Математическое моделирование упругой динамической системы типа «Тандем» при дозвуковом обтекании Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы:

1. Разработанная методика позволяет учесть влияние динамических характеристик пасеглакрсз ::урссную устойчивость автомобиля, а также учесть влияние состояния дорожного покрытия.

2. Предложен метод определения критической скорости автомобиля в зависимости от загруженности его пассажирами. Как видно из примера, величина критической скорости автомобиля, после нагружения четырьмя пассажирами, снизилась с 120,8 км/ч до 94,3 км/ч.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Санкин, Ю. Н. Динамические характеристики вязкоупругих систем с распределёнными параметрами / Ю. Н. Санкин. - Саратов : Издательство Саратовского университета, 1977. - 312 с.

2. Санкин, Ю. Н. Нестационарные задачи динамики стержневых систем при внезапном нагруже-нии и соударении с препятствием / Ю. Н. Санкин // Вестник СамГТУ. Серия математическая. Самара. -№ 1(5).-2007.-С. 91-100.

3. Санкин, Ю. Н. Метод конечных элементов в динамике вязкоупругих систем в пространстве преобразований Лапласа / К). Н. Санкин // Труды Средневолжского математического общества. -2006 . - Т.8. - №2. - С. 22-33.

4. Вибрации в технике: Справочник. В 6 т. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / под ред. К. В. Фролова. Ред. сов. : В .Н. Челомей (пред.). - М.: Машиностроение, 1981. -456 е., ил.

5. Рокар, И. Неустойчивость в механике. Автомобили. Самолёты. Висячие мосты / И. Рокар. - М. : Издательство иностранной литературы, 1959. - 288 с.

6. Санкин, Ю. Н. Курсовая устойчивость автомобиля / Ю. Н. Санкин, М. В. Гурьянов // Труды IX Между народной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и уравнение движения», посвященной 105-летию Н. Г. Четаева. Иркутск, 2007 г. - Иркутск, 2007. - С. 209-223.

Санкин Юрий Николаевич, доктор технических паук, профессор) профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.

Ромашков Сергей Владимировичу аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Область научных интересов - динамика автомобиля.

УДК 533.6.013.42

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ, Е. П. СЕМЁНОВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ ТИПА «ТАНДЕМ» ПРИ ДОЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ

Предложена математическая модель динамической системы двух упругих пластин типа «тандем», обтекаемых дозвуковым потоком газа (жидкости). Дано решение аэрогидродинамической части задачи, основанное на методах теории функций комплексного переменного. Получена связанная система уравнений, позволяющая исследовать динамику пластин.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, динамика, упругая пластина, система типа «тандем», деформация, обтекание, дозвуковой поток.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.), гос. контракт №П1122.

Рассмотрим плоскую задачу аэрогидроупругости о малых колебаниях системы двух упругих пластин (типа «тандем») при дозвуковом обтекании их потоком идеального несжимаемого газа. Пусть в состоянии покоя пластинам в физической плоскости хОу соответствуют на оси Ох отрезки [-Ь-а]

и [а,Ь], Ъ> а > 0. В бесконечно удалённой точке скорость газа равна К и имеет направление,

© Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П., 2010

совпадающее с направлением оси Ох. Будем предполагать, что прогибы пластин и возмущение однородного потока малы, то есть wk(xyt) = swk(x,t), p(x,yyl) = Vx + £<p(x,y,t), е«\у к = 1,2. Здесь

w|, w2 и (р - соответственно прогибы и потенциал скорости возмущённого потока газа; л\ у - декартовы координаты, / - время.

Потенциал ср удовлетворяет уравнению Лапласа

<Рхх + ^ = 0 > J>)eG = R2 \ {[-Ъ-а] \J{ayb])9 (1)

условию отсутствия возмущений в бесконечно удалённой точке

U + <Р2у + <р} L = 0 (2)

и линеаризованным граничным условиям

^ = и;] + , х е (-6,-о), (3)

ср-=w2+V\\'2, xe{a,b), (4)

где = lim cp (x,y,t). В формулах (3), (4) и далее точка означает производную по t, а штрих -

,у-»0±0

производную ПО X .

Линеаризуя интеграл Лагранжа-Коши, получим следующее выражение для реакции газа на пластины (р - плотность газа)

о=р(<р; -<р;) + pv{px -ср~).

