CC BY
22
УДК 519.6:514.1
ОСОБЕННОСТИ КОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
ЕВСЕЕВА Л.Г, РОМАНОВА Т.Е., СЫСОЕВА Ю.А.
Предлагается подход к учету погрешностей исходных данных при построении математической модели комбинаторной оптимизационной задачи размещения прямоугольников на основе приложения элементов теории интервального анализа в геометрическом проектировании.
Рассмотрим оптимизационную задачу геометрического проектирования [1] в следующей постановке.
Пусть имеется множество прямоугольников T., і є Jn = {l,2,...,n}, длины a0, i є J , ширины b0 ,
заданные с исходными погрешностями v °a , і є Jn,
vbi , і є Jn по длине и ширине; полоса Q0 ширины
w0 с соответствующими погрешностями V0 , v W по длине и ширине.
Не нарушая общности рассуждений, полагаем, что выполняются соотношения:
0 <v <є-a0 0 <v, 0 <є-b0, і є J
а- і > b. ’ n •>
і і
л/ 0. ;0а/0/ 0
0 < V, < Є-l ,0 <V < S- W ,
l 7 w 7
где є є (0,1) с R1 характеризует точность задания исходных данных, зависящую от конкретной прикладной или научной задачи.
Необходимо разбить полосу на конечное число горизонтальных полос и разместить в них множество прямоугольников таким образом, чтобы длина і занятой части полосы с учетом ее погрешности v і была минимальной.
В отличие от других работ, посвященных моделированию комбинаторной оптимизационной задачи размещения прямоугольников с учетом погрешностей исходных данных [2], в этой работе используются понятия интервального касания выпуклых интервальных многоугольников, интервального расстояния между выпуклыми интервальными многоугольниками. Кроме того, данная задача рассматривается как двухкритериальная задача минимизации.
Пусть Хі, у і — координаты полюса [3] прямоу-
гольника T., і є Jn ; V x , V , і є Jn — погрешности координат Хі, у і соответственно.
Рассмотрим расширенное пространство центрированных интервалов [4]:
1 s R = {(X) = (Х,V x)x = 2 (c + d
v
x
1 (c - d) c, d є R1 1.
Поскольку арифметическое евклидово пространство R 2 и интервальное пространства I s R изомет-ричны [4], зададим биекцию между элементами этих пространств вида
a0,v0 U a0,v0 і аі) \ і аі
= A , і є J
і n 9
b0, ^ H b0,v»
= A , і є J і 7 n •>
(w0, v W )« (w 0, v W) = W °).
(1)
іде (x, vx)є R2 , (x,vx) є 1 sR.
Из постановки задачи следует, что справедливы интервальные неравенства [5]:
(A) > (в-) > W °) > ^ і' є Jn.
В качестве математической модели прямоуголь-
00
ника Ті, длины аі и ширины b , с исходными погрешностями v a , v 0 , рассматриваем интервальный прямоугольник [6] Ті в двумерном интервалы
л
ном пространстве 12 R = I s R х I s R [7].
Аналогично, в качестве математической модели области размещения q0 ширины w0, имеющей
исходные погрешности v 0 , v W , рассматриваем ин-
2
тервальную полосу П с I s R [3].
Тогда поставленную задачу можно представить как оптимизационную задачу размещения интервальных прямоугольников в интервальной полосе. Не нарушая общности рассуждений и учитывая
(1), полагаем, что множество {(вг°/, і = n■ ран-
жировано в соответствии с отношением порядка,
введенным в пространстве I s R [5]:
в.
> в
0 У
і+1 ■
b0 = b0+1
і і +1
00 v, >v, b. b.,,
і і+1
і є J
n-1'
Для решения поставленной задачи прежде всего, определим число k интервальных полос P ., на которые можно разделить интервальную полосу д так, чтобы:
1) Pj n Pj+1 = frP . = frP .+1 , j є Jn-1 ,
k
2) U Pj с Д , j=1
где fr Р. — интервальная граница [6] интервальной полосы Р. . Интервальные уравнения интервальных
прямых f j , і є Jn, j = J4 , участвующих в формировании интервальной границы интервального прямоугольника Т., имеют вид:
f і хх -(x)+(°, v a, )=x , f і з ■ Tx +(x )+(X)=(°>, (2)
f 4: XX+X)+(ві0>=(X,
Ы Y - Y)+(0, ^ }=<0,
48
РИ, 1999, № 3
где
« хДД )=
X., V I X.
