CC BY
38
- © Р.К. Халкечев, А.С. Каширский,
К.В. Халкечев, 2014
УДК 519.87
Р.К. Халкечев, А.С. Каширский, К.В. Халкечев
УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЕЙ РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ УСТОЙЧИВОГО И НЕУСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН
Рассмотрена проблема управление технологией разрушения материалов. Обосновывается практическая и научная актуальность выбранного предмета исследования, обусловленная с одной стороны большой энергоемкостью процессов дробления и измельчения твердых материалов, с другой - отсутствием соответствующих теорий разрушения неоднородных сред применительно к технологиям разрушения материалов. Доказана несостоятельность традиционных методов разрушения отличаю-щихся низкой селективностью - при разделении многокомпонентных материалов нарушается целостность полезных компонент, что неблагоприятно отражается на их качестве и количестве. Проведен анализ способов передачи энергии от рабочего органа дробильно-измельчительной машины к обрабатываемому материалу. В рамках метода аналогий построена предписывающая математическая модель, позволяющая определить управляющие параметр и параметр порядка процесса технологического разрушения.
Ключевые слова: управление, технология разрушения материалов, устойчивое и не устойчивое развитие трещин, дезинтеграция, дробление и измельчение, селективность, математическое моделирование, материалы первого порядка, материалы второго порядка.
Существующие технологии разрушения материалов, даже наиболее совершенные из них, используют по назначению менее 1% от подводимой энергии. Этим и объясняется огромные общие затраты энергии в масштабах государства на разрушение горных пород, составляющие более чем десятую часть всей вырабатываемой в РФ электроэнергии. Причем есть тенденция к стремительному росту этих затрат электроэнергии, если учесть, что помимо переработки минерального сырья, процессы разрушения твердых материалов широко применяется в целлюлозно-бумажной промышленности для подготовки древесины, в пищевой промышленности, в производстве медицинских препаратов, при переработке бытовых и промышленных отходов и в ряде других отраслей.
Такая неблагоприятная ситуация, на наш взгляд, связана, прежде всего, с тем, что теория разрушения, ставшая предметом пристального внимания ученых, не достаточно привязана к технологиям нарушения целостности.
Вместе с тем каждая технология разрушения породного массива имеет свою специфику, определяемую различными целями дезинтеграции горных пород. Для художественной обработки камня и производства из горных пород каменных конструкций требуется поверхностное разрушение монолитных горных пород таким образом, чтобы отсечь лишнее, не повредив оставшуюся часть монолита. В других случаях цель лишь сократить первоначальный размер твердых тел до определенного размера, например, для получения щебня и цементного клинкера. При этом кусок горной породы рассматривается как однородный
изотропный однофазный объем материала, который подлежит разделению по случайным поверхностям [1]. Такой подход не приемлем, ибо при таком предположении, когда горная порода фактически моделируется бесструктурной сплошной средой, исчезает причина случайной природы разрушения [2, 3]. Разрушение имеет совсем иное назначение при обогащении полезных ископаемых. Целью в данном случае является разделение горной породы на составляющие ее минералы или зерна минералов таким образом, чтобы затем разделить полезные компоненты от пустой породы, пользуясь различиями в их физико-химических свойствах. Является очевидным, что в этом случае горная порода непременно должна рассматриваться как анизотропный, неоднородный материал [4]. При этом необходимо здесь отметить, что существующие методы технологии разрушения не удовлетворяют условиям, при которых могут быть достигнуты поставленные цели. Так традиционные методы разрушения отличаются низкой селективностью, т.е. при разделении многокомпонентных материалов приходиться нарушать целостность полезных компонент, что неблагоприятно отражается на их качестве и количестве. Так, например, переизмельчение минералов, из которых состоят горные породы, является основной причиной технологических потерь: происходит значительное усложнение организации процессов концентрирования переизмельченного материала и резкое снижение эффективности его разделения. А в ряде случаев, не только переизмельчение, но и нарушение целостности полезных компонент категорически недопустимо - теряется качество, например при извлечении алмазов.
