Компараторная идентификация параметров линейных моделей многофакторного оценивания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

если x i , x j Є X, TO x i ^ x j O P(x i ) > P(x j ),(4)

КОМПАРАТОРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ МНОГОФАКТОРНОГО ОЦЕНИВАНИЯ

ОВЕЗГЕЛЬДЫЕВ А.О., ПЕТРОВК.Э.

Рассмотрены подходы к параметрической идентификации линейных моделей многофакторного оценивания, основанные на теории компараторной идентификации. Модели позволяют определять весовые коэффициенты факторов, характеризующих важность частных критериев исходя из принятых экспертом решений.

В рамках общего подхода к параметрической идентификации модели оценивания целесообразно разработать проблемно-ориентированные процедуры, которые должны учитывать особенности проведения экспериментов, вид и качественные характеристики исходной информации.

Рассмотрим модели идентификации для типичных ситуаций, но сначала сформулируем общие для всех случаев гипотезы.

1. ЛПР предъявляются для оценивания N альтернатив, каждая из которых характеризуется одинаковым набором n разнородных параметров (частных критериев), заданных количественно. На стадии подготовки исходной информации все частные критерии ki (x) приведены к изоморфному виду, т.е.

определены их функции полезности pi[ki(x)] [1], которые в дальнейшем для простоты записи будем обозначать p i . Таким образом, множество альтернатив, подлежащих оценке, характеризуется матрицей

PllPl2—Pln

е =

pN1 Р N2 •••Р Nn

(1)

2. В качестве модели оценивания принята аддитивная теория полезности [2], что однозначно определяет структуру модели. Это означает, что обобщенная полезность каждой из заданных альтернатив для ЛПР определяется матрицей

P = q х A, (2)

где A = || a i || т , j = i,n — матрица-столбец весовых коэффициентов факторов, характеризующих важность частных критериев. Ставится задача определения коэффициентов относительной важности частных критериев, что обеспечивается следующими условиями:

aj є [0,1], Vi = 1,n, (3)

Zaj = 1.

i=1

3. Принятие теории полезности в качестве базовой однозначно определяет правило ранжирования альтернатив:

Xi ~ x j OP(x j ) = P(Xj).

На указанных трех гипотезах базируется синтез процедур параметрической идентификации модели оценивания, т. е. методов определения численных значений матрицы относительных весовых коэффициентов A.

В основу классификации ситуаций оценивания положим глубину интроспективного анализа экспертом процесса оценивания.

1. В результате компараторного эксперимента [3] устанавливается только наиболее предпочтительная (наилучшая) альтернатива. Особая ценность такого случая заключается в том, что исходную информацию можно получить в результате пассивного эксперимента, т. е. в процессе нормальной рабочей ситуации выбора, например: выбор покупателем одного товара из множества однотипных; вакансии для трудоустройства; результаты тендерного конкурса, выбор поставщика и т. п. Особенность заключается в том, что эксперимент не планируется специально, эксперта не нужно готовить, а следовательно, он может даже не знать о проведении эксперимента. Отсюда вытекает возможность повышения объективности информации, проведение наблюдений на большой выборке и т. п. Вместе с тем это наименее информативная, как будет показано ниже, ситуация.

2. В результате компараторного эксперимента на множестве альтернатив установлено отношение строгого порядка. Это означает, что фактор-множество B’ не содержит классов элементов с равными полезностями, т. е. на множестве альтернатив x i є X, i = 1,N установлены предпочтения

x 1 \ x 2 \ . . . \ x N , (5)

что означает

P(x1)>P(x2)>. • •>P(xN) , (6)

где P(x i ) — функция обобщенной полезности альтернатив. Такую информацию можно получить только в результате активного эксперимента с одним или группой экспертов, используя одну из методик качественного экспертного оценивания [4].

Рассматриваемая ситуация более информативна по сравнению со случаем 1 (определена только лучшая альтернатива), когда можно получить только (N — 1) неравенств. В данном случае на основе (6)

можно получить C n неравенств:

CN = 0^5 • N!/(N - 2)! (7)

Таким образом, случай 2 отличается от случая 1 только количественно (числом возможных неравенств), но не качественно.

3. В результате компараторного эксперимента на

множестве альтернатив x i є X, i = 1,N установлено отношение частичного линейного порядка:

{x 1 ~ x 2 } \ {x3 } \ {x 4 ~ x 5 ~ x 6 } \ . . . (8)

Это означает, что фактор-множество B’ содержит классы элементов с равными полезностями, на кото -рых установлено отношение строгого порядка, т. е. соответственно (8):

{P(x 1 )=P(x2 )}>{P(x3 )}>{P(x4 )=P(x5 )=P(x6 )}>...(9)

РИ, 1998, № 2

41

При этом, как отмечалось ранее, в общем случае некоторые классы эквивалентностей содержат по одному элементу.

