Научная статья на тему 'Особенности комбинаторной оптимизационной задачи размещения интервальных прямоугольников'

Особенности комбинаторной оптимизационной задачи размещения интервальных прямоугольников Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
144
21
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Евсеева Людмила Григорьевна, Романова Татьяна Евгеньевна, Сысоева Юлия Анатольевна

Предлагается подход к учету погрешностей исходных данных при построении математической модели комбинаторной оптимизационной задачи размещения прямоугольников на основе приложения элементов теории интервального анализа в геометрическом проектировании.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Евсеева Людмила Григорьевна, Романова Татьяна Евгеньевна, Сысоева Юлия Анатольевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Peculiarities of the combinatorial optimization placement problem of interval rectangles

In the article the combmatorial optimization placement problem of rectangles taking account errors of mhial data ія cons!dered. On the bas!s of the apphcation of elements of mterval analysis іп geometric des!gn the mathematical model of the problem іп the mterval space IИ R ія constructed. The representation of the mathematical model іп Euchdean space R2n ія reahzed.

Текст научной работы на тему «Особенности комбинаторной оптимизационной задачи размещения интервальных прямоугольников»

УДК 519.6:514.1

ОСОБЕННОСТИ КОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

ЕВСЕЕВА Л.Г, РОМАНОВА Т.Е., СЫСОЕВА Ю.А.

Предлагается подход к учету погрешностей исходных данных при построении математической модели комбинаторной оптимизационной задачи размещения прямоугольников на основе приложения элементов теории интервального анализа в геометрическом проектировании.

Рассмотрим оптимизационную задачу геометрического проектирования [1] в следующей постановке.

Пусть имеется множество прямоугольников T., і є Jn = {l,2,...,n}, длины a0, i є J , ширины b0 ,

заданные с исходными погрешностями v °a , і є Jn,

vbi , і є Jn по длине и ширине; полоса Q0 ширины

w0 с соответствующими погрешностями V0 , v W по длине и ширине.

Не нарушая общности рассуждений, полагаем, что выполняются соотношения:

0 <v <є-a0 0 <v, 0 <є-b0, і є J

а- і > b. ’ n •>

і і

л/ 0. ;0а/0/ 0

0 < V, < Є-l ,0 <V < S- W ,

l 7 w 7

где є є (0,1) с R1 характеризует точность задания исходных данных, зависящую от конкретной прикладной или научной задачи.

Необходимо разбить полосу на конечное число горизонтальных полос и разместить в них множество прямоугольников таким образом, чтобы длина і занятой части полосы с учетом ее погрешности v і была минимальной.

В отличие от других работ, посвященных моделированию комбинаторной оптимизационной задачи размещения прямоугольников с учетом погрешностей исходных данных [2], в этой работе используются понятия интервального касания выпуклых интервальных многоугольников, интервального расстояния между выпуклыми интервальными многоугольниками. Кроме того, данная задача рассматривается как двухкритериальная задача минимизации.

Пусть Хі, у і — координаты полюса [3] прямоу-

гольника T., і є Jn ; V x , V , і є Jn — погрешности координат Хі, у і соответственно.

Рассмотрим расширенное пространство центрированных интервалов [4]:

1 s R = {(X) = (Х,V x)x = 2 (c + d

v

x

1 (c - d) c, d є R1 1.

Поскольку арифметическое евклидово пространство R 2 и интервальное пространства I s R изомет-ричны [4], зададим биекцию между элементами этих пространств вида

a0,v0 U a0,v0 і аі) \ і аі

= A , і є J

і n 9

b0, ^ H b0,v»

= A , і є J і 7 n •>

(w0, v W )« (w 0, v W) = W °).

(1)

іде (x, vx)є R2 , (x,vx) є 1 sR.

Из постановки задачи следует, что справедливы интервальные неравенства [5]:

(A) > (в-) > W °) > ^ і' є Jn.

В качестве математической модели прямоуголь-

00

ника Ті, длины аі и ширины b , с исходными погрешностями v a , v 0 , рассматриваем интервальный прямоугольник [6] Ті в двумерном интервалы

л

ном пространстве 12 R = I s R х I s R [7].

Аналогично, в качестве математической модели области размещения q0 ширины w0, имеющей

исходные погрешности v 0 , v W , рассматриваем ин-

2

тервальную полосу П с I s R [3].

Тогда поставленную задачу можно представить как оптимизационную задачу размещения интервальных прямоугольников в интервальной полосе. Не нарушая общности рассуждений и учитывая

(1), полагаем, что множество {(вг°/, і = n■ ран-

жировано в соответствии с отношением порядка,

введенным в пространстве I s R [5]:

в.