Следующим существенным препятствием на пути достижения цели дезинтеграции, которая в практике механической обработки полезных ископаемых и обогащения называют более узкими терминами: дробление и измельчение, является то, что традиционные процессы дробления и измельчения пригодны для разрушения не всех твердых материалов. Так трудноразрушаемые материалы, к которым относятся керамические и абразивные материалы, металлы, твердые сплавы, сырье для порошковой металлургии и большинство промышленных отходов, известными способами разрушаются неэффективно или вообще не разрушаются.
И так, первое необходимое условие управления технологией разрушения выполнено, а именно: определена цель при той или иной технологии. Вторым необходимым условием является наличие техники или устройств, преобразующих электроэнергию, поступающую от внешних источников, в механическую энергию, используемую для механической обработки полезных ископаемых. В основе этой обработки лежит процесс упорядоченного преобразования энергии, поступающей от дробильно-измельчительного устройства, в энергию деформирования и частично на разрушение - на образование новых поверхностей. При этом имеется следующая так называемая энергетическая проблема - низкая эффективность массовых технологий разрушения: даже у наиболее совершенных технологий дробления и измельчения используются по назначению, т. е. для самого процесса разрушения (образования новой поверхности), менее 1% подводимой энергии. Сложившее положение в области дробления и измельчения руд в принципе характерно для мировой практики в целом.
Решение проблемы создания эффективных машин для дробления и измельчения твердых материалов в теоретическом отношении существенно зависит от успехов в теориях разрушения неоднородных твердых тел и управления. Вме-
сте с тем теории разрушения горных пород и других неоднородных материалов применительно к дробильно-измельчительным машинам и управлению процессами разрушения до последнего времени и у нас и за рубежом не получило должного развития. Такое положение в первую очередь было обусловлено отсутствием соответствующих методов математического моделирования, и оно изменилось с разработкой методов фрактального [5] и мультифрактального моделирования [6]. Но и этого оказывается не достаточным для управления разрушением, так как разработанные математические модели являются описывающими, т.е. позволяющими определить деформационные свойства, законы деформирования и разрушения трудноформализуемых объектов. Решение же выше указанной проблемы становится возможным в результате разработки математической предписывающей модели разрушения горных пород и других неоднородных материалов применительно к дробильно-измельчительным машинам и управлению процессами разрушения.
Основным определяющим параметром механического разрушения применительно к дробильно-измельчительным машинам является размер. Он является также определяющим параметром технологического процесса - по этому параметру дробление отличают от измельчения; под дроблением обычно понимают процесс дезинтеграции, при котором подавляющая часть продукта крупнее 5 мм, а под измельчением - процесс, весь продукт которого мельче 5 мм. Граничный размер не обоснован не физически не математически и даже не технологически, и поэтому на данный момент он условен и может колебаться в широких пределах в зависимости от свойств обрабатываемого материала и особенностей технологии. К основным особенностям в данном случае необходимо отнести способы передачи энергии обрабатываемому продукту от рабочего органа дробильно-измельчительной машины. За ними исторически закрепились термины, не отражающие научную суть процесса, что очень мешает постановке математической задачи с последующим математическим моделированием, они ближе к бытовым терминам: раздавливание, раскалывание, излом, срезывание, истирание, удар. В рамках научных представлений эти понятия имеют следующий вид: раздавливание - это разрушение под действием статического сжатия, когда напряжения в материале превосходит предел прочности на сжатие; раскалывание - разрушение под действием внешнего статического сжатия, которое вызывает в материале растягивающее напряжения в результате расклинивания, приводящее к разрыву; излом - разрушение в результате изгиба; срезывание - разрушение материала под действием внешних сдвигающих напряжений; истирание - разрушение тонкого поверхностного слоя материала под действием сдвигающих напряжений; удар - перечисленные внешние нагрузки носят динамический характер. Соответствующим подбором способов передачи энергии для каждого из случаев можно регулировать эффективность разрушения - с оптимальными затратами энергии получить требуемый результат на каждом акте дезинтеграции.