Для любой пары альтернатив, принадлежащих одному классу эквивалентностей K m , m = 1,M , можно записать равенство

P(x i ) = P(x j ); x i , x j є Km . (10)

Если обозначить количество элементов в классе эквивалентности Km через n m , то общее число равенств вида (10), которые могут быть сформированы, будет равно

M

R = 0.5 XNm!/(Nm -2)!. (11)

m=1

Кроме того, независимо от структуры фактормножества B’ можно сформировать C N неравенств, где N — количество анализируемых альтернатив.

Равенства более информативны для целей идентификации параметров модели оценивания, чем неравенства, так как каждое равенство позволяет уменьшить на единицу количество переменных и конструктивно сузить область возможных значений искомых переменных. Очевидно, что если R і (n — 1), где n — размерность искомой матрицы весовых коэффициентов факторов A, и система равенств

П

совместна, то с учетом уравнения (3): Xai = 1 можно

i=1

определить единственно точное решение, в то время как неравенства, независимо от их числа, определяют только область возможных решений.

4. В результате эксперимента получены количественные оценки полезности множества альтернатив

x i є X, i = 1,N . Это означает, что эксперименты проводятся в соответствии с одной из методик получения количественных экспертных оценок [4]. В результате экспертом указано не только отношение порядка на множестве альтернатив, но и положение каждой альтернативы на числовой оси. Это означает,

что для каждой альтернативы x i может быть записано уравнение

P(Xi) = Ci; i = 1N, (12)

где С i — количественная оценка полезности і-й альтернативы. Если N < n — 1, то можно сформировать неравенства вида

P(xi)-P(xj)<(>)Ci-Cj. (13)

Количество таких неравенств определяется по (7).

Следует отметить, что хотя количественная оценка полезности альтернатив требует от эксперта значительно более глубокого интроспективного анализа, что приводит к потенциально большим погрешностям, эта ситуация не более информативна, чем ситуация 3 при наличии эквивалентных альтернатив. Равенства (12) и (10) одинаково информативны для целей идентификации. Это позволяет при прочих равных условиях отдать предпочтение качественным методам экспертизы.

Анализ рассмотренных выше четырех ситуаций позволяет сделать вывод, что в результате экспертных оценок они, независимо от того, по какой методике получены, могут быть в общем случае

формализованы как система равенств и неравенств полезностей анализируемых альтернатив. Синтезируем модель идентификации параметров модели формирования обобщенной оценки полезности.

1. Формализация неравенства

Пусть в результате рассмотрения пары альтернатив x s , x V є X, ЛПР отдал предпочтение альтернативе x s , т. е. x s г' x V . Из этого согласно (4) следует

P(xs) * P(xv) = Ps * Pv . (14)

С учетом (2) неравенство (14) можно записать так:

pV1a1 +...+ pVnan ^ pS1a1 + ...+ pSnan . (15)

Отсюда

(pV1-pS1)a1+».+ (pVn-pSn)an ^ 0 . (16)

Введем обозначение

(PVj -PSi) = bij; j = 1,n . (17)

Тогда

b11a1 +b12a2 +...+ b1nan - °. (18)

В общем случае, как показано выше, по результатам экспертных оценок может быть сформировано m неравенств вида (14). С учетом этого общая модель будет иметь вид

b11a1 +b12a2 +».+ b1nan - 0

............................................ (19)

bm1a1 +bm2a2 +».+ b mnan — 0

где a j , j = 1,n — коэффициенты относительной важности частных критериев, для которых выполняются условия неотрицательности

a j * 0 V j = 1,n, (20)

ограниченности сверху

a j - 1 v j = 1,n, (21)

X aj =1. (22)

j=1

Характеристики каждой альтернативы предъявляются ЛПР в натуральном виде. Однако для целей моделирования они должны быть приведены к изоморфному виду [1] с единым интервалом изменения от 0 до 1. С учетом (17) это означает, что коэффициенты b ij имеют область изменения

-1 - b ij - 1. (23)

Таким образом, для случая, когда исходная информация задана в виде неравенств, общая модель

определения весовых коэффициентов a i имеет вид

b11a1 +b12a2 +...+ b1nan - 0, bm1a1 +bm2a2 +».+ b mnan — 0,

-1 - b ij - 1; i = 1,m ; j = 1,n, (24)

n

a j * 0; a j - 1; X aj =1.

J J j=1

2. Формализация равенств

Пусть при рассмотрении пары альтернатив xK,xl єX ЛПР принял решение, что они эквивалентны, т.е. xK ~ x1 и, следовательно,

42

РИ, 1998, № 2

(25)

P(xk) = P(x1) = Pk =Pi .

