений в нашем случае обладает некоторой спецификой, обусловленной особен-
ностями уравнений, входящих в набор Т. А именно, как видно из (17)—(19), уравнения, содержащие переменные xi, yi, іє Jn; 1, и уравнения, включающие
переменныеvx , Vy , іє1п; v1, жестко связаны между xi yi
собой, так как образуют системы. Учитывая это, алгоритм построения дерева решений описывается следующим образом.
Поставим в соответствие корню дерева решений пространство R4n+2.
Каждой вершине i-го уровня (i< 2n-1, i — нечетное) соответствует линейное многообразие Lj размерности 4n-2i+2, полученное как пересечение линейного многообразия Li-1 с двумя гиперплоскостями, уравнения которых связаны между собой и содержат
переменную xi и переменную v с ненулевыми
xi
коэффициентами соответственно. А всякой вершине j-го уровня (j<2n, j — четное) отвечает линейное многообразие Lj размерности 4n-2j+2, полученное как пересечение линейного многообразия Lj-1 с двумя гиперплоскостями, уравнения которых связаны между
собой и содержат переменную yj и переменную Vy. с ненулевыми коэффициентами соответственно.
На последнем — (2n+ 1)-м — уровне дерева каждая его вершина соответствует точке пространства R4n+2. Эта точка получена как пересечение некоторого линейного многообразия Ln с двумя гиперплоскостями, уравнения которых связаны между собой и содержат переменную 1 и переменную v1 с ненулевыми коэффициентами соответственно. Каждая вершина 2п-го уровня имеет n потомков [15], так как каждая из переменных 1 и v1 с ненулевыми коэффициентами входит в n уравнений набора T.
Заметим, что при определенных значениях индексов p,r,q некоторые из коэффициентов a(p), ~(r) ,b (q) обращаются в ноль, а именно: a(p)=0 при p=[m/4]+1 или p=m-[m/4], если m=2 (mod 4); ~(r)=0 при r=[m/ 2]+1 и b (q) =0 при q=m. С учетом этого число систем уравнений, построенных на (2n+ 1)-м уровне, равно величине
n [m (n -1) + 2]2n, если m = 0 (mod 4), n [(m - 2)(n -1) + 2]n [m (n -1) + 2]n, если m = 2 (mod 4),
k* =
n [2m (n -1) + 2]n[(2m - 2)(n -1) + 2]n, если m = 1 (mod 2).
5.2. Построение набора правил отсечения
В процессе решения задачи (20), (21) происходит исключение тех систем уравнений, решения которых не удовлетворяют условиям размещения в области (17); условиям взаимного непересечения (18), (19); либо увеличивают значение функции цели (20). Оценочное значение функции цели переопределяется в результате решения каждой из упомянутых выше систем, построенных при прохождении дерева решений. Для сокращения числа систем уравнений, которые необходимо решать на последнем — (2п+1)-м — уровне (а также на более высоких уровнях), предложен эффективный набор правил отсечения бесперспективных вершин дерева решений, базирующийся
48
РИ, 1998, № 2
на правилах отсечения, приведенных в работах [3,7], и особенностях математической модели (20), (21).
В дальнейшем удобно использовать следующие обозначения:
sP =
(2)
S ’ =
s(3) =
Jxj - 2v® - kjRj = 0,
[Vx. +v0 - kJVR. = 0,
I"-Xj +1 -2vj -R. = 0, [-Vq +V1 -VR. = 0,
y. - 2vW - k2R j = 0,
vy. + VW - k2VR. = 0,
s(4) =
-yj + w - 2v°W - k2Rj = 0,
-vy. + VW - k2VR. = 0,
sVh)(i,j)
s(p), если v = 1 (h = p), Sjf, если v = 2 (h = r), sjjq), если v = 3 (h = q),
где
a(p)(xi - xj) + b(p)(yi - yj) - k3Rij = 0,
a(p)(Vx. -Vxj) + b(p)(Vyi -Vyj) - k3VRij = 0,
a(r) (x. - xj) + b(r) (y. - yj) - k(1)djj = 0, a(r)(Vxj-Vxj) + b(r)(vy. -vyj) - k(2)Vdjj = 0,
a(q)(x - xj) + b(q)(y. - yj) - kij3)djj = 0,
a(q)(Vx. -vxj) + b(q)(Vy. - Vyj) - k(j4)Vdjj = 0,
pe Jn, re Jn, qe Jn.
Правило отсечения 1. Если на g-м уровне в системе, определяющей вершину дерева решений,
содержится менее чем g-n-1 подсистем вида s Vі) (j, j), то данная вершина является концевой.