Размеры кусков после каждого акта дезинтеграции, что является основным показателем эффективности дробильно-измельчительного процесса, определяются расстоянием между трещинами. В свою очередь расстоянием между трещинами можно регулировать путем управления устойчивостью развития системы трещин: неустойчивость развития системы трещин приводит к увеличению расстояния между ними, а устойчивость развития системы трещин приводит к уменьшению расстояния между ними. При этом экспериментальная иденти-
фикация параметра порядка и определяющего параметра слишком дорогое удовольствие или вовсе не представляется возможным.
Теперь окончательное решение проблемы управления технологией разрушения будет получено, если построить предписывающие математические модели устойчивого и неустойчивого развития системы трещин в горных породах и неоднородных материалах и на их основе обнаружить соответственно параметр порядка и управляющий параметр.
В рамках метода аналогий равновесие трещины в неоднородной среде в рамках теории хрупких трещин определяется одним параметром - равновесным коэффициентом интенсивности напряжений или модулем сцепления
К =
() С-
п(1 -V2) (1)
(е{)
где С - эффективный модуль упругости; у - эффективная удельная энергия, идущая на образование единицы поверхности трещины; V - коэффициент Пуассона.
(е{)
Метод определения эффективного модуля упругости С зависит от порядка сложности исследуемого материала.
Для определения эффективного модуля упругости материала первого порядка сложности (минерала, металла) разработаем следующую математическую модель.
Материал первого порядка состоит из вплотную прилегающих друг к другу неоднородностей, которые случайно ориентированы в пространстве, находятся в упругом состоянии, являются анизотропными и взаимодействуют между собой через упругое поле. При этом возникающие силовые характеристики обусловлены полем напряжений, или полем деформаций, связанного с ним посредством закона Гука. Аппроксимируем эллипсоидом каждую неоднородность в структуре материала первого порядка сложности. В результате получим трехмерную неограниченную сплошную среду со случайно-ориентированными в пространстве эллипсоидальными неоднородностями. Поскольку неоднородности являются анизотропными, то их упругие характеристики являются тензорными величинами. В результате мы имеем неограниченную анизотропную упругую сплошную среду с неоднородностями в эллипсоидальных областях V.
(т)
Обозначим через С тензор модулей упругости эллипсоида. Здесь и далее, как указывалось ранее, буквенно-числовое сочетание, заключенное в скобки над тензорной величиной, является пометой, а не индексом, и указывает на семантическое значение данной величины. Каждый эллипсоид в зависимости от ориентации в пространстве будет принимать свое значение. Следовательно, он является случайной величиной. Рассмотрим сплошную среду, упругие свойства которой характеризуются тензором модуля упругости, равного усреднен-
(т)
ным значениям < С > . Назовем данную среду матрицей.
Поместим в эту матрицу эллипсоидальные неоднородности и тем самым получим модель сплошной среды для рассматриваемого материала первого порядка сложности, которую назовем сплошной средой со структурой. В ре-
(т)
зультате имеем матрицу с упругими свойствами < С > , в которой находятся эл-
липсоидальные неоднородности, модуль упругости которых отличается на величи-
(т) (т) (1т)
ну С - < С > , равного С . Тогда полученную среду с неоднородностями можно
(т) (т) (1т)
охарактеризовать тензором модулей упругости равного С (х) =< С > + С V(х), где х(х1, х2, х3) - точка среды; V(x) - характеристическая функция области V, т.е.