Отсюда с учетом (2)

PK1a1 +...+ PKnan = Pl1a1 +-+Plnan . (26)

После преобразований, аналогичных (15) — (18), получим

b11a1 + b12a2 +-+b1n an = 0 (27)

где все обозначения аналогичны введенным выше.

Если имеется информация, позволяющая сформировать d равенств (25), общая модель примет вид

b11a1 +b12a2 +-+b1nan = 0, bd1a1 +bd2a2 +-+bdnan = 0, (28)

-1 < Ь ij < 1; i = 1,d ; j = 1,n ,

a j > 0; a j > 1; Z aj =1. j=1

В общем случае экспертная информация позволяет построить некоторую композицию неравенств и равенств. Окончательная общая модель определения

весовых коэффициентов a i будет иметь вид

b11a1 +b12a2 +-+b1nan < 0,

bm1a1 +bm2a2 +-+b mnan < 0

bm+1a1 +bm+1a2 +-+bm+1an = 0, (29)

bNa1 +bNa2 +•••+ bNan = 0 -1<Ь ij < 1; i = 1,N; i = 1,n ,

n

a i > 0; a i <□ 1; Z ai =1.

i=1

Задача заключается в том, чтобы определить матрицу относительных весовых коэффициентов А на основе модели (29). Все соотношения, входящие в (29), линейны относительно искомых неизвестных a i и в силу этого представляют собой полуплоскости (неравенства) и плоскости (равенства), ограничивающие в n-мерном пространстве некоторый выпуклый [5] многогранник, который является множеством допустимых значений W матрицы А.

Литература: 1. Петров Э.Г. Организационное управление городом и его подсистемами. Методы и алгоритмы. X.: Вища шк. 1986. 144 с. 2. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. М.: Наука, 1987. 134 с. 3. Шабанов-Кушнаренко Ю.П., ШароноваН.В. Компараторная идентификация лингвистических объектов. К.: ИСИО, 1993. 116 с. 4. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. М.: Радио и связь, 1982. 184 с. 5. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. 460 с.

Поступила в редколегию 05.06.98

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шаронова Н.В.

Овезгельдыев Атагелды Оразгельдыевич, канд. техн. наук, докторант ХТУРЭ. Научные интересы: организационные системы, системный анализ. Увлечения: путешествия. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-06.

Петров Константин Эдуардович, канд. техн. наук, ст. преподаватель УниВД. Научные интересы: теория принятия решений, нечеткие множества. Увлечения: горные лыжи, футбол. Адрес: 310080, Украина, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27, тел. (0572) 50-30-67.

УДК 519.6:514.1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОД РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

СЫСОЕВА Ю.А._________________________

Предложены математическая модель и метод решения оптимизационной задачи размещения правильных многоугольников в полосе с учетом погрешностей исходных данных, основанные на применении нового приложения [8-11] интервального анализа [12-14] в геометрии.

1. Постановка задачи

Имеется конечное множество ориентированных правильных многоугольников с одинаковым числом сторон и полоса, исходные данные о которых заданы с определенными погрешностями. Необходимо разместить данное множество многоугольников в полосе с учетом погрешностей исходных данных так, чтобы длина занятой части полосы была минимальной.

Формализуем множество исходных данных Q следующим образом: Jk = {1,2,...,k} - индексное множество; Q — полоса ширины w и длины l (под длиной полосы понимается длина занятой ее части как результат какого-либо размещения); XOY —

собственная система координат полосы Q; v^ — исходная погрешность ширины полосы Q по оси OY (полагаем, что v^ > 0); v0 — исходная погрешность

длины полосы Q по оси OX (полагаем, что v0 > 0); n — число размещаемых многоугольников; Sj, іє Jn

— i-й многоугольник поставленной задачи; m — число сторон многоугольника Si; XOiY, іє1п — собственная система координат многоугольника Si (в дальнейшем Oi — полюс многоугольника Si); Ri, і є Jn

— радиус окружности, описанной около многоугольника Si; v v іє^ — исходные погрешности

задания многоугольника Si соответственно по осям OiX и OiY (полагаем, что < > 0, v§. > 0).

Введем дополнительные переменные: vl — погрешность длины занятой части полосы Q; vR;, іє1п

— погрешность радиуса Ri (vR; =9 (v°., v^.), где 9 —

отображение, которое определяется особенностями математического моделирования геометрических объектов арифметического евклидового пространства R2 с учетом погрешностей исходных данных в интервальных пространствах); xi, yi, іє Jn — коорди-

РИ, 1998, № 2

43