Тогда уравнения малых колебаний пластин можно записать в виде

¿1Ol) = pitf ~<pi) + pV{cp\ -<р~х), хе {-b,-a), у = 0 ; (5)

L2 (w2 ) = р{<р\ - (p;) + pV(<p+ ~<p~), x& (a,b), у = 0 ; (6)

к ( )s MЛ + + N/rW'k + Sk w'l" + ßk wk + уk wk,

где Mk, Dk, Nk, Sk, ßk, yk - некоторые постоянные (к = 1,2).

Выражая потенциал (p(x,y,t) через функции прогиба wk(x,t), запишем уравнения колебаний пластин (5), (6) относительно этих функций. С этой целью в области G введём комплексный потенциал W =f(z,() = (р + iy/, где у/ =i//(x,y,t) - функция тока, z = x + iy. Для функции скоростей

fz(z,t) = q>x -i(py согласно условиям (1), (3), (4) имеем следующее интегральное представление [1]:

'ъ

/Лг,/) = ■ 1

п

л/ВД

рМдаг ^^(Гуг + Г(/) , (7)

V« г~2 -ь т~2 )

где И(г) = (Ь2 - г2)(г2 - а2), \>к{т, /) = (г,/) + Ум>к(т,(), к- 1,2; Г(/) - функция, определяющая циркуляцию скорости газа вокруг каждой пластины. Ветвь корня в формуле (7) фиксирована условием

= Ь2 - г2 )(22 - а ) = Ц(х2 - о2 )(х2 - а2), г = л- > Ь . (8)

Разложение функции /2(л,/) в окрестности г = ю начинается с члена порядка \/г~, поэтому общая циркуляция равно нулю. Циркуляция вокруг каждой пластины может отличаться от нуля. Заме-

тим также, что (<рх + <р - 0 .

Перейдём в (7) к пределу при г->х±Ю, хе (а,Ь). С учётом условия (8) по формулам Сохоцкого [2] будем иметь

* ь &

± ту2 (х, оТад + ¡^^ - \ ^^ 4Щс1т + Г(0

V а -А У

- = +

1 /

\

Я

следовательно,

Щх)

<Рх ~<Рх =-

7rjh(xj

/ да, -7« да,+г(/)Л

ХЕ (¿7,^).

(9)

Аналогично, при z -» х ± /О , д: е {-b-a) , находим

г ь

+

<?Д- - Р* =

к а

т - х

-ь

т - X

/

л- е (-b-á).

Для комплексного потенциала имеем следующее выражение:

а

(П)

где С(/) - произвольная функция времени, геО. 'Гак как С - двусвязная область, то интеграл зависит от линии интегрирования. Следовательно, потенциал ср, а значит, и правые части уравнений (5), (6) однозначно не определяются. Подберём функцию Г(/) так, чтобы циркуляция вокруг каждой пла-

против

часовой

стрелки

стины равнялась нулю.

При обходе • разреза [а9Ь] Ь а Ь

Г2(0= \(pxdx+ \<p*dx = \{ср~ - (pl)dx. Воспользовавшись формулой (9), получим

aba

циркуляция

2 b I- ь dx

г2(о = —Ь(г,о Тед^И

71

а

+

dx

11 ~ a^Kx)(x-T)

2Г(/)АГ dx + — Í-

(12)

а

Л

ау[Кх)

Согласно (10) для циркуляции Г](/) вокруг пластины соответственно будем иметь

?ь !- ~а Иг

а

-а

-а

dx

2Г(/)"| ¿¿с

(13)

7Г

-¿л/ад

~а dx b dx

Найдём T¡ (í) + Г2(/). Очевидно, j .-= [ r-- Докажем, что

-ЬлЩх) ал/ад

■а Í

б/л'

6

=í-

с/л*

4 7ад(дг - г)

а

, т е {-b-a) u (а,Ь).

(14)

Для этого в полуплоскости 1гп2>0 рассмотрим аналитическую функцию g{z)- \/^Щг). В силу выбора ветви корня (8) на границе полуплоскости (1д1 г = у = 0) имеем

0, л- е (-оо,-6) и {-а, а) и (¿>,+оо),

Re{g(¿)} = <11Д/ВД е (-Ъ-а\

-1 IJh(x),xe{a,b):

-Представим g(z) с помощью интеграла Шварца [2]

1

л/ад

i

Я7

/

-а Í

dz

ь г!т [

\

\

/

При z -» х е (-Ь-а), получим

1

/

i

4Щ

7П

тп dz » dz

dz

\

J

<

Отсюда

-а

б/г

-1 Тад(т - х) ]а Тад(г - л-)

л

г/г

, х е (-Ь-а), или

-я

¿¿С

А = 1"

¿¿С

-1 /ад о - о ^ 7//00 (* -г)

, г е (-Ь-а).