V(х) Л1 ПРИ Х е V
[0 при Х <£ V
(поскольку неоднородности вплотную прилегают друг к другу, то V(x) не при-
(1т)
нимает нулевых значений); С - случайный четырехвалентный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности и меняющийся скачком на границе
(т)
эллипсоидов. В результате С (Х) является кусочно-постоянной положительно-определенной функцией, имеющей разрыв на границе эллипсоидов. Такая постановка задачи, используя работу [6] в рамках метода аналогии, позволяет построить следующую математическую модель, определяющую эффективный модуль упругости материала первого порядка сложности:
(в1т) (т) ( (т) (1т) V1 ( т (1т) ^ '
С =< СI I + В - С I > - < I I + В • С I >-1
(2)
(т) 1 (0т)
где I - единичный четырехвалентный тензор; В = — I К (Ак) ёБ ; А - тензор,
4п •
Б1
определяющий невырожденное аффинное преобразование трехмерного про-
(0т) (0т)
странства; К (к) - преобразование Фурье-ядра К ¡¡ы (х - х'); - поверхность единичной сферы в Фурье-пространстве.
С целью определения эффективного модуля упругости материала второго порядка сложности (горная порода, композиционный материал) разработаем следующую математическую модель.
Материал второго порядка сложности состоит из вплотную прилегающих друг к другу неоднородностей - материалов первого порядка, каждый из которых принадлежит к одному определенному виду. При этом относящиеся к одному виду материалы первого порядка сложности, имеют идентичные деформационные свойства.
Материалы первого порядка сложности, составляющие материал второго порядка сложности случайно ориентированы в пространстве, являются анизотропными, обусловленными преимущественной ориентацией неоднородностей. В противном случае, если ориентация неоднородностей случайна, то материал первого порядка будет изотропным. Материалы первого порядка взаимодействуют между собой посредством упругого поля напряжений или деформаций.
Аппроксимируем каждый материал первого порядка эллипсоидом. Не теряя общности, в качестве объекта дальнейших исследований примем материал второго порядка сложности, состоящий из двух видов природных мультифрак-талов третьего порядка. В этом случае математическим эквивалентом материала второго порядка является трехмерная неограниченная сплошная среда с двумя типами эллипсоидальных неоднородностей, случайно-ориентированных в пространстве. При этом каждый тип эллипсоида соответствует одному виду материала первого порядка.
Подобная постановка задачи, используя работу [6] в рамках метода аналогии, позволяет построить следующую математическую модель, определяющую эффективный модуль упругости материала второго порядка сложности:
(ELdmch)
(efdmch) (вЬтсИ) V 0-dшch) ( ^тсИ) (1dmch)Л 1
с = с + <<вШШЙ C •|1+ 2 • C I >х
V ^ У (3)
( (ELdmch) 1 Л
^тсИ) V (1dmch) ( ^тсИ) (1dmch)Л-1
1 - 2 •<щтсщ с •[!+ 2 • с ] >
V V У
вотсИ) (efmsv) ( (отсИ) (1omch)Л 1 ( (отсИ) (1omch)Л 1
где С =< С 11+ В • С I > • < I I + В • С I >-1 - эффективный тензор модулей упругости сплошной среды с вплотную прилегающими не-однородностями в виде материала первого порядка, концентрация которого
(1отс^ (вт1) (вт1)
в исследуемом материале второго порядка максимальна; С = С - < С > ;
(вШ) (отсИ) 1 (отсИ)
С - тензор модулей упругости эллипсоида; В =—I К (Лк) dS ;
4п *
(отсИ) (отсИ) ()
К (к) - преобразование Фурье-ядра Кк (х - х') =-[д;дв(х - х')]шк1) ;
т (вШ)
в - тензорная функция Грина сплошной среды с упругими свойствами С ;
(итсИ) (вfmí) (в^тсИ) (dmch) (0dmch) 1 (dmch) (^Л)
С = С - С ; 2 = 2 = —Г К (Лк) dS , при Д = 1; К (к) - пре-
4п *
(dmch) (отсИ) (отсИ)
образование Фурье-ядра К1]к1 (х - х') = -[д;д1 вкк (х - х')]^и); в - тензорная
вотсИ) (ЕЫтсИ) (BVdmch)
функция Грина сплошной среды с упругими свойствами С ; V и V -соответственно объемы эллипсоида и блока Вороного в сплошной среде со структурой, соответствующей материалу второго порядка сложности.