Правило отсечения 2. Если на некотором нечетном уровне дерева решений выбрана подсистема
sVh) (i, j), то на следующем уровне подсистемы sVh) (i, j) с теми же индексами і и j не выбираются.
Правило отсечения 3. Если построенная в некоторой вершине дерева решений система содержит подсистему вида
sVh)(il,i2),
• sVh)(i2,i3), sVh)(i3,ii),
где hteJm, vte{2,3}, iteJn, it ^is, t,seJ3, то данная вершина является концевой.
Правило отсечения 4. Если построенная в некоторой вершине дерева решений система содержит подсистему вида
s(hl)(il,i2),
s(h3)(i3,ii)
или
где hteJm, vte{2,3}, iteJn, it ^is, t,se J3, и эта подсистема определяет внутреннюю точку области ID, то данная вершина является концевой.
Правило отсечения 5. Если на 2п-м уровне в системе, определяющей вершину дерева решений,
отсутствует подсистема s(1) или s(3), то данная вершина является концевой.
Правило отсечения 6. Если на первых уровнях дерева решений (до 2n включительно) в систему, определяющую вершину, включены подсистемы si2) , то на (2п+1)-м уровне эти подсистемы в формировании системы не участвуют и соответствующие подсистемы не рассматриваются.
Прежде чем перейти к формулировке правила отсечения 7, рассмотрим вопрос о нахождении точных нижней и верхней оценок оптимального решения задачи (20), (21). Для этого введем дополнительные обозначения. Будем полагать, что Q0 — полоса Q без учета погрешностей (VW =0, V0 = 0): Q0={(x,y)eR2 |xe[0;l], ye[0;w]}; Q- — полоса Q с минимально допустимыми размерами: Q-
={(x,y)eR2 | xe [0+v0;l], ye [0+vW;w-vW]}; Q+ - полоса Q с максимально допустимыми размерами:
Q+={(x,y)eR21xe[0-v0;l], ye[0-vW;w+vW]}; s0, ieJn
— многоугольник Si без учета погрешностей; R0, i e Jn
— радиус окружности, описанной около многоугольника S0 (VRj =0); s-, ieJn — многоугольник Si с
минимально допустимыми размерами; r. , ieJn — радиус окружности, описанной около многоугольника S- (R- =Ri-VRj ); S+ , ieJn — многоугольник Si с
максимально допустимыми размерами; r+, ieJn — радиус окружности, описанной около многоугольника S+ (R + =Ri+VR. ).
Если в качестве исходных данных в задаче оптимального размещения правильных ориентированных многоугольников в полосе без учета погрешностей [7] выбрать: 1) Q0 и s0, ieJn; 2) Q+ и s-, ieJn;
3) Q- и s+, ieJn, то в первом случае определяется
точное решение l0 для идеализированного случая, во втором — точная нижняя оценка l- оптимального решения задачи (20), (21), в третьем—точная верхняя оценка l+ оптимального решения задачи (20), (21).
Правило отсечения 7. Если построенная в вершине g-го уровня дерева решений система уравнений может быть решена (количество уравнений совпадает
ч max (x. + R.) Г1-с количеством неизвестных), но . т v j j/ £ [l ,
je Js
l+] (s=g/2, если g - четное; s=[g/2]+1, если g -нечетное; s=[g/2], если g=2n+1) или найденные решения не удовлетворяют условиям (17)—(19), то данная вершина является концевой.
РИ, 1998, № 2
49
6. Численные эксперименты
В качестве тестового примера рассмотрим следующие исходные данные: w=20; vW=0,08; v0=0,05;
m=6; n=7 ; R1=3; ; R2=4,1; R3=2,7; R4= 3,7; R5 =2,2
R6=1 ,8; R7=2; v0 = 0,09 Х1 ; v° = 0,1 ; ’ °2 ’ v0 = °3 0,05
V0 = 0,12 : ■ V0 = 0,01 • v0 = 0,02 ; v0 = 07 0,03
x4 ' °5 °6 ’
v0 = 0,03 : ■ v0 = 0,14 ; v0 = 0,06 ; v0 = 0,07
У1 ' У2 У3 ’ У4
V0 = 0,04 : • v0 = 0,05; v0 = 0,05 .
У5 ’ У6 ’ У7
Применяя к решению поставленной задачи изложенный выше метод, получаем следующий результат: точное решение задачи (20), (21) равно: l=10,8577. Для сравнения, точное решение для идеализированного случая равно: l0=10,503, а точные нижняя и верхняя оценки оптимального решения задачи (20), (21) равны соответственно: l-= 9,657, l+=11,1442. Справедливо неравенство l-< l0<l< l+, причем предложенный в работе алгоритм позволяет улучшить верхнюю оценку l+ на 0,0965.