Если 2 —> л* с (а,Ь), то

т

/

-а

(1т

\

-I

с/т

\

У

следовательно,

-а

с/т

_J__

ь с/т = | -, х е (а,Ь), или

-а

с!х

Ъ

сЬс

-{ лГКх)О - г) а - Т)

, те(а,Ь).

Таким образом, равенство (14) доказано. Из этого равенства следует, что Г[(/) + Г2(/) = 0 . Положим

г(г) =

1

м

/

V

7у,(Г А^НМх] *

-Ь а^Кх)(Т-х)

(15)

ь Г7— ь

. ГГ~— . Г с!х

\

/

где М - |

с1х

. Тогда Г|(/) = -Г2(/) = 0. В этом случае интеграл от функции fz(z>t) по любому

замкнутому контуру, принадлежащему области О, равен нулю. Отсюда следует, что значение потенциала Ж , определяемое формулой (11), не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки а и г . Поскольку

¡У = <р + ¡у/ = <я0(/) +

+...

в окрестности г = со, то функцию С(/) в (11) можно подобрать так, чтобы выполнялось условие

00 = О-

Чтобы найти предельные значения <р(х,у,1) на границе области С, преобразуем каждый из интегралов в правой части формулы (7). Интегрируя по частям', получим

-ь

Т - 2

-Ь

г

л/ад

\

Т - 2

\ /

¿/г,

где V] (г,/) = |у] (х^)сЬс. Далее, с учётом того, что

-6

/

л/ад

Т

\

\

/

/

л/ад

г

л/ад

Г-2

\/

ч

+

г2-г2

'г

а/МО '

(16)

имеем

л/ад-

г - г

1 -«{г1-Ь2) + (Ь2

/

\

ч

¿/г-

/ 7

/

л/ад

у,(т,0^г= I

~ь л/ад

г - г

\/

\

+

1 -? \Ь2-т2_

с!т +

/ -

Аналогичным образом получаем

т — 2

а 4т

/

\

г - Г

V /г

/

(4т +

+

1

У2(г,/) , 1 Ьг1У-т'_

г2-а2

с1т-

4Ш)а

ГГ,У2(г,0</Г,

2 2 Г - 67

где у2(г,0 = |у2(х,0<& . В результате проведённых преобразований формула (7) принимает вид

я

Л0М)=-

я

Твд

/

л/ад'

\

г - г

/

Л

/

г — г

\/

ч

¿/г —

Г

- т

ь*-г* Д(0 + г(р

г2-а2

-(2 —

-¿л/ад

-я /1.2 _2

¿л/ад

5(0= I

-Г*-/ чл *Г

¿2-72_

2 2 -А V Г -Л

я

2 2 г -а

У2(Г,/)£/Г.

Подставляя (17) в (11), получим

]Щ =(р л-1ц/~

л-

/

6 77

1

у2(г,0 ¿/г

-я

-1

У, (г,/) б/г

\

\

/

ДО "г Ь' -г-

п

I

<3

2 2 г - а

(к +

Л

+с(о.

Отсюда при г -> х ± /0 , хе (я, 6), находим

+ . + ср~+и//~ =-

Л"

' .У2(х,0 >2(г,0 .¿/г -?у,(г,0 ¿/Г 4

± Я7—, + ] I---]

ч

а4^)т'х -ь4к4)т~х

+

+

ЖО г I»2-'-2

* Лг2-«2

Л

а + 4^)

(17)

(18)

(19)

(20)

следовательно,

<Р+ ~<Р

2^600 [6гу2 (7,0 ¿/г "г VI (г,0 ^т

\

п

\

ад/ад Г-Х -[^Т-Х

у

+

+ 2Д0хг

1.2 2 О -т

„2 2 л- а\т -а

2(Д(0 + Г(0) | ./г

л-

«л/ад'

х е (я, 6).