Подставляя полученные значения эффективных модулей упругости из (2) и (3) в (1), получим равновесный коэффициент интенсивности напряжений для материалов первого и второго порядка сложности соответственно. Сравним его с текущим коэффициентом интенсивности напряжений К, который определяется из приближенного решения [7]
К = аП1П
12п Н
полученного для Н у I, или полученного для Н —— I К = Сто д П
2п Н
где ст0 - внутреннее напряжение большее, чем прочность материала на растяжение стг; Н - расстояние между трещинами в системе параллельных трещин длиной 21.
Равновесие имеет место при условии K = K0. В противном случае, т.е. когда K ф K0 имеет место неустойчивое развитие системы трещин.
И так, подбирая соответствующим образом, текущий коэффициент интенсивности напряжений, и этим самым, обеспечивая в зависимости от требуемого размера кусков материала устойчивое или неустойчивое развитие трещин, мы можем регулировать расстояние между трещинами: при устойчивом распространении трещин расстояние между ними уменьшается, а при неустойчивом -увеличивается. В предельном случае, что соответствует граничному размеру куска материала, отделяющему дробление от измельчения, нет реализации неустойчивого развития трещин. Трещины в этом случае, разбегаясь друг от друга прямо у поверхности, не могут проникнуть вглубь материала. И как следствие, эффективность разрушения будет низкой, а энергоемкость высокой.
Таким образом, управляющим параметром является коэффициент интенсивности напряжений, а параметром порядка - расстояние между трещинами. Соответствующий подбор этих параметров, полученных на основе математического моделирования устойчивого и неустойчивого развития трещин, позволяет осуществлять управление технологией разрушения материалов.
Как и всякая теория, предлагаемая математическая модель имеет ограничение. Куски материала при каждом акте дробления и измельчения должны иметь объем сравнимый или больше чем элементарный или представительный объемы [8, 9]. В противном случае, определить какие либо свойства, в том числе и эффективные упругие модули, не представляется возможным.
_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ревнивцев В.И., Гапонов Г.Ф., Зарогатский Л.П., Костин И.М., Финкельштейн Г.А., Хопунов Э.А., Яшин В.П. Селективное разрушение минералов. - М.: Недра, 1988. - 286 с.
2. Халкечев К.В. Стохастическая неустойчивость динамики трещин // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11. - Вып. 2. - C. 421.
3. Халкечев К.В. Иерархия математических моделей стохастической неустойчивости распространения трещин в геоматериалах // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005 - Т. 12. - Вып. 1. - С. 199-200.
4. Халкечев К.В. Механика неоднородных горных пород. - Бишкек: ИЛИМ, Академия наук Республики Кыргызстан, 1991. - 226 с.
5. Халкечев К.В. Иерархия случайно-фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13. -Вып. 3 - С. 409-433.
6. Халкечев Р.К. Теоретические основы мультифрактального моделирования труднофор-мализуемых объектов // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2013. - N 9. Отдельные статьи (специальный выпуск). Прикладная и промышленная математика. - С. 8-16.
7. Кузнецов В.М. О нестационарном распространении системы трещин в хрупком материале // ПМТФ. - 1968. - N 2. - С. 21-29.
8. Халкечев Р.К. Стохастический метод определения элементарных объемов кристаллических и композиционных геоматериалов // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2012. - N 2. - С. 38-41.
9. Халкечев Р.К. Скейлинг газосодержащих породных массивов // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2012. - N 2. -С. 102-104. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ_
Халкечев Руслан Кемалович - кандидат физико-математических наук, Каширский Алексей Сергеевич - старший преподаватель, Халкечев Кемал Владимирович - доктор физико-математических наук, доктор технических наук, профессор, МГИ НИТУ «МИСиС», e-mail: [email protected].
