CC BY
17
УДК 004.9;
004.41; 51-74; 622
К.В. Халкечев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРНО-РЕЗОНАНСНОГО РАЗРУШЕНИЯ ДРОБИМОЙ МИКРОНЕОДНОРОДНОЙ МИНЕРАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ ПЛАСТИНЧАТОЙ ФОРМЫ
Проведен анализ существующих научных трудов и сделан вывод, что они не могут быть основой для принятых технических решений, которые обеспечивают необходимую организацию процессов дробления и измельчения. Главным недостатком научных трудов по резонансному разрушению, которое могло бы быть таковыми, является то, что дробимые куски считаются изотропными и однородными телами, что, конечно же, является грубым приближением. Кроме резонансного механизма разрушения обнаружен еще один резерв увеличения эффективности разрушения в виде внешнего ударного воздействия. Определены условия, при которых может быть реализовано ударно-резонансное разрушение, для чего были построены математические модели, позволяющие определить собственные частоты и периоды колебаний дробимой микронеоднородной минеральной частицы пластинчатой формы. Эти модели являются основой для технических решений по реализации ударно-резонансного разрушения.
Ключевые слова: математическое моделирование, ударно-резонансное разрушение, дробимая частица, собственная частота колебаний, период собственных колебаний.
Для современного горного производства, характеризующегося ростом мощности предприятий и интенсификацией производственных процессов, особое значение имеет проблема дробления и измельчения минералов. Дробление и измельчение самые энергоемкие процессы в промышленности, на которые приходиться почти одной четверти всей вырабатываемой на планете энергии. Проблема высокой энергоемкости при дроблении и измельчении минералов особенно остро стоит перед горнорудной промышленностью. Так в ней до 45% всей потребляемой электроэнергии приходится на дробление и измельчение.
ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2017. № 1. С. 195-201. © 2017. К.В. Халкечев.
При этом дробление и измельчение являются еще и наиболее массовых и в тоже время капитало-, металло- и трудоемких технологических процессов. Все это свидетельствует об актуальности указанной проблемы. Значительный вклад в решение проблемы дробления и измельчения горных пород и материалов внесли российские и зарубежные ученые [1—12].
Принятые технические решения на основе достижений отечественных и зарубежных ученых не обеспечивают необходимую организацию процессов дробления и измельчения. Это в первую очередь связано с тем, что не выполняются главное требование: разработка современных технологий добычи и обогащения полезных ископаемых должна основываться на фундаментальных знаниях механических свойств и управлении разрушением горных пород, целенаправленно воздействуя на них.
В основу промышленных способов дробления и измельчения положен геомеханический процесс в виде формирования поля напряжений, локально превышающий предельные прочностные характеристики геоматериалов. В этих локальных областях образуются трещины, распространение которых ведет к разрушению. В минералах этим областям соответствуют отдельные зерна. Таким образом, подводимое внешнее механическое воздействие идет на формирование поля напряжений по всему дробимому куску. Поэтому только часть подводимого усилия затрачивается полезно, то есть идет непосредственно на процесс разрушения. Остальная же подавляющая часть идет на формирование потенциальной энергии, которая частично рассеивается в виде тепла и расходуется на свободные колебания между актами воздействии на дробимый кусок. В таком случае объектом управления могут быть только процессы колебания. Причем данное управление должно обеспечивать эффективное разрушение без дополнительных затрат внешней энергии. Отсюда является очевидным, что совершенствование организации процессов разрушения, возможно на основе резонансного разрушения дробимых кусков. В качестве первого приближения при решении задач резонансного разрушения следует считать следующие работу [9, 12]. В них дробимые куски считаются изотропными и однородными телами, что, конечно же, является грубым приближением.
Есть еще один резерв увеличения эффективности разрушения при дроблении и измельчении минералов. Речь идет об умении локализации поля напряжений в малой ограниченной области дробимого куска. Это возможно при обеспечении внешнего ударного воздействия [10]. Следуя логике нашего ис-
следования, получим фундаментальные знания об эффективных упругих свойствах дробимого минерального куска.
Поскольку исследования форм дробимых кусков показывают, что наиболее часто встречаются частицы пластинчатой формы, представим ее в виде микронеоднородной, упругой, локально анизотропной (анизотропные зерна минерала) прямоугольной пластины плотностью р со сторонами а и Ь, толщиной h со свободно опертыми концами. Причем размеры дробимых кусков не должны быть меньше элементарного объема. В противном случае каждый кусок дробимого минерала будет иметь свои уникальные отличные от упругих свойств других дробимых частиц. Минерал неоднородный и анизотропный на структурном уровне; каждое зерно испытывает влияние остальных зерен через упругое поле; упругие свойства зерен считаем известными.
