CC BY
28
N - критическая сила при рассматриваемых граничных условиях однородного стержня с жесткостью Для однородных стержней кN = 1-Графическая зависимость kN = kN (Т, —) для этих граничных условий приведена на рисунке.
Частоты собственных колебаний таких неоднородных стержней удобно представить в виде, аналогичном (11):
ш = шокш, к = к (Г, —, ш) ,
где ш0 - частоты колебаний однородных стержней с жесткостью — и погонной массой ш1.
Результаты расчетов к^ и кт для разных видов неоднородностей и граничных условий подготовлены к печати.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Антоненко Э. В., Шульга Т. Э. Модели выгоднейшего изменения толщины тонких цилиндров при осевом сжатии // Вестн. Сарат. техн. ун-та. 2014. № 4. С. 310.
2. Бабаков И. М. Теория колебаний. М, : Наука, 1965. 559 с.
3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М, : Наука, 1974. 640 с.
4. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник : в 3 т. М. : Машиностроение, 1968. Т. 3. 568 с.
УДК 532
Т. А. Ильясова, И. А. Панкратов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ ВОДЫ В ОЗЕРЕ
1. Постановка задачи. В работе [1] была рассмотрена упрощённая модель течений в озерах, бассейнах и других водоёмах для начальной оценки циркуляции. Такие течения могут описываться линеаризованными уравнениями, получающимися из уравнений количества движения, если в них пренебречь инерционными членами и членами, зависящими от времени в уравнении неразрывности [2].
В статье [1] было показано, что решение указанной задачи сводится к уравнению Пуассона относительно функции тока 'ф :
W = 7 V2'. (1)
Здесь W = дг1\3/дх2 — дт2\3/дх1 - величина, зависящая от ветрового воздействия; 7 - коэффициент ветрового напряжения. Величины г1\3, т2\5 обусловлены ветровыми напряжениями.
Предполагается, что составляющие напряжения трения на дне т\|ь и т2|ь прямо пропорциональны компонентам средних значений массового расхода ^ и #2:
Т1 |ь = 141] Т21 ь = 142. Граничные условия для этого уравнения имеют вид
дф дп
= 0
(2)
на береговых границах;
ф = ф
(3)
на входе в водоем.
Уравнение (1) вместе с граничными условиями (2) и (3) допускает вариационную формулировку и применение метода взвешенных невязок.
2. Воздействие ветра на озеро. Рассмотрим прямоугольное озеро ABCD : ü = {(x,y)lxA < x < xB, yA < У < Vd}, которое подвержено воздействию ветра так, что W в уравнении (1) определяется как (x = = Xi,y = Х2)
W/y = Ax + By + C, A, B,C = const.
Отметим, что в прямоугольнике ABCD xa = xd, xb = xc, Va = Vb, Vc = Vd .
Будем искать решение ф ~ (р уравнения (1) в виде линейной комби-
м
нации базисных функций р = ^ атЫт, где Ыт = хт+1ут+1
т=1
Применяя метод Галёркина (Wl = = N1), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффи-
ат
п
+!
ВС
+!
DA
рр + й) Wi dü +
dx2 ду2 J
д(р
? - 0
дx
AB
дУ
0
Ws dx+
V=VA
x=xb
д(р
w dy+j (i-
CD
Ws dx+
y=yc
(4)
дx
0
Ws dy = (Ax + By + C)Wi dü.
y=yD
ü
ABCD
дится прямоугольный остров KNEH : ü0CTp0B = {(x,y)|x^ < x <
< жя, у к < У < Ун}. В прямоугольнике К МЕИ жК = жН, %м = жЕ , У к = Ум, Уе = Ун. При этом в (4) добавляются интегралы по границе острова КЫЕИ, а двойные интегралы берутся по области П\Постров = = {(ж,у)\ (ж,у) е П, (ж
Отметим, что интегралы, входящие в (4), берутся аналитически и задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:
Ка = f,
где компоненты матрицы жёсткости имеют вид (з,ш = 1, М)
Кт = ш(ш — 1)
' т+в+1 УВ
УА
т+в+1 т+в—1
X
В
— X
т+в+1
А
т+в—1 УВ
Ш + й + 1
Ш + й — 1
Уа
т+в—1 т+в+1
X
В
— X
т+в+1
А
X
+ 1 1
Ш + й — 1 Ш + й +1
т+в—1 т+в+1 т+в — 1 т+в — 1
т+в+1 УН
т+в+1 УК
N
— X
к
Ун
Ук
X
Ш + й + 1
т+в+1 т+в+1'
N
— X
к
Ш + й — 1
Ш + й — 1
Ш + й + 1
+
+ШУт+в—1 Xв
т+в+1 т+в+1
X
А
ШУс
т+в—1 жВ
Ш + й +1
т+в+1 ^т+в+1
— ШX
У т+в+1 т+в+1 УС В
т+в+1 УВ
— X
с
ШУк
т+в — 1 XN
Ш + й +1
т+в+1 т+в+1
— X
к
+ШУЕ
т+в—1 жН
Ш + й + 1
т+в+1 ^т+в+1
— X
Е
Ш + й + 1
„ т+з+1 _ „т+з+1 + Ш^т+в—1 УА-Ув--
В Ш + й + 1
т+в+1 _ т+в+1
+ шже+5+1 УЕ-^-+
1 Ш + й + 1
т+в+1 _ т+в+1
т+в—1 УК_УН .
Ш + й + 1
— Шж
н
Ш + й + 1
а компоненты столбца свободных членов есть
= А
'Ув+1 — Ув+1 жв+2 _ жв+2 Ув+1 _ Ув+1 жв+2 УВ У А жВ ж А УН УК XN
— X
в+2' к
й + 1
й + 2
+В
+с
УВ+2
Уа
в+2 ^в+1
жВ жА
в+1
й + 2
й + 1
УВ+1
Уа
в+1 ^ в+1
жВ ж А
в+1
й + 1
й + 1
й + 1
й + 2
Ун+2
Ув+2 ж+1 УК XN
— X
5 + 1'
К
Б + 2
й + 1
УН+1
5 + 1™ в + 1
Ук XN
— X
(й + 1 (й + 1
+
+
5 + 1'
К
3. Пример численного решения задачи. Для численного решения задачи была составлена программа с помощью математического пакета БсПаЬ. Результаты численного решения задачи о циркуляции воды в озере приведены на рисунке.
X
Линии тока для А = 1.4, В = 1.7, С = 1.3, М =10
Были проведены расчёты для различных положений острова внутри озера. Установлено, что при выборе базисных функций видаЫт = хт+1ут+1 нецелесообразно помещать озеро вне области = {(х,у)| — 1 < х < 1, -1 < у < 1}.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Маркелова О. И., Панкратов И. А. Расчёт циркуляции воды в озере // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2014. Вып. 16. С. 115-118.
2. Кот юр Док., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л. : Судостроение, 1979. 264 с.