V' .
y., V
't Уі
є I R — интер-
V, - — к 2
вальные координаты интервального полюса интер вального прямоугольника T. в неподвижной интер
вальной системе координат (х)(0(y) ' (х) = (x~v
— сопряжение [4] элемента (х) - (х, v є I s R .
Определение 1. Интервальной длиной интервального прямоугольника T. с 12R называется интервальное расстояние между интервально параллельными интервальными прямыми ftl и f.3 , участвующими в формировании frT..
Определение 2. Интервальной шириной интервального прямоугольника T. с 12R называется интервальное расстояние между интервально параллельными интервальными прямыми f.2 и f.4, участвующими в формировании frT..
Согласно определению интервального расстояния между двумя интервально параллельными прямыми [7] с учетом интервальных уравнений (2), вычислим
О , ~ О w + 2v ________w_
, О , О
b — 2v°
О ~ о w — 2v
w
, 0,-0
b0 + 2Vb
і J)
Очевидно, что для идеализированной задачи (когда все погрешности исходных данных равны нулю,
в том числе vW = vbi = 0 ) максимальное число к0
горизонтальных полос ширины b 0 равно к 0 =
„0
0-0 w — 2v 0,-0 w + 2v
w , к max - w
b 0 + 2v b L b1 J b 0 — 2v b L b1 J
интервальные длину (L0у и ширину (В? вального прямоугольника T., і є J n :
(Li)=Жп, f.3 )=(ai°,2v a
{B0) = P(f .2, f/4 )= (b 0,2V l)
интер-
(3)
Обозначим через к min =
Тогда число к є N интервальных полос P j удовлетворяет условию к є [кmin, кmax ].
Если кmin = кmax , то существует единственный вариант разбиения интервальной полосы д на к интервальных полос P j . Полагаем к = кmin .
Рассмотрим интервальное мультимножество G , элементами которого являются интервальные длины (l ..) интервальных прямоугольников T., .є Jn и m — n элементов нулевой длины, т.е.
G =
<° И0)..ИЦ lM у).......(Ln}
(4)
Для нахождения числа к введем понятие целой части элемента интервального пространства I s R. Определение 3. Целой частью интервального
числа (х) = lx,vх^ є IsR называется интервальное число вида
где m - кх, s - n — к + 1 . Считаем, что q элементов данного множества различны.
Пусть найдено некоторое размещение интервальных прямоугольников в интервальной полосе д , причем в интервальной полосе P ., j є Jк размеще-
J
ны интервальные прямоугольники t . T. ... T.
[Х ]
X + + X
X + — X
где J є J , r є J 1 № Jr n’ m
L .
[x — V X], X +=[x + V X ]
к
, z
j-1
j1 j2
j m
m . - n j
Обозначим через
, , интервальную длину интервального прямо-
Jr
где X - X — V
X
ственных чисел х — V х , X + V х є R1 .
= [X + Vх J - цеёые части веще- угольника T . , j є Jк, r є J
Основываясь на введенной в I s R операции интервального деления [5], определениях 1—3, выражениях (3), (4), определим
j ’ j к’’ m . r J
Данному размещению интервальных прямоуголь-
ников
T , є J
в интервальной полосе д поставим
[«]-
к, V,
/ 0 ~ 0\ (w ,2v > \ wl С п -
Кb 0,2V h) J V
в соответствие перестановку [1] п интервальных элементов мультимножества G:
L,
A I{°).■■#■■,
Сb0) —К
0 - 0 W, 0 - 0
w ,2v ) *( b ,2vb
Иначе,
V4 \ > їй-®.
к ' s—m,
к )
После преобразований получим
(
к -1 • 2
VL
0 т 0
w — 2v
_______w_
b0 + 2v 0
0 , , 0 w + 2v
w
b° — 2V l
1 J)
п -
<Ga, X<Ga, >,...,<Ga >’
12 m
I., a . є J i m
(6)
(5)
Множество всех перестановок п вида (6) обозначим через P (G).
ґ mq v ’
1
0
2
2
1
1
1
2
+
РИ, 1999, № 3
49
Определим интервальное расстояние между ингер-
Т: Im R ^ R2m
вальными прямоугольниками т
К
и т.
