Расчет циркуляции воды в озере Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532

О. И. Маркелова, И. А. Панкратов

РАСЧЕТ ЦИРКУЛЯЦИИ ВОДЫ В ОЗЕРЕ

1. Постановка задачи. Для охлаждения течений в озерах, бассейнах и других водоемах приемлема упрощенная модель с целью начальной оценки циркуляции, которая затем может быть сопоставлена с результатами применения полных уравнений количества движения в мелководных бассейнах [1]. Такие течения могут описываться линеаризованными уравнениями, получающимися из уравнений количества движения, если в них пренебречь инерционными членами, т. е.

дп дп

-/52 + РдН^ + (п|в - т1\ъ) = 0, fql + Р9НдХ~2 + ^ - Т21б) = 0 (1)

и членами, зависящими от времени в уравнении неразрывности:

% + дЯ2 = 0 дх\ дх2

Здесь 51 и 52 - компоненты средних значений массового расхода; р -плотность воды; Н = Н + п, гДе Н - расстояние от оси х1 до дна, а п возвышение свободной поверхности; т115, г2\3 - составляющие внутреннего напряжения трения на поверхности и т1|ь, т2|ь - па дне.

пН жить Н ~ Н. Следовательно,

дп дп

-/52 + Р9^дх^ + (Т1\* - Т2\ь) = 0, /51 + РдН-^ + (Т2|* - Т2|ь) = 0. (2)

Тогда составляющие массового расхода определяются по формуле

Ни Н=Н ^1=1,2

Члены т обусловлены ветровыми напряженпямн, ат |ь есть составляющее напряжения трения на дне. Предполагается,что составляющие напряжения трения на дне прямо пропорциональны компонентам средних значений массового расхода:

Т1 |ь = 751; Т21ь = 752.

п

Продифференцируем первое уравнение системы (2) по а второе по Х\, предполагая, что производные от Н пренебрежимо малы (наклон дна мал), и вычтем одно из другого. Затем введем функцию токаф :

41 =

дф

42 =

дф

дх2' дх1

В итоге для определения ф получим уравнение Пуассона

Щ = 7 У2ф,

(3)

где Щ = дг1\3/дх2 — дт2\3/дх1 - величина, зависящая от ветрового воздействия; 7 - коэффициент ветрового напряжения. Граничные условия для этого уравнения имеют вид

дф дп

= 0

(4)

на береговых границах;

ф = ф

(5)

на входе в водоем.

Уравнение (3) вместе с граничными условиями (4), (5) допускает вариационную формулировку и применение метода взвешенных невязок.

2. Воздействие ветра на озеро. Рассмотрим прямоугольное озеро и = {(х,у)\а < х < Ь, с < у < (}, которое подвержено воздействию ветра так, что Щ в уравнении (3) определяется как (х = х1, у = х2)

W = Ах + Ву + С, А, В, С = сош^

Будем искать решение р ~ р уравнения (3) в виде линейной комби-

м

нации базисных функций (р = ^ атЫт, где Ыт = хт+1ут+1.

т=1 _

Применяя метод Галёркина (W/ = — Щ/ = N), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффи-

ат

п

'Я+до и, ((и+ (дрщ'

дх2 ду2) ] \ох

(у+

+

'тг щ

дх

(у +

с=Ь

'дг

ду ,

(х+

у=с

х=а

а

Ь

+

dx =

(Ax + By + C)Wi dtt.

(6)

y=d

Отметим, что интегралы, входящие в (6), берутся аналитически. 3. Примеры численного решения задачи.

Для численного решения задачи была составлена программа с помощью математического пакета ЗсПаЬ. Результаты численного решения задачи о циркуляции воды в озере приведены на рис. 1.

a

Contour

X

Рис. 1. Линии тока для А = 2, В = 5, С = 1, М = 15

Также был рассмотрен случай, когда внутри озера находится прямоугольный остров (рис. 2). Были проведены расчёты для различных положений острова внутри озера.

Contour

9e-01 -г

8e-01---

7e-01 --

6e-01

>- 5e-01

4e-01

3e-01

2e-01

1e-01

1е-01 2е-01 3е-01 4е-01 5е-01 6е-01 7е-01 8е-01 9е-01

X

Рис. 2. Линии тока для А = 8, В = 6, С = 7, М = 7

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Котюр Док., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л. : Судостроение. 1979. 264 е.

УДК 519.6, 531

И. А. Панкратов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК

1. Постановка задачи. Рассмотрим управляемую систему, описываемую линейным векторным обыкновенным дифференциальным уравнением

(х л

— = Ах + Ви, аЬ

где х, А, В матрицы следующего вида:

x =

Х\

An ... A

1 n

A=

B =

An1 ... Ar

B1

Bn