(21)

Аналогичным образом, сначала интегрируя в (17) от (-£) до г, затем переходя к пределу при 2 —> х ± /0 , * е (~Ь~а), будем иметь

<Р ~<Р =

71

/

Ь -

\

ч2(т,1) с!т

-а гг

\

-I

V, (г,/> с1т

\

/

2 ао)

х 'б2-г2

(22)

1

л- \ т2 - а2

| 2(Л(/) + Г(/)) | ¿г

Л"

-¿л/ад'

л' е (-Ь-а),

Таким образом, согласно формулам (10) и (22) уравнение колебаний (5) принимает вид

2 Рл/ад

/

/Г

*У2(г,/) ¿/г -|У,(Г,/) си

\

\

/

2р4'(0 * . 2р(Д'(/) + Г'(/)) * Л?

71

\

2 2 -А V Г - ¿7

б/Г 4-

Я"

1л/ад

+

(23)

+

2 рУ

ТГ^Кх)

Г

Тад^ _ + г,;

т — X

-ь

т - X

/

хе(-Ь-а),

где У|(г,/) = —-= [(и', + Уй>[)с!х, у2(г,0 = —— = [(н*2 + Ун>'2)с1х. Для пластины [я, 6] уравнение коле-

д< -ь д{ а

баний (6) в соответствии с формулами (9), (21) имеет вид

2рл[й(х) ¿2(и>2) =----

ж

г

\

*гУ2(М) с!т _ -р,(г,0 ах

/

, 2рЛ'(1) • | | Ь2 - т2 ^ 2р(Д'(/) + Г'(0)| ¿/г

/Г

а

2 2 Т -а

К

.л/ад

(24)

2ру (ь

^ _ 7 ^ьо +Г(,;

т — X

-ь

г - X

/

хе(а,Ь).

Функция Г(/) в (23), (24) определяется формулой (15), которую, меняя порядок интегрирования,

запишем в виде

г(/) =

_1_ м

/

\

ь,г & Аг а ь2(г,Од/ад .

Г I- I —----п- I—---с1т

а^Щ-Ь ¿ДО

т-х

(25)

Интегрируя по частям и пользуясь равенством (16) при г = х, будем иметь

а

Т-Х

Т-Х

/

¿л/ад

/

т-х

\/

\

а Ь;-

а

4кт)

т-х

\

\

'т

а %/ад

следовательно,

¿Г ^¿р™

г

а л/М» и

1-Х

а а л//7(Г)

\

Г ~ X

\

с1т~

с\х

а л!Кх) а

ФКт)

а л/К?) а

с1х -

г — X

V Ух

с1х К . .(х2-Ь2) + (Ь2

о. Мь2-Х2 ь =

(1т 1ъ2-а2 'ауЩ

с1х

Ь -т _

т2 - а2

В результате аналогичных преобразований получаем также

I

Аг

а^Кх):

Г - Л

Г -X

-« г;

а

х -а

с1х |

-й л/ад

б/г-

-I

¿¿с

-я 1

ау[Кх)-ьУ Т2 ~а2

С учётом (18) и (19) формула (25) принимает вид

/

Г(0 = —

м

А и2 „2

\

¿У^-А

/

(26)

К этому же выражению приходим, вычисляя циркуляцию Г2(/) с помощью формулы (21). Дейст-

вительно,

Ь: , Ь г2(0 = \{(рх - <рх № = (<р~ - (р+)

а

а

2А(1), Ь -т

■Ах +

2(£(/) + Г(/))6г с!т

л ачт~-а

71

= 0.

если Г(х) определяется формулой (26).

Применяя подстановку и -

Ь2-х2 Ь2-а2

,находим

ь \Ь2 - х2 ь с/х Ь

с1х

К

2 2 а > а* - а

ал/ад а^Ь2 -Х2)(Х2 -а2) Ъ '

где к = [

с1и

о л/П - и2)(1 - к2и2)

и Е- —— и с!и

о

1 -и

- полные эллиптические интегралы I и II рода,

/ N2

а

\ и

. Формула (26) принимает вид

Г(/) =

Замечая ещё, что согласно (19) и (18)

Ъ2{К-Е) К

ДО-ад.