Литература: 1. Стоян Ю.Г., Гиль Н.И. Методы и алгоритмы размещения плоских геометрических объектов. К.: Наук. думка, 1976. 248с. 2. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук.думка, 1986. 286с. 3. Новожилова М.В. Решение задачи поиска глобального экстремума линейной функции цели на структуре линейных неравенств. Харьков, 1988. 48с. / (Препр./ АН УССР. Ин-т проблем машиностроения; №292).
4. Milencovic V., DanielsK, Li Zh. Placement and compaction of nonconvex polygons for clothing manufacture // Paper for forth Canadian conference on computational geometry. St. John’s, Newfoundland, Canada. 1992. P.10-18. 5. Dowsland K.A., Dowsland W.B. Solution approaches to irregular nesting problems // Europ. Journ. Oper. Res. 1995. 84. P.506-521. 6. Элементы теории геометрического проектирования / Под ред. В.Л.Рвачева. К.: Наук. думка, 1995. 244с. 7. Сысоева Ю.А. Математическая модель и метод решения задачи размещения правильных ориентированных многоугольников в полосе. Харьков, 1996. 19с. Рукопись представлена Ин-том проблем машиностроения НАН Украины. Деп. в ВИНИТИ 22 января 1996 г. №242В-96. 8. Стоян Ю.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов // Докл. НАН Украины. 1995. №7. С.23-25. 9. Стоян Ю.Г. Интервальные отображения // Докл. НАН Украины. 1996. №10. С.57-63. 10. Стоян Ю.Г. Интервальное пространство l2 (R) . Интервальные уравнения. Харьков, 1996. 19с. (Препр./ НАН Украины. Ин-т проблем машиностроения; №392). 11. Стоян Ю.Г. Интервальные множества. Харьков, 1997. 27с. (Препр./ НАН Украины. Ин-т проблем машиностроения; № 400 ). 12. Moore R.E. Interval analysis. Prentice Hall, 1966. 400p. 13. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR // Comp.Suppl. 1980. P.33-49. 14. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 356с. 15. Ахо А., Хопкфорт Дж, Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979. 536с.
Поступила в редколегию 20.06.98
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Чудинович И.Ю.
Сысоева Юлия Анатольевна, ассистент кафедры естественных наук ХТУРЭ. Научные интересы: оптимизационные методы геометрического проектирования. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр.Ленина, 14, тел. 30-09-03.
УДК 519.21
ФОКУСИРУЮЩИЕ ФАКТОРЫ. БАЗИСЫ ФОКУСИРОВКИ И СТАБИЛИЗАЦИИ
ДИКАРЕВ В.А.
Введены понятия меры фокусировки, базиса фокусировки и базиса стабилизации. Приведены примеры их применения при рассмотрении реальных процессов, которые могут быть описаны системами уравнений Колмогорова.
Рассмотрим задачи, связанные с процессами фокусировки и стабилизации [1—4]. Фокусировка и стабилизация имеют место в системах,эволюция которых может быть описана с помощью марковских процессов с непрерывным временем и конечным числом состояний. Явления фокусировки и стабилизации состоят в том, что при определенных воздействиях на процесс его основные характеристики (вероятности состояний, переходные вероятности и др.) с изменением времени все менее отличаются от наперед заданых значений. Эти воздействия можно выбрать так, что промежуток времени, необходимый для фокусировки и стабилизации, можно сделать сколь угодно малым. В статье основное внимание уделено именно этому случаю. Общий случай, когда время, необходимое для фокусировки и стабилизации, произвольно, рассматривается аналогично.
В [1,2] показано, что фокусировка в точке t0 может иметь место, если элементы Ai j (t) инфинитезимальной матрицы Л(t) (все или их часть) при 11 to быстро возрастают. Возникающие при этом в точке to разрывы функций М j (t) должны быть неин-тегрируемы (случай точной фокусировки) или почти неинтегрируемы (случай s-фокусировки). Если кроме этого выполняются некоторые условия (см. [2,4]),
то при 1110:
а) для случая точной фокусировки
Pj (So,t) ^nj; (1)
б) для случая s-фокусировки
lim Pj (So, t) є (n,■ —а,п,- + a), ttt0 1 J J
lim Pj (So, t) є (n j -a, n-j+a). (2)
ttto
Здесь индексом j нумеруются состояния Kj >0,
'^Kj = 1, (1) и (2) должны выполнятся для всех
j
состояний; величина s в (2) является нижней гранью
по всем a , для которых условия (2) имеют место. Случай точной фокусировки связан с бесконечными энергозатратами и является некоторой идеализацией, позволяющей наиболее полно исследовать про-
50
РИ, 1998, № 2
