Математическое моделирование динамической системы типа «Тандем» из двух крыловых профилей Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Сорокин, Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем / Е. С. Сорокин. -М. : Гостройиздат, I960. - 131 с.

7. Фрейденталь, А. Математические теории неупругой сплошной среды / А. Фрейденталь, X. Гей-рингер. - М. : Физматгиз, 1962. - 349 с.

8. Щеглов, В. Ф. Совершенствование кузнечного оборудования ударного действия / В. Ф. Щеглов. - М. : Машиностроение, 1968. - 222 с.

9. Sankin, Yu. N. Longitudinal vibrations of elastic rods of step-variable cross-section colliding with rigid obstacle \ Yu. N. Sankin and N. A. Yuganova, J.Appl. Maths Mechs, Vol.65, No 3, pp. 427-433, 2001.

Санкии Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор, имеет публикации в области теории колебаний и устойчивости движения.

Югапова Наталья Алексеевна, кандидат технических наук, доцент, имеет публикации в области теории колебаний.

УДК 533.6.013.42

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ТИПА «ТАНДЕМ» ИЗ ДВУХ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ

Предложена математическая модель динамической системы типа «тандем», состоящей из двух крыловых профилей. Рассматривается задача о колебаниях упругих элементов (предкрылков - рассекателей и закрылков-элеронов) крыловых профилей, расположенных последовательно друг за другом и обтекаемых дозвуковым потоком газа или жидкости (в модели идеальной несжимаемой среды). Дано решение аэрогидродинамической части задачи, основанное на методах теории функций комплексного переменного. Получена связанная система уравнений, позволяющая исследовать динамику упругих элементов.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, динамика, упругие пластины, система типа «тандем», деформация, обтекание, дозвуковой поток.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (НК-14П, ГК №П1122) и при финансовой поддержке программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Минобрнауки РФ (проект №2.1.1/11180).

При проектировании различных конструкций, устройств, приборов, аппаратов, систем и т. д., находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой (обтекаемых потоком жидкости или газа), необходимо решать задачи, связанные с исследованием динамики и устойчивости упругих элементов, требуемой для их функционирования и надёжности эксплуатации. Воздействие потока может приводить к эффектам, являющимся причиной нарушения функциональных свойств элементов, вплоть до их разрушения (например, приводить к состоянию неустойчивости вследствие увеличения амплитуды или ускорения колебаний до критически допустимых значений). Такая проблема, когда неустойчивость является негативным явлением, возникает, например, при проектировании составных частей летательных и подводных аппаратов: элерона - составной части крыла; руля высоты - составной части стабилизатора, руля направления - составной части киля; панели - составной части фюзеляжа или крыла. В настоящей работе рассматривается модельная задача о динамике рассекателей и элеронов крыльев двух летательных аппаратов, один из которых движется в следе другого.

Рассматривается плоская задача аэрогидроупругости о малых колебаниях упругих элементов

© Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., 2011

системы двух тонких крыловых профилей типа «тандем» при обтекании их дозвуковым потоком газа (жидкости) в модели идеальной несжимаемой среды. Упругие элементы — закрылки (элероны) и предкрылки (рассекатели) - представлены в виде упругих деформируемых пластин. В физической плоскости хОу рассекателям соответствуют на оси Ох отрезки [ак,ск], элеронам - отрезки [с1к9Ьк],

к = 1,2 (рис. 1). Частный случай, когда предкрылки отсутствуют (а] -сх, а2 = с2), рассмотрен в [1].

В бесконечно удалённой точке скорость газа равна V и имеет направление, совпадающее с направлением оси Ох. Предполагается, что возмущение однородного потока и деформации элементов малы, то есть р(х9у91) = Ух + £<р(х,у,1); = хе[ак,ск); ык2(х,1) = /мк2(х,0, хе[с1к,Ьк];

8 « 1, к = 1,2 . Здесь (р(х,у,1) - потенциал скорости возмущенного потока газа; ,(*,/), -

деформации (прогибы) упругих элементов (пластин); х, у - декартовы координаты; / - время.

У

х

Рис. 1

Потенциал ср удовлетворяет уравнению Лапласа

<P« + <Р>У = 0> (*> У) € G = Rl \ (fa, Ъ, ] и [а2, Ь2 ]),

(1)

условию отсутствия возмущений в бесконечно удаленной точке

(<Р;+<Р;+<РХ=О

и линеаризованным граничным условиям

±

(2)

xe(a]tcx),

<р; = i w (*),

wn + Vw[2,

Jf€(c„i/,),

(3)

>

Vf24x),

^22 + >

xe(c2,d2), xe(d2,b2)t

(4)

где = \\т^(ру{х,у^); 9 f2 (x) - функции, определяющие форму недеформируемых частей

профилей. В формулах (3), (4) и далее штрих означает производную по х, а точка - по /.