На основе этой содержательной модели переходим к следующей математической модели: неограниченная упругая трехмерная анизотропная среда, которую назовем основной с неодно-родностями в эллипсоидальных областях У(л) где х (х1, х2, х3) — точка среды. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам минерала. Пусть С — тензор упругих модулей зерна, значения которого определены экспериментально, а С0 — постоянный тензор упругих модулей основной среды, равный осредненным значениям тензора упругих модулей отдельного зерна <С>, С0 + С1, — то же для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностями можно представить в виде кусочно-постоянной функции С(х) = С0 + С1¥(х), где У(х) — характеристическая функция области V, занятой неоднородностями, т.е. У(х) = 1 при х е Vи У(х) = 0 при х е V. Но так как в рассматриваемой модели неоднородности плотно прилегают друг к другу, то всегда х е V, а значит И^х) = 1. Будем иметь в виду, что С1 принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности. В свою очередь, ориентация последних случайна, следовательно С1 — случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Обозначим через е0(х) непрерывное внешнее поле деформаций, которое существовало бы при С1 = 0 в однородной основной среде при заданных внешних силах и через е(х) — кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.
Смещение м1(х), напряжение а..(х), деформация еи(х) в этой среде с неоднородностями в произвольной аффинной системе координат удовлетворяет системе уравнений:
д..[Ст (х)дщ (х)] = (х), щ(х) ^ и?(х) при
= С. г,
Бь, = -
дщ
дх,
дщ1 дх.
\
Решая эту систему, получаем для тензора эффективных упругих модулей С минерального куска:
С =< С(1 + ЛС1)'1 >< (I + ЛС1)'1 >-1,
где С — тензор модулей упругости зерна минерала; I — единичный четырех валентный тензор; А — постоянный тензор, равный среднему значению на сфере единичного радиуса от преобразования Фурье второй производной тензорной функции Грина; С1 = С — <С>; <> — знак усреднения по ансамблю случайных полей неоднородностей; в/ — помета.
Собственные частоты колебаний прямоугольной пластины в таком случае определяются равенством
( е
е Л е
П Н I 3 С12 + 2 С 44 I С 44
ю =
12р| С12 + С44
1 -
С2
(еГ еГ Л
41 С12 + С44 1
где т и п — целые числа.
При а = Ь мы получим собственные частоты колебаний квадратной пластины, которые соответствуют дробимым кускам такой формы, широко распространенных среди дробимых частиц.
кю
Ю =
еГ
еГ Л еГ
П Н I 3 С12 + 2 С44 I С44
т
■ п
(ее ее Л
12р| С12 + С44 I
ее2 С12
(ее ее Л2 41 С12 + С44 I
Период собственных колебаний может быть найден из равенства га = 2п/Т. Следовательно, период собственных колебаний прямоугольной пластины равен
Отсюда наибольший период собственных колебаний реализуется при m = n = 1.
Если время нагружения меньше примерно половины наибольшего периода собственных колебаний, то нагружения необходимо считать ударными [10]; если время нагружения примерно равно наибольшему периоду собственных колебаний, то нагружения можно считать резонансно-возбуждаемыми. При повторном неоднократном нагружении при тех же условиях, т.е. вынужденных колебаниях с периодом, совпадающим с периодом собственных колебаний дробимой частицы, приведут к явлению резонанса. Этот резонансный режим ведет к эффективному разрушению, который справедливо назвать резонансным, тогда как эти же воздействия при других условиях не приводят к такому результату.
Таким образом, резонансное разрушение минералов может быть применено в технологии дробления при условии, что характерные размеры дробимых кусков будут равны или больше характерных размеров элементарного объема. Поскольку условия, при которых обеспечивается резонансное разрушение, ведут и к ударным нагрузкам, то это сочетание, которое справедливо назвать ударно-резонансным разрушением, увеличит эффективность дробимости минералов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Yunjin H., Guolong C, Weiping C., Zhenjun Y. Simulation of hydraulic fracturing in rock mass using a smeared crack model // Computers and Structures. - Amsterdam, 2014. - Vol. 137. - P. 72-77.
2. Tikhonov N. O., Ivanov A. N. Ore pretreatment reengineering at operating processing plants using high pressure grinding rolls-a promising area of activity (in terms of Erdenet Mining Corporation) // Eurasian Mining. -Moscow, 2015. - Vol. 1. - P. 9-12.
3. Shojaei A., Dahi Taleghani A., Li G. A continuum damage failure model for hydraulic fracturing of porous rocks // International Journal of Plasticity. - Amsterdam, 2014. - Vol. 59. - P. 199-212.
T =
4. Haeri H., Shahriar K., Fatehi Marji M., Moarefvand P. Experimental and numerical study of crack propagation and coalescence in pre-cracked rock-like disks // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. - Amsterdam, 2014. - Vol. 67. - P. 20-28.
5. Glagolev V. V., Glagolev L. V., Markin A. A. Stress-strain state of elas-toplastic bodies with crack // Acta Mechanica Solida Sinica. - Wuhan,
2015. - Vol. 28, No. 4. - P. 375-383.
6. Liu T, Cao P., Lin H. Damage and fracture evolution of hydraulic fracturing in compression-shear rock cracks // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - Amsterdam, 2014. - Vol. 74. - P. 55-63.
7. Zhuang X., Chun J., Zhu H. A comparative study on unfilled and filled crack propagation for rock-like brittle material // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - Amsterdam, 2014. - Vol. 72. - P. 110-120.