(27)

#

-а

Ъ - г _

Ь2~т2 г2 - я2

у2(г,/)с/г =

-6 л//7(т)

/

ч

-6

л/ад

а л/ад

; л/ад

/

получаем наконец

Г(/) =

к

/

\

|(£2£-г2)У2(Г,/)

л/ад

~а(Ь2Е-т2Щт,0

(1т- {

Уад

б/г

/

(28)

Учитывая (27), представим систему уравнений (23), (24) в окончательном виде

¿10|) =

_2Р4КХ)\ |У2(г,/) ¿/Г -?У,(Г,0 С/Г

N

\

/

2/?Л'(/) \Ь2Е-Кт2 , 2р\ -]-—ат +

7 (ь

кК

-ь

л/ад

7гу[Ых)

\о

1-Х

(29)

\

-ь т х

;

х е (-Ъ-а)

12(и>2) = -

2ру]к(х)

7Т

/

1

у2(г,/) ¿/г

.¡Ит\ Г-

\

....... . л: . .ГЙт\ г - х

\а -и \ у J

+

| 2рА\1)х^Ъ2Е-Кт2 ^ 2рУ

ХК а лЩ

_7

я-л/ад

/

(30)

г -х

N

-А

г

/

Функция Г(/) в (29), (30) определяется формулой (28).

Уравнения (29), (30) соответствуют линейной теории азрогидроупругости, когда движение жидкости (газа), а также динамика деформируемого тела описываются линейными уравнениями. Можно предложить также «смешанные» математические модели, в которых уравнения, описывающие динамику упругого элемента, являются нелинейными. Одна из таких моделей определяется уравнениями

/

п

\

£>, м>'{

\

1 + (и>;

9

ИИ

)2Г

/

/

+ Nl м>|" - <9] и>"

Л

1 + (и>{ У с1х + а-Ь

\

-ь

+ Л/| "й>| +

/

+ - а, Н;]Г + /, (*, г, IV,, IV,, , м>2) = Р\ > >|;2 )>

.г е (-Ь-а)

/

Л

и

V

В/2

/

л

1 + +

+ М2^2 +

1 + 0*2)'

»

где Р^ы^к^), Р2{м>^,ч>2) - правые части уравнений (29), (30) соответственно,

1,^,11^2,^2), к-1,2 - заданные функции, характеризующие внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства оснований, штрих обозначает частную производную по х, точка

- частную производную по /.

Вторая модель также предполагает использование уравнений (29), (30), при этом каждое из них заменяется системой двух уравнений

- ¿1

Ы, + -(>»>,)

+ А'/] г/, + />Г + (*, /, 7/|, I/,, IV|, й>,, м2 > "2 > и;2 > ^2 ) =

г /

- ¿1

ил

/

ч

г/, + -(>,)

\

/

\

Н>['

V

1 + М)2

3/2

+ /V/, -ь - а, й," + N1 \\>'{

/

/

- м>"

-а

\

I + 0| )2 с1х + а - /)

+ /| г/,, щ, IV, , IV,, и2, ¿2, , м>2) - />, , ), X € (~Ь-а)

/

"¿2^2

1 2

м2 +-(^2)

V

+ М2 И2 + $2 "2 + #2 (*> '>и\ > "1» И'1» > "2 > "2 » н'2 > ) =

И'

V

г/2 +{(^2)

\

/

+

Г

п

\

£>2 И'2

V

1 + (и'2)2Р

+ М2И'2 + - а2™2 + ^2И'2

У

^2

/

\

1 + уск + а-Ь

\а

у

+ /2 (*> Щ > «1> > > "2 > ¿2 > > ™2 ) = Р2 > ц,2 )> х Е Ь)

где - продольные и поперечные деформации упругих элементов; /¿(и^н^) - пра-

вые части уравнений (29), (30); /к(х>*>ы\>Щ>и>2, й'2) ~

заданные функции, характеризующие внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства полкоепляюших элементов.

Часть нелинейных математических моделей связана с заменой

Л2'2

с) ] И

1+Ю

1/2

на

и 1+~М)2

2 2

соответственно, а также с заменой этих выражений единицей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Седов, Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики / Л. И. Седов. - М. : Наука, 1980. -448 с.

2. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного неременного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат.-М.: Наука, 1973.-736 с.

оооооооо

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области аэрогидроупруго-сти, аэрогидромеханики, устойчивости систем с распределёнными параметрами, математического моделирования.

Решетников Юрий Андреевичу кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Автор монографии и статей по теории функций комплексного переменного, аэрогидроупругости, устойчивости.

Семёнова Елизавета Петровна, аспирант кафедры «Волновая и газовая динамика» МГУ\ автор статей по аэрогидроупругости, устойчивости.

«Поступила в редакцию 29.04.2010 г.».