> в

0 У

і+1 ■

b0 = b0+1

і і +1

00 v, >v, b. b.,,

і і+1

і є J

n-1'

Для решения поставленной задачи прежде всего, определим число k интервальных полос P ., на которые можно разделить интервальную полосу д так, чтобы:

1) Pj n Pj+1 = frP . = frP .+1 , j є Jn-1 ,

k

2) U Pj с Д , j=1

где fr Р. — интервальная граница [6] интервальной полосы Р. . Интервальные уравнения интервальных

прямых f j , і є Jn, j = J4 , участвующих в формировании интервальной границы интервального прямоугольника Т., имеют вид:

f і хх -(x)+(°, v a, )=x , f і з ■ Tx +(x )+(X)=(°>, (2)

f 4: XX+X)+(ві0>=(X,

Ы Y - Y)+(0, ^ }=<0,

48

РИ, 1999, № 3

где

« хДД )=

X., V I X.

V' .

y., V

't Уі

є I R — интер-

V, - — к 2

вальные координаты интервального полюса интер вального прямоугольника T. в неподвижной интер

вальной системе координат (х)(0(y) ' (х) = (x~v

— сопряжение [4] элемента (х) - (х, v є I s R .

Определение 1. Интервальной длиной интервального прямоугольника T. с 12R называется интервальное расстояние между интервально параллельными интервальными прямыми ftl и f.3 , участвующими в формировании frT..

Определение 2. Интервальной шириной интервального прямоугольника T. с 12R называется интервальное расстояние между интервально параллельными интервальными прямыми f.2 и f.4, участвующими в формировании frT..

Согласно определению интервального расстояния между двумя интервально параллельными прямыми [7] с учетом интервальных уравнений (2), вычислим

О , ~ О w + 2v ________w_

, О , О

b — 2v°

О ~ о w — 2v

w

, 0,-0

b0 + 2Vb

і J)

Очевидно, что для идеализированной задачи (когда все погрешности исходных данных равны нулю,

в том числе vW = vbi = 0 ) максимальное число к0

горизонтальных полос ширины b 0 равно к 0 =

„0

0-0 w — 2v 0,-0 w + 2v

w , к max - w

b 0 + 2v b L b1 J b 0 — 2v b L b1 J

интервальные длину (L0у и ширину (В? вального прямоугольника T., і є J n :

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(Li)=Жп, f.3 )=(ai°,2v a

{B0) = P(f .2, f/4 )= (b 0,2V l)

интер-

(3)

Обозначим через к min =

Тогда число к є N интервальных полос P j удовлетворяет условию к є [кmin, кmax ].

Если кmin = кmax , то существует единственный вариант разбиения интервальной полосы д на к интервальных полос P j . Полагаем к = кmin .

Рассмотрим интервальное мультимножество G , элементами которого являются интервальные длины (l ..) интервальных прямоугольников T., .є Jn и m — n элементов нулевой длины, т.е.

G =

<° И0)..ИЦ lM у).......(Ln}

(4)

Для нахождения числа к введем понятие целой части элемента интервального пространства I s R. Определение 3. Целой частью интервального

числа (х) = lx,vх^ є IsR называется интервальное число вида

где m - кх, s - n — к + 1 . Считаем, что q элементов данного множества различны.

Пусть найдено некоторое размещение интервальных прямоугольников в интервальной полосе д , причем в интервальной полосе P ., j є Jк размеще-

J

ны интервальные прямоугольники t . T. ... T.

[Х ]

X + + X

X + — X

где J є J , r є J 1 № Jr n’ m

L .

[x — V X], X +=[x + V X ]

к

, z

j-1

j1 j2

j m

m . - n j

Обозначим через

, , интервальную длину интервального прямо-

Jr

где X - X — V

X

ственных чисел х — V х , X + V х є R1 .

= [X + Vх J - цеёые части веще- угольника T . , j є Jк, r є J

Основываясь на введенной в I s R операции интервального деления [5], определениях 1—3, выражениях (3), (4), определим

j ’ j к’’ m . r J

Данному размещению интервальных прямоуголь-

ников

T , є J

в интервальной полосе д поставим

[«]-

к, V,

/ 0 ~ 0\ (w ,2v > \ wl С п -

Кb 0,2V h) J V

в соответствие перестановку [1] п интервальных элементов мультимножества G:

L,

A I{°).■■#■■,

Сb0) —К

0 - 0 W, 0 - 0

w ,2v ) *( b ,2vb

Иначе,

V4 \ > їй-®.

к ' s—m,

к )

После преобразований получим

(

к -1 • 2

VL

0 т 0

w — 2v

_______w_

b0 + 2v 0

0 , , 0 w + 2v

w

b° — 2V l

1 J)

п -

<Ga, X<Ga, >,...,<Ga >’

12 m

I., a . є J i m

(6)

(5)

Множество всех перестановок п вида (6) обозначим через P (G).