Линеаризуя интеграл Лагранжа-Коши, получим следующее выражение для реакции газа на пластины (р- плотность газа):

Q=Р(<Р? РЧ<Р1 -(PI)-

Тогда уравнения малых колебаний пластин можно записать в виде

4. К.) = Р(<Р? + Pv(<Pl -<PD> хе(ак,ск), у = 0, к = 12; (5)

(w«) = Р(<Р! + PV(<P* -<Р~Х)> xe(dk,bk), у = 0, ¿ = 1,2; (6)

Аы (wh,) — whl + Dhl \vhi + Nh> whi +

+ ÄA, + ГА >

где Mh), Dhi> Nhl, Skn, ßknb ykn - некоторые постоянные (k,n = 1,2).

Выражая потенциал (p(x,y,t) через функции прогиба whl(x,t), запишем уравнения колебаний

пластин (5), (6) относительно этих функций. С этой целью в области G введём комплексный потенциал W = f(z,t) = (p + iy/, где у/= i//(x,y,t) - функция тока, z = x + iy. Для функции

скоростей f2(z,t) ~(рх~ i<py согласно условиям (1), (3), (4) имеем следующее интегральное представление [2, с. 52-54]:

/

яг т-г

Л, , ^ __\

I т~2 )

2л:

г - 2

^ Г - 2

2л-

с/г,

где

= (г - а, )(г - Ъ, )(г - а2 )(Ь2 - г),

К

vЛx,t) = -L—í

А

(8)

& = 1,2 ; Г(/) - функция, определяющая циркуляцию скорости газа вокруг каждого профиля. Ветвь корня в формуле (7) фиксирована условием

= ¿у/ {х - а,)(х - - я2)(д: - Ь2) , г = х>Ь2. (9)

Отметим, что + = 0, поскольку /Дсо,/) = - ф )в = 0.

Перейдём в (7) к пределу при г —» х ± /О, х е . Согласно условию (9) имеем

± фКх) = х ± Ю,х е (я,, Ьх),

+ г = х ± /О, х е (а2, Ь2),

Применяя формулы Сохоцкого [3] и учитывая (10), получим

± • ± I

Ф_ -1(р. =±

1

' /

я^Цх)

(Ь2 А, >

и « у

т т -

2 п

Если X € (с,.^,), то

с1т +

V у2-(т)-/2+(т) 2я } г -

¿г,

I

± • + I

<рх -кр; =±

1

/

У А, Ч

т-х ^ т -У

ча>

Т-Х

+

/

+

2 п

±т(/;(х)-/;(х))+\

с1т

т-х

+

у 1-/;(т)-/2\т)

1к

I

¿/г.

т-х

Из (11) и (12) следует, что

<рх-<р: =

_ ЪМ +Г(/)'

} т-х * т-х

\ 2 а1

Аналогично, при г -» * ± /0, х е (а2,Ь2), находим

Лу1И(х)

ЬМ _ ЪМ +Г(0

т — X * Т - V

т-х

/

, хе(а2,62).

Для комплексного потенциала имеем следующее выражение:

г

(Ю)

(П)

(12)

(13)

(14)

(15)

где С(0 - произвольная функция времени, геС . Дифференцируя (15) по /, получим

(16)

Так как О - двусвязная область, то интеграл в (16), вообще говоря, зависит от линии интегрирования. Следовательно, ср(, а значит, и правые части уравнений (5), (6) однозначно не определяются.

Подберём функцию Г(/) так, чтобы циркуляция скорости вокруг каждого профиля равнялась нулю. При обходе против часовой стрелки разреза [ак,Ьк] циркуляция

Ьк ак Ьк

г, (/) = \(р~хс!х + \cpldx = - ср1 )сЬс , к = 1,2 .

к

а,

Воспользовавшись формулами (13), (14), получим

2\ с1х \уЛт,1)

™ ■-7 т да - ■■ Ш ^ ^ ■-:^<т

г,(0 = -

2% ¿¿с Л'гу,(г-,/) [Т71\.1- 2Г(/) *г ¿¿с

В работе [1] показано, что Г,(/) + Г2(/) = 0. Положим

Г(/) =

1 м

/

V

\

Х-Т

х-т

/

где

м= |

¿¿с

«¿л/ад

=[ак,Ьк] имеем

. Тогда Г, (0 = -Г2(0 = 0 . В этом случае при обходе против часовой стрелки разреза

<\/: = §(рхс!х + (РуС1у + 1§(рх(1у - <русЬс =

и

4

Ь> а,

= тк (/) - 1\срус1х = /- =IV {(// (х) - /; (*)№,

поэтому

/

л'

ч'*

4>г (*,/)& = А: = 1,2.

