Расчёт течений мелкой воды Текст научной статьи по специальности «Математика»

решения задачи о движении точки для следующих значений параметров:

Управляемое движение точки с учётом силы сопротивления

Из рисунка видно, что при £ = 2 скорость точки достигает своего минимального значения и £ = 2 - точка перегиба функции х\ = Х\(Ь). При этом погрешность определения конечного значения координаты точки меньше погрешности определения скорости точки в конце движения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 1201-00165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация, М, : Мир, 1986, 318 е.

УДК 532

И. А. Панкратов, Д. С. Рымчук РАСЧЁТ ТЕЧЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ

1. Постановка задачи. Уровень знаний и недостаточность известных данных во многих случаях не оправдывают применения более сложных математических моделей для исследования течений в прибрежных водах, в озерах и т. д., чем модели, основанные на численном решении двухмерных уравнений, полученных путем применения усредненных

по вертикали характеристик (так называемых уравнении мелкой воды). Трехмерные же решения на данном этапе нецелесообразны, так как они потребовали бы большого количества дополнительной информации и машинного времени.

Для решения задач циркуляции воды в водоемах может быть использован метод конечных разностей. Известно, что разностные схемы имеют недостаточно гибкие сетки и в некоторых случаях очень трудно удовлетворить граничным условиям. В этом отношении конечные элементы дают возможность применять значительно более гибкую разбивку.

Основные уравнения движения жидкости при упрощениях, в результате которых получаются уравнения мелкой воды, можно записать в виде [1]

с дд + д(рН) = 0

дх дм '

% + Ш = дХ (N11 - Ыр) + В;

(1)

Здесь д - поток количества жидкости; р - плотность жидкости; Н = Н+п, Н - расстояние от оси х до дна, а п возвышение свободной поверхности; Жц, Ыр, Б\ - сложные выражения.

2. Метод взвешенных невязок. Применив процедуры метода взвешенных невязок к системе уравнений (1), получим

2'

дЫр

д1 + ] + дЬ дх \ Н ) дх

- БЛ Wl (Ю. = 0,

V п

(2)

Слагаемые Б\ ж дЫр/дх можно объединить, и тогда

Б? = Б1 —

дЫр

дх

= 72PaW2 008 в - (|2)

9 \ 1 д2

рН 2

-р9НдН - Ндр

дх

дх

Здесь 72 - коэффициент ветрового напряжения; ра - плотность воздуха; ^ ^ ^^^^^ть ветра, в - угол между осью х и направлением ветра; 9 -ускорение свободного падения; с - коэффициент Шези; ра - атмосферное давление.

Пусть атмосферное давление в области О постоянно, тогда последнее слагаемое в Б? равно нулю. В уравнениях мелкой воды могут быть также

к д (Л

отброшены конвективные члены, т. е. — — .

дх Н

После переноса нелинейной части первого уравнения из (2) направо, окончательно указанная система примет вид

// //{^ сов в - (I) рН - рдН^ }

П П (з)

т I} «=».

^ п

В качестве пробных функций для д выберем Ычк = хк(1 — к)£к, а для Н : Ыпк = хк—Чк.

Воспользуемся методом Галёркина. Решение системы (2) будем искать в виде

м м

д « акхк(1 — х)£к, Н « Я=Е Ькхк—Чк + Но(х, 0), (4)

к=1 к=1

где М - количество базисных функций, ак,Ьк - неизвестные коэффициенты.

Подставляя (4) в (3), получим итоговую систему нелинейных алгебраических уравнений: ( м п

^2ак (хк(1 — х)к£к—^ d0 =

к=1 п

/ м 4 2

п

Еак хк (1 — х)£к

72р«Ж2 сов в — (4) Р—---2

\сУ р / м \ 2

( Е Ькхк—1£к + Но(х, 0)1

= м ^

д £Ьк хк—1£к + Но(х, 0)

к 1 к к=1

рд(^^ Ькхк—1£к + Но(х, 0))

м „ „ м

дх

^ d0,

^ ак JJ £к(кхк—1 — (к + 1)хк) d0 + ^ Ькр ^ хкЫк—1 d0 = 0. к=1 п к=1 п

Отметим, что область интегрирования является прямоугольником 0 = {(х, £)|0 < х < 1, 0 < £ < Т}.

3. Пример численного решения задачи. Для численного решения задачи была составлена программа с помощью математического пакета БсПаЬ. Нелинейная система уравнений вида

К ак+1 = f (ак) 123

решалась с помощью метода простой итерации с нулевым начальным приближением для вектора неизвестных а = (а\,..., ам, Ь\,..., Ьм)т. Результаты решения нелинейной системы уравнений, описывающей течение мелкой воды, приведены на рисунке. (Предполагается, что дно параллельно оси х, т. е. Н = 0.)

н

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

х

X

Высота свободной поверхности и поток (М = 2, Т = 3)

Н

тока д. Разные линии на графиках соответствуют разным моментам времени Ь = 0, 0.3, ..., 3.0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коннор Док., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 264 с.