UDC 519.87
RUPTURE CONTROL IN MATERIALS BASED ON MATHEMATICAL MODELING OF STABLE AND UNSTABLE FRACTURE PROPAGATION
Khalkechev R.K., Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Kashirskiy A.S., Senior Lecturer,
Khalkechev K.V., Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Doctor of Technical Sciences, Professor,
Moscow Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», e-mail: [email protected].
In this work the problem management of materials destruction technology is considered. The practical and scientific relevance of the chosen object of research caused on the one hand by big power consumption of processes of crushing and crushing of solid materials with another - absence of the corresponding theories of destruction of non-uniform environments in relation to technologies of destruction of materials locates. Insolvency of the traditional methods of destruction differing in low selectivity is proved - at division of mul-ticomponent materials integrity useful a component that is adversely reflected in their quality and quantity is broken. Along with it one more obstacle in a way of achievement of the purpose of disintegration which in practice of machining of minerals and enrichment calls narrower terms is revealed: crushing and crushing, is that traditional processes of crushing and crushing are suitable for destruction not of all solid materials.
The analysis of ways of transmission of energy from working body crushing plant to the processed material is carried out. It is as a result established that terms the reflecting ways of transmission of energy don't capture the scientific essence of process that very much disturbs statement of a mathematical task with the subsequent mathematical modeling. Thus it is brought into accord terms on the one hand and scientific representations with another which allowed to find methods regulation by efficiency of destruction - with optimum expenses of energy to receive the demanded result on each act of disintegration.
It is proved that the sizes of pieces after each act of disintegration that is the main indicator of efficiency crushing process, are defined by distance between cracks. It is established the turn that in distance between cracks it is possible to regulate by management of stability of development of system of cracks: instability of development of system of cracks leads to increase in distance between them, and stability of development of system of cracks leads to reduction of distance between them. Thus experimental identification of parameter of an order and the defining parameter too expensive pleasure or isn't possible at all.
The conclusion is as a result drawn that the final decision of a problem of management of technology of destruction within an objective will be received if to construct the ordering mathematical models of sustainable and unstable development of system of cracks in rocks and non-uniform materials and on their basis to find respectively a parameter of an order and the operating parameter.
Within a method of analogies the ordering mathematical model allowing to determine managing directors the parameter and parameter of an order of process of technological destruction is constructed. The corresponding selection of these parameters received on the basis of mathematical modeling of sustainable and unstable development of cracks allows to exercise control of technology of destruction of materials.
Key words: management, technology of destruction of the materials, steady and not sustainable development of cracks, disintegration, crushing and crushing, selectivity, mathematical modeling, materials of the first order, materials of the second order.
REFERENCES
1. Revnivtsev V.I., Gaponov G.F., Zarogatskii L.P., Kostin I.M., Finkel'shtein G.A., Khopunov E.A., Yashin V.P. Selektivnoe razrushenie mineralov (Selective rupture of materials), Moscow, Nedra, 1988, 286 p.
2. Khalkechev K.V. Obozrenie prikladnoi i promyshlennoi matematiki, 2004, vol. 11, issue 2, pp. 421.
3. Khalkechev K.V. Obozrenie prikladnoi i promyshlennoi matematiki, 2005 vol. 12, issue 1, pp. 199200.
4. Khalkechev K.V. Mekhanika neodnorodnykh gornykh porod (Heterogeneous rock mechanics), Bishkek, ILIM, Akademiya nauk Respubliki Kyrgyzstan, 1991, 226 p.
5. Khalkechev K.V. Obozrenie prikladnoi i promyshlennoi matematiki, 2006 vol. 13, issue 3, pp. 409433.
6. Khalkechev R.K. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten'. 2013, no 9, special edition, Priklad-naya i promyshlennaya matematika (Прикладная и промышленная математика), pp. 8-16.
7. Kuznetsov V.M. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika, 1968, no 2, pp. 21-29.
8. Khalkechev R.K. Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN, 2012, no 2, pp. 38-41.
9. Khalkechev R.K. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Severo-Kavkazskii region. Tekhnicheskie nauki, 2012, no 2, pp. 102-104.