j r+1
j є Jk, j r є Jm. -1 в интервальной полосе P j . Согласно формуле интервального расстояния между интер-вально касающимися прямоугольниками [8] имеем:
PIT. ,T
r r +1
+ V
r +1
r +1
(7)
С учетом (3), (6), (7) интервальная длина L. занятой части интервальной полосы P., j є Jk равна
т -1
J
Lj-І(с)+t tTj • T
r r +1
(8)
min L пєР (G)
mqv '
(10)
п -(S)’(n2 )>.->(пm)є Pmq(G) вида (6) поставим в
(( z\{ Z 2).(Z„ >)
2/’ \ mf! mq
соответствие элемент Z -
є Im R по
s
пратлу n ^ Z : (nY)-{ZYj -<Ga. > є 1 sR , aє Jm • Обозначим образ множества Pmq (G) при таком
отображении через Emq(g)cImR . Тогда задача (10)
примет вид:
min max L .,
ZєE (G) 1<j<k j
mq '-7 J
mq v
(m
L
J
І к -2v ■
m -1
+ t(
V r -1
v + v v - v
z . z . r r +1 zjr zjr+1
(11)
Рассмотрим представление математической модели (11) в арифметическом евклидовом пространстве R • Для этого используем отображение у пространства Im R в арифметическое евклидово пространство R2m вида [4]:
: T(Z)= Z - (z, ,v z ,v ) є R V/ vp z ’ ’ n z z
2m
(12)
Z є Im R.
s.
С учетом (12) математическую модель (11) в арифметическом евклидовом пространстве R 2m можно представить в виде
mn (l,v,) (13)
ZєIEc R2m , (13)
где IE -t(em (G)) • Решение двухкритериальной задачи (13) сводится к последовательному решению следующих задач [9]:
r -1 r -1
Интервальная длина l _( l, v ^ занятой части интервальной полосы й задается выражением
L - max L . (9)
1<j<k j , (9)
где L ., j є Jk вычисляется по формуле (8), а максимум определяется в соответствии с отношением порядка, введенным в расширенном пространстве центрированных интервалов I R.
Тогда математическая модель комбинаторной оптимизационной задачи размещения интервальных прямоугольников в интервальной полосе с учетом (6) и (9) может быть записана в виде
l * _ min l
l ZєIEc R2m ,
* _ min v,
Vl ZєIEtR2m
(14)
(15)
причем минимум берется по всем перестановкам п из множества P (G).
mq v ’
Осуществим погружение множества всех перестановок Pmq (G) в m -мерное интервальное простран-Im R I R х ...х I R „
ство s _,s _ s , . Всякому элементу
и где IE' - |Z є IE l -1. Адекватность задач (13) и (14)—(15) обусловлена отношением порядка, введенным в пространстве I s R.
Математическая модель (15),( 16) реализована модифицированным методом ветвей и границ [9].
Литература: 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К. : Наук. думка, 1986. 286 с. 2. Стоян Ю.Г., Романова Т.Е., Евсеева Л.Г. Комбинаторная оптимизационная задача размещения прямоугольников с учетом погрешностей исходных данных //Доп. НАН Украины. 1997. №7. С.56-60. 3. СтоянЮ.Т., ГильН.И. Методы и алгоритмы размещения плоских геометрических объектов. К.: Наук. думка, 1976. 248 с. 4. Stoyan Yu.G. The extended interval space and elementary mappings// Proceedings of the IMACS—GAMM International Symposium on Numerical Methods and Error Bounds, Oldenburg, Germany, 1995. P. 270—279. 5. Стоян Ю.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов/ / Докл. НАН Украины, Сер. A, 1996. N 7. C. 23—25. 6. Стоян Ю.Г. Интервальные множества. Харьков, 1998. 27с. (Препр./ НАН Украины. Институт проблем машиностроения;
400). 7. Стоян Ю.Г. Интервальное пространство l2 (R). Интервальные уравнения // Доп. НАН України. 1998. №6. С.109-116. 8. Stoyan Yu.G., Romanova Т.Е. Account of errors in optimization placement problem //Journal of mechanical engeneering. 1998. Vol. 1, №2. Р.31-40. 9. Стоян Ю.Г., Романова Т.Е, Сысоева Ю. А. Оптимизационная задача размещения правильных интервальных многоугольников //Докл. НАН Украины. 1998. №9. С. 114-120.
Поступила в редколлегию 17.09.99 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Скляр Г.М.
Евсеева Людмила Григорьевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики Полтавского военного института связи. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 36034, Полтава, ул. Примакова, 12, кв. 112, тел. (0532) 66-82-86.
Романова Татьяна Евгеньевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 310140, Харьков, пр. Гагарина, 54, кв.18, тел. (0572) 27-35-80.
Сысоева Юлия Анатольевна, канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель кафедры ПМ ХТУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 310086, Харьков, ул. 23 Августа, 29, кв.176, тел. (0572) 30-09-03.
v
v
- V
a
a
r
r
+
r
50
РИ, 1999, № 3