8. Kumar S., Singh I. V., Mishra B. K. A multigrid coupled (FE-EFG) approach to simulate fatigue crack growth in heterogeneous materials // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - Amsterdam, 2014. - Vol. 72. -P. 121-135.
9. Кононенко В. Н., Халкечев К. В. Дезинтеграция геоматериалов в резонансном режиме разрушения // Известия КБНЦ РАН. - 2010. -№ 6. - С. 32-35.
10. Халкечев К.В., Халкечев Р.К. Математическая модель разрушения поликристаллов при квазистатических и ударных нагрузках // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2011. - Отдельные статьи (специальный выпуск). Методы математического моделирования в горной промышленности. - С. 22-26.
11. Халкечев Р. К., Халкечев К. В. Управление селективностью разрушения при дроблении и измельчении геоматериалов на основе методов под обия и размерности в динамике трещин // Горный журнал. -
2016. - № 6. - С. 64-66.
12. Халкечев К. В., Халкечев Р. К., Каширский А. С. Управление технологией разрушения материалов на основе математического моделирования устойчивого и неустойчивого развития трещин // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2014. - № 11. - С. 359-366.
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ
Халкечев Кемал Владимирович - доктор физико-математических наук,
доктор технических наук, профессор, e-mail: h_kemal@mail.ru, НИТУ «МИСиС».
Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2017. No. 1, pp. 195-201. K.V. Khalkechev
MATHEMATICAL MODELING OF IMPACT-RESONANCE RUPTURE OF A MICROHETEROGENEOUS PLATE-LIKE PARTICLE UNDER CRUSHING
In this work the analysis of the existing scientific works is carried out, and came to a conclusion that they cannot be a basis for the made technical solutions which provide the neces-
UDC 004.9;
004.41; 51-74; 622
sary organization of processes of crushing and degradation. The main lack of scientific works on resonant destruction which could be those, is that the split-up pieces are considered as isotropic and uniform bodies that, of course, is rough approach. Except the resonant mechanism of destruction one more reserve of increase in efficiency of destruction in the form of external shock influence is found. Conditions under which shock and resonant destruction for what the mathematical models allowing to determine own frequencies and the periods of fluctuations of the split-up micronon-uniform mineral particle of a lamellar form were constructed can be realized are defined. These models are a basis for technical solutions on realization of shock and resonant destruction.
Key words: mathematical modeling, shock and resonant destruction, the split-up particle, own frequency of fluctuations, the period of own fluctuations.
AUTHOR
KhalkechevK.V., Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: h_kemal@mail.ru, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.
REFERENCES
1. Yunjin H., Guolong C., Weiping C., Zhenjun Y. Simulation of hydraulic fracturing in rock mass using a smeared crack model. Computers and Structures. Amsterdam, 2014, vol. 137, pp. 72-77.
2. Tikhonov N. O., Ivanov A. N. Ore pretreatment reengineering at operating processing plants using high pressure grinding rolls-a promising area of activity (in terms of Erdenet Mining Corporation). Eurasian Mining. Moscow, 2015, vol. 1, pp. 9-12.
3. Shojaei A., Dahi Taleghani A., Li G. A continuum damage failure model for hydraulic fracturing of porous rocks. International Journal of Plasticity. Amsterdam, 2014, vol. 59, pp. 199-212.
4. Haeri H., Shahriar K., Fatehi Marji M., Moarefvand P. Experimental and numerical study of crack propagation and coalescence in pre-cracked rock-like disks. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. Amsterdam, 2014, vol. 67, pp. 20-28.
5. Glagolev V. V., Glagolev L. V., Markin A. A. Stress-strain state of elastoplastic bodies with crack. Acta Mechanica Solida Sinica. Wuhan, 2015, vol. 28, No. 4, pp. 375-383.
6. Liu T., Cao P., Lin H. Damage and fracture evolution of hydraulic fracturing in compression-shear rock cracks. Theoretical and Applied Fracture Mechanics. Amsterdam, 2014, vol. 74, pp. 55-63.
7. Zhuang X., Chun J., Zhu H. A comparative study on unfilled and filled crack propagation for rock-like brittle material. Theoretical and Applied Fracture Mechanics. Amsterdam, 2014, vol. 72, pp. 110-120.
8. Kumar S., Singh I. V., Mishra B. K. A multigrid coupled (FE-EFG) approach to simulate fatigue crack growth in heterogeneous materials. Theoretical and Applied Fracture Mechanics. Amsterdam, 2014, vol. 72. P. 121-135.
9. Kononenko V. N., Khalkechev K. V. Izvestiya kabardino-balkarskogo nauchnogo tsentra RAN. 2010, no 6, pp. 32-35.
10. Khalkechev K. V., Khalkechev R. K. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byul-leten'. 2011. Special edition. Metody matematicheskogo modelirovaniya v gornoy promy-shlennosti, pp. 22-26.
11. Khalkechev R. K., Khalkechev K. V. Gornyy zhurnal. 2016, no 6, pp. 64-66.
12. Khalkechev K. V., Khalkechev R. K., Kashirskiy A. S. Gornyy informatsionno-ana-liticheskiy byulleten'. 2014, no 11, pp. 359-366.