/

Отсюда по теореме Коши следует, что интеграл от функции /г,(г,0 по любому замкнутому контуру, принадлежащему области С, равен нулю. А тогда значение определяемое формулой (16), не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки а, и г. Поскольку

в окрестности г = оо, то функцию С'(О в (16) можно подобрать так, чтобы выполнялось условие Найдём граничные значения функции <р,(х,у,0 . Дифференцированием по / из (7) получаем

1

'ЪМ _ + Г(0

; т-2 Jr-z

(17)

Интегрируя по частям, представим (17) в виде

1

я^И(г)

а,

/

л/ад

Т йгг Г

т-г

V

¿/г + Г(/)

\

Л

(18)

г

где уДг,/) = (*,/)£& , к = 1,2 .

Далее, с учётом того, что [1]

/

Т ~ 2

\ У

л/ад

г

Т — I

\ /г

л/ад

1

где я0 = — (л, + /;, + />2), имеем

2

1

Я"

!л/ад

л/ад

\

V

Т - 2

/2

\

¿/г

+

1

Г'(0- /у,(г,/)

«I,

(т--г)(г + г-д0)

л/ад

V /г

"2

+

л/ад

¿Г

Подставляя (19) в (16), получим

^ = + 'У, = "

л/ад

Я"

г

¿л/ад

—-1 Т ~ 2 ^

У,(г,/) ат Ь>2(г,0 ¿г

+

+

Г'(/) V (к 1 _ >(г -г)(г + г-а0)

I

-г!

^ ¿л/ад л/ад

л/ад

+

^¿л/ад 4 л/ад

Отсюда при г -» х ± /0 , * е (я,,^), находим

± . ± +л/ад

± | У, (г, 0 ¿/г ^т

I

I

— V *

л/Ш) _ л1И(т) т-х У л1Ыт) т-х

% ^

•I

"ЗУ 4 '

+

+

Г'(0 V ¿¿С

I-

тг } J Л. и<

+

я ¿±7ад ^¿л/ад

1 *ГУ2(Г,0 +

Л л/ад

±л/ад

±л/ад

¿¿с + С'(0,

следовательно,

2 Тад

7Г

'[•У, (Г,о ¿/г >2(г,/) б/Г

¿л/ад

яг г г - х У

Iл/ад

+

+

I

2Г'(0ХГ 2\\>}(т,0 ^ хс(т-х)(т + х - а0)

* ¿/ад ^л/ад

--1 тг *

¿г

о,

л/ад

сЬс +

2 "\у2(т,р л *г(г-л)(г + *-а0)

4-— --¿/г -- г--¿¿X,

^¿л/ад л/ад

(20)

Аналогичным образом, сначала интегрируя в (16) от а2 до г, затем переходя при г->д:±Ю, х е(а2,Ь2), будем иметь

2Г'(/) хс ск

<Р, ~<Р, =

2 Тад

я

I

л/ад

ах _ \

т-х }

л/ад

Г,__

* ¿л/ад

+

(21)

+

хе(а2,Ь2)

26'ГУ,(г,/) (г - х)(т + х - а0) 2 Ь\у2(т,0 \{т - х)(т + х - а0) — -с1т --==-(¡Х-— -¿т --==-сЬс,

*1 л/ад I л/ад ^¿л/ад л/ад

Согласно формулам (13), (14), (20), (21) уравнения колебаний пластин (5), (6) принимают вид

где

2р(-1)

К

л/ад

/

Л|У,(г,/) ¿г ¿Г

\

\

¿л/ад

г - х

-I

! л/ад

- ПО )

с!х

У

;л/ад

+

л/ад

а.

л/ад

* л/ад

л/ад

л/лм

_ Тад_ Г(0

* т - X * Т - V

г - X

/

Л-

хе(ак,ск), у = 0, к = 1,2 ;

ил/ад «'л/ад^-*

- по |

¿л/ад

+

/л/ад

л/ад

Л-/

!л/ад

¿/г |

л/ад

ск +

+

V

л/ад

г - х г - X

У

х<Е(с1к,Ьк), у — ^, к- 1,2.

г

IО, 0 + ^ /))<&, г е (а,, ),

(23)

г

(х,0 + (х, + (х, /) + Уй'к2 (х,0)сЬс, г е (¿/4 , Ьк).

Таким образом, получили связанную систему уравнений (22), (23) относительно функций прогиба

(М = 1,2).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вельмисов, П. А. Уравнения колебаний упругих элементов системы двух крыловых профилей / П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников, Е. П. Семёнова // Механика и процессы управления : сборник научных трудов. - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - С. 17-27.

2. Седов, Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики/ Л. И. Седов. - М. : Наука, 1980. -448 с.

3. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М.: Наука, 1973. - 736 с.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ, область научных интересов - аэрогидроупругость, аэрогидромеханика, математическое моделирование, дифференциальные уравнения.

Решетников Юрий Андреевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ, область научных интересов - теория функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения.