Численная аппроксимация линий тока методом Галёркина Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧИСЛЕННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЛИНИЙ ТОКА МЕТОДОМ ГАЛЁРКИНА

И. А. Панкратов*

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83 * email: [email protected]

В статье рассмотрена задача о циркуляции воды в озере под действием ветра. Задача сведена к уравнению Пуассона относительно функции тока, которое было решено методом Галёркина с одновременной аппроксимацией краевых условий и методом частичной дискретизации. Приведены примеры численного решения. Работа является развитием

[1-3].

Ключевые слова: метод Галёркина, линия тока, ветровая нагрузка.

NUMERICAL STREAMLINE'S APPROXIMATION BY GALERKIN METHOD I. A. Pankratov*

National Research Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., 410012, Saratov, Russia * email: [email protected]

In this article we consider the problem of the water circulation in the lake caused by the wind. The problem was reduced to the Poisson equation for the stream function. It was solved by Galerkin method and partial discretization method. Examples of numerical solution are given. In this article we develop the results obtained in [1-3].

Keywords: Galerkin method, streamline, wind stress.

Постановка задачи

Для расчёта течений в озерах, бассейнах и других водоёмах при-меняется упрощенная модель с целью начальной оценки циркуляции, которая затем может быть сопоставлена с результатами применения полных уравнений количества движения в мелководных бассейнах [4]. Линеаризованные уравнения таких течений получаются из уравнений количества движения, если отбросить инерционные члены, т.е.

и рассмотреть стационарное уравнение неразрывности:

ддх дду

= 6.

сх

OV

Здесь f - параметр Кориолиса; дх и - компоненты средних значений массового расхода; р - плотность жидкости; Н - расстояние от оси х до дна, а п << h - возвышение свободной поверхности; т/, т\8- составляющие внутреннего напряжения трения на поверхности, а т\ь, ту\ь- на дне.

Величины т|х в уравнениях (1) зависят от ветровых напряжений. Примем, что напряжение трения на дне прямо пропорционально среднему значению массового расхода:

(2)

Предположим также, что наклон дна мал и введем функцию тока щ :

(3)

Таким образом, из (1)-(з) получим уравнение Пуассона относительно функции тока следующего вида

w = rVV

(4)

Здесь (Г = у/ - величина, зависящая от ветрового воздействия; у- коэффициент ветрового напряжения. Граничные условия для уравнения (4) имеют вид:

дп

= 0

на береговых границах;

11/ =11/

(5)

(6)

на входе в водоём.

Уравнение (4) вместе с указанными граничными условиями (5), (6) допускает вариационную формулировку и применение метода взвешенных невязок.

Уравнения в безразмерных переменных

Для численного решения уравнения (4) удобно перейти к безразмерным переменным по формулам

х=Цх : ь

V = Ц, v'

(7)

гу=Туту: у = .

Здесь переменные с верхним индексом "Ь" являются безразмерными; Ь(Ьу), Q/Qy), Т/Т), ¥ - масштабы длины, массового расхода, внутреннего напряжения трения и функции тока соответственно.

Подставляя соотношения (7) в (2), (3) и приравнивая масштабы в левых и правых частях этих равенств, получим следующие связи между введёнными масштабами

Г УО . Т=Ю-

S, Т ^ Т

а=7? У = Т! (8)

С учётом выражений (8) уравнение Пуассона (4) примет наиболее простой вид, если

MECHANICS | Juvenis scientia 2016 № 2

5

Равенства (9) будут верными, если Lx чае уравнение Пуассона (4) примет вид

= L = L. В этом слу-

(10)

Метод взвешенных невязок

Рассмотрим прямоугольное озеро fl = {(x, y) | a < x < b, c <y < d} (здесь и далее верхние индексы у безразмерных переменных опущены), которое подвержено воздействию ветра так, что W = Ax + By + C, A, B, C = const (квадратичный закон распределения ветровых напряжений).

Будем искать решение щ ~ ^уравнения (10) в виде линейной комбинации базисных функций

л/

м=1

где jVn= х!"+'у"+1.

Пусть граничные условия для уравнения (10) имеют вид (5) на всей границе области fl . Применяя метод Галёркина с одновременной аппроксимацией краевых условий (при этом Wl = -Wl = N) [5], получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов am следующего вида

(11)

Отметим, что интегралы, входящие в (11), берутся аналитически и задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида

Ка = /,

где компоненты матрицы жёсткости имеют вид (1,т

1M)

Kbl=m(m-l)\ rf™-'-c™tM Ь'

т+1+1

т+1-1 пн-м d

т+1+1

iH+i+1 ИН-/+1

т+1 -1

m-I+1

m-I-1 m-1-l . jn+i+1 и+/+1 , ,

—с Ь -а Ь

-тс ' ■

-mb'

— md"

Ъ

т+1 +1

т+1+1 nH-1+]

т+1 + 1 т+1-т-1

JRH-/+1 „f'J+i'-l

„„„т+1-1 " ~С

т+1+1

а компоненты столбца свободных членов есть

линий тока, при этом наблюдается лишь один район циркуляции жидкости - вокруг острова.

Рис. 1. Циркуляция воды в озере, M = 5, A = 2, B = 5, C = 1

Также был рассмотрен случай, когда внутри озера находится прямоугольный остров. При этом в (11) добавляются интегралы по границе острова, а двойные интегралы берутся по области п = {(ад) | (ад) е п,(ад) г п^,™.}

Для численного решения задачи была составлена программа с помощью математического пакета Scilab [6]. Результаты численного решения задачи о циркуляции воды в озере приведены на рис. 1. Показаны линии тока для щ = 0.5, щ = 1.0, щ = 3.0, (снизу вверх).

На рис. 2 представлены линии тока для случая, когда внутри озера находится прямоугольный остров. Были проведены расчёты для различных положений острова внутри озера.

В ходе численного решения задачи было установлено, что при увеличении количества базисных функций линии тока становятся более гладкими. В то же время система (11) становится хуже обусловленной, компоненты матрицы жёсткости и её определитель стремятся к нулю. В зависимости от положения острова внутри озера меняется и картина распределения

Рис. 2. Циркуляция воды в озере с островом,

M = 5, A = 2, B = 5, C = 1

В дальнейшем предполагается рассмотреть случай, когда озеро и/или остров являются эллипсом.

Метод частичной дискретизации

Пусть теперь прямоугольное озеро fl = {(x,y) | 0 < x < 1,0 <y < 1} подвержено воздействию ветра так, что W = Ax, A = const. Предположим, что граничные условия для уравнения (10) имеют вид дщ/дх = 0 при x = 0 и x = 1; щ | 0 = 0 и щ | = 1 (учтён поток от втекающей в озеро реки).

Применим метод частичной дискретизации [5]. В этом случае базисные функции зависят от одной переменной (например x), а неизвестные коэффициенты - от другой. Будем искать решение щ ~ Щ уравнения (10) в виде линейной комбинации базисных функций } + Уа„0'№„м: где Nm = cos (л ■ т ■ х). Отметим, что при таком выЬоре функций Nm граничные условия типа Неймана удовлетворяются автоматически. Подставляя щ в (10) и выбирая весовые функции по методу Галёр-кина, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций am(y)(l = 1M):

Sf

м=10

-(ятУя

d аш

dv~

co^m]vc)co$xix)dx= \ AXco^dx)dx. (12)

Вычисляя интегралы, входящие в (12), с учётом ортогональности системы базисных функций на отрезке [0;1], имеем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений (т = 1М):

¿4

- (тп)~ат =-[l -(-l)™+

Граничные условия для системы (13) имеют вид

(13)

При этом граничные условия типа Дирихле удовлетворяются за счёт первого слагаемого в Щ.

Общее решение указанной системы, найденное методом Эйлера [7], есть

(15)

Произвольные постоянные интегрирования ст и сгт легко находятся из условий (14). Очевидно, что если т - чётное число, то ст=ст=о

Результаты решения задачи о циркуляции воды в озере с учётом потока от втекающей в него реки приведены на рис. 3,4. Показаны линии тока для щ = 0.1, щ = 0.3,... щ = 0.9, (снизу вверх).

Рис. 3. Циркуляция воды в озере, M = 3, A = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

X

Рис. 4. Циркуляция воды в озере, M = 3, A = 2

4. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 264 с.

5. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

6. Алексеев Е. Р., Чеснокова О. В., Рудченко Е. А. Scilab: Решение инженерных и математических задач. М.: ALT Linux; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 269 с.

7. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.

Поступила в редакцию 29.02.2016

Отметим, что в отличие от способа, рассмотренного в предыдущем параграфе, при применении метода частичной дискретизации приближённое решение задачи задаётся аналитическими формулами и не требуется численно решать систему алгебраических уравнений. В ходе численного решения задачи было установлено, что при увеличении количества базисных функций произвольные постоянные ст и ст , а также последнее слагаемое в (15) быстро стремятся к нулю. При этом братьМ> 5 нецелесообразно, так как в этом случае приближённое решение уже практически не изменяется.

В дальнейшем предполагается применить рассмотренный выше метод в случае, когда внутри озера находится остров в форме прямоугольника или эллипса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маркелова О.И., Панкратов И.А. Расчет циркуляции воды в озере // Математика. Механика. 2014. № 16. С. 114-117.

2. Панкратов И.А., Рымчук Д.С. Расчёт течений мелкой воды // Математика. Механика. 2014. № 16. С. 120-124.

3. Ильясова Т.А., Панкратов И.А. Математическое моделирование циркуляции воды в озере // Математика. Механика. 2015. № 17. С. 101-104.