ґ mq v ’

1

0

2

2

1

1

1

2

+

РИ, 1999, № 3

49

Определим интервальное расстояние между ингер-

Т: Im R ^ R2m

вальными прямоугольниками т

К

и т.

j r+1

j є Jk, j r є Jm. -1 в интервальной полосе P j . Согласно формуле интервального расстояния между интер-вально касающимися прямоугольниками [8] имеем:

PIT. ,T

r r +1

+ V

r +1

r +1

(7)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С учетом (3), (6), (7) интервальная длина L. занятой части интервальной полосы P., j є Jk равна

т -1

J

Lj-І(с)+t tTj • T

r r +1

(8)

min L пєР (G)

mqv '

(10)

п -(S)’(n2 )>.->(пm)є Pmq(G) вида (6) поставим в

(( z\{ Z 2).(Z„ >)

2/’ \ mf! mq

соответствие элемент Z -

є Im R по

s

пратлу n ^ Z : (nY)-{ZYj -<Ga. > є 1 sR , aє Jm • Обозначим образ множества Pmq (G) при таком

отображении через Emq(g)cImR . Тогда задача (10)

примет вид:

min max L .,

ZєE (G) 1<j<k j

mq '-7 J

mq v

(m

L

J

І к -2v ■

m -1

+ t(

V r -1

v + v v - v

z . z . r r +1 zjr zjr+1

(11)

Рассмотрим представление математической модели (11) в арифметическом евклидовом пространстве R • Для этого используем отображение у пространства Im R в арифметическое евклидово пространство R2m вида [4]:

: T(Z)= Z - (z, ,v z ,v ) є R V/ vp z ’ ’ n z z

2m

(12)

Z є Im R.

s.

С учетом (12) математическую модель (11) в арифметическом евклидовом пространстве R 2m можно представить в виде

mn (l,v,) (13)

ZєIEc R2m , (13)

где IE -t(em (G)) • Решение двухкритериальной задачи (13) сводится к последовательному решению следующих задач [9]:

r -1 r -1

Интервальная длина l _( l, v ^ занятой части интервальной полосы й задается выражением

L - max L . (9)

1<j<k j , (9)

где L ., j є Jk вычисляется по формуле (8), а максимум определяется в соответствии с отношением порядка, введенным в расширенном пространстве центрированных интервалов I R.

Тогда математическая модель комбинаторной оптимизационной задачи размещения интервальных прямоугольников в интервальной полосе с учетом (6) и (9) может быть записана в виде

l * _ min l

l ZєIEc R2m ,

* _ min v,

Vl ZєIEtR2m

(14)

(15)

причем минимум берется по всем перестановкам п из множества P (G).

mq v ’

Осуществим погружение множества всех перестановок Pmq (G) в m -мерное интервальное простран-Im R I R х ...х I R „

ство s _,s _ s , . Всякому элементу

и где IE' - |Z є IE l -1. Адекватность задач (13) и (14)—(15) обусловлена отношением порядка, введенным в пространстве I s R.

Математическая модель (15),( 16) реализована модифицированным методом ветвей и границ [9].

Литература: 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К. : Наук. думка, 1986. 286 с. 2. Стоян Ю.Г., Романова Т.Е., Евсеева Л.Г. Комбинаторная оптимизационная задача размещения прямоугольников с учетом погрешностей исходных данных //Доп. НАН Украины. 1997. №7. С.56-60. 3. СтоянЮ.Т., ГильН.И. Методы и алгоритмы размещения плоских геометрических объектов. К.: Наук. думка, 1976. 248 с. 4. Stoyan Yu.G. The extended interval space and elementary mappings// Proceedings of the IMACS—GAMM International Symposium on Numerical Methods and Error Bounds, Oldenburg, Germany, 1995. P. 270—279. 5. Стоян Ю.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов/ / Докл. НАН Украины, Сер. A, 1996. N 7. C. 23—25. 6. Стоян Ю.Г. Интервальные множества. Харьков, 1998. 27с. (Препр./ НАН Украины. Институт проблем машиностроения;

400). 7. Стоян Ю.Г. Интервальное пространство l2 (R). Интервальные уравнения // Доп. НАН України. 1998. №6. С.109-116. 8. Stoyan Yu.G., Romanova Т.Е. Account of errors in optimization placement problem //Journal of mechanical engeneering. 1998. Vol. 1, №2. Р.31-40. 9. Стоян Ю.Г., Романова Т.Е, Сысоева Ю. А. Оптимизационная задача размещения правильных интервальных многоугольников //Докл. НАН Украины. 1998. №9. С. 114-120.

Поступила в редколлегию 17.09.99 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Скляр Г.М.

Евсеева Людмила Григорьевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики Полтавского военного института связи. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 36034, Полтава, ул. Примакова, 12, кв. 112, тел. (0532) 66-82-86.

Романова Татьяна Евгеньевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 310140, Харьков, пр. Гагарина, 54, кв.18, тел. (0572) 27-35-80.

Сысоева Юлия Анатольевна, канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель кафедры ПМ ХТУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 310086, Харьков, ул. 23 Августа, 29, кв.176, тел. (0572) 30-09-03.

v

v

- V

a

a

r

r

+

r

50

РИ, 1999, № 3

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.